势垒贯穿(隧道效应)汇总
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df (t ) i Ef (t ) dt
E ln f (t ) t c i
2
i f (t ) A exp( Et )
把常数A归到空间部分， 薛定谔方程的特解为：
定态波函数
可见E具有能量的量纲 与自由粒子波函数类比 它代表粒子的能量。
i (r , t ) (r ) A exp( Et )
量子体系的运动状态由波函数来描述， 力学量用力学量算符来描述。 在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值， 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量 的本征态。
前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了 它应满足的方程，从 中我们可得到些启示， 下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系：
i (r , t ) (r ) A exp( Et )
由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。 其波函数为定态波函数。
对应的几率密度与时间无关。
(r , t ) (r , t ) (r ) (r )
处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的 概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的 几率分布和平均值都不随时间变化。 定态薛定谔方程
1 2 2 1 df (t ) (r ) V (r ) (r )] i [ (r ) 2m f (t ) dt
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边 必须等于同一个常数，设为E则有：
2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
d ( x) E ( x) 2 2m dx
2 2
oxa
在阱内的薛定谔 方程可写为：
d ( x) 2mE 2 2 ( x) k ( x) 2 dx
2
oxa
类似于简谐振子的方程，其通解：
( x) A sin(kx B)
(0) A sin B 0 代入边界条件得： (a) A sin(ka B) 0
#
2 2 零点能的存在 E1 称为基态能量。 2 2m a
# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。
能级间隔：
(2n 1) En En1 En 2m a2
2 2
当n , En / E 2 / n 0 能级分布可视为连续的。
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
提纲
18-8 薛定谔方程
自由粒子的 薛定谔方程 力场中粒子的薛定谔方程 定态薛定谔方程 18-9 一维无限深方势阱 薛定谔方程 标准化条件Baidu Nhomakorabea解的物理意义。
几点讨论 18-10 势垒贯穿（隧道效应）
隧道效应和扫描隧道显微镜STM
作业：18-28、29、32
18-8 薛定谔方程 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波函数来描述；力学量如何用力学量算符来 描述。
o
n+1个节点
稳定的驻波能级
能量本征值 En 对应的能量本征函数 n ( x)组成完备的集合。能量量子数n从1至 在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一 组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。
mn 0, 2 a m x n x sin( ) sin( )dx mn mn 1, a 0 a a
2 2 k (r , t ) E k (r , t ) 2m
ˆ ˆ ˆ 定义 i j k x y z
力场中粒子的薛定谔方程 p2 E V (r ) 2m 如果粒子在势场 V (r )中运动，能量：
称V (r ) 为在坐标表象中的势能算符。
1 ( x) Ae Re
ikx k1x
ikx
,
x0
2 ( x) Te , 0 xa ikx ( x ) Ce , xa 根据边界条件： 3 d1 ( x) d 2 ( x) 1 (0) 2 (0) | |
考虑自由粒子的能量： 2 2 p2 k (r , t ) E k (r , t ) E 2m 2m 又因为： 自由粒子的 薛定谔方程
2 得出： k (r , t ) 2 i k (r , t ) t 2m
许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。
V ( x) ,
x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。 V ( x) 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深方势阱。
其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
o
a
x
在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
下面将举例求解
18-9 一维无限深方势阱 以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是 薛定谔方程的自然结果。 已知粒子所处的势场为： V ( x) 0, 0 xa
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、 确定的本征值、独立完整的存在于其中。
mn
mn
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态 的可能的本征态的本征值。可以用本征态 出现的几率来计算物理量的平均值。
18-10 势垒贯穿（隧道效应）
V ( x) 0, x 0, x a
V
V0
V ( x) V0 ,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
2 a
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
n ( x) 0, nx n ( x) A sin( ),
a
x 0, x a
n 1,2,3, 0 x a
n ( x) 为本征态；En为本征能量。 讨论： # 称 n为量子数；
建立薛定谔方程的主要依据和思路：
* 要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足
德布罗意关系式
* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E，
质量为m，动量为P的粒子：
*若
是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。 因此，波函数应遵从线性方程。
* 自由粒子的外势场应为零。
2 2
p i (E ) 2 t 2m x 2m
2 2 2
为自由粒子的质量，因为势能为零，所以
所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i 2 t 2m x
2 2
同样推广到三维如下：
p p 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 k 的自由粒子，在坐标表象的波函数：
所以，
B 0;
ka n
n 1,2,3,
n不能取零，否则无意义。
因为 k 2
2mE 2 ka n n 1,2,3,
结论：
2 En n 2 2ma
2 2
n 1,2,3,
nx ( x) A sin( ), n 1,2,3, a 由归一化条件 a 2 n x A A sin ( ) dx 1 0 a
其薛定谔方程：
