第章热力学基础完整版

第章热力学基础
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
第10章热力学基础
学习指导
一、基本要求
1．理解准静态过程功、热量、内能及摩尔热容的概念，并掌握其运算。

2．理解热力学第一定律，并熟练掌握热力学第一定律在理想气体等值过程、绝热过程中的应用。

3．理解循环过程的意义。

掌握循环过程中能量传递和转化的特点，会熟练计算热机效率、制冷机的制冷系数。

4．理解热力学第二定律的两种表述及统计意义。

理解可逆过程和不可逆过程的概念，理解卡诺定理及熵增原理。

二、知识框架
三、重点和难点 1．重点
（1）掌握热力学第一定律及其应用，尤其是在几个等值过程中的应用。

（2）熟练掌握热力学系统循环过程中,各阶段的特性及其相关物理量的运算。

2．难点
（1）掌握热力学第一定律的应用。

（2）掌握等值、绝热过程在系统循环过程中的运算。

（3）对热力学第二定律及其有关概念的理解。

四、基本概念及规律 1．准静态过程
若热力学过程中，任一中间状态都可看作平衡态，该过程叫作准静态过程。

2．理想气体在准静态过程中对外做的功 对于微小过程
3．理想气体在准静态过程中吸收的热量 式中，C 为摩尔热容。

4．摩尔热容
摩尔热容表示1摩尔质量的物质温度升高1K 所吸收的热量。

（1） 定体摩尔热容 ()R i T M
m Q C V
m V 2
d d ,=
⋅=
（2） 定压摩尔热容 (),d 2
2
d p
P m Q i C R m T M
+=
=
⋅ （3） 迈耶公式 R C C m V m P +=,, （4） 比热容比 ,,P m V m C C γ= 5．理想气体的内能
理想气体的内能只是温度的单值函数。

理想气体内能的变化量
理想气体的内能改变量仅取决于始末状态的温度，与所经历的过程无关。

6．热力学第一定律
系统从外界吸收的热量，一部分使系统的内能增加，另一部分用于系统对外做功。

即 W E E Q +-=12 对于微小过程 W E Q d d d +=
7．热力学第一定律在理想气体准静态等值过程、绝热过程中的应用见表10-1
表10-1
8．循环过程
（1） 热机效率
（
2） 制冷系数
式中，W 、Q 1、Q 2取正值。

（3） 卡诺循环
卡诺循环是由两条等温线和两条绝热线构成的循环，是一个理想的循环。

对于卡诺循环，热机效率 对于卡诺循环，制冷系数
9．热力学第二定律两种表述
（1） 开尔文表述 不可能从单一个热源吸取热量，使之完全变成有用功，而不引起其他变化。

（2） 克劳修斯表述 不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。

10．卡诺定理
（1）在同样高低温热源之间工作的一切可逆机，不论什么工作物质，效率都等于
121T -
（2）在同样高低温热源之间工作的一切不可逆机的效率，不可能高于可逆机，即
η≤121T T -
11．熵 熵增原理
（1） 熵 在一热力学过程中，系统从初态A 变化到末态B 时，系统的熵变等于初态A 和末态B 之间任意一可逆过程热温比T Q d 的积分
d B B A A
Q
S S T
-=⎰
（可逆过程） （2） 熵增原理 绝热（或孤立）系统内所进行的任何不可逆过程，总是沿着熵增加的方向进行，只有可逆过程系统的熵才不变：
S ∆≥0。

12．热力学第二定律的统计意义
一个不受外界影响的封闭系统，其内部发生的过程，总是由概率小的状态向概率大的状态进行，由包含微观状态数目少的宏观状态向着包含微观状态数目多的宏观状态进行。

玻耳兹曼关系
给出了定量量度系统无序度的宏观量是熵S ，微观量是热力学概率W 之间的关系。

五、解题指导及解题示例
本章习题主要是内能-热量、功以及循环效率的计算。

例10-1 4×10-3kg 氢气（看作理想气体）被活塞封闭在某一容器的下半部而与外界平衡（容器开口处有一凸出边缘可防止活塞脱落，如图10-1所示，活塞的厚度和质量可忽略）。

