测量误差理论基本知识及事例
测量学第5章测量误差的基本知识
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
测量误差基本知识(测)课件
03
随机误差
定义与特点
定义
随机误差是指在多次测量中，由于随 机因素的影响而引起的测量值之间的 差异。
特点
随机误差具有随机性、独立性和不可 预测性，每次测量的结果都是独立的 ，无法通过一次测量结果来预测下一 次的测量结果。
产生原因与消除方法
产生原因
随机误差的产生主要是由于测量过程中一些随机因素的影响 ，如测量环境的温度、湿度、气压等微小波动，测量仪器的 微小震动、测量操作者的微小疲劳等。
误差的表示与处理
表示
绝对误差、相对误差、引用误差。
处理
通过校准、修正、统计方法来减小误差，提高测量精度。
02
系统误差
定义与特点
系统误差是由于测量系统中一些固定因素的影响而导致的误差，具有可预测性和 重复性。
系统误差是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次测量时，误差的大小和符 号保持不变或按照一定的规律变化。这种误差不是偶然的，而是由于测量系统中 某些固定因素引起的。
04
过失误差
定义与特点
定义
过失误差是由于测量过程中人为的、 可以避免的原因造成的误差。
特点
具有可预测性和可控制性，通常会导 致测量结果系统性偏高或偏低。
产生原因与预防措施
产生原因
测量人员操作不规范、读数错误、设备 使用不当等。
VS
预防措施
加强测量人员培训，确保掌握正确的操作 方法和流程；实施定期校准和维护测量设 备；建立严格的测量质量控制体系。
消除方法
无法完全消除随机误差，但可以通过增加测量次数取平均值 的方法减小随机误差的影响。同时，保持测量环境的稳定、 选择高精度的测量仪器、提高测量操作者的技能水平等也可 以减小随机误差。
测量误差基本知识(全面实例)
频率直方图
偶然误差具有正态分布的特性
四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性：
1 2 n 0 lim lim n n n n
(5-1-2)
y
正态分布曲线
-ห้องสมุดไป่ตู้4
-21 -15 -18 -12
-9 -6
-3 +3 +9 +15 +21 0 +6 +12 +18 +24
第五章第六章
第五章 测量误差基本知识
内容提要：
第五章 测量误差基本知识
学习要点
◆建立测量误差的基本概念 ◆观测值的中误差 ◆观测值函数的中误差
内容提要第 六章
——误差传播定律 ◆权的概念
#测量误差的基 本概念
5.1 测量误差的分类
讨论测量误差的目的：
用误差理论分析、处理测量误差，评定 测量成果的精度，指导测量工作的进行。
2
2
2
(5-5-10)
三.几种常用函数的中误差
求观测值函数中误差的步骤：
三.几种常用函数 的中误差
(1).列出函数式； (2).对函数式求全微分； (3).套用误差传播定律，写出中误差式。 例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量 的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。 解：由题意 ma 500 / 4000 0.125米, mb 440 / 4000 0.11米
平均
表5-3 算
vv
计
854245[ 0 ]
16算术平均值: 25 l1 l2 l3 l4 l5 x 854245 9 5 1 观测值的中误差： 9 [vv] 60 m 3". 9 n 1 5 1 [ 60 ]
测量学测量误差的基本理论课件
测量不确定度表示测量结果的可信程度或不确定性，是衡量测量结果可
靠性的指标。
02
不确定度的评定方法
不确定度的评定方法包括A类和B类两种，A类是基于数据统计的分析方
法，B类是基于经验或专家判断的分析方法。
03
不确定度的报告
在报告测量结果时，应同时报告测量不确定度，以便使用者了解该测量
结果的可信度和可靠性。
测量误差的来源
01
02
03
测量设备误差
由于测量设备的精度限制 、老化、磨损等原因，导 致测量结果存在误差。
测量环境误差
由于环境因素（如温度、 湿度、气压、风速等）的 影响，使得测量结果存在 误差。
测量方法误差
由于测量方法的不完善、 不准确等原因，导致测量 结果存在误差。
测量误差的分类
系统误差
由于某种固定的原因导致 的误差，这种误差具有重 复性和规律性。
测量学测量误差的基本 理论课件
目录 CONTENT
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的传递与合成 • 测量误差的实例分析
01
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到各种因素的 影响，使得测量结果与被测量的真实 值之间存在一定的差异。
真实值
被测量的客观存在的值，但由于受到 各种因素的影响，我们无法得到真正 的真实值，只能通过多次测量取平均 值等方法来尽可能接近真实值。
方差法
通过计算测量值的方差来评估随 机误差的大小。
贝塞尔公式法
利用贝塞尔公式计算标准差，以 评估随机误差的大小。
最大残差法
通过比较实际测量值与理论值之 间的最大残差来评估随机误差的
第5章测量误差的基本知识
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
测量误差的基本知识
3、定权的常用方法
① 等精度观测值算术平均值的权 ：λ＝m（观
测值中误差），
，则Pn＝n
② 水准测量的权：水准路线的权与路线长度成 反比，即Pi＝K/Li
二、加权平均值及其中误差
1.加权平均值
例：L=(2L1+4L2)/(2+4)
2.单位权中误差（m0）
m0
[P] n
[PVV ] n 1
例4：在△ABC中，测量得a＝137.285±0.012m
∠A=56 °35′18″±38″, ∠B=38°30′32″±26″
求b及其中误差？ 解：b=asin ∠B/sin ∠A
=137.285sin 38°30′32″/sin56 °35′18″＝102.402 db＝b/a da＋b ctan ∠B (d ∠B/ρ″)
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
权
P×L V(mm)
L1
70.344
4
2.5
175.86
1
L2
70.339
2.5
4
281.356
-4
L3
70.352
8.5
1.2
84.422
9
∑
70.343
7.7
541.638
Pvv 2.5 64 97.2 163.7
加权平均值: HP= ［PL］/［P］=70.343m
单位权中误差：m0=
= ±9mm
所以瞄准一个方向的中误差为： 上半测回角值：β半＝b－a 半测回角值差： 半测回差取2m＝ ±34 ″，考虑到其它不利因
素 ，所以取半测回差应该小于40 ″。 一测回角值： β＝（ β上 ＋ β下 ）/2 一测回角值精度m β= ±8.5 ″
误差基本知识
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
（三） 粗差
三、偶然误差的特性
偶然误差的定义： 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：
1
真 误 差
2
真 值
3
观 测 值
具有一定的范围。
绝对值小的误差出现概率大。
