一元线性回归分析预测模型
第三章 一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型一、预备知识（一）相关概念对于一个双变量总体,若由基础理论，变量和变量之间存在因果),(i i x y x y 关系，或的变异可用来解释的变异。
为检验两变量间因果关系是否存在、x y 度量自变量对因变量影响的强弱与显著性以及利用解释变量去预测因变量x y x ，引入一元回归分析这一工具。
y 将给定条件下的均值i x i yi i i x x y E 10)|(ββ+=（3.1）定义为总体回归函数（PopulationRegressionFunction,PRF ）。
定义为误差项（errorterm ）,记为，即，这样)|(i i i x y E y -i μ)|(i i i i x y E y -=μ，或i i i i x y E y μ+=)|(i i i x y μββ++=10（3.2）（3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，称为解释变量x （explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；称为被解释y 变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项解释μ了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
误差项的构成包括以下四个部分：（1）未纳入模型变量的影响（2）数据的测量误差（3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系（4）纯随机和不可预料的事件。
在总体回归模型（3.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计10,ββi μ量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。
给定一组随机样本，对（3.1）式进行估计，若的估计量分别记n i y x i i ,,2,1),,( =10,),|(ββi i x y E 为，则定义3.3式为样本回归函数^1^0^,,ββi y （）i i x y ^1^0^ββ+=n i ,,2,1 =（3.3）注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，^1^0,ββ它们的随机性是由于的随机性（同一个可能对应不同的）与的变异共i y i x i y x 同引起的。
01-一元线性回归模型的预测
3
第五节 一元线性回归模型的预测
在样本数据反映的经济变量之间的关系基本上没有变化的情况下， 可利用经过参数估计和检验的模型，由已知或事先测定的解释变量的 数 值，预测被解释变量的数值。
利用例2-3建立的消费函数模型，求家庭可支配收入为60000元时家庭平 均消费支出的预测值。
析： 将家庭可支配收入
代入样本回归函数
可得家庭平均消费支出的预测值为
90
二、总体均值 E（Y/ X0）的预测置信区间
Yˆ0
也可以表示为
Y（i i
1，2，，n）的线性组合，Yˆ 服从正态分布。 0
由于 可以证明
0
0
其中
SE（e）= 0
ˆ2[1
1 n
(X0 X )2
n
xi2
]
i 1
对于给定的显著性水平
P(
t
2
YS0 E（Yeˆ）0 0
t
2
) 1
由此可得，个别值 Y0 的置信度为1的预测置信区间为
[ Yˆ0t SE（e0），Yˆ0 t SE（e0）]
（2-51）
2
2
95
例2-9
以例2-3为例（假设一个由100个家庭构成的总体，并假设这100个家庭的月 可 支配收入水平只限于13000元、18000元、23000元、28000元、33000元、 38000 元、43000元、48000元、53000元、58000元10种情况，每个家庭的月可 支配收 入与消费数据如表2-1所示，要研究这一总体的家庭月消费支出Y与家 庭月可支 配收入X之间的关系，以便根据已知的家庭月可支配收入水平测算 该总体的家 庭月消费支出平均水平。）
基于一元线性回归模型预测工程项目的造价
（3）进行线性回归分析：利用最小二乘法对自变量和因变量进行线性回归分 析，得到回归模型的参数a和b。
（4）验证模型：利用历史数据对模型进行训练和预测，并计算预测误差，以 验证模型的准确性和可靠性。
2、提取影响工程项目造价的关 键因素
工程项目造价受到多种因素的影响，包括工程量、材料价格、人工成本、市场 环境等。在一元线性回归模型中，我们需要根据历史数据和实际情况，提取对 工程项目造价影响最为显著的关键因素作为自变量。
（3）地区差异性：不同地区的工程项目造价可能存在较大差异，因此模型的 适用范围可能受到限制。未来可以考虑建立地区特定的模型，以提高模型的适 用性。
结论
本次演示基于一元线性回归模型预测工程项目的造价，通过提取影响工程项目 造价的关键因素，建立回归模型并利用历史数据进行训练和预测。结果表明， 一元线性回归模型在工程项目造价预测中具有较好的准确性，但同时也存在一 定的局限性。未来可以进一步完善模型结构，考虑更多影响因素，提高模型的 预测精度和适用范围。
接下来，利用得到的模型参数，我们对测试集进行预测。对于每个测试项目， 我们根据其工程量、材料价格和人工成本等数据，代入回归模型计算出预测的 工程造价。将预测值与实际值进行比较，可得到模型的预测误差。
4、分析预测结果及模型局限性
通过计算，我们得到了模型的预测误差为10%，表明一元线性回归模型在工程 项目造价预测中具有较好的准确性。但同时我们也发现模型的预测结果存在一 定的偏差，这可能与以下因素有关：
