第七章应力和应变分析强度理论(2).

§7．8 广义胡克定律
一、广义胡克定律
1． 单向应力状态的虎克定律
1 s s E 轴向拉伸 或 E 或压缩时 s 由于轴向变形还
引起横向变形
E
2． 纯剪切应力状态的虎克定律
t G
或
1 t G
3．复杂应力状态的广义 虎克定律
一般情况 下，描述 一点处的 应力状态 需要九个 应力分量
x y xy
(dl ) dl dx dy dy cos sin cos dl dl dl
x y xy
cos sin sin cos
2 2

x
y
xy
cos 2 sin 2 2 2 2
王培荣
2018年9月27日
教学要求 •1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌 握单元体最大剪应力计算方法。 •2.掌握广义胡克定律及其应用。 •3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状 改变比能和体积改变比能的一些主要结论和 公式。
§7．5 三向应力状态
三向应力状态特例的一般情形
至少有一个主应力及其主方向已知
变形后，三个棱边的长度变为
dx 1dx (1 1 )dx dy 2 dy (1 2 )dy dz 3 dz (1 3 )dz
由于是单元体，变形后三个棱边仍互相 垂直，所以，变形后的体积为
V1 (1 1 )(1 2 )(1 3 )dxdydz

x y xy
sin 2 cos 2 2 2 2

x y xy
二、应变圆
cos 2 sin 2 2 2 2 sin 2 cos 2
x y x y xy


x
y
xy
2
2
2
2
( ) ( ) sin 2 ( ) 2 2 2 2
x y

2
x
y
xy

t x' y'
1 R 2
2 s s 4 t x y xy 2
R c
s x'
应 力 圆
s x s y
2

应 变 圆
2
R
C(
C

x
y
2
,0)


x y
R (
2
) (
2

xy
2
)
2
三、最大应变与主应变
1 [( ) ( ) ] 2
y
1 s s s z y x x E E E 1 sx sy sz
E
E
sx
sy
sz
1 sz E
E
y 和 z 方向的线应变表达式为 得出 x 、
1 x s x (s y s z ) E 1 y s y (s z s x ) E 1 z s z (s x s y ) E
• 在小变形及线弹性范围内，线应变 只与正应力有关，而与剪应力无关； • 剪应变只与剪应力有关，而与正应 力无关，满足应用叠加原理的条件。 • 所以，我们利用单向应力状态和纯 剪切应力状态的虎克定律，分别求 出各应力分量相对应的应变， • 然后，再进行叠加。
正应力分量在不同方向对应的应变
z Esx Esy
max 2 2 x y x y xy min
Tan 2
0

xy
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x
2 y
y
2

max
1 ( ) ] 2
x xy
四、通常采用测定一点处沿εa、εb、 εc三个方向的线应变的方法，来确定该点处 的主应变εl、ε2及其方向。
εa、εb、εc
εx、εy、γxy
ε1、ε2
V1 (1 1 2 3 )dxdydz
于是，单元体单位体积的改变
V1 V 1 2 3 V

一、任意方位的应变分析
研究正应变
(OB) dx cos
x
x
(OB) dy sin
y
y
(OB) dy cos
xy
xy
(dl ) (OB)
(OB) (OB) (OB)
x y xy
(dl ) dx cos dy sin dy cos
x y x y xy

研究剪应变

'
dx sin
x

dl
cos sin
x

''
dy cos
y

dl
cos sin
y

'''
dy sin
xy

dl
sin
2 xy
( ) sin 2 cos 2
tyx
sy sx sz
tyx txy
sy sx sz
txy
s2 s1
s3
t
200 50 300
s"
s'
s '''
s
50
t
300
50
s" s '''
s'
s
*§7．6位移与应变分量
自学
*§7．7 平面应变分析

当构件内某 点处的变形 均平行于某 一平面时， 则称该点处 于平面应变 状态。
1 1 s 1 (s 2 s 3 ) E 1 2 s 2 (s 3 s 1 ) E 1 3 s 3 (s 1 s 2 ) E
二、体积应变及应力的关系 1．体积应变 变形前单元体的体积为
V dxdydz






根据剪切虎克定律，在 xy、yz 和 zx三个面内的 剪应变分别为

xy
yz
zx
1 t xy G 1 t yz G 1 t zx G
三、三个弹性常数之间的关系
E G 21
4． 主单元体时的广义虎克定律
当单元体为主单元体时，且使 x 、 y 和 z 的方向分别与s 1 、 s 2 和s 3 的方向一致。 这时 s x s1 s y s 2 s z s 3 t xy 0 t yz 0 t zx 0