2 k (r , t ) 2 i [ V (r )] k (r , t ) t 2m 2 定义哈密顿算符： ˆ 2 H [ V (r )] （也称能量算符） 2m
则薛定谔方程为：
k (r , t ) ˆ i H k (r , t ) t
k (r , t ) i p y k (r , t ); y
2 k (r , t ) px 2 k (r , t ) 2 x
2
k (r , t ) i p z k (r , t ); z
2 2 2
2 p k (r , t ) y 2 k (r , t ) 2 y
自由粒子的 薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数
( x, t ) i E ( x, t ) t
i p x
2
p i ( E ) 2 t 2m x 2m
2 2
p 2 2 x
定态薛定谔方程 若作用在粒子上的势场 V (r )不显含时间 t 时， 在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情 况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。
设 : (r , t ) (r ) f (t )
2
df (t ) 2 f (t ) (r ) V (r ) (r ) f (t ) i (r ) 2m dt 两边除以 (r ) f (t )可得：
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
2 mE 令： k 2
2
2m(V0 E ) k 2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为：
V
d 1 ( x) 2 k 1 ( x) 0, 2 dx
2
V0
x0
I II
d 3 ( x) 2 k 3 ( x) 0, 2 dx
Et p r k (r , t ) 0 exp( i )
显然，波函数对时间求导，可得出：
k (r , t ) i E k (r , t ) t
波函数对空间求导可得出：
k (r , t ) i p x k (r , t ); x
2
xa
III
o
a
d 2 ( x) 2 k1 2 ( x) 0, 2 dx
2
x
0 xa
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波 反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区， 在III区只有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大 于在 x a 处出现的几率。
其解为：
2
2 k (r , t ) pz 2 k (r , t ) 2 z
2
p ( 2 2 2 ) k 2 k x y z
2
2 2 2 2 定义算符： 2 2 2 x y z 2 p 则得： 2 (r , t ) 2 k (r , t ) k
2 d 2 ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
方程的解必处处为零。
x 0, x a
( x) 0
x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 所以，粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
(0) 0, (a) 0
动能 算符
px 动量 i x 算符 i p
从上式推导可知若有如下对应关系： i E i k E k t t
i k p x k x i k p k
2 ˆ T 2m
可得出：
2
2 k (r , t ) 2 i k (r , t ) t 2m
0 xa
在经典力学中,若 E V0 ,粒子的动能 为正,,它只能在 I 区中运动。
I
O
II
a
III
x
2 d 21 ( x) E1 ( x), x0 2 2m dx 2 d 2 2 ( x) V0 2 ( x) E 2 ( x), 2 2m dx 2 d 2 3 ( x) E 3 ( x), 2 2m dx xa
E ln f (t ) t c i
2
i f (t ) A exp( Et )
把常数A归到空间部分， 薛定谔方程的特解为：
定态波函数
可见E具有能量的量纲 与自由粒子波函数类比 它代表粒子的能量。
i (r , t ) (r ) A exp( Et )
量子体系的运动状态由波函数来描述， 力学量用力学量算符来描述。 在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值， 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量 的本征态。
前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了 它应满足的方程，从 中我们可得到些启示， 下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系：
i (r , t ) (r ) A exp( Et )
由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。 其波函数为定态波函数。
对应的几率密度与时间无关。
(r , t ) (r , t ) (r ) (r )
处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的 概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的 几率分布和平均值都不随时间变化。 定态薛定谔方程
1 2 2 1 df (t ) (r ) V (r ) (r )] i [ (r ) 2m f (t ) dt
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边 必须等于同一个常数，设为E则有：
2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
d ( x) E ( x) 2 2m dx
2 2
oxa
在阱内的薛定谔 方程可写为：
d ( x) 2mE 2 2 ( x) k ( x) 2 dx
2
oxa
类似于简谐振子的方程，其通解：
( x) A sin(kx B)
(0) A sin B 0 代入边界条件得： (a) A sin(ka B) 0
#
2 2 零点能的存在 E1 称为基态能量。 2 2m a
# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。
能级间隔：
(2n 1) En En1 En 2m a2
2 2
当n , En / E 2 / n 0 能级分布可视为连续的。
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
提纲
18-8 薛定谔方程
自由粒子的 薛定谔方程 力场中粒子的薛定谔方程 定态薛定谔方程 18-9 一维无限深方势阱 薛定谔方程 标准化条件Baidu Nhomakorabea解的物理意义。
几点讨论 18-10 势垒贯穿（隧道效应）
隧道效应和扫描隧道显微镜STM
作业：18-28、29、32
18-8 薛定谔方程 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波函数来描述；力学量如何用力学量算符来 描述。
o
n+1个节点
稳定的驻波能级
能量本征值 En 对应的能量本征函数 n ( x)组成完备的集合。能量量子数n从1至 在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一 组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。
mn 0, 2 a m x n x sin( ) sin( )dx mn mn 1, a 0 a a
2 2 k (r , t ) E k (r , t ) 2m
ˆ ˆ ˆ 定义 i j k x y z