－ 2″
4
∑
620
一测回观测值中误差 ″
用最或然误差计算观测值中误差
01
在通常情况下，观测值的真值是不知道的，因此，也就无法根据真误差计算中误差。但是，我们可以根据算术平均值x与观测值l之差，即最或然误差 按下式来计算观测值的中误差，即：
m1<m2，表示第一组观测值的精度高于第二组。
例2、用J6经纬仪对三角形内角观测了5个 测回，计算一测回的观测值中误差。
测回数
观测值
△
△△
1
180°00′16″
＋16″
256
2
179°59′46″
－14″
196
3
180°00′10″
＋ 10″
100
4
179°59′52″
－ 8″
64
5
179°59′58″
1、求改正数 外业观测结果经校核符合要求后，可通过求改正数的方法以消除不符值（闭合差）。 如：多边形内角和与理论值 [（n-2）×180°]存在不符值。 其改正数为 v =﹣w/n 式中：v为改正数，n为多边形边数， w为多边形闭合差。 导线测量中因边长误差引起的坐标增量闭合差，也可通过求改正数的方法予以消除。水准测量中各测站的高差误差导致水准路线产生的高差闭合差，同样可通过求改正数的方法消除。
第五章误差理论的基本知识
Δi = Li - X ( i = 1,2,…,n)
|误差区间| （〃） 0.00 ~ 0.50 0.50 ~ 1.00 1.00 ~ 1.50 1.50 ~ 2.00 2.00 ~ 2.50 2.50 ~ 3.00 3.00 ~ 3.50 3.50 ~ ∞ ∑ Δ 为负值 个数 V 频率ω 121 0.148 90 0.110 78 0.095 51 0.062 39 0.048 15 0.018 9 0.011 0 0 403 0.493 Δ 为正值 个数 V 频率ω 123 0.151 104 0.127 75 0.092 55 0.067 27 0.033 20 0.024 10 0.012 0 0 414 0.507 总数 244 194 153 106 66 35 19 0 817
(例 ) 水准测量在水准点1~6各点之间往返各测了一次，各 水准点间的距离均为1km，各段往返测所得的高差见 下表。求：往返测较差的中误差？单程观测的高差测 量中误差？ 测段 高差观测值(m)
往测h 返测h
d h h
+3 -3 +5
dd 9 9
1~2 2~3 3~4
-0.185 +1.626 +1.435
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行多次 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同， 从表面上看没有任何规律性。
2．系统误差的特点：
具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过 一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、
水准仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。
实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测 来说，不论其观测条件如何，也不论是对一个量还是对 多个量进行观测，这组观测误差必然具有上述四个特性。 而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明 显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性。
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi (i=1，2，…,n )(6—8）【例】设有两组同精度观测值，其真误差分别为:第一组—3″、+3″、-1″、—3″、+4″、+2″、—1″、—4″； 第二组+1″、—5″、—1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″. 试比较这两组观测值的精度，即求中误差.解：由于m 1〈m 2,可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度,并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式,即（6—10）三、误差传播定律【例】丈量某段斜距S =106.28m ，斜距的竖角，斜距和竖角的中误差分别为、,求斜距对应的平距D 及其中误差。
解：平距由于是一个非线性函数,所以，对等式两边取全微分,化成线性函数，并用“”代替“d ”得 再根据（6-29)式,可以直接写出平距方差计算公式,并求出平距方差值因此，平距的中误差为：m D =±5 cm.则最终平距可表示为:D =105。
113±0.050 m 。
应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。
例如,上例中的角值需要化为弧度。
综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式 对函数式进行全微分 写出中误差关系式应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。
n m ] [∆∆ ±=【例】用长度为l=30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=±5mm，求全长D及其中误差m D。
解：列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式则，全长的中误差为m D=±如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l，写出全长D的中误差关系式并计算中误差m D=10·m=10·5=±50mm。
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
工程测量第五章测量误差的基本知识
二、非线性函数的中误差
设非线性函数 F f ( x1 , x2 , , xn ) F F F 取全微分：dF dx1 dx2 dxn x1 x2 xn F F F 则真误差关系式为： F x1 x2 xn x1 x2 xn F 2 2 F 2 2 F 2 2 此式子是一线性表达式 ：m ( ) mx1 ( ) m x2 ( ) m xn x1 x2 xn
同样可以推导出 F x1 x 2 x n
2 2 2 其函数中误差公式为： mF mx m m 1 x2 xn
3、线性函数的中误差
线性函数：F k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 2 其函数中误差公式为： mF k12 mx k m k 1 2 x2 n mxn
三、测量精度分析
1、有关水准测量的精度分析 1）在水准尺上读一个数的中误差 ①水准仪置平的误差 由于受人视觉限制，气泡偏离中点的误差为分划值的0.15 S 倍，其影响在水准尺上的读数为： m 0.15 ②瞄准误差 人眼把两点的视角小于1′的情况看做为一点。用放大倍 30 数为v的望远镜照准目标，照准精度为： 60 2v v 30 S 照准精度在水准尺上的影响为： m v ③读数误差 读数误差与水准尺的分划有关，对分划为1cm的水准尺， 读数误差约为1.5mm，水准尺上的读数影响为：m3 1.5mm 综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为： m m m m
