北大高微讲义第4章 对偶性

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e( x* ) = 1 ⇒ CRTS ⇒ AC( y) = MC( y) 2011-11-23 < IRTS >
第四章 对偶性
七、补充：一个重要的命题 ¡ 命题： 在要素价格给定的情况下，一个严格凹的生 产函数y=f(x)产生一个严格凹的成本函数c(y)。
¡ 证明：从成本最小化问题出发
Min w1 x1 + w2 x2
（ w, ，如果 y） 给定一个可微的成本函数 ϕ 它满足以上的条件（1）－（4），则它是下列 生产技术的成本函数：
V ∗ ( y) = { x ≥ 0 : wx ≥ ϕ （w, y） ∀ ≥ 0}
¡ 证明
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第四章 对偶性
¡ 证明
第一步：建立一个表达式。 根据Shephard’s lemma, 对于任何的w>0 有
ϕ tw, y）=tϕ （w, y） ∀t > 0 (1)一次齐次性：（ (2)非负性：（ ϕ w，y） ≥ 0 ∀w ≥ 0 ∀y ≥ 0 (3)单调性：（ ϕ w , y） ≥ϕ （w, y） 当w ≥ w
， ，
（4）凹性：（ ϕ w, y）在w上是凹的。
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第四章 对偶性
¡ 定理1
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于是，得到如下表达式： ϕ ( w, y) = wx( w, y) ∀w ≥ 0 (1) 第二步： 根据j（w,y）的凹性特征，给定一个w’≥0,有
ϕ ( w ' , y ) ≤ ϕ ( w , y ) + Dϕ ( w , y )( w ' − w ) = ϕ ( w , y ) + x( w , y )( w ' − w ) = ϕ ( w , y ) + x( w , y )w ' − x( w , y )w = ϕ ( w , y ) + x( w , y )w ' − ϕ ( w , y ) by(1) = w ' x( w , y ) ∀x (2) ∀x ∈ V ( y ) (3)
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i .e ϕ ( w ' , y ) (1) w ' x( w ' , y ) ≤ w ' x( w , y )
¡ 由（3）式显然可知，
对于w’≥0 ，x(w’,y)和x(w,y) 都可以生产y， 而j（w’,y）=w’x(w’,y) 为最小成本。
¡ 推广：
根据（3），对于任何给定的w≥0，有
ϕ (w, y) = w x(w, y) ≤ w x x ∈V * ( y)
ϕ ( w , y ) = ∑ wi ⋅ gi ( w , y ) ≥ 0
i =1
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n
∀w ≥ 0 ∀y ≥ 0
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第四章 对偶性
（3）求证：关于j（w,y） 的单调性。 n 将待选成本函数 ϕ ( w , y ) = ∑ w i g i ( w , y ) 对wi求导，
i =1
n ∂g j ( w , y ) ∂ ϕ ( tw , y ) = gi ( w , y ) + ∑ w j ∂w i ∂w i j =1
∂ϕ ( w , y ) ∂ϕ ( w , y ) x( w , y ) = ( ,LL ) ∂w1 ∂w n
再由于j（w,y）在w上是一次齐次的，故根据数 欧拉定理有
∂ϕ ( w , y ) 1 ⋅ϕ (w , y) = ∑ wi w i = wx ( w , y ) ∂w i i =1
n
其中根据j（w,y）的单调性,有x(w,y) ≥0
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第四章 对偶性
三、对偶关系的推广 四、对偶关系的一种几何说明:等产量曲线和等成 本曲线 1、图形与推导 ¡ 图形 ¡ 推导：两曲线的斜率之间的对偶关系 首先，等成本线在w*的斜率为：
∂c(w ∗ , y ) d w 2 ( w 1* , y ) x1 ( w ∗ , y ) ∂w1 = − = − ∗ ∂c(w , y ) dw1 x2 (w ∗ , y) ∂w 2 2011-11-23 (1)
第四章 对偶性
¡ 一、生产技术和成本函数之间的对偶关系 ¡ 二、生产技术和条件要素需求函数之间的对 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
偶关系 三、对偶关系的推广 四、对偶关系的一种几何说明 五、对偶性的意义 六、应用 七、补充：一个重要的命题
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第四章 对偶性
一、生产技术和成本函数之间的对偶关系 ¡ 已知成本函数具有以下特征
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第四章 对偶性
¡ 运用克莱姆法则：
dλ = d w 1 D 13 + d w 2 D 23 + d y D 33 λ H w e g et λ
2
le t d w 1 = d w 2 = 0 a n d d y ≠ 0 , D 33 dλ = dy λ H (− 1) =
1+ 3
λ f 11 λ f 21 λ H
∗
第四章 对偶性
于是，等产量曲线的斜率为
∗ ∗ dx2 ( x1 ) w1 =− ∗ dx1 w2
(2)
结论： 在给定的分析框架下，由（1）和（2）可得 明确的对偶关系－－ 等成本曲线的斜率是两要素投入数量之比； 等产量曲线的斜率是两要素价格之比。 两者相互对应，且成反方向变化。
