第七章 拉弯和压弯构件

承载 能力 极限 状态
强度 整体稳定
实腹式 稳定 局部稳定
平面内稳定 平面外稳定
格构式
弯矩绕实轴作用 弯矩绕虚轴作用 (平面外稳定 计算分肢稳定)
正常 使用 极限 状态
刚度
max max x , y [ ]
[ ] 取值同轴压构件。
§7-2
拉弯和压弯构件的强度
一、截面应力的发展 以工字形截面压弯构件为例：
(a) 例题7-1
(b)
解：屋架下弦截面特性
A 28.373 2 56.75cm2
Wx max 956 2 324.7cm3 5.89
Wx min
956 2 157.9cm3 12.11
由附录查得 x1 1.05 ， x 2 1.2 强度验算
N M 280 103 50000 103 A x1Wx max 5675 1.05 324.7 103 196.0 215 N / mm 2
第 七 章
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大纲要求:
1、了解拉弯和压弯构件的应用和截面形式；
2、了解压弯构件整体稳定的基本原理；掌握其计算方法； 3、了解实腹式压弯构件局部稳定的基本原理；掌握其计 算方法； 4、掌握拉弯和压弯的强度和刚度计算; 5、掌握实腹式压弯构件设计方法及其主要的构造要求； 6、掌握格构式压弯构件设计方法及其主要的构造要求；
a)
z e Nk
b)
0
=N/A
①
B1
1
②
B2 B3
2＞ 1 3＞ 2
y m y
l1 l
③
z
l/ 2
y e
Nk
c)
_
1
2
3
ym
_ +
_ +
_ +
实用计算公式的推导： 假设两端铰支的压弯构件，变形曲线为正弦曲线, 其受压最大边缘纤维应力达到屈服点时，承载力用下 式表达：
式中:
M x N e0 N 1 N Np M e (1 ) N Ex
单向压弯（拉弯）：
Mx N f An xWnx
双向压弯（拉弯）：
(6 3)
My Mx N f An xWnx yWny
(6 4)
三、相关公式的由来：
强度极限—截面出现塑性铰为强度承载能力极限状态
以矩形截面压弯构件为例：
H N
fy (A) (B) (C) fy
h/2-y0 h/2-y0 2y0
Mx N f An xW nx
( 6 3)
上式即为规范给定的在N、Mx作用下的强度计算公式。 对于在N、Mx 、My作用下的强度计算公式，规范采用 了与上式相衔接的线形公式：
My Mx N f An xW nx yW ny
( 6 4)
M x , M y ——两个主轴方向的弯矩 x , y ——两个主轴方向的塑性发展系数
【例题7－2】图中所示为用I10制作的两端铰接压弯构 件，材质为Q235，因有侧向支撑而不会发生弯扭屈曲。 验算构件在三种受力情况下的承载力。除承受相同的 轴心压力N=16kN外，作用的弯矩分别为：
（a）左端弯矩Mx=10kN· m； （b）两端作用弯矩值相同，Mx=10kN· m，并使构件产生 同向曲率；
§7-1
一、应用
概述
一般工业厂房 和多层房屋的框
e N
M
N
架柱均为拉弯和
压弯构件。
a)
N e
b)
N
e N N
二、截面形式
a)
b)
三、计算内容
拉弯构件：
承载能力极限状态：强度
正常使用极限状态：刚度
max max x , y [ ]
[ ] 取值同轴压构件。
压弯构件：
(D)
h/2-y0
H
2y0
x
x
h/2-y0
fy
当M＝0时，截面上所承受的最大压力为全截面屈服时 的压力：
N p Afy bhfy
当N＝0时，截面上所承受的最大弯矩为全截面的塑性 铰弯矩：
bh2 M p Wp f y fy 4
将Np和Mp代入，得
M M（ p 1
4 y 02 h
x 塑性发展系数； mx 等效弯矩系数，取值如 下：
规范βmx对作出具体规定： 1、框架柱和两端支承构件
（1）没有横向荷载作用时： mx 则取异号，｜M1｜≥｜M2｜
M1、 M2为端弯矩，无反弯点时取同号，否
M2 0.65 0.35 M1
（2）有端弯矩和横向荷载同时作用时: 使构件产生同向曲率时: βmx =1.0 使构件产生反向曲率时: βmx =0.85

( 6 6)
将式（6-6）代入式（6-5），并令：N0=φ xNp，经整 理得： Mx N 1 (6 7) x Np N Me 1 x N Ex 考虑抗力分项系数并引入弯矩非均匀分布时的等效弯 矩系数β mx后，得
N x A
mx M x
（安全）
验算构件在弯矩作用平面内的稳定性
mx 0.65 0.35M 2 M1 0.65
lox 330 x 80 ix 4.14
按a类截面查附表，得 x 0.783
EA 206 10 14.3 10 N 2 2 1.1x 1.1 80
2
）
2 y0 N Np h
由以上两式，得
N 2 M （ ） 1 Np Mp
含义：表示压弯构 件矩形截面上出现 塑性铰，即达到强 度承载能力极限状 态时轴力和弯矩的 相关公式。
N、M无量纲相关曲线是一条外凸曲线，规范为简化 计算采用直线代替，其方程为：
式中：
N Mx 1 N p M px
( 6 5)
N、Mx—轴心压力和沿构件全长均布的弯矩; e0—各种初始缺陷的等效偏心距； Np—无弯矩作用时，全截面屈服的极限承载 力， Np =Afy； Me—无轴心力作用时，弹性阶段的最大弯矩, Me=W1xfy
1 1 - N N Ex —压力和弯矩联合作用下的弯矩放大因数;
N Ex


