用于不确定性分析的高斯过程响应面模型

型——高斯过程响应面模型正日益引起重视．它有
三大优点：（１）灵活性好，属于非参数／半参数方法， 易逼近高度非线性函数；（２）精度高，属于插值型方 法，能通过所有已知数据点；（３）能量化自身不确定 性，以后验分布形式描述．该模型虽然已在灵敏度分 析…、不确定性分析［２］、参数校准或模型确认【３４１方 面得到应用，但其在先验期望函数形式选取、粗糙度 参数取值等技术细节方面由于处理方式不同而可能 导致产生不同结果，这仍时常困扰着使用者．刘信恩 等【５ ３对上述不同处理方法产生的影响进行理论分 析，并结合算例从计算简便性、数值稳定性和结果保 守性等角度给出推荐处理方法，初步扫清该方法向 实际工程应用推广的障碍．在此基础上，刘信恩 等【６０进一步研究基于高斯过程响应面模型的贝叶 斯参数校准或模型确认问题，提出一种更彻底的简 化方法，不仅让工程分析人员更易理解和实现，且效 果几乎不变，同时，数值更稳定、效率更高，进一步推 动该方法走向实际工程应用． 本文简要介绍基于高斯过程响应面模型进行不 确定性分析的基本理论，针对设计点选择问题，提出 一种基于输入变量已知概率分布的拉丁超立方设计 方法，并结合算例对该方法与基于假设均匀分布的 传统方法展开比较、研究，探讨其对所建立的高斯过 程响应面模型和不确定性分析结果的影响． １
式中：ｈ（ｘ）为需指定的回归函数基矢量；卢为回归 系数矢量，均有ｇ个分量；盯２为方差；ｎ＝ｄｉａｇ（∞。， ∞：，…，∞。）为对角矩阵，其中的正参数∞＝［∞，， ∞：，…，∞。］１’被称为粗糙度参数．通常，∞被处理为 已知参数，由人为指定或者根据数据估计． 根据定义，对于概率分布已知的高斯过程，任意 ｎ个输入点Ｄ＝｛工。，工：，…，工。｝（称为设计点）处的
摘要：为推动高斯过程响应面模型在复杂耗时数值模拟不确定性分析中的应用，提出一种可自 动实现位置优化的高效设计点选择方法，即先在标准超立方体上生成拉丁超立方设计点，然后利用 输入变量的已知概率分布将其映射回原始设计空间．将该方法与基于假设均匀分布的传统拉丁超 立方设计方法进行比较，探讨它们对所建立的高斯过程响应面模型和不确定性分析结果的影响．算 例表明新方法具有一定优势． 关键词：不确定性分析；蒙特卡罗方法；高斯过程；响应面模型 中图分类号：０２１２．８；０２１１．９ 文献标志码：Ａ
作者简介：刘信恩（１９７６一），男，四川南充人。副研究员，博士，研究方向为结构动力学，（Ｅ－ｍａｉｌ）ｌｉｕ—ｘｉｎｅｎ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ
万方数据
１０２
计算机辅助工程 ｍ（工）＝ｈ（工）１ｐ
２０１１生 （２） （３）
向基模型等． 近年来，一种基于贝叶斯原理的新型代理模
ｃ（ｘ，工’）＝ｅｘｐ｛一（工一ｚ’）１．ｆ２（工一工’）｝
，，ｌｆ”（工）＝ｍ”（工）＋，（工）１Ａ。（ｄｊ一丘）
（１６）
式中：矢量ｔ（工）的第ｉ个元素为ｃ”（ｘ，ｊｉ）；正的第 ｉ个元素为ｍ”（ｉ；）；矩阵Ａ的第ｉ行第．『列为 ｃ”（ｊｉ，ｊＡ
３
抽取输入样本｛Ｘ１＂，工；，…，石；｝（Ⅳ足够大），然后计
算相应的输出样本｛），？＝叼（ＸＩ’），），ｆ＝叼（卫ｆ），…， ，，；＝田（ｘ毒）｝，最后对上述输出样本进行统计分析．
输出ｄ＝［７１（工。），叩（Ｘ：），…，７１（ｚ。）］Ｔ（称为数据）
服从多元正态分布，即
ｄｌ卢，矿２一Ⅳ（邵，盯２Ａ）
（４）
式中：Ｈ＝ｈ（Ｄ）’＝［ｈ（工，），ｈ（工２），…，ｈ（ｘ。）］’， Ａ＝ｃ（Ｄ，Ｄ）＝［ｃ（ｘ；，ｘ，）］．当ｄ已知时，函数，，（・） 的条件分布仍为一个高斯过程（卡尔曼滤波器），即 叩（・）Ｉ ＪＢ，盯２，ｄ—ｃＰ（ｍ＋（・），盯２ｃ＋（・，・）） 式中： ｃ‘（，，ｘ’）＝ｃ（ｘ，工７）一ｔ（ｘ）ＴＡ．１ｔ（工’） （５）
