最小二乘法小结
最小二乘法综述及举例
最小二乘法综述及算例一最小二乘法的历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。
二最小二乘法原理最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据),...,2,1(,n i y x i i =，是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。
设物理量y 与1个变量l x x x ,...,2,1间的依赖关系式为:)(,...,1,0;,...,2,1n l a a a x x x f y =。
其中n a a a ,...,1,0是n +l 个待定参数,记()21∑=-=mi i i y vs 其中 是测量值, 是由己求得的n a a a ,...,1,0以及实验点),...,2,1)(,...,(;,2,1m i v x x x i il i i =得出的函数值)(,...,1,0;,...,2,1n il i i a a a x x x f y =。
在设计实验时, 为了减小误差, 常进行多点测量, 使方程式个数大于待定参数的个数, 此时构成的方程组称为矛盾方程组。
通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组(此时方程式的个数与待定参数的个数相等) 。
我们可以通过正规方程组求出a最小二乘法又称曲线拟合, 所谓“ 拟合” 即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点, 只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。
最小二乘法及其应用..
最小二乘法及其应用1．引言最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。
据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。
同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。
如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。
拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。
正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。
在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。
到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。
最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。
2. 最小二乘法所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小.用数学公式表示为：21022)()(mini i i i ix b b Y Y Y e 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例.iiix B B Y 10（一元线性回归方程）由于总体回归方程不能进行参数估计，我们只能对样本回归函数来估计即：i iie x b b Y 10)...2,1(n i从上面的公式可以看出：残差i e 是i Y 的真实值与估计值之差，估计总体回归函数最优方法是，选择10,B B 的估计量10,b b ，使得残差i e 尽可能的小.总之，最小二乘原理就是选择样本回归函数使得所有Y 的估计值与真实值差的平方和为最小，这种确定10,b b 的方法叫做最小二乘法。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法小结
最小二乘法原理1. 介绍部分最小二乘法是获得物理参数唯一值的标准方法，具体是通过这些参数或者在已知数学模型中与这些参数相关的参数的多余观测值来求得。
最小二乘法最早是由高斯提出，用来估计行星运行轨道的。
1.1 数理统计和最小二乘法物理量总是不能被精确测定。
总是存在一个限定的测量精度，超过这个精度，相关的数学模型和测量仪器的分辨率这两者之一或者全部将会无能为力。
超出这个精度，多余观测值之间会产生差异。
我们常常希望获得超过该限定精度的测量值，在不知道真值的情况下我们只能估计真值。
一方面我们想要估计出唯一的值，另一方面，我们想要知道这个估计有多好。
最小二乘法就是这样一个估计，它基于最小化差值的平方和。
最小二乘法相比其他传统的方法有三个优点。
其一，它既可以应用在线性数学模型上也可以应用在非线性数学模型上；其二，它和统计量算术平均值有关；其三，最小二乘法在很多领域是通用的。
物理量的值的唯一统计估计称为点估计。
无论频率函数是否知道，我们都可以作物理量的点估计并且可以衡量它与真值趋近程度。
另外两种估计，区间估计以及假设检验，它们只能在相应的频率函数已经确定的情况下进行。
1.2 线性代数和最小二乘法（nontrivial=nonzero，非平凡解就是指非零解）现有线性方程组A X= L （1-1）X是未知数向量，L是常数向量，A是系数矩阵，[A:L]是增广矩阵。
该方程组有唯一非零解仅当L ≠ 0 （非齐次方程组），（1-2a）r (A) = X的维数，（1-2b）r ([A:L]) = r (A)。
（1-2c ）当没有多余等式时，准则（1-2b ）意味着A 是方阵且非奇异，它的逆矩阵是存在的，这样方程组的解就表达成X = A 1- L （1-3）当存在多余等式时，A 将不是方阵，但是A T A 是方阵且非奇异，这样方程组的解就表达成X = (A T A) 1- A TL 。
