锐角三角比的练习题
【中考】锐角的三角比
图6（SR7大华梅以良） 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，a ＝10，则c ＝___________.【解直角三角形】（SR4延西数学组21）已知：如图，在△ABC 中，30A ∠=，45B ∠=，AC=8，点P 在线段AB 上，联接CP ，且34cot APC ∠=． （1）求CP 的长；（2）求BCP ∠的正弦值．【参考答案】：1)CP=5 2)sin BCP ∠=102（SR4延西数学组21）（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）已知：如图6，C 是线段BD 上一点，,,90,AB BD ED BD ACE ⊥⊥∠=︒tan =2，ACB ∠4,AB = 3.ED = 求：（1）线段BD 的长； （2）AEC ∠的正切值.【参考答案】1)BD=8; 2) tan AEC ∠=32【参考答案】(1)解：∵在⊙O 中，OD ⊥弦AB ∴12AC BC AB ==……………1分 ∵8AB =∴4AC BC == ……………………………………………1分设OA 为x ，则OD OA x == ∵2CD = ∴2OC x =-在Rt △ACO 中，222AC OC AO +=∴2224(2)x x +-=，……………………………………………………………2分 解得5x =，∴5OA =………………………………………………………1分 （2）解：联结BE∵OA OE =，AC BC = ∴OC BE ∥且12OC BE =……………1分 ∴90EBA OCA ==∠∠°…………………………………………………1分 ∵523OC OD CD =-=-= ∴6BE = …………………………1分 在Rt △ECB 中，222BC EB EC +=∴22246EC +=， ∴213EC = ………………………………………2分（SR4静安盛社增21）（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分） 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，12AB =，43cot ADB ∠=． 求：（1）∠DBC 的余弦值； （2）DE 的长．【参考答案】： 解：（1）在△ABD 中，ADcot ADB AB∠=， 1分 ∴4312AD=，16AD =． 1分 ∴BD =2222121620BD AB AD =+=+=． 1分∵AD ∥BC ，∴∠DBC =∠ADB ， 1分∴164205AD cos DBC cos ADB BD ∠=∠===． 1分 （2）在Rt △BCD 中，BDcos DBC BC∠=， 1分∴4205BC=，25BC =． 1分 ∵AD ∥BC ， ∴1625DE AD BE BC ==． 1分 ∴1641DE BD =． 1分 ∴161632020414141DE BD ==⨯=． 1分ABED（SR1长宁天山王鹏22）（10分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A 是栏 杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）． （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）依据：22题一直是一道应用题，今年考察解直角三角形的应用和一次函数的应用这两个知识点的概率比较大。
第二讲：特殊锐角的三角比的值
第二讲特殊锐角的三角比的值知识框架特殊锐角的三角比的值典型例题【例1】在Rt ABC∠=︒，BC = a．求AA∠=︒，45∆中，90C∠的三角比的值．【例2】在Rt ABC∠=︒，BC = a．求AA∠=︒，30∆中，90C∠的三角比的值．【例3】在Rt ABC∠=︒，AC = a．求AA∠=︒，60∆中，90C∠的三角比的值．【例4】 填空：tan 60°= ______；cot 45°= ______；sin 30°= ______；cos 45°= ______．【例5】 用特殊锐角的三角比填空：（1）12=______ = ______； （2）2=______ = ______；（3）1=______ = ______； （4=______ = ______． 【例6】 已知，等腰ABC ∆的顶角A ∠=120°，求B ∠的三角比的值．【例7】 正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，求OAB ∠的三角比的值．【例8】 求满足下列条件的锐角α：（1）cos 0α=； （2）0α=．【例9】 若A ∠是锐角，且tan A =，则cos A = ______．【例10】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，cos B =12，求tan A 的值．【例11】 sin 45°+ cos 45°的值等于（ ）AB C D ．1【例12】 下列不等式，成立的是（ ）A ．sin60sin45sin30︒<︒<︒B ．cos60cos45cos30︒>︒>︒C ．tan60tan45tan30︒<︒<︒D ．cot30cot 45cot60︒>︒>︒【例13】 计算：（1）tan602sin452cos30︒+︒-︒；（2）()2tan 60tan 30︒+︒．【例14】 计算：（1）sin60tan 45cos30︒-︒︒；（2）tan 45tan301tan 45tan30︒-︒+︒︒g ．【例15】 计算：)112341271tan 6012-⎛⎫++- ⎪︒+⎝⎭．【例16】 ．【例17】 计算：22cos 60cos 45sin 45︒+︒︒︒．【例18】 计算：()tan 4512sin30cos60cot 30sin 60cos60-︒︒-︒--︒+︒+︒．【例19】 sin301︒-．【例20】 已知030α︒<∠<︒，化简：1cot cot αα-．【例21】 已知方程()2sin 2sin 2sin 120x x ααα-+++=有两个相等的实数根，求锐角α的大小．【例22】 已知ABC ∆中，30B ∠=︒，45C ∠=︒，BC = 15 cm ，求AB 的长．【例23】 已知ABC ∆中，30B ∠=︒，135C ∠=︒，BC = 15 cm ，求AB 的长．【例24】 已知ABC ∆中，45A ∠=︒，AC = 15 cm ，BC =，求AB 的长．【例25】 已知1sin60cos60a =︒-︒，1tan 45cot30b =︒-︒，求224a ab b ++的值．【例26】 已知090θ︒<<︒，且sin 0θθ=，求2sin cos 2sin cos θθθθ+-．【例27】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2a b +=，30A ∠=︒，求a 、b 、c 的值．【例28】 在ABC ∆中，A ∠、B ∠均是锐角，且(2tan 2sin 0B A +=，请判断ABC ∆的形状，并说明理由．【例29】 应用锐角三角比的定义，求sin 15°、tan 15°、sin 75°、tan 75°．课堂练习【习题1】求满足下列条件的锐角α：（1）2cos 0α=；（2）()tan 10α+︒=【习题2】 如果α∠是等腰直角三角形的一个锐角，则α∠的余弦值为______．【习题3】若α是锐角，且cot α()cos 90α︒-=______．