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结论与展望
一元线性回归模型在经济预测中具有广泛的应用价值，其能够通过对历史数据 的分析，揭示变量之间的线性关系，并以此为依据对未来趋势进行预测。然而， 需要注意的是，这种模型的应用也存在一定的局限性。例如，它无法处理非线 性关系和复杂因素的影响，对于一些不确定性和变化性较大的经济现象可能无 法得出准确的预测结果。
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
第三节 利用一元线性回归方程进行预测和控制
若记 ( x )
1 (x x) t ( n 2) S 1 n Lxx 2
2
ˆ ( x ) , y2 ( x ) y ˆ (x) y1 ( x ) y
y
ˆ (x) y1 ( x ) y
ˆx ˆa ˆb y
ˆ0 y
y
ˆ (x) y2 ( x ) y
取随机变量
T
ˆ0 y0 y 1 ( x0 x ) 2 S 1 n Lxx
S剩 ˆx ˆ0 a ˆb 其中，S , y 0 n 2 可以证明：当i ~ N(0 , 2) （i=1,2 , … ，n ） 且相互独立时，随机变量T服从自由度为n-2的 t分布 对给定的置信度1-，作概率等式 P{| t | t ( n 1)} 1 ，
y
y2
y 2 ( x) y ( x) ( x)
M
y a b x y1 ( x) y( x) ( x)
y1
0
N
x1
x2
x
(b 0 )
, y2 处分别画两条水平线， 它们分别交曲线 从 y1
y1 ( x)、 y2 ( x) 于N、M ，再过这两点分别画垂线交x 轴
第九章
§9.3
一元线性回归
利用一元线性回归方程进行 预测和控制
一、预测 1、点预测 就是对x=x0时y的精确值y0=a+bx0+0作出点估 ˆx 计,即将x=x0代入回归方程，求得 y ˆ0 a ˆb 0 ˆ 0 作为y0的估计值，这就是点预 将y 测。 2、区间预测 就是区间估计，即在给定的置信度下求出精 确值y0的置信区间，称为y0的区间预测。
一元线性回归分析
(n
2)
S2 ˆ0
2 ˆ0
:
2(n 2)
S 2 ˆ1
S2
n
（Xt X )2
t 1
(n
2)
S2 ˆ1
2 ˆ1
:
2(n 2)
所以根据t分布的定义，有
ˆ0 0 ~ t(n 2), ˆ1 1 ~ t(n 2)
Sˆ0
Sˆ1
进而得出了0的置信水平为1-区间估计为
et Yt Yˆt称为残差，与总体的误差项ut对应，n为样 本的容量。
样本回归函数与总体回归函数区别
1、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数 据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。
2、总体回归函数中的β0和β1是未知的参数，表现为常数。而样
本回归函数中的 ˆ0和是ˆ1 随机变量，其具体数值随所抽取
S 44.0632
Sef S
1 1 n
( X f X )2
n
45.543
( Xt X )2
t 1
所求置信区间为：(188.6565 97.6806)
回归分析的SPSS实现
“Analyze->Regression->Linear”
0
n
2 t1 Xt (Yt ˆ0 ˆ1 Xt ) 0
nˆ0
n
ˆ1
t 1
Xt
n
Yt
t 1
n
n
n
ˆ0
t 1
Xt
ˆ1
t 1
X
2 t
一元线性回归分析预测法的基本数学模型为
一元线性回归分析预测法的根本数学模型为：bx a y+=ˆ 此式又称为一元线性回归方程 式中：x 为自变量；yˆ为因变量，线性回归分析估计值，或预测值； a ，b 为待定回归参数； a 为回归直线的截距； b 为回归直线的斜率。
一元线性回归分析模型的几何图形如图 所示。
图 直线回归分析模型的几何图形〔三〕一元线性回归分析预测法参数a ，b 确实定一元线性回归分析预测法用最小二乘法求回归方程的参数。
假设有n 期的历史观察资料：用最小二乘法求回归参数的根本原那么是，对于确定的方程，要使观察值y 与估计值y ˆ的偏差的平方和最小。
由此方法可求出：x0 xyˆ yˆb>0b<0b=22)(∑∑∑∑∑--x x n y x xy n ( 6-1)a=∑∑⋅-x nb y n 11 ( 6-2) 只需将历史资料自变量x 和对应的因变量y 的数据代入上面的两式，即可求得回归参数a ，b 。
〔四〕一元线性回归分析预测法模型的建立将利用历史资料数据和参数公式〔6-1〕和〔6-2〕求得的a ，b 值，代入一元回归方程式，既可得预测模型：bx a y+=ˆ 〔6-3〕 此时虽已求除预测模型，但不能将预测模型直接用于实际预测，还必须对模型进行检验。
〔五〕一元线性回归分析预测法预测模型的检验 对预测模型的检验主要包括以下几个方面：1、回归标准差检验。
一般情况下，从观察值y 与估计值y ˆ的比照来看，回归直线上的各点〔估计值〕同对应的观察期各点〔观察值〕之间，均存在着一定的离差，即观察值曲线上各点的y 值均偏离回归直线。
离差越大，拟合程度越差。
因而需要测定估计值的标准差，而回归标准差s 就是用来估计y 值在回归直线两侧的离差程度，以便在进行实际预测时为预测值建立一个置信区间范围。
回归标准差的计算公式为：S y =()kn y y tt --∑2ˆ 〔6-4〕式中：S y 为回归标准差；y 为因变量第t 期的观察值；yˆ为因变量第t 期的估计值； n 为观察期的个数；k 为自由度，为变量的个数〔包括因变量和自变量〕。
一元回归线性模型
一元回归线性模型
