空间直线及其方程

空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。

确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。

L过点M0做平面垂直于直线L：3x+2y-z=5x=−1+3tQL的参数方程：y=1+2t代入平面方程z=−t所以交点为M1(2/7, 13/7, -3/7)r取s=kM01={2,−1,4}x−2y−1z−3所求直线方程==.2−14四、直线与平面的夹角定义直线和它在平面上的投影直线的夹角ϕπ0≤ϕ≤.2x−x0y−y0z−z0L:==,mnpΠ:Ax+By+Cz+D=0,r^rπ(s,n)=−ϕ2s={m,n,p},rn={A,B,C},r^rπ(s,n)=+ϕ2ππsinϕ=cos(−ϕ)=cos(+ϕ).22sinϕ=|Am+Bn+Cp|222222A+B+C⋅m+n+p 直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：(1)L⊥Π⇐⇒(2)L//Π⇐⇒ABC==.mnpAm+Bn+Cp=0.x−1yz+1例5 设直线L:==，平面2−12Π:x−y+2z=3，求直线与平面的夹角. rr解n={1,−1,2},s={2,−1,2},sinϕ=|Am+Bn+Cp|222222A+B+C⋅m+n+p7|1×2+(−1)×(−1)+2×2|=.=3⋅∴ϕ=arcsin73为所求夹角．五、平面束定义：通过一条直线的全部平面组成的平面族称为平面束。

A1x+B1y+C1z+D1=0L：A2x+B2y+C2z+D2=0则过直线L的全部平面组成的平面束为λ1(A1x+B1y+C1z+D1)+λ2(A2x+B2y+C2z+D2)=0λ1，λ2不同时为零。

λ1=1,则过直线L的面束为(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0x+5y+z=0且与平面x−4y例6求过直线:x−z+4=0,π−8z+12=0组成角的平面方程.4解过已知直线的平面束方程为x+5y+z+λ(x−z+4)=0,即(1+λ)x+5y+(1−λ)z+4λ=0,r其法向量n={1+λ,5,1−λ}.r又已知平面的法向量n={1,−4,−8}.由题设知rrπn⋅n1cos=4nn1(1+λ)⋅1+5⋅(−4)+(1−λ)⋅(−8)=222222+(−4)+(−8)(1+λ)+5+(1−λ)λ−3即=,222λ+273由此解得λ=−.4代回平面束方程为x+20y+7z−12=0.y=2x例7求过点M0(1,1,1)且与两直线L1:,z=x−1y=3x−4L2:都相交的直线L.z=2x−1解将两已知直线方程化为参数方程为x=t x=tL1:y=2t,L2:y=3t−4z=t−1z=2t−1设所求直线L与L1,L2的交点分别为A(t1,2t1,t1−1)和B(t2,3t2−4,2t2−1).QM0(1,1,1)与A,B三点共线,故M0=λM0(λ为实数).于是M0,M0对应坐标成比例,即有t−12t−1(t−1)−1==,t2−1(3t2−4)−1(2t2−1)−1解之得t1=0,t2=0,∴A(0,0,−1),B(2,2,3)Q点M0(1,1,1)和B(2,2,3)同在直线L上,故L的方程为x−1=y−1=z−1.112六、点到直线的距离及异面直线间的距离r直线过P1，直线的方向向量s,直线外一点P0计算点p0到直线的距离d。

rrs×P1P0=sd⇒d=sP1Prrrrv=21⋅(s1×s2)=s1×s2drrPP⋅(s×s)⇒d=s1×s2另法: 做一法向量异面直线间的距离P2L2vvvn=s1×s2过直线L1 做平面π, 则法向量为vvvn=s1×s2故平面π∥直线L2，点P2 到平面π的距离就是d .x+y−z−1=0例8证明直线L1：,L22x+y−z−2=0异面，并求其间最短距离。

x+2y−z−2=0:x+2y+2z+4=0r证：Qs1=11−1={0,−1,−1},P1(1,1,1)21−1rrijkr0，−2）s2=12−1={6,−3,0},P（20，122rirjrkvv{1,1,3}⋅{1,2,−2}P⋅(s×s)∴d===1.3s1×s2x−1yz−1==例9 求直线在平面π:11−1上的投影直线L1的方程。

x−y+2z−1=0解L的方向向量为，π经过L且垂直于π的平面π1的法线向量为vvvijk vvvn1=s×n=11−1={1,−3,−2}1−12又因为π1经过L，故经过L上的点（1，0，1），所以π1 :(x−1)−3(y−0)−2(z−1)=0,即x−3y−2z+1=0x−y+2z−1=0,∴L1的方程:x−3y−2z+1=0.r解：L的方向向量s={2,1,0}×{1,0,1}={1,−2,−1} x−3z−1例10求直线L1:=y=与直线20x+1y−2L2==z的公垂线方程。

10L与L1确定一平面∏1，rn1={1,−2,−1}×{2,1,0}={1,−2,5}L与L2确定一平面∏2，rn2={1,−2,−1}×{1,0,1}={−2,−2,2}L1LL2∴∏1:(x−3)−2y+5(z−1)=0∏2:(x+1)+(y−2)−z=0 x−2y+5z−8=0⇒公垂线：x+y−z−1=0思考题x−4yz−2在直线方程==中，m、2mn6+pn、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行.思考题解答rrrs={2m,n,6+p},且有s≠0.rrrrs⋅i=0,Qs⋅k=0,6+p=0∴p=−6,m=0,⇒2m=0rrQs≠0,∴n≠0,故当m=0,n≠0,p=−6时结论成立．练习一、填空题x=1x+1y+2z−1==1. 与两直线y=−1+t及121z=2+t都平行，且过原点的平面[注] 所求平面的法线向量n和两直线的方向中向量都垂直，故n={1,－1,1}x−y+z=0x=−t+22. 过点M（1，2，－1）且与直线y=3t−4z=t−1垂直的平面方程是————。

x−3y−z+4=0[注] 已知直线的方向向量s={-1, 3, 1}，所求平面的法线向量n//s，故取n=s建立点法式方程即可。

3. 已知两条直线的方程是x−1y−2z−3x+2y−1zL1:==,L2:==10−1211则过L1且平行于L2的平面方程是——————[注] 所求平面的法线向量n={1,0, －1}×{2,1,1}={1, －3,1}x−3y+z+2=0过L1的平面束为：y−2+λ(x+z−4)=0−1∴{λ，1，λ}⋅{2，1，1}=0⇒λ=34. 设一平面经过原点及点（6，－3，2），且与平面4x－y+2z=8 垂直，则此平面方程为——————[注] 所求平面的法线向量n⊥{4,−1,2},n⊥{6,−3,2},取n={2,2, －3}2x+2y−3z=0二、选择题1. 设有直线x−1y−5z+8L1:==1−21与x−y=6L2:2y+z=3则L1与L2的夹角为π(D)2[注] L1和L2的方向向量分别为s1={1,−2,1}和s2={−1,−1,2},1πcosθ=s1⋅s2/|s1||s2|=,θ=23π(A)6ππ(B)(C)43x+3y+2z+1=02. 设有直线L:2x−y−10z+3及平面π:4x−2y+z−2=0,则直线L（C）（A）平行于π（B）在π上（C）垂直于π（D）与π相交[注] L的方向向量和π的法线向量平行。