（1-4） L 的元素对应于物理量观测值，基于上述数学讨论，如果没有多余观测量（即没有多余的等式），则未知量将只有唯一的非零解。
几种最小二乘法递推算法的小结
几种最小二乘法递推算法的小结最小二乘法是一种常见的参数估计方法，广泛应用于各个领域的数学和统计模型的拟合问题。
在实际应用中，我们常常需要递推地计算最小二乘法的结果，以便能够在实时数据到来的情况下，快速地更新参数估计值。
以下是几种常见的最小二乘法递推算法的小结。
1. 递推最小二乘法（Recursive least squares, RLS）递推最小二乘法是一种在线参数估计方法，可以在每次新数据到来时，快速地更新参数估计值。
RLS算法利用递推的方式，将历史数据和新数据的信息结合起来，从而得到最新的参数估计值。
该算法基于递归迭代过程，迭代公式中的权重矩阵可以由历史数据的协方差矩阵递推得到。
递推最小二乘法具有良好的收敛性和较低的计算复杂度。
2.递推最小二乘法的变种算法（RLS的变种算法）递推最小二乘法的变种算法是对传统的RLS算法进行改进和优化的方法。
其中，经典的改进算法有递归正交最小二乘法（Recursive orthogonal least squares, ROLS）和递推快速QR分解法（Recursive fast QR factorization, RFQR）。
ROLS算法通过引入正交化处理，解决了经典RLS算法中信号相关性较高时，参数估计不稳定的问题。
RFQR算法则通过对历史数据进行快速QR分解的方法，进一步提高了算法的计算速度，并降低了计算复杂度。
3. 渐进最小二乘法（Asymptotic least squares, ALS）渐进最小二乘法是一种常见的在线参数估计算法，用于解决参数估计问题的收敛速度较慢的情况。
ALS算法通过估计参数的渐进协方差矩阵，然后利用资料增益矩阵计算最新的参数估计值。
由于ALS算法不需要存储和计算全部历史数据的相关矩阵，因此可以在实时数据到来的情况下，快速地进行参数估计。
4. 数据辅助递推最小二乘法（Data-augmented recursive least squares, DARLS）数据辅助递推最小二乘法是一种常见的递推最小二乘法的改进算法，适用于当历史数据缺失或者不完整时。
最小二乘法求最短路径
最小二乘法求最短路径
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解最短路径问题。
在
最短路径问题中，我们需要找到从起点到终点的路径，使得路径上的
总权值最小。
最小二乘法的思想是通过最小化路径上各个节点的误差平方和，
来确定最优路径。
具体而言，我们首先将问题转化为一个线性方程组，其中方程的个数等于路径上的节点数减去1。
然后，我们使用最小二乘法的公式来计算方程组的最优解。
最小二乘法首先构建一个矩阵A，其中每行对应一个方程，每列
对应一个节点。
矩阵A的元素表示两个节点之间的权值。
同时，还构
建一个列向量b，其元素为每个方程右侧的常数项。
然后，通过求解线性方程组 A^T * A * x = A^T * b ，得到解向量x，其中x的每个分
量表示路径上相应节点的权值。
最小二乘法可以使用多种数值计算方法来求解线性方程组，如高
斯消元法、QR分解、SVD分解等。
根据具体的问题和数据特点，可以
选用适合的数值计算方法，以获得最优的计算结果。
最小二乘法在求解最短路径问题时具有以下优点：（1）能够充
分考虑路径上各个节点之间的权值关系，从而寻找最优的路径；（2）
能够处理带有噪声或不完全数据的情况，提高路径计算的鲁棒性；（3）计算过程相对简单，适用于大规模问题的求解。
总之，最小二乘法是一种有效的数学方法，能够求解最短路径问题，并在实际应用中取得良好的效果。
最小二乘法原理及其简单应用
一、最小二乘法最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
已知两变量为线性关系y=kx+b，实验获得其n 组含有误差的数据（xi，yi）。
若将这n 组数据代入方程求解，则k、b 之值无确定解。
最小二乘法提供了一个求解的方法，其基本思想是拟合出一条“最接近”这n 个点的直线。
在这条拟合的直线上，各点相应的y 值与测量值对应纵坐标值之偏差的平方和最小。
根据统计理论，参数k 和b计算公式是：2.3 相关系数γ相关系数γ表示数据（xi，yi）相互联系的密切程度，以及拟合所得的线性方的计算公式如下：程的可靠程度。
γ1其中，γ的值在- 1～+ 1 之间。
γ的绝对值越接近1，表明（xi，yi）相互联系越密切, 线性方程的可靠程度越高，线性越好。
二、运用Origin8.0 软件，采用最小二乘法计算金属铝的电阻率基于DISLab测量与采集实验数据，运用Origin8.0 软件建立其数学线性模型，得到其散点图，从而可以直观地观察到散点图呈直线型或曲线型。
根据最小二乘法原理，对实验数据进行线性处理并进行相关性检验，拟合计算出金属铝的电阻率。
实验计算结果表明，利用最小二乘法求解金属铝的电阻率准确可靠，相对误差较小。
该实验的依据是部分电路的欧姆定律和电阻定律：R=UI 与ρ= RSL。
其中，U为金属两端电压，I 为通过其电流，S 和L 分别为其横截面积与长度。
将一定长度的金属铝丝Rx接入如图1 所示的电路图中，采用伏安法测出其电阻R=UI。
同时，测量出金属的长度L 及直径D，从而计算出金属丝的电阻率ρ= πD 2U4IL。
图1 测定金属电阻率ρ电路图闭合开关，调节变阻器，使电表有明显示数变化，数据采集器即可获得n 组电压表和电流表相应的数据（Ui，Ii）。
23当电压表的数值U 从20 mV 以ΔU=10 mV 为步长增加到100 mV 时，分别测量出对应电流表的数值I ，实验数据如表1 所示。
最小二乘法通俗讲解方法
