2020-2021学年广东省深圳市福田区福田外国语学校高二上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年广东省深圳市福田区福田外国语学校高二上学期期中数学试题一、单选题1．数列1，3-，5，7-，9，…的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．(1)(21)nn a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--【答案】D【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式1(1)(21)n n a n +=--．故选：D ．2．已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．2 B ．6C ．7D ．10【答案】C【分析】先根据椭圆的方程求出5a =，再利用椭圆的定义即可求解.【详解】由椭圆2212516x y +=的方程可得5a =，设左焦点为1F ，右焦点为2F ， 由椭圆的定义可得12210PF PF a +==， 若13PF =，则27PF =， 故选：C3．已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等比数列，则4a b +的最小值是（ ） A ．8 B ．6C ．9D ．10【答案】A【分析】由已知条件可得4ab =，再利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为a ，2，b 依次成等比数列， 所以224ab ==， 又因为0a >，0b >，所以448a b +≥===，当且仅当44a b ab =⎧⎨=⎩，即41a b =⎧⎨=⎩等号成立，所以4a b +的最小值为8， 故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．椭圆22125x y m m +=-+的焦点坐标是（ ）A ．()7,0±B ．()0,7±C ．()D ．(0,【答案】D【分析】先分析520m m +>->，可判断椭圆焦点在y 轴上，所以25a m =+，22b m =-，所以2227c a b =-=，即可焦点坐标.【详解】若22125x y m m +=-+表示椭圆，则20m ->，50m +>，因为52m m +>-，所以椭圆焦点在y 轴上，且25a m =+，22b m =-，所以()222527c a b m m =-=+--=，所以c =所以焦点坐标是(0,， 故选：D5．已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ） A ．2 B ．1C ．4D ．3【答案】C【分析】根据均值不等式求最值即可. 【详解】因为2x >， 所以120,02x x ->>-， 由均值不等式，得：11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当122x x -=-时，即3x =时，等号成立， 故y 的最小值为4， 故选：C【点睛】本题主要考查了均值不等式的应用，属于中档题.6．已知等比数列{}n a 满足11374a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77a b =，则13(S = )A ．52B ．26C ．78D ．104【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出74a =，从而774b a ==，再由等差数列的求和公式及等比数列中项的性质可得13713S b =，能求出结果．【详解】解：等比数列{}n a 满足11374a a a =，可得2774a a =，解得74a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且774a b ==， 则1311371()1313134522S b b b =+⨯==⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，以及等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则13141516a a a a +++= ( ) A ．12 B ．8C ．20D ．16【答案】C【分析】由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，由此能求出13141516a a a a +++的值．【详解】解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==， 由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列又4848,20812,S S S =-=-= ∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选C ．【点睛】本题考查等差数列的四项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则23a b+的最小值为（ ） A ．252B ．25C．D ．50【答案】B【分析】先根据条件画出可行域，设z ax by =+，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z ax by =+，过可行域内的点(4,6)时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可． 【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大2， 即231a b +=，而2323136136251a b b a a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当b a a b =，即15a b ==时取等号；故选：B ．【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，属于中档题．二、多选题9．下列函数中，最小值是22 ） A ．2y x x=+B ．y x x=C ．22244y x x =+++ D ．2x x y e e -=+【答案】BD【分析】利用基本不等式的使用法则：“一正、二定、三等”即可判断出正误． 【详解】对A ，0x <时，0y <，无最小值，故A 错误； 对B ，22y x x=，当且仅当2x B 正确； 对C ，22222242(4)()244y x x x x =+++=++22244x x +=+时，等号成立，显然不可能取到，故C 错误；对D ，22222x x x x y e e e e --=+=0x =时取等号，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】本题考查函数性质、基本不等式的使用法则：“一正二定三相等”，考查推理能力与计算能力，属于基础题．