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第四章 对偶性
二、生产技术和条件要素需求函数之间的对偶关系 ¡ 定理2 假定一组条件要素需求函数 g i ( w , y ) i =1,2L n 满足以下条件：
(1)零次齐次性：gi ( tw , y ) = gi ( w , y ) ∀t > 0 (2)非负性：gi ( w , y ) ≥ 0 ∂g i ( w , y ) （3） ∂w j ∀i , j ∀w ≥ 0，∀y ≥ 0 构成一个对称的半负定矩阵
1
− λ − λ
f f
1
=
2
0 0 0
2
=
y −
f ( x ) =
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第四章 对偶性
取以上FOC各式的全微分，有
λ f 11 dx1 + λ f 12 dx 2 + f 1 d λ = dw 1 λ f 21 dx1 + λ f 22 dx 2 + f 2 d λ = dw 2 f 1 dx1 +
第四章 对偶性
2、图示：生产函数、成本函数与条件要素需求 函数之间的相互对偶关系 ¡ 四种情况
五、关于对偶性的利用 Key: 厂商的生产技术既可以用生产函数来描述， 也可以用成本函数或利润函数来描述。
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第四章 对偶性
六、应用 [应用1] 已知生产函数y=x1ax2b, 求: （1）成本函数c(w,y)； （2）反过来，由（1）中的成本函数，还原 生产函数。 [应用2] 规模弹性和成本函数 > DRTS
由于总有 MR'( y) ≤ 0, MC'( y) > 0, 因此，SOC成立。
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写成矩阵形式
λ f11 λ f12 f1 λ f21 λ f22 f2 f f 0 1 2
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f 2 dx 2
= dy
dx1 dw1 dx2 = dw2 dλ dy
与严格凹的生产函数 y = f ( x ) 相对应的严 格凸的成本函数 TC ( y ) ，满足利润最大化问题 （内生变量为产量y）的SOC。
Max π ( y) = TR( y) − TC( y)
y
dπ FOC : = MR( y) − MC( y) = 0 ⇒ MR( y) = MC( y) dy d 2π SOC : = MR '( y) − MC '( y) < 0 ⇒ MR '( y) < MC '( y) 2 dy
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第四章 对偶性
其次，等产量线在x*的斜率为：
d x
2 ( x d x 1 ∗ 1
)
=
−
∂ f ( x ∂ x 1 ∂ f ( x ∂ x 2
∗
) )
∗
令w*时的最小成本解为x*，则有FOC
∂ f ( x ∂ x 1 ∂ f ( x ∂ x 2
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∗
) ) = w w
∗ 1 ∗ 2
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第四章 对偶性
¡ 证明：
（1）求证：关于ϕ ( w , y ) 的一次齐次性。
ϕ ( tw , y ) = ∑ tw i ⋅ g i ( tw , y ) = t ∑ w i ⋅ gi ( w , y )
i =1 i =1 n n
= tϕ ( w 来自百度文库 y )
（2）求证：关于 j（w,y）的非负性。
x1 , x2
s.t . f ( x1 , x2 ) = y L( x1 , x2 , λ ) = w1 x1 + w2 x2 + λ( y − f ( x1 , x2 ))
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第四章 对偶性
F O C ∂ L ∂ x 1 ∂ L ∂ x 2 ∂ L ∂ λ = = = : w w
∂gi ( w , y ) = gi ( w , y ) + ∑ w j ∂w j j =1
n
≥0
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第四章 对偶性
ϕ ( w , y ) 的凹性。 （4）求证：关于
∂gi(w , y) ∂ 2ϕ ( t w , y ) = ∂w i∂w j ∂w j
由于j（w,y）的二阶偏导数构成的海塞矩 阵是半负定的，故j（w,y）为凹函数。 结论： 只要条件要素需求函数 gi(w,y) 满足定理2 中的性质，则存在相应的成本函数j（w,y） 满 足定理１中的性质。----> 可以还原到一个相应 的生产技术。
则 g i ( w, y ) i =1,2Ln 是与某生产技术相对应的条 件要素需求函数。
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第四章 对偶性
¡ 证明思路：
第一步:给定一个成本函数的表达式：
ϕ (w , y) =
∑
n
i=1
w i gi (w , y)
第二步：只要证明 若条件要素需求函数 g i ( w , y ) 满足以上三个 性质，则相应的成本函数 ϕ ( w , y ) 便满足定理１ 中的四个性质。----> 于是,定理２成立。
λ f 12 λ f 22 = H λ H = λ H H > 0
w1 w1 Q λ = = = M C ( y) f1 f1 dλ dM C ( y ) d 2T C ( y ) ∴ = = > 0 2 dy dy dy
成本函数C(y)为严格凸函数。
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第四章 对偶性
¡ 命题的意义