最小二乘法通俗讲解方法说白了，最小二乘法就是帮助我们找到一条直线，尽可能靠近一堆散落的点。
就像你在超市买水果，想挑选最成熟的苹果，但总是有些苹果看起来有点皱，那就得靠近一些，更挑剔一些，才能挑到最好。
数据点就是这些苹果，而那条直线就是你挑出来的“最佳选择”。
可别小看这条线，它能告诉你很多东西，比如说未来的趋势，或者某种关系的强弱。
怎么找到这条神奇的直线呢？很简单，咱们先给这些点打个分。
也就是说，咱们看每个点和这条线之间的距离，越近越好，离得远的就像你和你的初恋一样，遥不可及。
最小二乘法就是用这种方式，把每个点和直线之间的距离的平方相加，求一个最小值。
这听起来有点复杂，但实际上就是把这些“错误”加起来，尽量让它们的小脾气消失。
这样做的好处是什么呢？想象一下，你在做一个拼图，每一块都得合在一起才能形成一幅美丽的画。
最小二乘法帮助我们找到这些拼图块的完美位置，最终拼出一幅完整的图景。
就好比，你要用数据预测明天的天气，找到趋势，掌握风向，才能不被突如其来的雨淋个透心凉。
用这个方法还可以解决很多实际问题。
比如，想知道学习时间和考试成绩的关系，或者你每天的跑步距离和体重变化之间的联系。
就像你去健身房，想知道做多少次深蹲才能瘦下来，这些数据能够帮助你找到最佳的训练方案。
最小二乘法让这些关系变得清晰可见，不再是一团迷雾。
最小二乘法也不是完美的，它有时会受到一些异常值的影响。
这就好比你在群聊里发了一条消息，结果被某个不合群的小伙伴抢了风头，搞得大家都没法集中注意力。
不过，咱们可以通过一些技术手段，比如加权最小二乘法，来处理这些问题，保证我们的分析结果更靠谱。
最小二乘法就像是我们生活中的导航仪，帮我们在数据的海洋中找到方向。
它简单易懂，却能解决很多复杂的问题。
在这个快速变化的时代，掌握这样的方法，绝对能让你在职场和生活中如鱼得水，顺风顺水。
所以，下次你听到“最小二乘法”这几个字，不妨轻松一下，想象一下它就是你生活中的小助手，帮助你理清思路，找到最优解。
几种最小二乘法递推算法的小结
一、 递推最小二乘法递推最小二乘法的一般步骤：1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵ϕ：] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=ϕ没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ϕ。
2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。
一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。
3. 按照下式计算增益矩阵G ：)()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ϕϕϕ-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ：)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k y k G k k T θϕθθ5. 按照下式计算新的协方差阵P ：)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ϕ6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准那么。
如满足，那么不再递推；如不满足，那么从第三步开场进展下一次地推，直至满足要求为止。
停机准那么：εϑϑϑ<--)(ˆ)1(ˆ)(ˆmax k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准那么。
7. 别离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中别离出来。
8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪声， 辨识结果为，，，b ，与真实值2，5，，b5相差无几。
程序5-7-2-1在计算模拟观测值时参加了白噪声序列，由于噪声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。
辨识结果为a1 =， a2 =，756，b378。
程序5-7-2-2在计算模拟观测值时参加了有色噪声，有色噪声为E(k)+1.642E(k-1)+0.715E(k-2)，E(k)是白噪声序列，由于有色噪声的影响，此时的辨识结果变动范围远比白噪声时大，任取一组结果作为辨识结果。
最小二乘法
最小二乘法最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
用函数表示为：使误差「所谓误差，当然是观察值与实际真实值的差量」平方和达到最小以寻求估计值的方法，就叫做最小二乘法，用最小二乘法得到的估计，叫做最小二乘估计。
当然，取平方和作为目标函数只是众多可取的方法之一。
最小二乘法的一般形式可表示为：我们求解出导致累积误差最小的参数即可。
最小二乘法的优良性做了几点说明：▪最小二乘使得误差平方和最小，并在各个方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止某一个极端误差取得支配地位▪计算中只要求偏导后求解线性方程组，计算过程明确便捷▪最小二乘可以导出算术平均值作为估计值对于最后一点，从统计学的角度来看是很重要的一个性质。
推理如下：假设真值为θ,,而x1,...,x n为n次测量值, 每次测量的误差为e i=x i−θ，按最小二乘法，误差累积为求解θ使得L(θ) 达到最小，正好是算术平均说明，算术平均是最小二乘的一个特例，所以从另一个角度说明了最小二乘方法的优良性，使我们对最小二乘法更加有信心。