第五章 误差的基本知识
测量误差=观测值－真值（理论值）
第一节 测量误差产生的原因及其分类
测量误差主要由测量仪器、测量人员、测量环境造 成。其可以分为系统误差和偶然误差两大类。粗差是错 误，不是误差。
建筑工程测量测量误差的基本知识
第五节测量误差基础知识一、测量误差概述1．测量误差产生的原因测量时,由于各种因素会造成少许的误差,这些因素必须去了解,并有效的解决,方可使整个测量过程中误差减至最少;实践证明,产生测量误差的原因主要有以下三个方面;1人为因素;由于人为因素所造成的误差,包括观测者的技术水平和感觉器管的鉴别能力有一定的局限性,主要体现在仪器的对中、照准、读数等方面;2测量仪器的原因;由于测量仪器的因素所造成的误差,包括测量仪器在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差及使用前未经校正等因素;3环境因素;外界观测条件是指野外观测过程中,外界条件的因素,如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周围建筑物的状况,以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等;测量时受环境或场地之不同,可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着;热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下,因此必须在温湿度控制下,不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量;但为了缩短加工时在加工中需实时测量,因此必须考虑各种材料之热胀系数作为补偿,以因应温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差;在实际的测量工作中,大量实践表明,当对某一未知量进行多次观测时,不论测量仪器有多精密,观测进行得多么仔细,所得的观测值之间总是不尽相同;这种差异都是由于测量中存在误差的缘故;测量所获得的数值称为观测值;由于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值简称为真值之间存在差异,这种差异称为测量误差或观测误差;用L代表观测值,X代表真值,则误差=观测值L—真值X,即∆ 5-1X=L-这种误差通常又称之为真误差;由于任何测量工作都是由观测者使用某种仪器、工具,在一定的外界条件下进行的,所以,观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏;通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件;观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好,则测量误差小,测量的精度就高；反之,则测量误差大,精度就低；若观测条件相同,则可认为精度相同;在相同观测条件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测;由于在测量的结果中含有误差是不可避免的,因此,研究误差理论的目的不是为了去消灭误差,而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究,以便解决测量工作中遇到的一些实际问题;例如：在一系列的观测值中,如何确定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以及如何确定误差的限度等;所有这些问题,运用测量误差理论均可得到解决;二、测量误差的分类测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：一系统误差在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,若误差的大小和符号保持不变,或按照一定的规律变化,这种误差称为系统误差;例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差,与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差,随视线竖直角的大小而变化且符号不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变;这些误差都属于系统误差;系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响,例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响,如风力、温度及大气折光等的影响;系统误差的特点是具有累积性,对测量结果影响较大,因此,应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响;方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采取一定的措施来消除或减弱系统误差的影响;例如在水准测量中,保持前视和后视距离相等,来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时,采取盘左和盘右观测取其平均值,以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差;另一种是找出系统误差产生的原因和规律,对测量结果加以改正;例如在钢尺量距中,可对测量结果加尺长改正和温度改正,以消除钢尺长度的影响;二偶然误差在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即从表面上看,误差的大小和符号均呈现偶然性,这种误差称为偶然误差;例如在水平角测量中照准目标时,可能稍偏左也可能稍偏右,偏差的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时,可能偏大也可能偏小,其大小也不一样,这些都属于偶然误差;产生偶然误差的原因很多,主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制,如观测者的估读误差、照准误差等,以及环境中不能控制的因素如不断变化着的温度、风力等外界环境所造成;偶然误差在测量过程中是不可避免的,从单个误差来看,其大小和符号没有一定的规律性,但对大量的偶然误差进行统计分析,就能发现在观测值内部却隐藏着一种必然的规律,这给偶然误差的处理提供了可能性;测量成果中除了系统误差和偶然误差以外,还可能出现错误有时也称之为粗差;错误产生的原因较多,可能由作业人员疏忽大意、失职而引起,如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的;错误对观测成果的影响极大,所以在测量成果中绝对不允许有错误存在;发现错误的方法是：进行必要的重复观测,通过多余观测条件,进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等;在测量的成果中,错误可以发现并剔除,系统误差能够加以改正,而偶然误差是不可避免的