【习题4】 ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，且sin A =12，cos B ，则ABC ∆三个角的大小关系是（ ）A ．C AB ∠>∠>∠ B ．BC A ∠>∠>∠ C ．A B C ∠>∠>∠D ．C B A ∠>∠>∠【习题5】计算：cos45sin30cos45sin30︒+︒︒-︒．【习题6】23tan 30-︒+．【习题7】()131tan602sin 45-+︒+︒．【习题8】在ABC ∆中，A ∠、C ∠均为锐角，若21sin cos 02A C ⎛-+= ⎝⎭，求B ∠的度数．【习题9】 已知ABC ∆中，60B ∠=︒，45C ∠=︒，BC = 20 cm ，求AC 的长．【习题10】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2a b -=，求a 、b 、c 的值．课后作业【作业1】（1）若1cos 2α=，则α∠=______； （2）若tan 1β=，则β∠=______．【作业2】()151α+︒=，则锐角α的度数是______．【作业3】若225sin cos 304α+︒=，那么锐角α度数是（ ） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【作业4】下列等式中，成立的有（ ）① sin 30°+ sin 30°= sin 60°；②若cos A = sin B ，则=A B ∠∠；③若sin A = cos 30°，则锐角A = 60°； ④sin 60°+ sin 30° = 2（sin 30°+ cos 30°）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【作业5】()12°121cot 3013sin 452-⨯-+-︒．【作业6】计算：sin45cos45cos30 cot60tan60︒+︒︒︒-︒g．【作业7】tan301tan30cot30︒-+︒-︒．【作业8】在ABC∆中，A∠、B∠均是锐角，且2sin0A，请判断ABC∆的形状，并说明理由．【作业9】已知Rt ABC∆中，90C∠=︒，45A∠=︒，3c a-=，求a、b、c的值．【作业10】应用锐角三角比的定义，求sin 22.5°、tan 22.5°、sin 67.5°、tan 67.5°．。
《锐角的三角比》全章复习与巩固(基础) 巩固练习
《锐角的三角比》全章复习与巩固（基础） 巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =，BC =AC 等于（ ）．A ．3B ．4C ．．6 2．已知α为锐角，则sin cos m αα=+的值（ ）． A ．m ≥1 B ．m ＝1 C ．m ＜1D ．m ＞13．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE ＝2，cot ∠DBE 的值是( )．A.125．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tanC 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12 B ．2C 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB ＝_______米．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(cot 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 161是方程2(3tan )0x x θ-的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值 为________．三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB ME CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】由tan AC B BC =知tan 32AC BC B ===． 2.【答案】D ；【解析】在Rt △ABC 中，设α所对的边为a ，斜边为c ，邻边为b ．则sin a c α=，cos bcα=， ∴sin cos a b a bm c c cαα+=+=+=，而a b c +>，∴m ＞1 3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵ AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==．4.【答案】A ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又BE ＝2，AD ＝AB ， ∴5k ＝3k+2，∴k ＝1．∴DE ＝4． ∴cot ∠DBE ＝2142BE DE ==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴CD 2+BD 2＝BC 2．∴△BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin B =，∴∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2【解析】原式＝3|21422--+=-= 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】如图，过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B ′D=x ，BC=2x,BD=x+2x=3x,∴tan ∠A BC ''='A D BD =13.12．【答案】4 ； 【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4．13．【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan 2BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】cot45°＝1， tan60-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =b =15．【答案】45； 【解析】∵ CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴ AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8=，∴ 84sin 105BC A AB ===．16．【答案】2；【解析】由方程解的意义，知21)3tan (21)0θ-+=，故tan 1θ=，从而45θ=°，则cos cos 452θ==°． 三、解答题17.【答案与解析】∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴DA ＝3．在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CAAD=°，∴CA ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝8= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵AB ＝DC ，∴∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4．∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ． 又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB MC ＝ME CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos AC ACG CG ∠==，∴∠ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴ OD ⊥CD ，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE ＝90°．又∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠DEC ＝90°，∴∠EOD+∠ODE ＝90°． ∴∠CDE ＝∠EOD ．又∵∠EOD ＝2∠B ； ∴ ∠CDE ＝2∠B ． (2)连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠B ＝90°．∵BD:AB ，∴在Rt △ADB 中，cos 2BD B AB ==， ∴∠C ＝30°，∵∠AOD ＝2∠CDO ＝60°．又∵∠CDO ＝90°，∴∠C ＝30°， ∵在Rt △CDO 中，CD ＝10，∴ OD ＝10tan 30O 在Rt △CDE 中，CD ＝10，∠C ＝30°，∴DE ＝CDsin 30°＝5．∵弦DF ⊥直径AB 于点E ，∴DE ＝CDsin30°＝5． ∵弦DF ⊥直径AB 于点E ， ∴DE ＝EF ＝12DF ， ∴DF ＝2DE ＝10．。
沪教版九年级上册数学第二十五章 锐角的三角比含答案(必刷题)
沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度（坡的竖直高度与水平宽度的比）是，坝高，则坡面的长度是（）A. B. C. D.2、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米3、已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，则cos∠BCD的值是（）A. B. C. D.4、如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC= ，∠ADC= ，则竹竿AB与AD的长度之比为A. B. C. D.5、如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（）A. B. C. D.6、如图，已知点A（-1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A.2个B.3个C.6个D.7个7、在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A.70°B.110°C.120°D.141°8、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进50米，则他上升的最大高度为（）A.25米B.25 米C.20 米D.25 米9、下列计算结果正确的是（）A. （﹣a3）2=a9B. a2•a3=a6C. ﹣22=﹣2D.-=110、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A.sinA=sinBB.sinA=cosBC.tanA=tanBD.cosA=tanB11、已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值A. B. C. D.12、国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52°，BC＝5米，CD＝35米，DE ＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）（）A.28米B.29.6米C.36.6米D.57.6米13、对于sin60°有下列说法：①sin60°是一个无理数；②sin60°>sin50°；③sin60°=6sin10°。
用计算器求锐角三角比练习题答案青岛版
篇一：青岛版九上数学2.1锐角三角比练习题锐角三角比练习题例1 在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，那么以下结论正确的选项是〔〕A．sinA13 B．tanA C．cosB D．tanB 22213例2 在RtABC中，C90，假设sinB，那么cosA的值为〔〕A． 1233 B． C．1 D． 332ACB90，CDAB于点D。
例1 如图，在RtABC中，AC，BC2，那么sinACD〔〕A．225 B． C． D． 3352例2在RtABC中，C90，sinB，那么35BC________ AB例3 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成以下各题：〔1〕请你在ACD的三个内角中任选一个锐角，假设你所选的锐角是__________，那么它所对应的正弦函数值是__________〔2〕假设E为BC的中点，那么tanCAE的值是__________21.2 30、45、60角的三角函数值例 tan30的值等于〔〕A． B．123 C． D．3 23例1 计算tan602sin452cos30的结果是〔〕A．2 B． C．2 D．1 例2 求满足以下条件的锐角〔1〕2cos(10)10；〔2〕(tan1)(tan3)021.4 解直角三角形C90，AB5，AC4，nisA的值为__________ 例1 在RtABC中，那么C90，CAB、C的对边分别为a、b、c，B、例2 如图，在ABC中，且b8，CAB的平分线AD16，解这个直角三角形 3例3 如图，：在ABC中，A60，B45，AB8，求ABC的面积〔结果可保存根号〕例如图，ABC中，C90，ACBC7(ACBC)，AB5，那么tanB________21.5 应用举例例1 如图，在坡屋顶的设计图中，ABAC，屋顶的宽度l为10米，坡角为35，那么坡屋顶高度h为__________米。
〔结果精确到0.1米〕例2 为保护各国商船的平安通行，我海军某部奉命前往某海域执行护航任务。
锐角的三角比(考题猜想,易错必刷40题7种题型专项训练)(学生版) 2025学年九年级数学上学期期中