线性函数模型 from 维基百科典型的一类函数模型是线性函数模型。
最简单的线性式是，写成行列式，为直接给出该式的参数解：和其中，为t值的算术平均值。
也可解得如下形式：[编辑]简单线性模型 y = x0 + x1t 的例子随机选定10艘战舰，并分析它们的长度与宽度，寻找它们长度与宽度之间的关系。
由下面的描点图可以直观地看出，一艘战舰的长度（t）与宽度（y）基本呈线性关系。
散点图如下：以下图表列出了各战舰的数据，随后步骤是采用最小二乘法确定两变量间的线性关系。
编号长度 (m) 宽度 (m) t i - t y i - yi t i y i t i* t*y* t*t* y*y*1 208 21.6 40.2 3.19 128.238 1616.04 10.17612 152 15.5 -15.8 -2.91 45.978 249.64 8.46813 113 10.4 -54.8 -8.01 438.948 3003.04 64.16014 227 31.0 59.2 12.59 745.328 3504.64 158.50815 137 13.0 -30.8 -5.41 166.628 948.64 29.26816 238 32.4 70.2 13.99 982.098 4928.04 195.72017 178 19.0 10.2 0.59 6.018 104.04 0.34818 104 10.4 -63.8 -8.01 511.038 4070.44 64.16019 191 19.0 23.2 0.59 13.688 538.24 0.348110 130 11.8 -37.8 -6.61 249.858 1428.84 43.6921总和（Σ）1678 184.1 0.0 0.00 3287.820 20391.60 574.8490仿照上面给出的例子并得到相应的.然后确定x1可以看出，战舰的长度每变化1m，相对应的宽度便要变化16cm。
最小二乘法实验报告
MA ATLAB 实现最小 实 小二乘多项式拟合 合实验报 报告某田水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间是否 否有一个确定 定性的关系？ 在 7 块并排，形状大小相 相同的试验田 田上进行施肥 肥量对水稻产 产量影响的实 实验。
得到如 如下的一组数 数据。
施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 2 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 5目标：用最小 小二乘方法求 求得水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间的确 确定性关系。
首先描点作图460440420400380360340320 15202530354045点分布呈现“S”型，考 考虑用多项式 式函数拟合 写出最小二乘 乘拟合的函数 数形式： function [A]= =leastsquaren nihe(X,Y,n,w) mx=size(X,2 2); my=size(Y,2) ); if mx~=my error('D Data not enoug gh.X and Y dismatch.'); d end m=mx; if nargin==3 w=ones(1,m); end Q=zeros(n+1 1,1); P=zeros(n+1,n+1); f=@(x,p,y,q,w,t)(x(t)^p)*(y(t)^q)*w(t) ); for i=1:n+1 for j=1:n n+1 sum m=0; for r t=1:m sum=sum+ +f(X,i-1,X,j-1 1,w,t); end d P(i i,j)=sum; end sum=0; for t=1:m m sum m=sum+f(X,i i-1,Y,1,w,t); end Q(i,1)=s sum; end A=P\Q; xx=min(X):0 0.01:max(X); yy=zeros(1,s size(xx,2)); for i=1:size(x xx,2) for j=1:n n+1 yy( (i)=yy(i)+A(j j)*xx(i)^(j-1) ); end end plot(X,Y,'r.'); ; hold on; plot(xx,yy); title('最小二乘法多项式拟 拟合'); xlabel('x'),yla abel('y'); X=[15 20 25 30 35 40 45] ] Y=[330 345 365 405 445 450 455] 运行结果如下 下： 4 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+002 * 6.084523 3809758176 -0.423712121248494 0.020787 7878789875 -0.000351515151561 0.000001 1818181819 即对应的函数 数关系式为： ：y=608.4523 38-42.37121x+2.07879x2-0.03515 x3+0 0.00018x4最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x3540455 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+003 * -1.756547676480133 0.416562 2132318929 -0.032046212944121 0.001184 4015180810 -0.000020818182321 0.000000 0140000003 即函数关系式 式为 y=-1756.54768+416.5621 13x-32.04621x2+1.18402x3+0.02082x4+0.00014 + x5 最小二乘法多项式拟合460440420400 y 380 360 340 320 15202530 x354045。