10．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列【答案】BC【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11．已知点(,)A a b 与点(0,3)B 在直线3450x y -+=的同侧，给出下列四个命题中正确命题是（ ）A ．若1a >，则2b >B ．221a b +>C ．3450a b -+<D ．当0b <时，1b a -的取值范围是33,54⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】点(,)A a b 和点(0,3)B 在直线1:3450x y -+=的同侧，得到3450a b -+<，作出点(,)A a b 对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可. 【详解】A 选项：点(,)A a b 和点(0,3)B 在直线1:3450x y -+=的同侧，则(345)(30435)0a b -+⨯⨯-⨯+>，即3450a b -+<，点(,)A a b 的区域如图所示. 若1a >，由3450a b -+<；可得2b >，故A 正确； B 选项：原点到直线3450a b -+=的距离等于22134=+，22a b +表示点(),a b 与()0,0的距离，故221a b +>，故B 正确；C 选项：由A 可知：3450a b -+<，故C 正确；D 选项：当0b <时，1b a-表示过点(,)A a b 与点(0,1)的斜率，根据图象可得其取值范围是30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：ABC .【点睛】本题考查了不等式表示的区域，将目标函数转化为几何意义是解题的关键. 结论点睛：（1）两点在直线同侧时，将两点代入直线方程有相乘大于0； （2）两点在直线异测时，将两点代入直线方程有相乘小于0.12．椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，以下说法正确的是（ ）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8. B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=. C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆2214x y +=一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3. 【答案】ABD【分析】根据椭圆的定义，可判断A ；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B ；根据离心率的定义，可判断出C ；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D.【详解】对于选项A ，因为12,F F 分别为椭圆22:14x C y +=的左右焦点，过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，由椭圆定义可得：121224+=+==AF AF BF BF a ， 因此1ABF ∆的周长为11112248++=+++==AF BF AB AF BF AF BF a ，故A 正确；对于选项B ，设点(),P x y 为椭圆22:14x C y +=上任意一点，则点P 坐标满足2214x y +=，且22x -≤≤又()1F ，)2F ，所以()1,=--PF x y ，()23,=-PF x y ，因此()222212313244⋅=-+=+--=-x x PF PF xx y x ，由2123204⋅=-=x PF PF ，可得：[]2,2=-x ，故B 正确；对于选项C ，因为24a =，21b =，所以2413=-=c ，即c =所以离心率为c e a ==C 错； 对于选项D ，设点(),P x y 为椭圆22:14x C y +=上任意一点，由题意可得：点(),P x y 到圆221x y +=的圆心的距离为：222224443=+=-+=-PO x y y y y ，因为11y -≤≤，所以max max 14013=+=-+=PQ PO .故D 正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查椭圆相关命题真假的判定，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.三、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是______．【答案】1-【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z -+=后可得目标函数的最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示（阴影部分）， 当动直线20x y z -+=过A 时，z 有最大值，由1y x y =⎧⎨=⎩得()1,1A ，故max 2111z =-⨯+=-，故答案为1-.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 14．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织尺布______尺布.【答案】1629【分析】根据每天比前一天多织相同量的布，得到构成的数列{}n a 是等差数列，然后再由一月（按30天计）共织390尺布，利用前n 项和公式求解. 【详解】设从第2天起每天比前一天多织x 尺布，根据题意，数列{}n a 是以5为首项，以x 为公差的等差数列， 所以3030293053902S x ⨯=⨯+⨯=， 1629x =故答案为：1629【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．若正数a ，b 满足20ab a b --=，则 ab 的最小值为__________． 【答案】8【分析】由20ab a b --=可得2ab a b =+，利用基本不等式可得2ab a b =+≥≥，进而可得ab 的最小值 【详解】由20ab a b --=可得2ab a b =+， 因为0,0a b >>，所以2ab a b =+≥0≥，≥ 8ab ≥，当且仅当22ab a b a b =+⎧⎨=⎩即24a b =⎧⎨=⎩， 所以 ab 的最小值为8， 故答案为：8【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用已知条件得2ab a b =+，再由基本不等式可得2a b +≥所以ab ≥≥即可求8ab ≥进而求得最小值. 16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF 、||AB 、2AF 成等差数列，则C 的离心率为___________．