专题02锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数值解直角三角形 解直角三角形的应用解直角三角形的应用-坡度坡角问题 有理数大小比较解直角三角形的应用-方向角问题一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2024•闵行区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB =，2AC =，那么cos A 的值是()A ．13B ．23C ．D 2．（2023•松江区一模）已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是()A ．2tan 3A =B ．2cot 3A =C ．2sin 3A =D ．2cos 3A =二．特殊角的三角函数值（共7小题）3．（2023秋•宝山区期中）tan 45︒的值等于()A ．2B ．1CD 4．（2024•崇明区）计算：2sin 60cos 45cos303tan 30︒︒-+︒︒．5．（2023秋•金山区期末）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．6．（2023秋•闵行区期中）计算：cos 45tan 60cot 451sin 30︒-︒-︒-︒．7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：2tan 452cos 45sin 60cot 30︒-+︒︒⋅︒．8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：tan 452|1sin 60|cot 302cos 45︒-︒+︒-︒．9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：sin 45cos30sin 30(cos 45sin 60)32cos 60︒+︒-︒︒-︒-︒三．解直角三角形（共4小题）10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点(1,2)A 在平面直角坐标系xOy 中，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为．11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在DEF ∆中，12DE DF ==，10EF =，那么cos E =．12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在ABC ∆中，15AB AC ==，4tan 3A =．求：（1）ABC S ∆；（2）B ∠的余弦值．四．解直角三角形的应用（共4小题）14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX 观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33︒到40︒之间时（如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC 的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 330.54︒≈，tan 330.65︒≈，sin 400.64︒≈，tan 400.84︒≈，sin16.50.28︒≈，tan16.50.30︒≈，sin 200.34︒≈，tan 200.36)︒≈（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29︒（参考数据：sin290.48︒≈；︒≈cos290.87︒≈；tan290.55)（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚10OA OB==分米，晾衣臂支架6HG FE==∠=︒，晾衣臂10CODOC OD==分米，展开角60分米，且4≈==分米． 1.73)HO FO（1）当90∠=︒时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1)AOC（2）当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求''-为多少分米．B E BE17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，25BOA∠=︒，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）(sin250.423︒≈，cos250.906︒≈，tan250.466)︒≈（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i =的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至1B 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与1B 层平行，层高AD 为9米，A 、B 间的距离为6米，20ACD ∠=︒．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B 处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台//EF DC ，且AE 段和FC 段的坡度1:2i =，求平台EF 的长度．【参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈】六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题）23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30︒，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是()A．6000米B．12000米C．60003米D．120003米24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．26．（2023秋•松江区期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15︒的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30(AM︒、B、C在同一平面内）．求≈A、B之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD=米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45︒，顶部B处的仰角为53︒，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈tan53 1.33)28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB 3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点)B与拉线固定点（E）之间的距离．29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高5DG=米，斜坡CD 的坡度5:12i=，点A，C，G，F在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5︒，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7︒，求塔高AB．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5 1.40︒≈︒≈，sin26.70.45︒≈，cos26.70.89)︒≈，tan26.70.50︒≈，sin54.50.81︒≈，cos54.50.5830．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度1:3BN，i=，在坡面D处有一棵树AD（假设树AD垂直水平线)在坡底B处测得树梢A的仰角为45︒，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角ACQ∠为60︒．