,它在测量成果中占主导地位,所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响;下面详细分析偶然误差的特性;三、偶然误差的特性偶然误差的特点具有随机性,所以它是一种随机误差;偶然误差就单个而言具有随机性,但在总体上具有一定的统计规律,是服从于正态分布的随机变量;在测量实践中,根据偶然误差的分布,我们可以明显地看出它的统计规律;例如在相同的观测条件下,观测了217个三角形的全部内角;已知三角形内角之和等于180°,这是三内角之和的理论值即真值X,实际观测所得的三内角之和即观测值L;由于各观测值中都含有偶然误差,因此各观测值不一定等于真值,其差即真误差Δ;以下分两种方法来分析：一表格法由5-1式计算可得217个内角和的真误差,按其大小和一定的区间本例为dΔ=3″,分别统计在各区间正负误差出现的个数k及其出现的频率k/nn=217,列于表5-1中;从表5-1中可以看出,该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27″;实践证明,对大量测量误差进行统计分析,都可以得出上述同样的规律,且观测的个数越多,这种规律就越明显;表5-1 三角形内角和真误差统计表二直方图法为了更直观地表现误差的分布,可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来表示;以真误差的大小为横坐标,以各区间内误差出现的频率k /n 与区间d △的比值为纵坐标,在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形,则各矩形的面积等于误差出现在该区间内的频率k /n ;如图5-1中有斜线的矩形面积,表示误差出现在+6″～+9″之间的频率,等于;显然,所有矩形面积的总和等于1;可以设想,如果在相同的条件下,所观测的三角形个数不断增加,则误差出现在各区间的频率就趋向于一个稳定值;当n →∞时,各区间的频率也就趋向于一个完全确定的数值——概率;若无限缩小误差区间,即d △→0,则图5-1各矩形的上部折线,就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线如图5-2所示,称为误差概率分布曲线,简称误差分布曲线,在数理统计中,它服从于正态分布,该曲线的方程式为式中：Δ为偶然误差；σ＞0为与观测条件有关的一个参数,称为误差分布的标准差,它的大小可以反映观测精度的高低;其定义为：在图5-1中各矩形的面积是频率k /n ;由概率统计原理可知,频率即真误差出现在区间d △上的概率P Δ,记为22221)(σπσ∆-=∆ef 5-2[]nn ∆∆=∞→limσ5-3根据上述分析,可以总结出偶然误差具有如下四个特性：1 有限性：在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；3 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；4 抵偿性：当观测次数无限增多时,偶然误差的算术平均值趋近于零;即[]0lim=∆∞→nn 5-5式中 []∑=∆=∆++∆+∆=∆n i i n 121在数理统计中,也称偶然误差的数学期望为零,用公式表示为E Δ=0; 图5-2中的误差分布曲线,是对应着某一观测条件的,当观测条件不同时,其相应误差分布曲线的形状也将随之改变;例如图5-3中,曲线I 、II 为对应着两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线,它们均属于正态分布,但从两曲线的形状中∆∆=∆∆=∆d f d d nk P )(/)(5-4可以看出两组观测的差异;当Δ=0时,πσ21)(11=∆f ,πσ21)(22=∆f ;πσ211、πσ212是这两误差分布曲线的峰值,其中曲线I 的峰值较曲线II 的高,即σ1＜σ2,故第I 组观测小误差出现的概率较第II 组的大;由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1,所以当小误差出现的概率较大时,大误差出现的概率必然要小;因此,曲线I 表现为较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小,因而观测精度较高;而曲线II 相对来说较为平缓,即离散度较大,因而观测精度较低;第二节 评定精度的指标研究测量误差理论的主要任务之一,是要评定测量成果的精度;在图5-3中,从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的,表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的,则表示该组观测精度较低;用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低,但这种方法即不方便也不实用;因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况,而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度,用它来评定观测成果的精度,就是说需要有评定精度的指标;在测量中评定精度的指标有下列几种：一、 中误差由上节可知5-3式定义的标准差是衡量精度的一种指标,但那是理论上的表达式;在测量实践中观测次数不可能无限多,因此实际应用中,以有限次观测个数n 计算出标准差的估值定义为中误差m ,作为衡量精度的一种标准,计算公式为nm ][ˆ∆∆±=±=σ5-6例5-1有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角,得三角形的闭合差即三角形内角和的真误差分别为：甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″； 乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″; 试分析两组的观测精度; 解用中误差公式5-6计算得：()()()()()3.46534156][0.26301213][222222222222''±=+-+-++-+±=∆∆±=''±=-++-+-++±=∆∆±=）（乙甲nm n m从上述两组结果中可以看出,甲组的中误差较小,所以观测精度高于乙组;而直接从观测误差的分布来看,也可看出甲组观测的小误差比较集中,离散度较小,因而观测精度高于乙组;所以在测量工作中,普遍采用中误差来评定测量成果的精度;注意：在一组同精度的观测值中,尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异,而观测值的中误差却是相同的,因为中误差反映观测的精度,只要观测条件相同,则中误差不变;在公式5-2中,如果令f Δ的二阶导数等于0,可求得曲线拐点的横坐标Δ=±σ≈m ;也就是说,中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标;从图5-3也可看出,两条观测条件不同的误差分布曲线,其拐点的横坐标值也不同：离散度较小的曲线I,其观测精度较高,中误差较小；反之离散度较大的曲线II,其观测精度较低,中误差则较大;二、相对误差真误差和中误差都有符号,并且有与观测值相同的单位,它们被称为“绝对误差”;绝对误差可用于衡量那些诸如角度、方向等其误差与观测值大小无关的观测值的精度;但在某些测量工作中,绝对误差不能完全反映出观测的质量;例如,用钢尺丈量长度分别为100 