【答案】2【分析】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，据勾股定理有3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，由勾股定理，2224a c =，可得选项.【详解】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，所以根据勾股定理有()()222+2++x d x x d =，解得3x d =；由椭圆定义知1212++2AF AF BF BF a ==，所以2ABF 的周长为4a ，所以有3a d =，21BF a BF ==；在直角2BF F △中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =．故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知椭圆W ：221(0,0)x y m n m n+=>>的离心率为e ，长轴为AB ，短轴为CD ．()1若W 的一个焦点为()3,0，6CD =，求W 的方程； ()2若10AB =，35e =，求W 的方程．【答案】(1)见解析；(2) 见解析；【分析】()1由已知求得c 与b 的值，再由隐含条件求得a ，然后分类写出椭圆方程；()2由已知求得a ，结合离心率求得c ，再由隐含条件求得b ，然后分类写出椭圆方程．【详解】()1由已知可得，3c =，26b =，3b =．22218a b c ∴=+=．若椭圆焦点在x 轴上，则椭圆方程为221189x y +=．若椭圆焦点在y 轴上，则椭圆方程为221918x y +=；()2由已知可得，210a =，则5a =，又35c e a ==，3c ∴=，则22216b a c =-=． 若椭圆焦点在x 轴上，则椭圆方程为2212516x y +=．若椭圆焦点在y 轴上，则椭圆方程为2211625x y +=．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题18．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，1525,3,81b a b b ===-，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<？【答案】答案不唯一，见解析【分析】从三个条件中任选一个，利用等差、等比数列的基本知识解决问题即可. 【详解】因为在等比数列{}n b 中，23b =，581b =-，所以其公比3q =-， 从而()()222333n n n b b --=-=⨯-，从而511a b ==-．若存在k ，使得1k k S S +>，即1k k k S S a +>+，从而10k a +<； 同理，若使12k k S S ++<，即112k k k S S a +++<+，从而20k a +>．（方法一）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-，所以316n a n =-， 当4k =时满足50a <，且60a >成立；若选②：由4427a b ==，且51a =-，所以数列{}n a 为递减数列， 故不存在10k a +<，且20k a +>； 若选③：由()155352552a a S a +=-==，解得35a =-，从而211n a n =-， 所以当4n =时，能使50a <，60a >成立．（方法二）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-， 所以公差5233a a d -==，1213a a d =-=-， 从而()()21111332922n n n S a d n n -=+⨯=-； ()()()()()()()1123129132922312913229222k k k k k k k k S S S S k k k k +++⎧⎡⎤+-+-⎣⎦>⎪>⎧⎪⇔⎨⎨<⎡⎤⎡⎤+-++-+⎩⎪⎣⎦⎣⎦<⎪⎩，解得101333k <<， 又k *∈N ，从而4k =满足题意．【点睛】本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a s 在直线22y x =-，上n *∈N ． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=+-． 【分析】（1）利用公式11,1=,2n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求{}n a 的通项公式；（2）由题得2nn b n =+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】解：（1）∵点(),n n a S 在直线22y x =-上，n *∈N ， ∴22n n S a =-．当1n =时，1122a a =-，则12a =， 当2n 时，22n n S a =-，1122n n S a --=-． 两式相减，得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=． 所以{}n a 是以首项为2，公比为2等比数列，所以2nn a =．（2）2nn b n =+，()23(123)2222n n T n =+++⋯++++++，所以1(1)222n n n n T ++=+-． 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征选择合适的方法求解.20．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n 年花在该渔船维修等事项上的所有费用为()2210n n +万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.（1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收人减去成本及所有费用之差为正值） （2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出； 哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】（1）捕捞3年开始盈利（2）方案①合算，详见解析【分析】（1）写出盈利的函数解析式，计算出使函数大于零的最小n 的值；（2）先求出平均盈利的函数，利用基本不等式计算出最大值；再根据二次函数相关知识计算出盈利总额的最大值，两者作比较得出结论. 【详解】（1）设捕捞n 年的盈利为y 万元， 则()22502109824098y n n n n n =-+-=-+-. 由0y >，得220490n n -+<，解得)1010N n n +<∈.则317n ≤≤，故3n =.所以捕捞3年开始盈利.（2）①982404012y n n n =--+-=≤，当且仅当982n n =，即7n =时取等号.