ａｎｄ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａｎ
ａｎａｌｙｓｉｓ；Ｍｏｎｔｅ
Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ；Ｇａｕｓｓｉａｎ ｐｒｏｃｅｓｓ；ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｏｄｅｌ
ｏ引言
工程中大多数复杂数值模拟虽然模型本身具有 确定性，但某些输入可能存在不确定性（随机性或 模糊性），由此产生的输出不确定性量化问题称为
磊篙票篱釜誓篇麓嬲≥罂羞喜
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｈｉｎａｃａｅ．ｃｎ
单，普适性强，但对于非常耗时的复杂数值模拟来 说，直接大量抽样和模拟不现实，必须先建立可快速 计算的代理模型，如回归模型、神经网络模型以及径
收稿日期：２０１０．０８．１７修回日期：２０１１・０１．１３ 基金项目：国家自然科学基金委员会一中国工程物理研究院联合基金（１０８７６１００）
ｈｔｔｐ．／／ｗｗｗ．ｅｈｉｎａｅａｅ．ｅｌｌ
（１３） （１４）
文献［５］对高斯过程响应面法若干技术细节的 不同处理方法进行研究，并给出先验期望函数选用 低阶多项式、粗糙度参数使用边缘后验众数法估计、 模型有效性必须经过验算点（新数据）检验等处理 方法．粗糙度参数∞的边缘后验密度函数为
万方数据
第ｌ期 ｐ（∞Ｉ ｄ）优Ｐ（∞）Ｉ
第２０卷第１期
２０１ １年３月
计算机辅助工程
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．２０ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０１ １
文章编号：１００６—０８７１（２０１１）０１．０１０１．０５
用于不确定性分析的高斯过程响应面模型 设计点选择方法
刘信恩，
肖世富，
莫
军
（中国工程物理研究院总体工程研究所，四川绵阳６２１９００）
ｃａｎ
ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｏｐｔｉｍｉｚｅ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｏｄｅｌ
ｔｏ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｐｒｏｃｅｓｓ
ｒｅｓｐｏｎｓｅ
ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｐｏｉｎｔｓ ｉｎ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｃｕｂｅ
ｔｏ
正态一逆ｒ分布（自由度为ｎ—ｇ），即
ｐ 式中： 卢＝（ＨＴＡ＿日）一百ｒＡ～ｄ
Ｉ，，ｄ一Ⅳ（后，盯２（ＨＴＡ‘１日）。）
盯２
（８） （９）
Ｉ
高斯过程响应面法基本理论
确定性的复杂数值模拟模型可视为隐式函数，
ｄ一（，Ｉ—ｑ一２）＾２，…－２。
即具体表达式未知的确定性函数ｙ＝田（ｚ）．通常，输 入工为Ｐ维矢量，输出Ｙ为标量（或矢量的任意分 量）．假设叼（・）的先验分布是个平稳高斯过程，即 ，７（・）Ｉ Ｊ６ｌ，矿２一ＧＰ（ｍ（・），盯２ｃ（・，・））（１） 式中：先验期望函数ｍ（・）和相关函数ｃ（・，・）常 取为 叼（・）Ｉ 式中：
１．０
高斯过程响应面模型设计点选择