现把2×104J 的热量缓慢的地传给气体，使气体膨胀。

求氢气最后的压强、温度和体积各变为多少（
活塞外大气压处于标准状态下）。

解 已知2==M m νmol ，50 1.01310p =⨯Pa ，
2730=T K ，由此得气体开始时体积
30044.810V RT p ν-==⨯m 3
热量缓慢地传给气体的过程中：首先，容器的下半部与 外界一直处于平衡状态，即气体的压强与外界的大气 压相等，所以这个体积从V 0膨胀到012V V =的过程为
等压吸热过程，吸热1Q ，其中510 1.01310p p ==⨯Pa ，301106.892-⨯==V V m 3，得温度
()5460011==T V V T K
所以 ()1,10P m Q C T T ν=-=J 1059.1)(2
2
2412⨯=-+⨯
T T R i 然后,气体在体积301106.892-⨯==V V m 3处吸收热量，此过程为等体吸热过程，吸热
2Q ，其中312101.4⨯=-=Q Q Q J ，最后的体积312106.892-⨯==V V m 3，压强和温度分
别为2P 和2T ，又
得 K 6455462
52
1,22=+⨯=+=
R Q T C Q T m V νν 52
211
1.2010T p p T =
=⨯Pa 所以最后氢气的压强为51020.1⨯Pa ，温度为645K ，体积为3106.89-⨯ m 3。

简注 本题是热力学第一定律在等值过程中的应用。

求解本题首先要分析气体状态变化所经历的两个过程。

首先由初态（000,,p V T ）缓慢吸热经等压膨胀过程到中间
状态（111,,p V T ），然后继续缓慢吸热经等体过程到末态（222,,p V T ）。

应用热力学第一定律和理想气体的状态方程即可求得结果。

例10-2 ν摩尔的单原子分子理想气体（2/3,R C m V =），经历如图10-2所示的热力学过程。

试求：
（1）该过程的V T -关系；
（2）在该过程中，放热和吸热区域及摩尔热容。

解 （1）在p V -图上，AB 过程是一直线过程，
由图上给定参数可得 这就是AB 过程的过程方程。

由气体的状态方程pV RT ν=消去上式中的p ，得此过程
的V T -关系式为
（2）在此过程中任取一微小过程，由V T -关系式，有 由热力学第一定律，可得在该微小过程中吸收的热量为 由上式可知，吸热和放热的区域为
当 0V ≤V ≤08
15
， 0d >Q ，吸热 当 08
15
V V =， 0d =Q 当
08
15
V ≤V ≤02V ， 0d <Q ，放热 由摩尔热容的定义，可知 T C Q AB d d ν=
即 T Q C AB
d d 1ν=
=0000
415
()d 21[2()3]d p V p V V p V V R V νν-
+-+ 简注 本题的结果在具体过程中是比较典型的，即在AB 过程中，先吸热，后 放热，在8/150V V =，0d =Q 为一转换点。

在分析具体过程中，分析解出转换点是一个重点和关键。

例10-3 如图10-3所示，将96g 氧气从40升绝热地压缩到原体积的一半，然后，在127℃下等温膨胀到原来的体积。

试求
（1）经历以上两过程系统吸收的热量、对外作的功和内能的变化各为多少？
（2）若通过等体过程使氧气由上述的状态Ⅰ直接变化到状态Ⅲ,此过程系统吸收的热量、对外作的功和内能的变化又为多少?
解 系统状态变化过程如图10-3所示。

（1）Ⅰ→Ⅱ为绝热压缩过程，
01=Q
因为5=i ，所以
由绝热方程111122--=γγV T V T ，得
所以 ()J 60462
1212=-=-T T R i
M m E E 因01=Q ，由热力学第一定律得
Ⅱ→Ⅲ为等温膨胀过程：023=-E E ，所以
经历以上两个过程，系统吸收的热量、对外作的功及内能的变化分别为
J 691221=+=Q Q Q ， J 86721=+=W W A
（2） 系统从状态Ⅰ直接变化到状态Ⅲ，此过程为等体过程，所以03=W ，由热力学第一定律得 ()J 60462
13133=-=
-=T T R i
M m E E Q 简注 本题是热力学第一定律在绝热过程、等温过程、等体过程中的应用。

相关 公式应熟练掌握。

例10-4 如图10-4所示，1mol 氮气（刚性理想气体）从初态1，经过状态2、3，
又回到初态。

若已知1300K T =，212T T = ，318V V =，4
π
θ=
，则求：
（1）由初态1沿直线到达状态2时，氮气对外界
所作的功W 1，吸放的热量Q 1，和内能的增量1E ∆；
（2）由状态2经绝热过程到达状态3时，氮气对
外界所作的功W 2，吸放的热量Q 2，和内能的增量
2E ∆；
（3）由状态3经等温过程回到状态1时，对外界
所作的功W 3，吸放的热量Q 3，和内能的增量3E ∆；
（4）整个循环过程中，氮气作的净功，吸收的总热量，放出的总热量；
图10-3
（5）此循环的效率。

