医用高等数学定积分习题精讲

习 题 五

习 题 五

1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 （1） 2π 0sin d x x ⎰

；

（2

） R

x -⎰

；

（3） 0

13d x x -⎰；

（4） π

cos d x x ⎰.

1. 解：由定积分的几何意义 （1） 2π 0sin d x x ⎰

π

2π

sin d sin d A (A)0x x x x =+=+-=⎰⎰π

（2

） R

x -

⎰

2 1

2

R

x R -==⎰

π

（3） 0

13d x x -⎰32

=

（4） π

cos d x x ⎰π

2π 0

2cos d cos d A (A)0x x x x =+=+-=⎰⎰π

2. 用定积分的定义，计算由曲线21y x =+与直线1,4x x ==及x 轴所围成的曲边梯形的面积.

解：因为被积函数2()1f x x =+在[14]，上是连续的，故可积，从而积分值与区间[14]，的分割及点i ξ的取法无关. 为了便于计算，把区间[14]，分成n 等份，每个小区间的长度都等于3

n

，分点仍记为

012114n n x x x x x -=<<<

<<=

并取(12)i i x i n ξ==，，，，得积分和

22

21

1

1

1

33

()(1)(1)11)n

n

n

n

i

i

i

i i i i i i i i f x x x x n n

====∆=+∆=+∆=+∑∑∑∑ξξ

((

+)

23211

27186n n

i i i i n n ===++∑∑ 32

19181

(1)(21)(1)622n n n n n n n =

+++++ 9111

(1)(2)9(1)62n n n

=+++++ 令n →∞（此时各小区间的长度都趋于零，故0λ→），对上式取极限，由定积分的定义，

得

4

2

21

01

9111

(+1)d lim (1)lim[(1)(2)9(1)6]242n

i i n i x x x n n n →→+∞==+∆=+++++=∑⎰

λξ

3. 判断下列式子是否一定正确 （1） ()d 0b

a f x x ⎰≥（其中()0f x ≥）；

（2） ()d ()d ()b

b

a

a

f x x f x x

a b <⎰

⎰≥.

3. 解：

（1）不一定正确，这是因为题中未指明a 与b 的大小关系. 当a b ≤时，有 ()d 0b

a

f x x ⎰≥；当a b ≥时，有 ()d 0b

a

f x x ≤⎰.

（2）一定正确.

由定积分的性质，已知a b <，()()f x f x ≥，则 ()d ()d .b b

a

a

f x x f x x ⎰⎰≥

4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由 （1） 1

1

1

23 0

d d d x x x x x x ⎰⎰⎰，，；

（2） 4 4 4

2 3

3

31

ln d (ln )d d ln x x x x x x

⎰⎰⎰

，，； （3） 1

1

1

d ln(1)d

e d x x x x x x +⎰⎰⎰，，.

4. 解：

（1）当[0,1]x ∈时，有23x x x ≥≥，因此 1

1

1

23 0

d d d x x x x x x ≥≥⎰⎰⎰.

（2）当[3,4]x ∈时，有ln 1x ≥，21(ln )ln ln x x x

≥≥， 因此 4

4

4

2 3

3

3

1

(ln )d ln d d ln x x x x x x

≥≥⎰⎰⎰

5. 计算

（1） 3 0

(1cos )d lim

sin x

x t t x x

→--⎰；

（2） 3 0

(1cos )d lim

tan x

x t t x x

→--⎰.

解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质

3 0

(1cos )d lim

sin x

x t t x x

→--⎰

301cos lim

1cos x x

x

→-=- 20

lim(1cos cos )3x x x →=++=

（2）同理

3 0

(1cos )d lim

tan x

x t t x x

→--⎰

3201cos lim

sec 1

x x

x →-=- 24003cos sin 3cos sin 3

lim lim 2sec tan sec 2tan 2x x x x x x x x x x →→=== 6.

求21 d x y t t =⎰(0)x >的导函数().y x '