题型四几何图形的折叠与动点问题

题型四几何图形的折叠与动点问题

试题演练

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片

折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值范围是__________.

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边

AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________．

3. (’15洛阳模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、

CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF ＝90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．

4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作

PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．

5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线AE交DC于点E，若点P、Q分别是

AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________．

6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，

当点D的对应点D′落在矩形的对角线上时，DE的长为________．

7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上，对应点为点E，

若BG＝10，则折痕FG的长为________．

8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E是

斜边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为________．

9. (’15商丘模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动

点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．

10. (’15郑州模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，AD的中点为E，点F是AB边

上一点(不与A、B重合)，连接EF，把∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG.

则线段CG的取值范围是________．

11. (’15江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠

AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________．

12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折

叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为_____

【答案】

1. 1≤x≤3 【解析】通过观察图形，可得当点E与点A重合时AP最小，则AP＝EP＝AD ＝1；当点P与点B重合时，AP最大，则AP＝3，∴1＜AP≤3，则x的取值范是1≤x≤3.

2. 2 【解析】由题意得：DF＝DB，∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D，连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小；∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4.由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2.

3. 4≤EF≤5 【解析】∵点M为BC的中点，正方形ABCD的边长为4，∴BM＝CM＝2，∵∠EMF＝90°，∴∠BME＋∠CMF＝90°，∵∠CFM＋∠CMF＝90°，∴∠BME＝∠CFM，又

∵∠B＝∠C＝90°，∴△BME∽△CFM，∴BM

CF＝

BE

CM，∴

BE·CF＝BM·CM＝2×2＝4，∵CF

最大时为4，此时BE＝1，BE最大时为4，此时CF＝1，∴0≤|CF－BE|≤3，过点E作EG⊥CD 于点G，则EG＝BC＝4，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2＝16＋(CF－BE)2，∴16≤EF2≤16＋9，∴4≤EF≤5.

4. 12或32

【解析】根据题意可得△FDC 为直角三角形时分三种情况考虑：(1)如解图①，当∠FDC ＝90°时，DF ⊥AB ，在△AFD 中，∠A ＝60°，AD ＝2，∴AF ＝1，AP ＝12

；(2)如解图②，当∠DCF ＝90°时，CF ⊥AB ，在△CFB 中，∠CBF ＝60°，BC ＝2，∴BF ＝1，AF ＝3，AP ＝32；(3)当∠DFC ＝90°，不存在．综上可知AP 的值为12或32

.

5. 2 【解析】如解图，作D 关于AE 的对称点D ′，则D ′落在对角线AC 上，过点D ′作 D ′P ′⊥AD 于点P ′，∴D ′P ′即为DQ ＋PQ 的最小值，∵DD ′⊥AE ，∴∠AFD ＝∠AFD ′，∵AF ＝AF ，∠DAF ＝∠D ′AF ，∴△DAF ≌△D ′AF ，∴AD ＝AD ′＝2，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD ′＝45°，∴AP ′＝P ′D ′，∴在Rt △AP ′D ′中，P ′D ′2＋AP ′2＝AD ′2

， AD ′2＝4，∴P ′D ′＝2，即DQ ＋PQ 的最小值为 2.

6. 32或94

【解析】分两种情况进行讨论，设DE ＝x .ⅰ)D ′落在AC 上，如解图1，在Rt △ED ′C 中，EC ＝4－x ，D ′C ＝AC －AD ′＝5－3＝2，ED ′＝x ，根据ED ′2＋D ′C 2＝EC 2可得x 2＋22＝(4

－x )2，解得x ＝32

；ⅱ)D ′落 在BD 上，如解图2，设DD ′交AE 于F 根据轴对称性质可知AE