（点B、C、D在一直线上）（1）求A、C两点的距离；（2）求树AD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3 1.732)≈31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中1.5MN m =，视线MB 的仰角为α（已知1tan )6α=，视线MA 的仰角为β（已知3tan )4β=．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH a =，请你用含有a 的代数式表示松树()AB 的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树()AB 的高度．32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为α，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为β．(tan 1.25,tan 1.75)αβ==（1）请在图中标出俯角α、β，并用计算器求α、β的大小：α≈，β≈；（精确到“1”)（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ．小山斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，坡长AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45︒，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74︒．（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长；（2）求古塔CD 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.28︒≈，tan 74 3.49)︒≈35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45︒；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30︒．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22︒，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37︒，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，//BD EF ，DE EF ⊥，)AF EF ⊥，求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈，sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75)︒≈37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE ，从与建筑物底端B 在同一水平线的点A 出发，沿着坡比为1:2.4i =的斜坡行走一段路程至坡顶D 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为30︒，再从D 处沿水平方向继续行走100米后至点C 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求建筑物BE 的高度与AD 的长．（参考数据：3 1.732)≈38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60︒，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30︒，测得3AE m =，8(EF m A =，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73)≈．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45︒方向上，测得树B在北偏东36︒方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414︒≈≈，sin360.588︒≈，cot36 1.376)︒≈，cos360.809︒≈，tan360.72740．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45︒方向上，测得A在北偏东30︒方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．。
沪教版九年级第一学期25.2求锐角的三角比的值同步练习题
数学九年级上 第二十五章 锐角三角比25.2 求锐角的三角比的值（1）一、选择题1.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高,如果BC=a, B β∠=,那么AD 等于 ( )A. 2sin a β⋅B. 2cos a β⋅ C. sin cos a ββ D. sin tan a ββ 2. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．2tan 3B = B ．2cot 3B =C ．2sin 3B =D ．2cos 3B = 3. 已知点P （tan45°,-cos30°）,则P 点关于原点的对称点P ’的坐标是 （ ）A. )21,1(-- B. )21,1(- C. )23,1(-- D. )23,1(- 4、已知：是锐角，23sin =α，则等于 （ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么B A sin sin +等于 （ ）A. 1B. 231+C. 221+D. 43 6、已知：c b a ,,是△ABC 的三边，并且关于的方程02)(222=++++c ab x b a x 有两个相等实根，则△ABC 形状是 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定。
二、填空题7、已知：α为锐角，1tan =α，则α=____________度。
8、已知：α为锐角，3sin 2=α，则____________。
9、若3)20tan(3=︒-α，则锐角α=____________。
10、α为锐角，且关于x 的方程0sin 222=+-αx x 有两个相等的实数根，则α为____________度。
11. 在△ABC 中,若tan 12A B +=,则C ∠= . 12. 计算: 2sin 604cos303tan 60-+= .13.在△ABC 中,如果AB=那么C ∠的度数为 .14.设α为锐角,则cos 1α-= .15.在△ABC 中, A ∠,B ∠均为锐角,且2tan (2sin 0B A +=,则△ABC 的形状是 .16. 在正方形ABCD 中，∠ABD 的余弦值等于________．17. 已知 α是锐角，，且sin cos αα=，则α＝ 度。
一模复习专题3锐角三角比应用题
