等差数列练习题(答案)

等差数列练习

一、选择题

1.（ ）在100至500之间的正整数能被11整除的个数为 .35

解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列， 公差为11，a n =110+(n －1)·11=11n +99,由a n ≤500,得n ≤,n ∈N *,∴n ≤36.答案：C

2.（ ）在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=a n 2－1(n ≥1),则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于A.－1 B.1 解析：由已知：a n+1=a n 2－1=(a n +1)(a n －1),∴a 2=0,a 3=－1,a 4=0,a 5=－1.答案：A

3.（ ）若数列{a n }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为A.－1,1,3 ,1,3 C.6,1,3 ,3,6 解析：当n =1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2;当n =2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3,得a 2=1;

当n =3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3,得a 3=3.答案：B

（

4.（ ）等差数列｛a n ｝中，a 4+a 7+a 10=57,a 4+a 5+…+a 14=275,a k =61,则k 等于 .19 C

解析：∵3a 7=a 4+a 7+a 10=57,∴a 7=19.由a 4+a 5+…+a 14=275,可得a 9=25.∴公差d =3.

∵a k =a 9+(k －9)·d ,∴61=25+(k －9)×3,解得k=21.答案：D

5．（ ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 解析：n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若74735,S a == ∴ 4a =5，选D.

6.（ ）已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是

A.(－27,+∞)

B.(0,+∞)

C.(－2,+∞)

D.(－3,+∞)

解析：由｛a n ｝为递增数列得a n +1－a n =2n +1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立， 只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.

7.（ ）设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,那么由a n +b n 所组成的数列的第37项为 .37 C D.－37

(

解析：∵{a n }、{b n }为等差数列，∴{a n +b n }也为等差数列.设c n =a n +b n ,则c 1=a 1+b 1=100,而c 2=a 2+b 2=100,故d =c 2－c 1=0.∴c 37=100.答案：C

8.（ ）数列{a n }中，a 1=1,a 2=

3

2,且n ≥2时，有1111+-+n n a a =n a 2,则 =(32)n =(32)n －1 C.a n =22+n =1

2+n 解析：∵n n n a a a 21111=++-,n ≥2,∴数列{n a 1}是等差数列.∵a 1=1,a 2=3

2,∴首项11a =1,公差d =211231112=-=-a a .∴21)1(2111+=-+=n n a n .∴a n =12+n .答案：D 9.（ ）已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =(－1) n －1·(4n －3),则它的前100项之和为

B.－200 D.－400

解析：S 100=a 1+a 2+…+a 100=1－5+9－13+17－…+(4×99－1)－(4×100－1)

=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－1)－(4×100－1)］=－4×50=－200.答案：B

二、填空题

10.等差数列{a n }中，a 1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_______项.

《

解析：由－5×11+2

1011⨯d =55,得d =2.由a n =5,a n =a 1+(n －1)d 得n =6.答案：6 11.在等差数列{a n }中，公差为

2

1，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________. 解析：由等差数列的定义知a 2+a 4+a 6+…+a 100=a 1+a 3+a 5+…+a 99+50d =60+25=85.答案：85

12.在等差数列{a n }中，若a 1+3a 8+a 15=120,则2a 9－a 10=________.

解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1+3a 8+a 15=5a 8=120,即a 8=24.又∵{a n }是等差数列，

∴a 8+a 10=2a 9.∴2a 9－a 10=a 8=24.答案：24

13.若△ABC 三边a ,b ,c 成等差数列，并且a 2,b 2,c 2也成等差数列，则a ,b ,c 的大小关系为 . 解析：由题意得⎩⎨⎧+=+=2222,2c a b c a b 由①得c =2b －a ,代入②整理得a 2－2ab +b 2=0. ∴a =b .答案：a =b =c ！

14．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，S 10－7S ＝30，则S 9＝ .

解析：设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142

)14(441=-+d a 30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ，联立解得a 1=2,d=1，所以S 9＝5412

)19(929=⋅-+⨯ 15.在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n = . 解析：－21=2

)39)(2(+-+n ,∴n =5.答案：5 16.等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=－24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项的和等于 .

解析：由a 1+a 2+a 3=－24,可得3a 2=－24;由a 18+a 19+a 20=78,可得3a 19=78,即a 2=－8,a 19=26.

∴S 20=2

)(20201a a +=10(a 2+a 19)=10(－8+26)=180.答案：180 17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= 45 解析：3S 、63S S -、96S S -成等差数列，从而

!

()78996633632232363945a a a S S S S S S S ++=-=--=-=⨯-⨯=

18.在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则a n = 解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项， 以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.答案：3n 2

三、解答题

19.已知等差数列｛a n ｝中，a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求其通项a n .

解：∵a 1+a 7=2a 4,且a 1+a 4+a 7=15,∴a 4=5.又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9.

设其公差为d ,又a 4=5,∴a 2=a 4－2d ,a 6=a 4+2d .代入a 2a 6=9可得

(5－2d )(5+2d )=925－4d 2=9d =±2.

当d =2时，a n =a 4+(n －4)d =5+(n －4)×2=2n －3(n ∈N *);

;

当d =－2时，a n =a 4+(n －4)d =5+(n －4)×(－2)=13－2n (n ∈N *).

20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <。（1）求公差d 的取值范围；

（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由。

解：（1）1121131

1121112002110201312601302a d S a d S a d a d ⨯⎧+>⎪>+>⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨<⨯+<⎩⎩⎪+>⎪⎩

而31212a a d =+=，得1122a d =-

112110247024360

307a d d d a d d +>+>⎧⎧∴⇒⇒-<<-⎨⎨+<+<⎩⎩故公差d 的取值范围为24,37⎛⎫-- ⎪⎝⎭。 （2）21(1)(1)124(122)(5)2222n n n n n d S na d n d d n d --⎡⎤=+=-+=--⎢⎥⎣⎦

2124(5)22d d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 0d <，∴当2

124(5)2n d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦最小时n S 最大。而24,37d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，①②