m 和200 m 的两段距离,若观测值的中误差都是±2 cm,不能认为两者的精度相等,显然后者要比前者的精度高,这时采用相对误差就比较合理;相对误差K 等于误差的绝对值与相应观测值的比值;它是一个不名数,常用分子为1的分式表示,即T1==观测值误差的绝对值相对误差式中当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时,K 称为相对中误差;mD Dm K 1==5-7在上例中用相对误差来衡量,则两段距离的相对误差分别为1/5000和1/10000,后者精度较高;在距离测量中还常用往返测量结果的相对较差来进行检核;相对较差定义为DD D D D D D ∆=∆=-平均平均平均返往1 5-8相对较差是真误差的相对误差,它反映的只是往返测的符合程度,显然,相对较差愈小,观测结果愈可靠;三、极限误差和容许误差 一极限误差由偶然误差的特性一可知,在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值;这个限值就是极限误差;在一组等精度观测值中,绝对值大于m 中误差的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于2m 的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于3m 的偶然误差,出现的概率仅为%;根据式5-2和式5-4有上式表示真误差出现在区间-σ,+σ内的概率等于,或者说误差出现在该区间外的概率为;同法可得上列三式的概率含义是：在一组等精度观测值中,绝对值大于σ的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于2σ的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于3()955.021)(222222222≈∆=∆∆=<∆<-⎰⎰+-∆-+-σσσσσπσσσd ed f P ()997.021)(333323322≈∆=∆∆=<∆<-⎰⎰+-∆-+-σσσσσπσσσd e d f P ()683.021)(222≈∆=∆∆=<∆<-⎰⎰+-∆-+-σσσσσπσσσd ed f Pσ的偶然误差,出现的概率仅为%;在测量工作中,要求对观测误差有一定的限值;若以m 作为观测误差的限值,则将有近32%的观测会超过限值而被认为不合格,显然这样要求过分苛刻;而大于3m 的误差出现的机会只有3‰,在有限的观测次数中,实际上不大可能出现;所以可取3m 作为偶然误差的极限值,称极限误差,m 3=∆极;二容许误差在实际工作中,测量规范要求观测中不容许存在较大的误差,可由极限误差来确定测量误差的容许值,称为容许误差,即m 3=∆容当要求严格时,也可取两倍的中误差作为容许误差,即m 2=∆容如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差,则认为该观测值不可靠,应舍去不用或重测;第三节 误差传播定律前面已经叙述了评定观测值的精度指标,并指出在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标;但在实际测量工作中,往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,而由一些可以直接观测的量,通过函数关系间接计算得出,这些量称为间接观测量;例如用水准仪测量两点间的高差h ,通过后视读数a 和前视读数b 来求得的,h =a －b ;由于直接观测值中都带有误差,因此未知量也必然受到影响而产生误差;说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律,叫做误差传播定律,它在测量学中有着广泛的用途;一、 误差传播定律设Z 是独立观测量x 1,x 2,…,x n 的函数,即 )(21n x x x f Z ，，， = a式中：x 1,x 2,…,x n 为直接观测量,它们相应观测值的中误差分别为m 1,m 2,…,m n ,欲求观测值的函数Z 的中误差m Z ;设各独立变量x i i =1,2,…,n 相应的观测值为L i ,真误差分别为Δx i ,相应函数Z 的真误差为ΔZ ;则因真误差Δx i 均为微小的量,故可将上式按泰勒级数展开,并舍去二次及以上的各项,得:a 减去b 式,得上式即为函数Z 的真误差与独立观测值L i 的真误差之间的关系式;式中ix f∂∂为函数Z 分别对各变量x i 的偏导数,并将观测值x i =L i 代入偏导数后的值,故均为常数;若对各独立观测量都观测了k 次,则可写出k 个类似于c 式的关系式将以上各式等号两边平方后再相加,得上式两端各除以k ,因各变量x i 的观测值L i 均为彼此独立的观测,则Δx i Δx j 当i ≠j 时,亦为偶然)(2211n n x x x x x x f Z Z ∆+∆+∆+=∆+，，， )()(221121n nn x x fx x f x x f x x x f Z Z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂+=∆+ ，，， 2211n nx x f x x f x x f Z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1( k n n k k k n n n n x x f x x f x x f Z x x f x x f x x f Z x x f x x f x x f Z [][][][][]j i nji j i j i n n x x xf x f x x f x x f x x f Z ∆∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∆∑≠=1,22222221212 [][][][][]k x x x f x fk x x fkx x fkx x fkZ j i n ji j i j inn ∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∆∑≠=1,22222221212][lim=∆∆∞→kx x j i k b误差;根据偶然误差的第四个特性可知,上式的末项当k →∞时趋近于0,即故上式可写为 根据中误差的定义,上式可写成当k 为有限值时,即22222221212n n z m xf m x f m x f m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 5-9 或2222222121n nz m xf m x f m x f m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±= 5-10式中ix f∂∂为函数Z 分别对各变量x i 的偏导数,并将观测值x i =L i 代入偏导数后的值,故均为常数;公式5-9或5-10即为计算函数中误差的一般形式;从公式的推导过程,可以总结出求任意函数中误差的方法和步骤如下： 1．列出独立观测量的函数式：)(21n x x x f Z ，，， = 2．求出真误差关系式;对函数式进行全微分,得n ndx x fdx x f dx x f dZ ∂∂++∂∂+∂∂=2211 因dZ 、dx 1、dx 2、…都是微小的变量,可看成是相应的真误差ΔZ 、Δx 1、Δx 2、…,因此上式就相当于真误差关系式,系数ix f∂∂均为常数; 3．