故经过7年捕捞，年平均盈利最大，共盈利12726110⨯+=万元. ②因为()2224098210102y n n n =-+-=--+， 所以当10n =时，y 取得最大值102.即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利1028110+=万元. 综上知，两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.【点睛】本题考查函数的实际问题，难度一般.（1）实际问题中，要注意给出函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时，注意取等号的条件.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，122nn n a a +=+．（1）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）求n S ；（3）令3n n n b S =，若对任意正整数n ，不等式21127n m m b -+<恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；12n n a n -=⋅；（2）1(1)2n n S n =+-⨯；（3）()(),23,-∞-+∞.【分析】（1）由122nn n a a +=+可得111222n n n n a a ++=+即111222n n n n a a ++-=即可求证； （2）由（1）可得12n n a n -=⋅，利用乘公比错位相减即可求n S ；（3）12(1)333n nn n n S b n ⎛⎫⎛⎫==+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算11(3)223n n n n n b b ++-⋅--=，可判断数列 {}n b 的单调性，令n b 的最大值小于21127m m -+即可求解. 【详解】（1）证明：11a =，122nn n a a +=+，可得111222n n n n a a ++=+即111222n n n n a a ++-=， 可得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项和公差均为12的等差数列，所以()11112222n n a n n =+-=， 可得122n n a n =，即12n n a n -=⋅； （2）01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯，12321222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，相减可得211212222212nn nn nS n n ---=++++-⨯=-⨯-，化简可得1(1)2nn S n =+-⨯；（3）12(1)333n nn n n S b n ⎛⎫⎛⎫==+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11111212(3)22(1)33333n n n nnn n n n b b n n ++++-⋅-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⨯---⨯=⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当1n =时，2129b b -=；2n =时，32227b b -=；即123b b b <<， 当3n ≥时，10nnb b ，即345>>>b b b ，则3n =时，n b 的最大值为31727b =，不等式21127n m m b -+<恒成立，可得217112727m m -+<，即为260m m -->，解得3m >或2m <-． 则m 的取值范围是(,2)(3,)-∞-⋃+∞.【点睛】易错点睛：解决函数与数列的综合问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.22．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点⎛ ⎝⎭在椭圆上． （1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1；（3）1．【分析】（1）利用正焦弦长公式以及点⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可解得结果； （2）利用点差法可求得结果；（3）利用弦长公式求出||MN ，点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，根据面积公式求出MON △的面积，根据基本不等式求出最大值即可得解.【详解】（1）根据题意，221b a=，所以22a b =，则椭圆方程22221x y a b +=转化为22221x y a a+=，又点⎛ ⎝⎭在椭圆上， 所以21312a a+=，即22320a a --=， 由于0a >，故解得2a =， 则21b =，故所求椭圆方程为2214x y +=；（2）由（1）得椭圆的方程为2214x y +=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，因为点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，则1212122128x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，即1212114x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由于点A 、B 在椭圆上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两个等式相减得()2222121204x x y y -+-=， 即()()()()1212121204x x x x y y y y +-++-=，即()()121211044x x y y ---=， 所以直线AB 的斜率为12121AB y y k x x -==-；（3）由（2）设直线:l y x t =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线：:l y x t =+与椭圆方程2214x y +=得2258440x tx t ++-=，令()22(8)45440t t ∆=-⨯->，得t <<又3485t x x +=-，234445t x x -=，所以||5MN ===，又点O 到直线l 的距离d =，()22512||1252MONt t SMN d -+==⨯=，当且仅当225t t -=，即t =或t =时取等号，而t =或t =t << 所以MON △面积的最大值为1．【点睛】关键点点睛：求出MON △面积关于t 的函数关系式是解题关键.。