2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答2

2016年清华大学领军计划数学测试题

1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：1

2

y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分

别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN =（ ）

.A .B .C 2 .D

2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程

1111

2

x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12

3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法.

接下来填数，故共有887844⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种填法.

4．对于复数(0)z z ≠，

10z 和40z

的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______.

5．下列计算正确的是（ ）

.

A tan1tan 61tan121

3tan1tan 61tan121++=

.

B tan1tan 61tan121

3tan1tan 61tan121

++=-

.C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=-

6．从1~14的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.

7．已知3tan 4α=，求值sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos ααααααααααα

+++.

8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数,,a b c 可以有()ab c ，()ba c ，()c ab ，()c ba 四种不同的乘法，记n 个数的乘法为n I ，则（ ）

.A 22I = .B 312I = .C 496I = .D 5120I =

9．,,a b c R ∈，2221

1a b c a b c ⎧++=⎨++=⎩

，那么（ ）

.A max 23a =

.B max ()0abc = .C min 13a =- .D max 4()27

abc =-

10．AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，OC AB ⊥，PA OC M =，PB 交OC 延长线于N ，则

以下结论正确的是（ ）

.A OMBP 共圆 .B AMBN 共圆 .C AOPN 共圆 .D AOBN 共圆

11．F 为BC 中点，111

4

A E AA =，正方体1111ABCD A

B

C

D -棱长为1，中心为O ，则O BEF V -=（ ）

.

A 17144 .

B 1738 .

C 11144 .

D 1138

12．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 .A 6552 .B 4536 .C 3528 .D 2016

O P

A

M

B

N

13．求不定方程26152y

x +=*

(,)x y N ∈解的个数（ ）

.A 0 .B 1 .C 2 .D 3

14．O 在ABC ∆内，::4:3:2S AOB S BOC S AOC ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+，则λ=____，μ=_____.

15．22cos sin 33

z i ππ=+，求23

2

2z z z z +=++_______.

16．在N 项有穷数列{}n a 中，满足①1i j N ≤<≤时，i j a a <；②1i j k N ≤<<≤时，i j a a +，i k a a +，

j k a a +至少有一项在{}n a 中，则N 的最大值为______.

17．22120

()(1sin )n n x x dx π

π--+=⎰

______.

18．2

|1|||z z +=，求||z 的范围和arg z 的范围.

19．在正三棱锥P ABC -中，ABC ∆的边长为1，设P 到平面ABC 的距离为h ，当h 趋近于正无穷时，

异面直线AB 与CP 之间的距离为_____.

20．,,x y z 均为非负实数，满足22

2

1327

()(1)()2

2

4

x y z +++++=，则x y z ++的最大值为______，最小值为______.

21．实数2

23

2

2

()4x y x y +=，则2

2

x y +的最大值为______.

22．2

()()x

f x x a e =+有最小值，则2

20x x a ++=的解的个数为______.

23．11a =，22a =，216n n n a a a ++=-，下列叙述正确的是（ ）

.A 212n n n a a a ++-为定值 .B 2(mod 9)n a lor ≡

.C 147n n a a +-为完全平方数 .D 187n n a a +-为完全平方数