求出中误差关系式;只要把真误差换成中误差的平方,系数也平方,即可直接写出中误差关系式：[][][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∆∞→∞→kx x fkx x fkx x f kZ nn k k 22222221212lim lim 22222221212n nz xf x f x f σσσσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=22222221212n nzm xf m x f m x f m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 按上述方法可导出几种常用的简单函数中误差的公式,如表5-2所列,计算时可直接应用;表5-2 常用函数的中误差公式二、 应用举例误差传播定律在测绘领域应用十分广泛,利用它不仅可以求得观测值函数的中误差,而且还可以研究确定容许误差值;下面举例说明其应用方法;例5-2在比例尺为1：500的地形图上,量得两点的长度为d = mm,其中误差m d =± mm,求该两点的实际距离D 及其中误差m D ;解：函数关系式为D =Md ,属倍数函数,M =500是地形图比例尺分母;mmm Mm m m mm Md D d D 1.0100)2.0(5007.11117004.23500±=±=±⨯====⨯==两点的实际距离结果可写为 m ± m;例5-3水准测量中,已知后视读数a = m,前视读数b = m,中误差分别为m a =± m,m b =± m,试求两点的高差及其中误差;解：函数关系式为h =a -b ,属和差函数,得mm m m mb a h b a h 004.0003.0002.0258.1476.0734.12222±=+±=+±==-=-=两点的高差结果可写为 m ± m;例5-4在斜坡上丈量距离,其斜距为L = m,中误差m L =± m,并测得倾斜角α=10°34′,其中误差m α=±3′,求水平距离D 及其中误差m D ;解：首先列出函数式αcos L D = 水平距离m D 303.243'3410cos 50.247=︒⨯=这是一个非线性函数,所以对函数式进行全微分,先求出各偏导值如下：864 3.45'3410sin 50.247'3410sin 830 9.0'3410cos -=︒⨯-=︒⋅-=∂∂=︒=∂∂L DLDα写成中误差形式mm D m L D m L D 06.0'3438'3)3864.45(05.09830.0 22222222±=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+⨯±=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±=αα故得D = m ± m;例5-5图根水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为m i =±2 mm,假定视距平均长度为50 m,若以3倍中误差为容许误差,试求在测段长度为L km 的水准路线上,图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值;解：已知每站观测高差为：b a h -=则每站观测高差的中误差为：mm 222±==i h m m因视距平均长度为50 m,则每公里可观测10个测站,L 公里共观测10L 个测站,L 公里高差之和为：L h h h h 1021+++=∑L 公里高差和的中误差为：mm 5410L m L m h ±==∑往返高差的较差即高差闭合差为：返往h h f h ∑+∑= 高差闭合差的中误差为：mm 1042L m m h f ==∑以3倍中误差为容许误差,则高差闭合差的容许值为：mm 3810123L L m f h f h ≈±==容在前面水准测量的学习中,我们取L f h 40±=容mm 作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响如外界环境的影响、仪器的i 角误差等;三、 注意事项应用误差传播定律应注意以下两点： 一要正确列出函数式例：用长30 m 的钢尺丈量了10个尺段,若每尺段的中误差为m l =±5 mm,求全长D 及其中误差m D ;全长m 300301010=⨯==l D ,l D 10=为倍乘函数;但实际上全长应是10个尺段之和,故函数式应为1021l l l D +++= 为和差函数;用和差函数式求全长中误差,因各段中误差均相等,故得全长中误差为mm 1610±==l D m m若按倍数函数式求全长中误差,将得出mm 5010±==l D m m按实际情况分析用和差公式是正确的,而用倍数公式则是错误的; 二在函数式中各个观测值必须相互独立,即互不相关;如有函数式1221++=y y z a 22321+==x y x y ； b若已知x 的中误差为m x ,求Z 的中误差m z ; 若直接用公式计算,由a 式得：21224y y z m m m +±= c而 x y x y m m m m 2321==， 将以上两式代入c 式得x x x z m m m m 5)2(4)3(22=+±=但上面所得的结果是错误的;因为y 1和y 2都是x 的函数,它们不是互相独立的观测值,因此在a 式的基础上不能应用误差传播定律;正确的做法是先把b 式代入a式,再把同类项合并,然后用误差传播定律计算;x m x x z 7m 57x 1)22(23z =⇒+=+++=第四节 等精度直接观测平差当测定一个角度、一点高程或一段距离的值时,按理说观测一次就可以获得;但仅有一个观测值,测的对错与否,精确与否,都无从知道;如果进行多余观测,就可以有效地解决上述问题,它可以提高观测成果的质量,也可以发现和消除错误;重复观测形成了多余观测,也就产生了观测值之间互不相等这样的矛盾;如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值,同时对观测质量进行评估,即是“测量平差”所研究的内容;对一个未知量的直接观测值进行平差,称为直接观测平差;根据观测条件,有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差;平差的结果是得到未知量最可靠的估值,它最接近真值,平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”,或“最可靠值”,有时也称“最或是值”,一般用x 表示;本节将讨论如何求等精度直接观测值的最或然值及其精度的评定;一、等精度直接观测值的最或然值等精度直接观测值的最或然值即是各观测值的算术平均值;用误差理论证明如下：设对某未知量进行了一组等精度观测,其观测值分别为L 1、L 2、…L n ,该量的真值设为X ,各观测值的真误差为Δ1、Δ2、…、Δn ,则Δi =L i -Xi =1,2,…,n ,将各式取和再除以次数n ,得X nL n -=∆][][ 即X nn L +∆=][][根据偶然误差的第四个特性有X nL n =∞→][lim 所以0][lim=∆∞→n n 由此可见,当观测次数n 趋近于无穷大时,算术平均值就趋向于未知量的真值;当n 为有限值时,算术平均值最接近于真值,因此在实际测量工作中,将算术平均值作为观测的最后结果,增加观测次数则可提高观测结果的精度;二、评定精度 一 观测值的中误差 1．