建立高斯过程响应面模型的前提为获得设计点
Ｄ＝｛ｘ。，工：，…，工。｝处的数据ｄ＝［叼（工１）， 叼（工：），…，叼（ｚ。）］Ｔ．一般使用“空间填充”的试验
设计方法选择设计点（如拉丁超立方设计方法［７１）． 该方法将Ｐ维输人中的每一维等概率地分割为ｎ个 子区间，每个子区间内依概率随机抽取一个样本作 为分点（为简单起见，也可直接使用中点或端点，本 文采用该处理方式），然后将不同维上的分点不重 复地随机组合形成设计点．该方法设计点分布比较 均匀，且投影到任何一维都不重复，代表性强，加密 后仍为拉丁超立方设计，很受欢迎．图ｌ为一个二维 拉丁超立方设计的例子．
刘信恩，等：用于不确定性分析的高斯过程响应面模型设计点选择方法
Ａ Ｉ—Ｔ
１０３
１日‘Ａ－１日Ｉ—Ｔ（存２）一７ （１５）
实际上不可能，因此常用“模拟设计点”技术［２１近 似：预先选择不同于原始设计点Ｄ＝｛ｚ，，工：，…，工。｝ 的若干“模拟设计点”Ｄ＝｛ｉ，，ｉ：，…，ｉ。｝，先抽取 出“模拟设计点”上的函数实现ｄｆ＝（叼ｆ（ｉ。）， 叼ｆ（ｊ：），…，叩ｆ（ｊ。））’，然后将其加入原始设计点 集，只要“模拟设计点”足够多且分布合理，其后验 方差总能小到足以忽略，此时就可用其后验期望近 似任何其他输入Ｊ处的函数实现叼ｉ（工）．该过程不 必重建高斯过程响应面模型，可直接通过简单迭代 公式计算，即
高斯过程响应面法将未知确定性函数田（・）视
为一个随机函数（它的每个实现都是对叼（・）的一 个近似），因此输出ｙ的任何总体数字特征（如期 望、方差等）都为随机变量，而概率分布和密度函数 等为随机函数．可在２个层次上嵌套使用蒙特卡罗 方法，即首先从田（・）的后验分布中随机抽取Ｍ个 实现｛叼。（・），叼：（・），…，叼村（・）｝（Ｍ足够大）， 然后对每个实现叼ｊ（・）（歹＝１，２，…，Ｍ）分别使用蒙 特卡罗方法进行不确定性分析，最后对不同实现下 的分析结果进行统计分析．不仅能获得输出ｙ的期 望、方差或概率分布／密度函数等传统的不确定性分 析结果，而且还能获得对这些分析结果自身不确定 性的估计． 获得随机函数叼（・）的一个精确实现叼，（・）
ａ
ｔｉｍｅ—ｃｏｎｓｕｍｉｎｇ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ
ｐｒｏｄｕｃｅｓ
ｔｈｅ
ｓｔａｎｄａｒｄ Ｌａｔｉｎ ｈｙｐｅｒｃｕｂｅ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｍａｐｓ ｔｈｅｍ ｂａｃｋ ｔｏ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ
ｄｅｓｉｇｎ
ｓｐａｃｅ
ｔｈｅ ｋｎｏｗｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｐｕｔ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｍｉａｎｙａｎｇ
６２１９００，Ｓｉｃｈｕａｎ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｄｅｓｉｇｎ ｐｏｉｎｔ ｃｈｏｉｃｅ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｓ，ｔｏ ａｄｖａｎｃｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｔｈｅ
舀ｚ：虫￡型塑堕窆掣坳（１１）
（１０）
ｎ—ｑ一二
将式（５），（８）和（９）相乘并对超参数卢和矿２积分， 可求出函数田（・）的后验分布，这是一个自由度为 ｎ—ｇ的ｔ过程（类似于高斯过程，但需用多元ｔ分布 描述），即