一模复习专题3 锐角三角比应用题1．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）2．如图，为求出河对岸两棵树A．B间的距离，小明在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC 的直线前进了12米到达D，测得∠CDB=90°．取CD的中点E，测∠AEC=56°，∠BED=67°．（1）求AC长；（2）求河对岸两树间的距离AB．（参考数据sin56°≈，tan56°≈，sin67°≈，tan67°≈）3．如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）4．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．5．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）6．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．7．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）8．如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．11．小明同学需测量一条河流的宽度（河岸两边互相平行）．如图，小明同学在河岸一侧选取两个观测点A、B，在河对岸选取观测点C，测得AB=31m，∠CAB=37°，∠CBA=120°．请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）12．某中学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，AB长30米，∠ABC=66°，为防止山体滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡BE与地面成45°角，求AE是多少米？（精确到1米）（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）13．在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．现测得AC=50m，BC=100m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．14．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20m，在斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆AB的高度（结果保根号）．15．图1为大庆龙凤湿地观光塔，游客可乘坐观光电梯进入观光层向四周瞭望，鸟瞰大庆城市风光．如图2，小英在距塔底D约200米的A处测得塔球底部平台B的仰角为45°，塔尖C的仰角为60°，求平台B到塔尖C的高度BC．（精确到个位，≈1.732）16．在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）17．如图，已知斜坡AP的坡度为i=1：，坡长AP为20m，与坡顶A处在同﹣水平面上有﹣座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角α且tanα=3．求：（1）求坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）18．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（≈1.732，≈1.414，结果保留整数）19．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为27°，看这栋楼底部的俯角β为58°，热气球与这栋楼的水平距离为120米，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51，sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）20．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD是多少？（结果保留整数，测角仪忽略不计，参考数据≈1.414，≈1.73）21．如图，李明在自家楼房的窗口A处，测量楼前的路灯CD的高度，现测得窗口处A到路灯顶部C的仰角为44°，到地面的距离AB为20米，楼底到路灯的距离BD为12米，求路灯CD的高度（结果精确到0.1）【参考数据：sin44°=0.69，cos44°=0.72，tan44°=0.97】22．如图，小俊在A处利用高为1.8米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：=1.414，=1.732）23．如图，为了开发利用海洋资源，我勘测飞机测量钓鱼岛附属岛屿之一的北小岛（又称为鸟岛）两侧端点A，B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的北小岛上方点C处测得端点A的俯角为30°，测得端点B的俯角为45°，求北小岛两侧端点A，B的距离（结果精确到1米≈1.732）24．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°，另一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一直线上，已知楼高AC=24米，求荷塘宽BD为多少米？25．某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．26．如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，在小道上测得如下数据：AB=60米，∠PAB=45°，∠PBA=30°．请求出小桥PD的长．27．某中学综合实践小组同学，想测量金龙山观音大佛的高度，他们在山脚下的D处测得山顶B的仰角为30°，沿着山脚向前走了4米达到E处，测得观音大佛的头顶A的倾角为45°，已知金龙山的山顶距地面的标高（线段BC的长度）为60米，请计算观音大佛的高度为多少米？（结果精确到0.1米，≈1.73）28．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到1海里，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67 ）29．如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7）30．为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09）（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．锐角三角比应用题2016.12.18参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，AB=20×1=20（海里），∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，∴∠C=∠CAB，∴BC=BA=20（海里），∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，∴CD=BC•sin∠CBD=≈17（海里）．2．（2014•青羊区校级模拟）如图，为求出河对岸两棵树A．