由真误差来计算当观测量的真值已知时,可根据中误差的定义即nm ][∆∆±= 由观测值的真误差来计算其中误差; 2．由改正数来计算在实际工作中,观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的;因此在多数情况下,我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差;1改正数及其特征最或然值x 与各观测值L i 之差称为观测值的改正数,其表达式为n)2,1( ，， =-=i L x v i i 5-11在等精度直接观测中,最或然值x 即是各观测值的算术平均值;即nL x ][=显然0][)(][1=-=-=∑=L nx L x v ni i 5-12上式是改正数的一个重要特征,在检核计算中有用; 2公式推导已知X L i i -=∆,将此式与式5-8相加,得X x v i i -=∆+ a令δ=-X x ,则δ+-=∆i i v b对上面各式两端取平方,再求和2][2][][δδn v vv +-=∆∆。
《测量误差理论》课件
系统误差
随机误差
粗大误差
02 系统误差
系统误差的特点
确定性
系统误差是确定的，可以通过数学模型或公 式表示。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法进行预测或估 算。
重复性
在相同条件下，系统误差会重复出现。
周期性
某些系统误差呈现周期性变化。
系统误差的来源
仪器缺陷
测量仪器本身存在的缺陷或误差，如 刻度不准确、零点偏移等。
非系统性
过失误差通常是由于测量过程中的失误或疏忽造成的，因此它不 具备系统性，不会按照一定的规律影响测量结果。
不可预测性
由于过失误差是由于人为因素引起的，通常难以提前预测或估计其 大小。
随机性
过失误差的大小和方向通常都是随机的，没有固定的模式或趋势。
过失误差的来源
操作失误
测量过程中的操作失误，如读错刻度、按下 错误的按钮等。
不确定度的来源
随机效应和系统效应。随 机效应导致随机测量不确 定度，而系统效应导致系 统测量不确定度。
测量不确定度的评估方法
直接测量法
通过直接观测和数据处理计 算测量不确定度。
1
间接测量法
通过观测多个量来计算总不 确定度，并考虑各量之间的
相互影响。
蒙特卡洛模拟法
通过随机抽样方法模拟观测 数据的分布，并计算测量不 确定度。
定期校准仪器
确保测量仪器的准确性和可靠性，及时修复 故障。
实施复核制度
对测量结果进行复核，检查是否有记录错误 ，并进行修正。
05 测量不确定度
测量不确定度的定义
01
02
03
测量不确定度
表示测量结果的可信程度 或可靠性的参数了测量结果的不确 定性，即测量结果的不肯 定程度。
测量误差基本知识全面实例
得
mx
n 1 m2 m
n2
n
(5-5-13)
由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误
差缩小了 n 倍。
●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，
是提高观测成果精度最有效的方法。
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例6：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术 例6距离误差
x m 平均值
三.几种常用函数的中误差
三.几种常用函数的中误差
求观测值函数中误差的步骤：
(1).列出函数式；
(2).对函数式求全微分；
(3).套用误差传播定律，写出中误差式。
例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量
的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。
解：由题意 ma 500 / 4000 0.125米, mb 440 / 4000 0.11米
有关名词：观测条件，等精度观测。
上述三大因素总称为观测条件，在上述条件基本 一致的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。
结论：观测误差不可避免(粗差除外)
现在学习的是第4页，共28页
二.测量误差的分类 和处理原则
二.测量误差的分类和处理原则
两类测量误差：系统误差、偶然误差
1.系统误差 ——误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。
16 算术平均值:
25 9
x l1 l2 l3 l4 l5 854245 5
1 观测值的中误差：
9 m [vv] 60 3".9
[ 60 ]
n 1 51
vi x li (i 1,2,,5)
现在学习的是第17页，共28页
#观测值函数 的中误差
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对流层的高度为40km 以下的大气底层,其大气密度比电离层更大,大气状态也更复杂。对流层与地面接触并从地面得到辐射热能,其温度随高度的增加而降低。GPS 信号通过对流层时,也使传播的路径发生弯曲,从而使测量距离产生偏差,这种现象称为对流层折射。减弱对流层折射的影响主要有3 种措施: ①采用对流层模型加以改正,其气象参数在测站直接测定。②引入描述对流层影响的附加待估参数,在数据处理中一并求得。③利用同步观测量求差。
4、GPS的主要误差源
GPS 测量是通过地面接收设备接收卫星传送来的信息，计算同一时刻地面接收设备到多颗卫星之间的伪距离，采用空间距离后方交会方法，来确定地面点的三维坐标。因此，对于GPS卫星、卫星信号传播过程和地面接收设备都会对GPS 测量产生误差。主要误差来源可分为:
4.1、与GPS卫星有关的误差;
1.2、误差
测量结果与被测量真值之差叫误差
1.3、精度
观测结果、计算值或估计值与真值（或被认为是真值）之间的接近程度。
1.4、中误差
带权残差平方和的平均数的平方根，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。 为同精度观测误差。
中误差与观测值的比值来评定精度叫相对中误差， ，经常用到的有边长相对中误差。
（1）卫星星历误差
卫星星历误差是指卫星星历给出的卫星空间位置与卫控系统根据卫星测轨结果计算求得的,所以又称为卫星轨道误差。它是一种起始数据误差,其大小取决于卫星跟踪站的数量及空间分布、观测值的数量及精度、轨道计算时所用的轨道模型及定轨软件的完善程度等。星历误差是GPS 测量的重要误差来源.
5.2、外界条件引起的误差
外界条件引起的误差主要包括温度变化的影响、仪器和水准尺沉降的影响、大气垂直折光的影响等。温度变化的影响主要通过测前取出仪器一段时间，尽量使用太阳伞，相邻测站使用相反的观测程序等方法来消除或减弱这方面的影响。仪器和水准尺沉降的影响可以通过选择立尺和设置仪器的土壤，或采用尺垫的方法来减弱。大气折光影响可以通过观测时前后视距尽量相等、视线离开地面一定高度、选择有利观测时间等办法来减弱折光影响。在高精度水准测量时，严格按照相应的规范要求执行，采取的观测程序和方法就可以减弱这方面的影响。
式（2）
式中， 为测点绝对高程， 为控制点绝对高程， 、 为测点坐标， 、 为控制点坐标， 为竖角， 为方位角，i为仪器高，r为棱镜高，c为球气差改正（通过后视横梁上已知高程点估算获得，可以不考虑c的误差）。
