重庆八中2013-2014高一上期末数学试题

重庆八中2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集={1,2,3,4,5,6}I ，集合={1,2,4,6}A ，={2,4,5,6}B ，则()I A B =ð（A ）{1,2,4,5,6}（B ）{1,3,5}（C ）{3}（D ）Φ2. 下列关于向量的命题，正确的是（A ）零向量是长度为零，且没有方向的向量 （B ）若b = -2a （a ≠0），则a 是b 的相反向量 （C ）若b = -2a ，则|b |=2|a | （D ）在同一平面上，单位向量有且仅有一个 3. 若sin()sin()sin()1παπαα++-+-=，则sin =α（A ）1（B ）13（C ）13-（D ）-14. 已知向量a =(1, 2)，b =(x , -6)，若a //b ，则x 的值为（A ）-3（B ）3（C ）12（D ）-125. 已知角θ为第四象限角，且3tan =4θ-，则sin cos θθ+= （A ）15（B ）75（C ）15-（D ）75-6.要得到函数2sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（A ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）（B ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）（C ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）（D ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）7. 已知4log 5a =，124b -=，sin2c =，则a 、b 、c 的大小关系是 （A ）b c a <<（B ）c a b <<（C ）a b c <<（D ）c b a <<8. 已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，3()24x f x x =+-．若存在0x I ∈，使得0()0f x =则区间I 不可能．．．是 （A ）(2,1)-- （B ）(1,1)- （C ）(1,2) （D ）(10)-，9. 函数112211()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x ππ=+----在区间1(,2)2上的图像大致为O（A ） （B ） （C ） （D ）10．如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中60POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB =y AC +，则xy 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）11[,]164（C ）13[,]1616（D ）31[,]164第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11. 已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,4)B -，则2OA OB +的坐标为 ． 12. 函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．13. 2cos 202sin 503-=- ．14. 若实数x 满足方程(32)(12)4x x -+-=，则x = ．15. 已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 满足：对任意,x y R ∈有()()()f x y f x g y -=()()f y g x -且0)1(≠f ．若)2()1(f f =，则=+-)1()1(g g ．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知二次函数)(x f y =满足(0)(1)1f f ==，且13()24f =，求：（Ⅰ）)(x f 的解析式；（Ⅱ）)(x f 在(0,1)上的值域．17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，且a 、b 的夹角为60．（Ⅰ）求a +b 的模；（Ⅱ）若λa -6b 与λa +b 互相垂直，求λ的值．18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知函数()cos sin )2f x x x x =--．求： （Ⅰ）函数)(x f y =的对称轴方程；（Ⅱ）函数)(x f y =在区间[0,]2π上的最值．19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知sin()cos()8282παπα++,(,)42ππα∈，3cos()45πβ-=，(,)2πβπ∈． （Ⅰ）求)4cos(πα+的值；（Ⅱ）求cos()αβ+的值．20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+． （Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =．若定义cot xyθ=，sec rxθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()|sin cos tan cot sec +csc |f θθθθθθθ=++++的最小值．重庆八中2013——2014学年度（上）期末考试高一年级数学试题参考答案一、选择题 BCDAA BADAC10 析：易知(1,0)B ，(1,0)C -，由三角函数定义，可设(cos ,sin )A θθ，则(cos ,0)H θ，5[,]36ππθ∈．(0,sin )AH θ=-，(1cos ,sin )AC θθ=---，(1cos ,sin )AB θθ=--，由AH xAB y AC =+0(1cos )(1cos )sin sin cos x y x y θθθθθ=--+-⎧⇒⎨-=--⎩1cos 21cos 2x y θθ-⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩，21cos 1cos 1=sin 224xy θθθ-+=⋅，由5[,]36ππθ∈，知xy ∈13[,]1616，选C ．二、填空题11.(1,8)- 12. (,3)(3,4)-∞13. 1214. 2log 3-15．1析：令v u x -=，则)()]()()()([)()()()()()(x f v f u g v g u f u f v g u g v f u v f x f -=--=-=-=- ∴)(x f 为奇函数．)1()1()1()1()1()1()1()1()]1(1[)2(f g g f f g g f f f +-=---=--==)]1()1()[1(g g f +-．又∵0)1()2(≠=f f ，∴1)1()1(=+-g g ．三、解答题16.（Ⅰ）由待定系数法可求得2()1f x x x =-+………………………………………………..…………6分（Ⅱ）213()(),(0,1)24f x x x =-+∈；当21=x 时，min 3()4f x = ；又(1)1f =，综上，)(x f 在(0,1)上的值域是3[,1)4…………………………………………………………13分17.（Ⅰ）||7a b += …………………………………………………………6分（Ⅱ）由条件，知(6)()0a b a b λλ-⋅+=222560a a b b λλ⇒-⋅-=25240λλ⇒--=，8λ=或3λ=- ……………………………13分18.（Ⅰ）2()sin cos f x x x x =--1cos 21sin 222x x +-12sin 22x x - sin(2)3x π=-- …………………………………4分令2()32x k k Z πππ-=+∈，解得5()212k x k Z ππ=+∈故()y f x =的对称轴方程为5()212k x k Z ππ=+∈ ……………………………………7分（Ⅱ）由02x π≤≤22333x πππ⇒-≤-≤，所以sin(2)13x π≤-≤，从而min 1y =-，max 2y =……13分 19.（Ⅰ）由题知：11sin()sin()cos()24442πππααα+=⇒+=⇒+=±，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππα，所以3(,)424πππα+∈，故1cos()42πα+=-………………………………5分（Ⅱ）因为3cos(),45πβ-=所以4sin()45πβ-=±，又(,)2πβπ∈，故3(,)444πππβ-∈ 从而4sin(),45πβ-=cos()cos[()()]44ππαβαβ+=++-1343cos()cos()sin()sin()4444252510ππππαβαβ=+--+-=-⨯-=-………………………12分 20.（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ (其中0x >)所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间． …………………………5分 （Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩………………………………………8分 ① 若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =； ② 若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <．综上可得0k <或4k =为所求． ………………………………………12分 21. （Ⅰ）222222sin cos tan cot sec +csc =3θθθθθθ+--+ ……………………………………………4分 （Ⅱ）由条件，cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ= 令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++ 1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++………………………………………6分 令sin cos t θθ+=，则sin cos )4t πθθθ=++[∈，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-21t t =+-2111t t =-++-，………………………9分令1u t =-，则21y u u=++，[1]u ∈，且0t ≠，2t ≠-．所以，(,1[322,)y ∈-∞-++∞． 从而()||1f y θ=≥，即min ()1f θ=． ………………………………12分。