一元线性回归模型，又称为简单线性回归模型，是机器学习中常
用的回归模型，它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。
一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线，如y=ax+b，其中a是斜率，b是截距，也就是说，一元线性回归模型中的参数是斜率和截距，而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。
目标函数是求解参数 a 和 b，使得误差平方和最小，具体来说，
目标函数的表达式为：J（a,b）=Σi(yi-f(xi))^2,其中f（x）=ax+b，yi为观测值，xi为观测值对应的自变量。
对于一元线性回归模型，求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解，要么是用最小二乘法求解。
梯度下降法求解时，需构造损失函数，使用梯度下降法迭代更新参数，直到获得最优结果；而最小二乘法求解时，通过求解参数关于损失函数的导数，便可解出
模型参数，从而得到最优结果。
一元线性回归模型在实际应用中有很多优点，其中最重要的就是
它易于拟合和解释，它求解简单，可以很大程度上减少了计算复杂度，而且可以很好地预测因变量的值，也可以用来检验变量之间的关系。
一元线性回归模型
一元线性回归模型1．一元线性回归模型有一元线性回归模型（统计模型）如下，y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t) = β0 + β1 x t,（2）随机部分，u t。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。
回归模型存在两个特点。
（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。
（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。
通常线性回归函数E(y t) = β0 + β1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。
(1) u t 是一个随机变量，u t 的取值服从概率分布。
一元线性回归模型的置信区间与预测
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。
所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。
一、参数估计量的置信区间在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^β是随机变量i y 的函数，即：i i y k ∑=1ˆβ，所以它也是随机变量。
在多次重复抽样中，每次的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。
现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。
即回答1β以何种置信水平位于()a a +-11ˆ,ˆββ之中，以及如何求得a 。
在变量的显著性检验中已经知道)1(~^^---=k n t s t iii βββ (2.5.1)这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值2αt ，那么t 值处在()22,ααt t -的概率是α-1。
表示为ααα-=<<-1)(22t t t P即αββαβα-=<-<-1)(2^2^t s t P iiiαββββαβα-=⨯+<<⨯-1)(^^2^2^iis t s t P i i i于是得到：在（α-1）的置信水平下i β的置信区间是)(^^2^2^iis t s t i i βαβαββ⨯+⨯-，i=0,1 （2.5.3）在某例子中，如果给定01.0=α，查表得012.3)13()1(005.02==--t k n t α 从回归计算中得到01.0,15,21.0ˆ,3.102ˆ1ˆˆ10====ββββS S 根据（2.5.2）计算得到10,ββ的置信区间分别为()48.147,12.57和（0.1799,0.2401） 显然，参数1β的置信区间要小。
计量经济学——一元回归模型
§2.1 回归分析概述 (Regression Analysis)
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1、变量间的关系
• 确定性关系或函数关系：研究的是确定性现象 非随机变量间的关系。
圆面积 f ,半径 半径 2
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
• 含义：
回归函数（PRF）说明被解释变量Y 的平均状态 （总体条件期望）随解释变量X 变化的规律。
• 函数形式：
可以是线性或非线性的。
例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收 入的线性函数时:
2、回归分析的基本概念
• 回归分析(regression analysis)是研究一个变量 关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算 方法和理论。
• 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计 和（或）预测前者的（总体）均值。
• 两类变量；