对两式进行微分得：
式（3）
在实际施工过程中，仪器采用徕卡TC2003，标称精度为0.5″，1+1ppm ，由于控制点采用强制对中，并每次所测的仪器高都一样，棱镜采用固定高度（并精确测量），因此它们产生的误差可以取 ；A方位角按45°；距离S按800m，竖直角Z取最大值18°。 角度观测误差来源主要有：仪器误差 ；照准误差（全站仪自动搜索） ；读数误差（电子读数） ，测站误差（强制对中）可以忽略不计，计算出距离测量误差为 。
（3）多路径效应
测站周围的反射物所反射的卫星信号(反射波)进入接收机天线,将和直接来自卫星的信号(直接波) 产生干涉,从而使观测值偏离,产生所谓的“多路径误差”。这种由于多路径的信号传播所引起的干涉时延效应被称作多路径效应。减弱多路径误差的方法主要有: ①选择合适的站址。测站不宜选择在山坡、山谷和盆地中,应离开高层建筑物。②选择较好的接收机天线,在天线中设置径板,抑制极化特性不同的反射信号
5、水准仪的主要误差源
水准仪的主要测量误差来源有：仪器误差、观测过程中引起的人为误差、外界条件引起的误差，在观测过程中要采取措施加以消除或减弱。
5.1、仪器误差
主要有水准仪i角误差、水准尺的刻划误差、两水准尺零点差等。水准仪i角误差主要通过经常检查和调整i角，并尽量保证前后视距相等来消除和减弱影响；水准尺方面的误差通过调整视线高和设置偶数站等方法来减弱影响。塔尺卡扣方面的差值主要是粗差，应该经常进行检查或更换，立尺不竖直，可以通过摇尺读数，或采用有水准气泡的板吃来提高精度。
5.3、人为误差
主要包括水准气泡置中、照准水准尺的误差和读数误差等。现在一般使用自动安平水准仪或电子水准仪，这方面的影响比较小，要特别注意读数，不要读错！
6、有关误差的一些事例
6．1、武汉二七长江大桥索道管安装定位精度分析
6．1．1、 塔柱上测点的精度分析
设在塔柱上的点D1、D2，如果用全站仪进行三维坐标测量，则计算公式为：
Z=f(x1,x2,...xn)
（2）.对函数Z进行全微分
Δz=(əf/əx1)Δx1+(əf/əx2)Δx2+...+(əf/əxn)Δxn
（3）.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式
mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2
（4）.计算观测值函数中误差
3.2、外界条件引起的误差
主要有温度变化、大气折光、雾、气压等因素的影响。一般情况下，温度误差±1℃时，测距影响1ppm，气压±2.5mmHg时，测距影响1ppm。因此要进行气象改正，主要通过选择有利的观测时间和避开不利的条件，可以减小这些因素的影响，提高精度。
3.3、人为因素引起的误差
对中误差、整平误差、照准误差等，采用多方向进行对中和整平，要经常检查并调校对中和整平装置，如果是高精度测量建议采用强制观测墩。影响照准精度的主要因素有：望远镜的放大率、目标与照准标志的形状、人眼的判别能力等。主要是通过提高观测技能加以减弱。
索道管安装定位精度分析最后推算出索道管安装综合精度为：
由以上精度分析可以看出，对索道管定位的测量精度完全满足+5 mm设计的要求。
测量误差理论基本知识及事例
1、测量误差的基本概念
1.1、观测误差
在进行测量作业过程中，由于人、仪器和客观环境的影响，然后观测结果都含有误差，观测误差分为系统误差和偶然误差
系统误差：在相同的观测条件下，观测误差在符号和量的大小上表现一致的倾向，即按一定的规律变化或保持为常数，这类观测误差叫系统误差。
偶然误差：在相同的观测条件下，观测误差在符号和量的大小上表现都没有一致的倾向，即按么有任何规律性，这类观测误差叫偶然误差。
Z的中误差的平方为mz^2=mx1^2+mx2^2+...+mxn^2
n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。
在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2
2.3、线性函数
线性函数Z=K1X1±K2X2±...±KnXn
观测值中误差： 为改正数
最或然值中误差：
3、全站仪的主要误差源
全站仪的主要误差源有三个方面：观测过程中引起的人为误差、外界条件引起的误差和仪器误差，在观测过程中要采取措施加以消除或减弱。
3.1、仪器误差
主要包括仪器制造方面的误差和校正不完善产生的误差，主要通过经常检查和调校仪器，来消除和减弱这方面的误差。如视准轴误差、水平轴倾斜误差、垂直轴倾斜误差，仪器加乗常数的测定误差等。
2、误差传播定律
在统计学上上，由于变量含有误差，而使函数受其影响也含有误差，称之为误差传播。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。
误差传播定律：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律。
误差传播定律包括线性函数的误差传播定律、非线性函数的误差传播定律
2.1、倍数函数的中误差
倍数函数：Z=KX
则有：mZ=±KmX
4.3、与接收设备有关的误差。
（1）接收机钟差
GPS 接收机一般采用高精度的石英钟,接收机的钟面时与GPS 标准时之间的差异称为接收机钟差。把每个观测时刻的接收机钟差当作一个独立的未知数,并认为各观测时刻的接收机钟差间是相关的,在数据处理中与观测站的位置参数一并求解，可减弱接收机钟差的影响。
（2）接收机的位置误差
绝对误差有真误差、中误差、容许误差（限差）。
1.5、粗差
在相同的测量条件下的测量值序列中，超过三倍中误差的测量误差。它产生的最普遍原因是观测时的仪器精度达不到要求、技术规格的设计和观测程序不合理，以及观测者粗心大意和仪器故障或技术上的疏忽等。含有粗差的观测数据，绝不能采用，必须制定有效的操作程序和检核方法去发现并将其剔除。
（4）相对论效应的影响
这是由于卫星钟和接收机所处的状态(运动速度和重力位) 不同引起的卫星钟和接收机钟之间的相对误差。
4.2、与信号传播有关的误差;
（1）电离层折射
在地球上空距地面50～100 km 之间的电离层中,气体分子受到太阳等天体各种射线辐射产生强烈电离,形成大量的自由电子和正离子。当GPS 信号通过电离层时,与其他电磁波一样,信号的路径要发生弯曲,传播速度也会发生变化,从而使测量的距离发生偏差,这种影响称为电离层折射。对于电离层折射可用3 种方法来减弱它的影响: ①利用双频观测值,利用不同频率的观测值组合来对电离层的延尺进行改正。②利用电离层模型加以改正。③利用同步观测值求差,这种方法对于短基线的效果尤为明显。
根据误差传播定律，按式（3）计算得测点D1、D2高程H中误差及坐标X、Y中误差为：
6．1.2、 索道管定位测量综合精度分析
索道管安装综合精度由固定测点D1、D2的精度和索道管定位测量精度共同决定。在索道管定位测量过程中，仪器采用徕卡TC2003，标称精度为0.5″，1+1ppm ，仪器高和棱镜高测量误差按 考虑；A方位角按45°；距离S按50m，竖直角Z取最大值25°。 角度观测误差来源主要有：仪器误差 ；照准误差（全站仪自动搜索） ；读数误差（电子读数） ，测站误差（强制对中）可以忽略不计，则距离测量误差为 。根据误差传播定律，按式（3）计算得测量点P的误差为：
观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。
2.2、和(差)函数的中误差