解 （1）此过程，氮气对外界所作的功W 1等于直线1-2与V 轴围成的面积值，即
由题意可知 1122p V p V =或1221p V p V = 所以 ()1221112W p V p V =
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1221RT M m RT M m
)(2112T T R M
m
-=
1247=J 此过程，氮气内能的变化为
)(2
121T T R i
M m E -=
∆6233=J 由热力学第一定律可得系统吸收的热量为
7480111=+∆=W E Q J
（2）此过程为绝热过程，因而系统（氮气）吸收的热量02=Q ，此过程内能的变化为
考虑到曲线3-1为等温线，于是有：13T T =，因而
)(2
212T T R i
M m E -=
∆6233-=J 负号表示内能减少。

此过程系统对外所作的功为
623322=∆-=E W J
（3）此过程为等温过程，所以系统的内能变化为03=∆E 此过程系统对外所作的功
3
113ln V V RT M m
W =
118ln 30031.81V V ⨯⨯⨯=5186-=J
负号表示外界对系统作正功。

此过程系统吸收的热量为
518633-==W Q J
负号表示系统放出热量。

（4）整个循环后，系统对外所作的净功W 为
321W W W W ++=2294=J
整个循环后，系统吸收的热量为
74801==Q Q 吸J
整个循环后，系统放出的热量为
51863==Q Q 放J
（5）热机效率为
简注 一般循环都是由若干个等值过程所组成，掌握好各等值过程（包括绝热过程）是求解循环过程的基础。

在计算效率时要注意分析各过程的吸热和放热情况，应用公式吸放Q Q -=1η时，吸Q 和放Q 均取正值。

另外本题中从状态1到状态2是非等值过程，读者应注意求解这种过程中的,,W Q E ∆的解题技巧。

例10-5 一定量的双原子分子理想气体作卡诺循环，如图10-5所示。

热源温度
1400K T =，冷源温度2280K T =。

设110atm p =，3311010m V -=⨯，3322010m V -=⨯。

试求
（1）2p 、3p 、4p 及V 2、V 3； （2）系统对外作的功； （3）系统自热源吸收的热量； （4）该循环的效率。

解 （1）卡诺循环是由两条等温线和两条绝热
线组成。

从21→为等温过程，由1122p V p V =得
从32→为绝热过程，由绝热7/5)( 112213==--γγγT V T V 得
由113
221p T p T γγγγ
----=得 同理()
1)
1(1214V T T V -=γ，得 334m 104.24-⨯=V
()
(1)
4121p T T p γγ--=，得 4 2.87atm p =
（2）系统在等温膨胀过程中从热源吸收的热量为1Q ，在等温压缩过程中向冷源放出的热量为2Q ，则 系统对外所作的功
（3）系统从热源吸收的热量为 （4）该循环的效率为
简注 本题是典型的卡诺循环应用问题，通过定量的计算，使读者加深对卡诺循环的理解和熟练应用。

例10-6 如图10-6所示，在刚性绝热容器中有一可无摩擦移动且不漏气的导热各半，将容器分为B A ,两部分，B A ,各有1mol 的He 气和O 2气。

已知初态He 和O 2的温度分别为K 600K,300==B A T T ，压强Pa 10013.150⨯===p p p A B 。

试求：
（1）整个系统达到平衡时的温度T 、压强p ； （2）He 气和O 2气各自熵的变化。

解 （1）将He 气和O 2气作为一个系统，因为容器是刚性绝热的，所以系统进行的过程与外界没有热交换，系统对外不做功。

由热力学第一定律可值，系统的总内能始终不变，即 0)()(=-+-B VB A VA T T C T T C
设状态B A ,两部分初态的体积为B A V V ,，末态的体积为B A
V V '',，则有
由状态方程 0p RT V A A =
，0p RT V B B =，B A
V p
RT
V '==' 代入上式，可得 +0p RT A 0p RT B p
RT
2= 所以 Pa 10097.1250⨯=+=
p T T T
p B
A
（2）由理想气体的克劳修斯熵变公式 可求得He 气熵变 同理，O 2气熵变 系统的熵变
72.2)70.6(42.9=-+=∆+∆=∆B A S S S J/K 0>
符合熵增加原理。

简注 这是热力学第一定律和热力学第二定律的综合应用题。

由于系统进行绝热不可逆过程，因此总熵变0>∆S 。

同样，在结果分析中可知，He 气熵变0>∆A S ，而O 2气熵0<∆B S ，即系统中子系统的熵变是可大于零，也可小于零的，而系统的总熵变等于各子系统的熵变之和，它是遵从熵增加原理的。

图10-6。