最小二乘法小结
最⼩⼆乘法⼩结 最⼩⼆乘法是⽤来做函数拟合或者求函数极值的⽅法。
在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最⼩⼆乘法的⾝影，这⾥就对我对最⼩⼆乘法的认知做⼀个⼩结。
1.最⼩⼆乘法的原理与要解决的问题 最⼩⼆乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的⼀般形式很简单，当然发现的过程是⾮常艰难的。
形式如下式：⽬标函数=∑（观测值−理论值）2 观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
⽬标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的⽬标是得到使⽬标函数最⼩化时候的拟合函数的模型。
举⼀个最简单的线性回归的简单例⼦，⽐如我们有m 个只有⼀个特征的样本： (x (1),y (1)),(x (2),y (2),...(x (m ),y (m )) 样本采⽤下⾯的拟合函数： h θ(x )=θ0+θ1x 这样我们的样本有⼀个特征x ，对应的拟合函数有两个参数θ0和θ1需要求出。
我们的⽬标函数为： J (θ0,θ1)=m ∑i =1(y (i )−h θ(x (i ))2=m∑i =1(y (i )−θ0−θ1x (i ))2 ⽤最⼩⼆乘法做什么呢，使J (θ0,θ1)最⼩，求出使J (θ0,θ1)最⼩时的θ0和θ1，这样拟合函数就得出了。
那么，最⼩⼆乘法怎么才能使J (θ0,θ1)最⼩呢？2.最⼩⼆乘法的代数法解法 上⾯提到要使J (θ0,θ1)最⼩，⽅法就是对θ0和θ1分别来求偏导数，令偏导数为0，得到⼀个关于θ0和θ1的⼆元⽅程组。
求解这个⼆元⽅程组，就可以得到θ0和θ1的值。
下⾯我们具体看看过程。
J (θ0,θ1)对θ0求导，得到如下⽅程： m∑i =1(y (i )−θ0−θ1x (i ))=0 ① J (θ0,θ1)对θ1求导，得到如下⽅程： m∑i =1(y (i )−θ0−θ1x (i ))x (i )=0 ② ①和②组成⼀个⼆元⼀次⽅程组，容易求出θ0和θ1的值： θ0=m ∑i =1(x (i ))2m ∑i =1y (i )−m ∑i =1x (i )m ∑i =1x (i )y (i )m m ∑i =1(x (i ))2−(m∑i =1x (i ))2 θ1=m m ∑i =1x (i )y (i )−m ∑i =1x (i )m ∑i =1y (i )m m ∑i =1(x (i ))2−(m∑i =1x (i ))2 这个⽅法很容易推⼴到多个样本特征的线性拟合。
一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)
一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）要解决的问题在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。
比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+bf(x)=kx+b这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。
类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。
但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。
比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。
于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。
那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。
为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。
后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。
证明这个理论并不难。
我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。
相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。
最小二乘估计的几个结论及证明
最小二乘估计的几个结论及证明田丽娜;李晓艳【摘要】就线性回归模型中参数估计最常用的估计方法——最小二乘估计法得出几个结论并给出相应的证明.【期刊名称】《甘肃高师学报》【年(卷),期】2016(021)003【总页数】2页(P1-2)【关键词】正规方程;最小二乘估计;无偏估计【作者】田丽娜;李晓艳【作者单位】兰州城市学院数学学院,甘肃兰州730070;兰州城市学院数学学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O211.1设有一线性模型Y=Xn×pβp×1+ε，ε～（0，σ2In）（即Eε=0 Dε=σ2In），通常记为（Y，Xβ，σ2In）.要获得回归系数β＝（β1，β2，…，βn）′的估计的一种方法是所谓的最小二乘法，它是将误差平方和关于β极小化的方法.定义在（Y，Xβ，σ2In）中，如果则称为β的最小二乘估计（LSE）注意到为求其极小值点=1，…，p）可采用数学分析的方法，将（Y-Xβ）′（Y-Xβ）对βj （j=1，…，p）分别求偏导数，并令其为零得整理后得将上面的p个方程合写成一个矩阵方程，即称此方程为关于β的正规方程.