–被解释变量（Explained Variable）或因变量 （Dependent Variable）。
• 下面的假设主要是针对采用普通最小二乘法 （Ordinary Least Squares, OLS）估计而提出的。 所以，在有些教科书中称为“The Assumption Underlying the Method of Least Squares”。
• 在不同的教科书上关于基本假设的陈述略有不同， 下面进行了重新归纳。
1012 1045 1078 1122 1155 1188 1210
11495
1700 1023 1100 1144 1155 1210 1243 1254 1298 1331 1364 1408 1430 1485
2.4-5 一元线性回归的预测及实例
区间估计思想： 区间估计思想：构造一个已知概率的统计量（如t分布的统 计量）该统计量包含Y0的真实均值和估计量，再将该统计 量取值的置信区间转化为Y0真实均值的置信区间
6
总体条件均值与个值预测值的区间估计 构造统计量
已知
Y0 = β 0 + β 1 X 0
2 ~ N (β , σ ) β1 1 ∑ xi2
E (Y0 ) = E ( β 0 + β 1 X 0 ) = E ( β 0 ) + X 0 E ( β 1 ) = β 0 + β 1 X 0
4
举例
所建立的家庭可支配收入利用 P34 例2.2.1 所建立的家庭可支配收入-消费支出 模型，求家庭可支配收入为6000 6000元时家庭消费支出均值 模型，求家庭可支配收入为6000元时家庭消费支出均值 和个值的预测值。 和个值的预测值
Y0 ( β 0 + β 1 X 0 ) t= ~ t (n 2) S Y
0
其中
S Y
0
1 (X 0 X )2 = σ ( + ) 2 n ∑ xi
2
Why?
8
置信区间的构造过程： 置信区间的构造过程：
易得：
P( t α < t < t α ) = 1 α
2 2
即
等价于
进而 于是，在1-α的置信度下，总体均值 总体均值E(Y|X0)的置信区间为 总体均值 的置信区间为
由P35 表2.2.1 可得： 可得：
10
解续： 解续： 进而，可求得： 进而，可求得：
E(Y|6000)预测值 预测值95%的置信区间为 预测值 的置信区间为
即
11
总体个值预测值的区间估计
一元线性回归模型
1. 提出假设 H0：r＝0 2.
线性关系不显著
计算检验统计量F
3. 确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n2找出临界值F 4. 作出决策：若F>F ,拒绝H0；若F<F ,不拒绝H0
课堂作业
1、若X表示在一家分店工作的售货人数，Y表示这家分店的年销售额 （千元），已经求出Y对X的回归方程的估计结果如下表
最小二乘法的思路
纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟
合不好，差异小拟合好，所以称为残差、拟合
误差或剩余。
将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，
“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。 拟合直线在总体上最接近实际观测点。 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直 线问题转换为求误差平方和最小的问题。
显著性检验
1、经济意义检验 2、统计意义检验
经济意义检验
1、检验参数估计量的符号 2、检验参数估计量的大小 3、参数之间的关系
显著性检验
1、相关系数检验 2、回归系数检验 3、线性关系检验
回归系数的检验
1. 检验 x 与 y 之间是否具有线性关系， 或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的 影响是否显著
x
最小二乘法
(
ˆ 0
和
ˆ 1
的计算公式)
ˆ ˆ 根据最小二乘法的要求，可得求解 0 和 1 的 公式如下 n Q ˆ ˆ 2(1) yi 0 1 xi 0 ˆ 0 i 1
n Q ˆ ˆ 2 yi 0 1 xi ( xi ) 0 ˆ 1 i 1
Байду номын сангаасyf
和
。
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运用一元回归分析模型预测
一元线性回归分析预测模型
回归参数的估计值为： y aˆ bˆx
n
n
n
b
n
i 1
xi yi
n
xi yi
aˆ i1 n
yi1
bˆx
n xi2 ( xi xi
aˆ
aˆ bˆ
i 1
n
bˆ i1 n
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一元线性回归分析预测模型
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目录
CONTENTS
01
一元线性回归分析预测模型
一元线性回归分析预测模型
上次课回顾 学习目标及任务 理论知识
项目任务
一元线性回归分析预测模型
学习目标
●了解一次回归分析预测模型 ●掌握一次回归分析预测模型
项目任务
点预测模型/区间预测模型：预测对象只受一个对象影响且 与之线性相关。
商务数据分析与应用专业教学资源库
谢谢观看
y bˆx
其中： x
1 n
n i1
xi
，
y
1 n
n i1
yi
n
n
n
n xi yi xi yi
bˆ
i 1 n
i1 i1 n
n xi2 ( xi )2
i 1
i 1
一元线性回归分析预测模型
一元线性回归分析预测模型 小结
回归分析 预测模型