中心极限定理及其应用

蒲丰投针问题的求解
解：设针投到平面上的位置可以用一组参数 ( x, ) 来描述， x 为针的中心距离最近一 为针与平行线正方向的 条平行线的距离， 夹角。 则该试验的样本空间为 [0, a] [0, ] 设平行线与针相交为事件 A ，因为针 与平行线相交的充要条件是 x L sin ， 即 A x L sin ,0

几何概型Geometric Probability
“等可能”的确切意义： 设在区域Ω中有任意一个小区域的A,如果它的 面积为S(A),则点落入A中的可能性大小与S(A) 成正比，而与A的位置及形状无关。

Ω
A
几何概型Geometric Probability
几何概型：将古典概型中的有限性推广到无 限性，而保留等可能性，就得到几何概型。 A P( A)
蒲丰投针问题的求解
因为
S A l sin d 2l
0

由几何概型知
S A 2l P( A) S a
蒲丰投针问题的求解
针与平行线相交的概率与有关，现将m根长 为 2 L 的针投向平面，记针与平行线相交的 频率为 f (m) n / m ，其中n为相交的次数。 由大数定律知： f (m) P( A)

蒲丰Comte de Buffon
1707～1788， 法国数学家， 自然科学家， 几何概率的 开创者，以 蒲丰投针问题 闻名于世。
蒲丰投针问题 Buffon’s needle problem
在平面上画有等距离 为2a(a 0) 的一些平 行线，向平面上随机 投一长 2 L ( L a ) 的 针。1768年，蒲丰利 用投针试验估计值。
课后作业
几何概型 ：P17：15 ，P31:14，思考题 蒙特卡罗方法：对蒲丰投针试验进行蒙特 卡罗模拟，取a=2,l=3,得到的值。

Monte-Carlo, Monaco
蒙特卡罗方法的应用
用传统方法难以解决的问题中，特别针对随机 模型．由于这类模型含有不确定的随机因素， 分析起来通常比确定性的模型困难。有的模型 难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是 虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用 。在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo方 法。 例如：排队系统。
几何概型及蒲丰 投针试验
主讲：詹晓琳
主要内容
几何概型 几何概型的应用 蒲丰投针试验 蒙特卡罗方法

几何概型Geometric Probability
古典概型的本质特征： 1、样本空间的有限性 2、样本点的等可能性

一般地说，当试验结果为无限时，会出现一 些本质的困难，使问题不像有限时那么容易 解决，这里讨论其中具有某种“等可能性” 的一类问题。
Monte Carlo名字的由来

Monte Carl是由Metropolis在二次世界大战 期间提出的：Manhattan计划，研究与原子 弹有关的中子输运过程。
Nicholas Metropolis (1915-1999)

Monte Carlo是摩纳哥（Monaco)的首都， 该城以赌博闻名。

注：几何度量是指长度、面积、体积。
几何概型的应用
例1：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻 有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它 停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区 间 [2 , 3] 上的概率。
2 0 3 4
1
几何概型的应用
例2：甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点 会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方 可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他 y 们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点 的机会是等可能的。 30
故有：
2lm an
试验演示
即可以通过投针试验求的近似值。Leabharlann Baidu
蒲丰投针试验的结果
一些人进行了试验，将结果列于下表：
蒙特卡罗的基本思想
由蒲丰投针试验可以看出： 1、当所求问题的解是某个事件的概率，或者是 某个随机变量的数学期望； 2、通过某种试验的方法，可以得出该事件发生 的频率，或者该随机变量的样本均值； 3、利用大数定理得到的关于频率和样本均值的 收敛性，可以得到有关<1>的解。
几何概型Geometric Probability
问题 1 ：假设车站每隔 10 分钟发一班车， 乘客随机到达车站，问等车时间不超过 3 分 钟的概率 ？ 问题 2 ： 已确定失事飞机的黑匣子可能落在 面积 1 000平方公里的海域，调查人员每次 出海搜索的区域面积为 50 平方公里，假设在 这片海域随机地选择一点进行搜寻，问能够 找到黑匣子的概率是多少？
10 x
10 30
几何概型的应用

思考题：一个圆的所有内接三角形中，其中 是锐角三角形的概率是多少？
2 r
r
r 2 r
几何概型总结
几何概型的特征： 1、试验E的样本空间有一个可度量的几何图形 Ω； 2、试验E可以看成在Ω中等可能地投掷一点； 3、事件A就是所投掷的点落在Ω中的可度量几 何图形A中 。

蒙特卡罗方法Monte Carlo Method

Monte Carlo方法：亦称统计模拟方法， statistical simulation method即利用随机数进 行数值模拟的方法。为了得到具有一定精确 度的近似解，所需试验的次数是很多的，通 过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是 不可能。本世纪四十年代以来，由于电子计 算机的出现，使得人们可以通过计算机来模 拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交 由计算机完成，因此又称为计算机模拟。