由此可得结论2：β的LSE必满足正规方程，即β的LSE必为正规方程的解.由线性方程组的理论知，正规方程有解的充要条件为我们将证明上式是成立的，从而得出结论1：正规方程必有解.事实上，显然有又所以再设是正规方程的任一解（从而X′=X′Y），则∀β∈Rp有其中且所以即这样就得到我们的结论3：正规方程的任一解β^必为β的LSE.综上所述我们就证明了下面定理1 1）正规方程必有解；2）β的LSE必为正规方程的解；3）正规方程的任一解β^必为β的LSE.推论若r（Xn×p）=p，即若X满秩，则β的LSE由公式=（X′X）-1X′Y唯一确定.定理2 1）若E（Y）=Xβ，则=（X′X）-1X′Y是β的无偏估计；2）若E（Y）＝Xβ，D（Y）＝σ2In，且X满秩，则＝（X′X）－1X′Y的方差为σ2（X′X）－1.证明1）E（）＝（X′X）－1X′E（Y）＝（X′X）－1X′Xβ＝β.所以是β的无偏估计.2）由1）故【相关文献】［1］陈希孺.数理统计引论［M］.北京：北京科学出版社，1984.［2］王松桂.线性模型的理论及其应用［M］.合肥：安徽教育出版社，1987.［3］魏宗舒.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，1988.。
最小二乘法
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1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合 。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数 。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。最小方差性又称有效 性。这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（ Gauss-Markov）定理。这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其 它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的 。
基本思路
最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方法。其基本思路是：令
其中，是事先选定的一组线性无关的函数，是待定系数，拟合准则是使与的距离的平方和最小，称为最小二 乘准则 。
基本原理
设(x,y)是一对观测量，且满足以下的理论函数 ： 其中为待定参数 。 为了寻找函数的参数的最优估计值，对于给定组（通常 ）观测数据，求解目标函数 取最小值的参数。求解的这类问题称为最小二乘问题，求解该问题的方法的几何语言称为最小二乘拟合 。 对于无约束最优化问题，最小二乘法的一般形式为 ： 其中称为残差函数。当是的线性函数时，称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题 。
最小二乘优化问题
在无约束最优化问题中，有些重要的特殊情形，比如目标函数由若干个函数的平方和构成，这类函数一般可 以写成 ：
其中，通常要求m≥n，我们把极小化这类函数的问题 ： 称为最小二乘优化问题。最小二乘优化是一类比较特殊的优化问题 。
最小二乘估计量的特性
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。但是估计量参数与总体真实 参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳） （Best）性、线性（Linear）及无偏（ Unbiased）性，简称为BLU特性。这就是广泛应用普通最小二乘法估计 经济计量模型的主要原因。下面证明普通最小二乘估计量具有上述三特性 。
最小二乘法和线性回归及很好的总结
▪ 需要注意的是：如果残差不服从正态分布，即 假设(5)不成立，但只要CLRM的其他假设条件 还成立，且样本容量足够大，则通常认为系数 估计量还是服从正态分布的。
▪ 其标准正态分布为：
ˆ－ ～N0,1 var
（2.32）
ˆ ~ N0,1 var
（2.33）
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▪ 但是，总体回归方程中的系数的真实标准差是
▪ 在回归模型中它是不确定的，服从随机分布 （相应的，yt也是不确定的，服从随机分布）。
11
▪ 为什么将ｕt 包含在模型中？ ▪ （1）有些变量是观测不到的或者是无法度量
的，又或者影响因变量yt的因素太多； ▪ （2）在yt的度量过程中会发生偏误，这些偏
误在模型中是表示不出来的； ▪ （3）外界随机因素对yt的影响也很难模型化，
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▪ 但是，R2作为拟合优度的一个衡量标准也存在 一些问题： （1）如果模型被重新组合，被解释变量发生了 变化，那么R2也将随之改变，因此具有不同被 解释变量的模型之间是无法来比较R2的大小的。
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（2）增加了一个解释变量以后， R2只会增大 而不会减小，除非增加的那个解释变量之前的 系数为零，但在通常情况下该系数是不为零的， 因此只要增加解释变量， R2就会不断的增大， 这样我们就无法判断出这些解释变量是否应该 包含在模型中。