力场中粒子的薛定谔方程 p2 E V (r ) 2m 如果粒子在势场 V (r )中运动，能量：
称V (r ) 为在坐标表象中的势能算符。
1 ( x) Ae Re
ikx k1x
ikx
,
x0
2 ( x) Te , 0 xa ikx ( x ) Ce , xa 根据边界条件： 3 d1 ( x) d 2 ( x) 1 (0) 2 (0) | |
考虑自由粒子的能量： 2 2 p2 k (r , t ) E k (r , t ) E 2m 2m 又因为： 自由粒子的 薛定谔方程
2 得出： k (r , t ) 2 i k (r , t ) t 2m
许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。
V ( x) ,
x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。 V ( x) 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深方势阱。
其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
o
a
x
在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
下面将举例求解
18-9 一维无限深方势阱 以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是 薛定谔方程的自然结果。 已知粒子所处的势场为： V ( x) 0, 0 xa
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、 确定的本征值、独立完整的存在于其中。
mn
mn
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态 的可能的本征态的本征值。可以用本征态 出现的几率来计算物理量的平均值。
18-10 势垒贯穿（隧道效应）
V ( x) 0, x 0, x a
V
V0
V ( x) V0 ,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
2 a
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
n ( x) 0, nx n ( x) A sin( ),
a
x 0, x a
n 1,2,3, 0 x a
n ( x) 为本征态；En为本征能量。 讨论： # 称 n为量子数；
建立薛定谔方程的主要依据和思路：
* 要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足
德布罗意关系式
* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E，
质量为m，动量为P的粒子：
*若
是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。 因此，波函数应遵从线性方程。
* 自由粒子的外势场应为零。
2 2
p i (E ) 2 t 2m x 2m
2 2 2
为自由粒子的质量，因为势能为零，所以
所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i 2 t 2m x
2 2
同样推广到三维如下：
p p 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 k 的自由粒子，在坐标表象的波函数：
所以，
B 0;
ka n
n 1,2,3,
n不能取零，否则无意义。
因为 k 2
2mE 2 ka n n 1,2,3,
结论：
2 En n 2 2ma
2 2
n 1,2,3,
nx ( x) A sin( ), n 1,2,3, a 由归一化条件 a 2 n x A A sin ( ) dx 1 0 a
其薛定谔方程：
2 k (r , t ) 2 i [ V (r )] k (r , t ) t 2m 2 定义哈密顿算符： ˆ 2 H [ V (r )] （也称能量算符） 2m
则薛定谔方程为：
k (r , t ) ˆ i H k (r , t ) t
k (r , t ) i p y k (r , t ); y
2 k (r , t ) px 2 k (r , t ) 2 x
2
k (r , t ) i p z k (r , t ); z
2 2 2
2 p k (r , t ) y 2 k (r , t ) 2 y
自由粒子的 薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数
( x, t ) i E ( x, t ) t
i p x
2
p i ( E ) 2 t 2m x 2m
2 2
p 2 2 x
定态薛定谔方程 若作用在粒子上的势场 V (r )不显含时间 t 时， 在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情 况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。
设 : (r , t ) (r ) f (t )
2
df (t ) 2 f (t ) (r ) V (r ) (r ) f (t ) i (r ) 2m dt 两边除以 (r ) f (t )可得：
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
2 mE 令： k 2
2
2m(V0 E ) k 2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为：
V
d 1 ( x) 2 k 1 ( x) 0, 2 dx
2
V0
x0
I II
d 3 ( x) 2 k 3 ( x) 0, 2 dx
Et p r k (r , t ) 0 exp( i )
显然，波函数对时间求导，可得出：
k (r , t ) i E k (r , t ) t
波函数对空间求导可得出：
k (r , t ) i p x k (r , t ); x
2
xa
III
o
a
d 2 ( x) 2 k1 2 ( x) 0, 2 dx
2
x
0 xa
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波 反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区， 在III区只有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大 于在 x a 处出现的几率。
其解为：
2
2 k (r , t ) pz 2 k (r , t ) 2 z
2
p ( 2 2 2 ) k 2 k x y z
2
2 2 2 2 定义算符： 2 2 2 x y z 2 p 则得： 2 (r , t ) 2 k (r , t ) k
2 d 2 ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
方程的解必处处为零。
x 0, x a
( x) 0
x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 所以，粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
(0) 0, (a) 0
动能 算符
px 动量 i x 算符 i p
从上式推导可知若有如下对应关系： i E i k E k t t
i k p x k x i k p k
2 ˆ T 2m
可得出：
2
2 k (r , t ) 2 i k (r , t ) t 2m
0 xa
在经典力学中,若 E V0 ,粒子的动能 为正,,它只能在 I 区中运动。
I
O
II
a
III
x
2 d 21 ( x) E1 ( x), x0 2 2m dx 2 d 2 2 ( x) V0 2 ( x) E 2 ( x), 2 2m dx 2 d 2 3 ( x) E 3 ( x), 2 2m dx xa