（安全）
构件在(a)、(b)、(c)情况下虽然轴心压力 和最大弯矩值都相同的，但由于弯矩分布不同， 所以承载力就有区别。(a)、(c)由构件端部截面 的强度控制，而(b)则由稳定承载力控制构件的截 面设计。
设计值 N
解：构件的最大一阶弯矩设计值Mx=3.584kN· m
仅有横向荷载作用：βmx =1.0
fy x x h
fy
fy
fy
H
(D)
b
对于矩形截面压弯构件，由图（D）内力平衡条 件可得：
H N
h
b
fy
h/2- y0 h M bf（ y0） y0 + 2 （2 ） y 2 2 h h bf（ y0） y0） （ y 2 2 2 2 4 y 02 h bh 2 bf（ y 0）= f（ 2 ） y y 1 4 4 h 2 y0 N 2 y 0 f y = bhf y b h
x1 1.05， x2 1.2
lox 320 110.3 长细比： x ix 2.9
按b类截面查附表，得 x 0.491
EA 206 10 14.424 10 N 2 2 1.1x 1.1110.3
（3）仅有横向荷载时：βmx =1.0 2、悬臂构件: βmx =1.0
对于单轴对称截面，当弯矩使较大翼缘受压时，受拉
区可能先受拉出现塑性，为此应满足：
mx M x N － f A W (1 1.25 N ) 2x 2x N Ex
(6 10)
式中： W 2 x 对无翼缘端（受拉边缘 ）的毛截面模量； 其余符号同前。
2 2 3 ' Ex
2
412.6 103 N
mx M x N 14.29 130.38 ' x A xW1x 1 0.8 N N Ex


144.7 215 N mm2
（安全） （b）∵ mx 1.0 ,∴只需验算构件的整体稳定：
mx M x N 14.29 200.59 214.9 215 N mm2 x A xW1x 1 0.8 N N Ex
Af fy
Aw
hw
Af
h
(A)
(A)弹性工作阶段
N M fy A W
(6 1)
(B)最大压应力一侧截面部分屈服 (C)截面两侧均有部分屈服 (D)塑性工作阶段—塑性铰(强度极限)
fy
H N
Aw
H
Af fy fy (C)
(A)
(B)
(D)
ηh
h-2η h
hw
h
ηh
Af
fy
fy
fy
二、强度验算公式
如工字形， x 1.05
y 1.20
其他截面的塑性发展系数见教材。 当翼缘外伸宽度b与其厚度t之比满足: b
Y X X
235 b 235 13 15 时， x 1.0 fy t fy
t
Y
需要计算疲劳的拉弯压弯构件: x
y 1.0
【例题7－1】验算屋架下弦的强度。该构件材料 为Q235－A· F,承受静力荷载，荷载设计值为轴向 力N=280kN，弯矩M=50kN· m，截面无削弱，计算图 式如图。
N 计算段轴心压力设计值 ； N N Ex 1.1，N Ex EA x Ex 1.1 抗力分项系数 R的均值； 0.8 修正系数; x 弯矩作用平面内轴压构 件的稳定系数； M x 计算区段的最大弯矩；
2
W1 x 在弯矩作用平面内对较 大受压纤维的毛截面模 量；
N W1x (1 x ) N Ex
f
( 6 8)
上式是由弹性阶段的边缘屈服准则导出的，与实腹式 压弯构件的考虑塑性发展理论有差别，规范在数值计 算基础上给出了以下实用表达式：
N x A
式中：
mx M x
N xW1x (1 0.8 ) N Ex
2
f
( 6 9)
（安全）
（c） 10 mx 0.65 0.35 M 2 M 1 0 0.3 构件强度计算与（a）同。.65 0.35
10
，
整体稳定验算：
mx M x N 14.29 0.3 200.59 74.5 215 N mm2 ' x A xW1x 1 0.8 N N Ex
N p Af y M px W px f y
N Np
由于全截面达到塑性 状态后，变形过大， 因此规范对不同截面 限制其塑性发展区域 为（1/8-1/4）h
1.0
N Mx 1 N p M px
0
1.0
Mx M px
因此，令： N p An f y 抗力分项系数，得：
M px xWnx f y 并引入
π 2 EA

2 x
——欧拉临界力;
M x N e0 N 1 N Np M e (1 ) N Ex
( 6 5)
在上式中，令Mx=0，则式中的N即为有缺陷的轴心受压构 件的临界力N0，得：
e0
M e N p N 0 N Ex N 0 N p N 0 N Ex

（c）两端作用弯矩值相同，Mx=10kN· m，但使构件产生 反向曲率。
1100
1100
1100
3300
x
=10kN m =10kN m
x
x
=10kN m
解：截面特性由附表查得
A 14.3cm 2
Wx 49cm3
i x 4.14cm
(a) 先按最大弯矩截面验算构件的强度：
N Mx 16 103 10 106 2 An xWnx 14.3 10 1.05 49 103 205.6 215 N mm2
双向压 弯实腹 式 构件
整体稳定
局部稳定 整体稳定
弯矩作用平面内稳定 ——弯曲失稳 弯矩作用平面外稳定——弯扭失稳
——弯扭失稳
二、单向压弯构件在弯矩作用平面内的稳定计算方法 边缘纤维屈服准则 极限承载力准则 实用相关公式
三、单向压弯构件弯矩作用平面内的稳定 在弯矩作用平面内失稳属第二类稳定，偏心压杆的 临界力与其相对偏心率 e 有关， W A为截面核心 矩， e 大则临界力低。
N M 280 103 50000 103 A x 2Wx min 5675 1.2 157.9 103 214.5 215 N mm 2
负号表示受压
§7-3
一、失稳形式
实腹式压弯构件的稳定
双对称轴截面——弯矩绕强轴 单对称轴截面——弯矩作用在对称轴平面内
单向压 弯实腹 式 构件