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▪ 对于变量间的相关关系，我们可以根据大量的 统计资料，找出它们在数量变化方面的规律 （即“平均”的规律），这种统计规律所揭示 的关系就是回归关系（regressive relationship）,所表示的数学方程就是回归方程 （regression equation）或回归模型 （regression model）。
比如：恐怖事件、自然灾害、设备故障等。
最小二乘法和线性回归及很好的总结共95页
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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最小二乘法和线性回归及很好的总结
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
▪
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最小二乘法原理1. 介绍部分最小二乘法是获得物理参数唯一值的标准方法，具体是通过这些参数或者在已知数学模型中与这些参数相关的参数的多余观测值来求得。
最小二乘法最早是由高斯提出，用来估计行星运行轨道的。
1.1 数理统计和最小二乘法物理量总是不能被精确测定。
总是存在一个限定的测量精度，超过这个精度，相关的数学模型和测量仪器的分辨率这两者之一或者全部将会无能为力。
超出这个精度，多余观测值之间会产生差异。
我们常常希望获得超过该限定精度的测量值，在不知道真值的情况下我们只能估计真值。
一方面我们想要估计出唯一的值，另一方面，我们想要知道这个估计有多好。
最小二乘法就是这样一个估计，它基于最小化差值的平方和。
最小二乘法相比其他传统的方法有三个优点。
其一，它既可以应用在线性数学模型上也可以应用在非线性数学模型上；其二，它和统计量算术平均值有关；其三，最小二乘法在很多领域是通用的。
物理量的值的唯一统计估计称为点估计。
无论频率函数是否知道，我们都可以作物理量的点估计并且可以衡量它与真值趋近程度。
另外两种估计，区间估计以及假设检验，它们只能在相应的频率函数已经确定的情况下进行。
1.2 线性代数和最小二乘法（nontrivial=nonzero，非平凡解就是指非零解）现有线性方程组A X= L （1-1）X是未知数向量，L是常数向量，A是系数矩阵，[A:L]是增广矩阵。
该方程组有唯一非零解仅当L ≠ 0 （非齐次方程组），（1-2a）r (A) = X的维数，（1-2b）r ([A:L]) = r (A)。
（1-2c ）当没有多余等式时，准则（1-2b ）意味着A 是方阵且非奇异，它的逆矩阵是存在的，这样方程组的解就表达成X = A 1- L （1-3）当存在多余等式时，A 将不是方阵，但是A T A 是方阵且非奇异，这样方程组的解就表达成X = (A T A) 1- A TL 。
（1-4） L 的元素对应于物理量观测值，基于上述数学讨论，如果没有多余观测量（即没有多余的等式），则未知量将只有唯一的非零解。
如果存在多余观测量，它们之间将互相不一致，因为观测存在误差。
这样（1-2c ）准则就无法满足，也就不存在唯一解。
我们只能对结果做一个唯一的估计。
从而引入了最小二乘准则。
因为观测误差的存在，使得方程组（1-1）左右矛盾，为此引入一个向量来抵消这个矛盾，从而使方程组成立。
于是有A X - L = V （1-5）V 称为残差向量。
引入^X 作为X 的最优估值，这样最小二乘准则表达为 =--=)()(^^^^L X A L X A V V T T min （1-6）估值^X 称为最小二乘估值。
由式（1-4）可得 L A A A X T T 1^)(-=， （1-7）观测误差或残差的最优估值由下式得出 L X A V -=^^ 。
（1-8）这些估值称为简单最小二乘估值，或者称为等权最小二乘估值。
组成L 的物理量观测值不总是等精度的（比如采用了不同的观测仪器或者不同的观测条件），因此我们给每个观测量分配一个已知的权重，由这些元素构成的矩阵称为权阵P 。
这样，先前的最小二乘准则调整为 =^^V P V T min 。
（1-9）未知量估值调整为 PL A PA A X T T 1^)(-= (1-10)如果P作为观测值的估量协方差阵的逆阵，那么最小二乘估计就是最小方差估计；如果观测误差是正态分布，那么最小二乘方差估计就是最大似然估计。
考虑更一般的情形，此时观测量未知参数的非线性方程相关-)F=((1-11)VLX或者，观测量与未知参数的方程非线性相关LX+VF(1-12)),(=1.3 数字计算机和最小二乘法从实际出发，矩阵求逆以及矩阵乘法都要求海量的计算步骤。
在大型快速计算机发明以前，除非绝对必要，一般是不会去做这样的尝试。
然而测量网坐标的最小二乘估计就是这样的必要情况。
以前的大地测量学家在简化步骤创新方法上做出很多努力，计算机发明之后这项工作显得没原来那么重要了。
然而计算机也不能同时计算多达数千个方程，因此，如今大地测量学家把精力放在改进算法上，以便将一个大问题拆分成许多小问题，再逐一解决。
1.4 高斯和最小二乘法以下是对高斯一段引文的翻译“如果用于轨道计算的天文观测值和其他量是完全正确的，则轨道要素也是严格准确的，而无论是从三个或者四个观测值上推导出来（到目前为止轨道运动确实按照开普勒定律在进行），因此，如果使用其他观测值，则轨道要素可能被确定但不准确。
但是，因为我们的所有测量值和观测值都只是真值的近似，那么依赖于它们的所有计算也一定是正确的，关于具体现象的所有计算的最高目标一定是近似与真值的，只要接近到可实用的程度。
但这只能通过将多于确定未知量所必要的观测量进行适当组合来完成。
这个问题只有当轨道的大概知识已经获得的情况下才能处理，这个大概的知识之后将得到改正以便以尽可能最精确的方式满足所有的观测值。
