2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.

1. 已知z y x ,,满足x

z z y x +=-=532，则z y y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）

31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.

解 由x z z y x +=-=532得x z x y 2

3,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断.

2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，2

1，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式22

11x

x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） （A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.

【答】C.

解 因为=+-++-2222

11)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，011112

2=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，2

1，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.

3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2

)2(2b a cx x b

a y ----=在1=x 时取最小值

b 5

8-，则△ABC 是 （ ） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.

【答】D.

解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩

⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.

4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）

（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C. 解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.

5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）

（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）3

2. 【答】A.

解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△4

1=. 易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32

(=ABC S △4194⋅=

ABC S △91=. 所以:DEF S △19

ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）

（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）5

2. 【答】

B.

解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.

当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；

当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；

当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；

当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y . 因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为5

1102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1. 设1

21

-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___. 解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，

∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(32

22=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22

(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.

10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以

=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21

n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)

2)(2(120072007--+b a