”从这段写于150年前的话可以总结出以下观点a、数学模型可能不完整，b、物理测量值存在矛盾，c、从矛盾的物理测量值出发进行计算就是为了估计出真值，d、多余测量值将会减小测量值矛盾的影响，e、在最终估值前需要使用大概的初值，f、通过一种方法最小化测量值之间的矛盾值，从而改正初值（高斯所指的最小二乘法）。
2. 统计学定义和概念2.1 统计学术语统计学，统计量，变量，连续变量，离散变量，常量。
一般的测量结果都是连续变量，计算结果是离散变量。
随机变量，包含一个值域（跟普通变量相同）和一个概率函数。
总体（population），个体（individual），样本，随机样本（通常样本指的都是随机样本）。
样本空间，样本点和事件在使用中分别代替总体，个体和随机样本。
分组（class），分组界限，组距，组频率，相对频率。
*没有哪一个关于概率的定义是被所有统计学家所接受的。
经典的定义是，等可能取自总体Pr(A等于所有落入A的个体占总体的分数。
这是一个间接定的一个个体落入组A的概率)义，因为等可能实际上就是等概率，因此是用概率自己定义了自己。
有两种办法来解决这个Pr(A为从总体中选择一个个体，在n 问题，但都不是完全令人满意的。
第一种，定义概率)次（当n趋于无穷）选择中，个体落入组A的相对频率。
第二种，接受“概率”是一个不可定义的概念，仍然称适用于概率的规定为公理。
2.2 频率函数（概率密度函数）累积频率函数（分布函数，累积分布函数，累积概率函数），频率分布（p26）。
频率分布的两个重要特点：集中趋向，离中趋势（离散度）。
频率分布两个次重要特点：偏斜度，峰度。
集中趋向的度量方法包括：算术平均值，中位数，众数（mode），几何平均数以及调和平均数。
离散度的度量方法包括：标准差，平均偏差以及极差（range）。
期望值及其相关性质。
n 阶原点矩，以及n 阶平均值矩（我们习惯称为n 阶中心矩）的期望，其中二阶中心矩称为方差。
随机变量X 矩量母函数（moment generating function ）定义dx x e e E t M tx tx )(][)(ϕ⎰∞∞-== ， （2-10a ） 一个分布的任何矩都可以直接从矩量母函数中推导出来，例如，一阶原点矩μ)0()(]['0M dt t dM x E t ====μ ， （2-10b ） 又如，方差（二阶中心矩）2σ 2'''222)]0([)0(][M M x E -=-=μσ ， （2-10c ）2.3 多元随机变量频率函数（联合密度函数）引入随机变量向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=n x x x X 21 多元随机变量频率函数定义)()(00210dX X X X P dx dx dx X r n +≤≤=⋅⋅⋅ϕ ， （2-11）其中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=002010n x x x X ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=n dx dx dx dX 21 各个不等式同时成立。
多元变量累积频率函数（联合累积分布函数）定义n x x dx dx dx X X n⋅⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞-∞-210010)()(ϕφ 。
（2-12） )(0X X P r ≤=引入随机变量的统计独立。
多元随机变量函数的期望，以及多元随机变量分布的均值都与一元情况类似。
引入协方差阵∑X （也称方差-协方差阵），包括方差2i σ及协方差ij σ的定义和计算方法。
引入相关系数ji ij ij σσσρ= ，若i x 与j x 统计独立，则它们的相关系数ij ρ为0，因此协方差和相关系数是用来衡量两个随机变量是统计独立还是相关的。
2.4 协方差律假定随机变量Y 与随机变量X 线性相关，即CX Y =则有X Y CU U = ，∑∑=Y XT C C 。
上式即称为协方差律，或者协方差传播律。
如果Y 与X 非线性相关，即)(X F Y =将其运用泰勒级数展开，使原函数线性化，依然可以得到上述结论，只是此时的系数C 应该变成0X X F C ∂∂=。
2.5 点估计引入统计量（期望，方差）。
引入总体统计量（用希腊字母表示），样本统计量（用拉丁字母表示）。
统计估计是统计学方法的一个分支，通过从总体中所取样本的认识来推及总体的性质。
引入估计量（即点估计量），用样本统计量（即估计量）的值去推导总体统计量的值。
最常用的估计量是样本均值∑=i i x n x 1 和样本方差22)(11∑--=ii x x n s 。
样本统计量本身也是随机变量，存在一个对应的分布（称样本分布），因此从同一个总体中取出的不同样本的统计量的值通常是不等的。
样本均值的期望等于总体均值μ，样本均值的方差等于n2σ。
样本方差的期望等于2σ，即等于总体的方差。
引入无偏估计量，表示该估计量的样本分布的均值等于它所估计的总体统计量，因此样本均值和样本方差都是无偏估计量。
引入最小方差估计量和最大似然估计量。
2.6 区间估计和假设检验区间估计，若αε=≤≤)(21e e P r称区间[]21,e e 为ε的%100α置信区间，表示有%100α的时候可以认为ε落在[]21,e e 内是正确的。
假设检验，即先对总体做出某种假设，然后通过样本值来检验，以决定接受或者拒绝该假设。
引入显著性水平α，即犯第一类错误（假设正确但是被拒绝）的概率。
引入检验功效)-1(β，其中β是指犯第二类错误（假设错误但是被接受）的概率。
//小结三种统计估计，点估计不需要假定总体分布，区间估计和假设检验则需要假定或者确定总体分布。
3. 统计分布函数引入一元随机变量，多元随机变量。
特殊的分布：正态分布（normal ），卡方分布（chi-square ），t 分布，F 分布。
3.1 正态分布3.1.1 正态分布函数累积分布函数，概率分布函数（略）。