B间的距离，小明在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12米到达D，测得∠CDB=90°．取CD的中点E，测∠AEC=56°，∠BED=67°．（1）求AC长；（2）求河对岸两树间的距离AB．（参考数据sin56°≈，tan56°≈，sin67°≈，tan67°≈）【解答】解：（1）∵E为CD中点，CD=12m，∴CE=DE=6m．在Rt△ACE中，∵tan56°=，∴AC=CE•tan56°≈6×=9m；（2）在Rt△BDE中，∵tan67°=，∴BD=DE．tan67°=6×=14m．∵AF⊥BD，∴AC=DF=9m，AF=CD=12m，∴BF=BD﹣DF=14﹣9=5m．在Rt△AFB中，AF=12m，BF=5m，∴AB===13m．∴两树间距离为13米．3．（2011•庐阳区模拟）如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图所示，∵∠OPM=60°，PM=20海里，∴∠OMP=30°，∴OP=10海里，∴PN=10海里，∴cos∠OPN===，∴∠OPN=45°，∴军舰N在雷达站P的东南方向（5分）（2）∵Rt△OPM中，PM=20海里，OP=10海里，∴OM===10，∵∠OPN=45°，∴ON=OP=10海里，∴MN=10﹣10（海里）．（10分）4．（2016•丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，AC==2，则EF=AC=2，∵∠E=45°，∴FC=EF•sinE=，∴AF=AC﹣FC=2﹣．5．（2016•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．6．（2016•淮安）小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM=米，DN=米，∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B两点的距离是（40+20）米．7．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）【解答】解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°=x，∴BH=BC+CH=2+x，∵∠A=30°，∴AH=BH=2+3x，∵AH=AD+DH，∴2+3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．8．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【解答】解：设BD=x米，则BC=x米，BE=（x+2）米，在Rt△BDE中，tan∠EDB=，即，解得，x≈6.06，∵sin∠EDB=，即0.8=，解得，ED≈10即钢线ED的长度约为10米．9．（2016•菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．10．（2016•乐山）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．11．（2016•玄武区二模）小明同学需测量一条河流的宽度（河岸两边互相平行）．如图，小明同学在河岸一侧选取两个观测点A、B，在河对岸选取观测点C，测得AB=31m，∠CAB=37°，∠CBA=120°．请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，如右图所示，在Rt△CAD中，tan∠CAD=，∴AD==，在Rt△CBD中，tan∠CBD=，∠CBA=120°，∴∠CBD=60°，∴BD==，∵AD﹣BD=AB，∴﹣=31，﹣=31，解得，CD≈41.0，即这条河的宽度约为41.0米．12．（2016•平顶山三模）某中学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，AB长30米，∠ABC=66°，为防止山体滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡BE与地面成45°角，求AE是多少米？（精确到1米）（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）【解答】解：在Rt△ADB中，AB=30米∠ABC=60°AD=AB•sin∠ABC=30×sin66°=30×0.91=27.3（米），DB=AB•cos∠ABC=30×cos66°=30×0.41=12.3（米）．连接BE，过E作EN⊥BC于N，如图所示：∵AE∥BC，∴四边形AEND是矩形NE=AD≈27.3米，在Rt△ENB中，∠EBN=45°时，BN=EN=AD=27.3米，∴AE=DN=BN﹣BD=27.3﹣12.3=15米答：AE是15米．13．（2016•襄城区模拟）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B 两个凉亭之间的距离．现测得AC=50m，BC=100m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：在Rt△CDA中∠CAD=180°﹣∠CAB=180°﹣120°=60°，∵sin∠CAD=，∴CD=AC•sin60°=50×=25（m），同理：AD=AC•cos60°=50×=25（m），在Rt△CBD中，（m），∴AB=BD﹣AD=（m），答：AB之间的距离是（）m．14．（2016•鄂州一模）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20m，在斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆AB的高度（结果保根号）．【解答】解：作AD与BC的延长线，交于E点．如图所示：根据平行线的性质得：∠E=30°，∴CE=2CD=2×8=16．则BE=BC+CE=20+16=36．在直角△ABE中，tan∠E=，∴AB=BE•tan30°=36×=12（m）．即旗杆AB的高度是12m．15．（2016•满洲里市模拟）图1为大庆龙凤湿地观光塔，游客可乘坐观光电梯进入观光层向四周瞭望，鸟瞰大庆城市风光．如图2，小英在距塔底D约200米的A处测得塔球底部平台B的仰角为45°，塔尖C的仰角为60°，求平台B到塔尖C的高度BC．（精确到个位，≈1.732）【解答】解：在Rt△ADC中，∵AD=200，∠CAD=60°，∴DC=DA•tan60°=200，在Rt△ADB中，∠BAD=45°，∴BD=AD=200，∴BC=DC﹣DB=200﹣200≈146（米）．答：平台B到塔尖C的高度BC约为146米．16．（2016•天门模拟）在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．17．（2016•泰州一模）如图，已知斜坡AP的坡度为i=1：，坡长AP为20m，与坡顶A 处在同﹣水平面上有﹣座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B的仰角α且tanα=3．求：（1）求坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）【解答】解：（1）作AE⊥PQ于点E，∵斜坡AP的坡度为i=1：，∴=，设AE为xm，则PE为xm，由勾股定理得，AP=2x，由题意得2x=20，解得，x=10，则AE=10m，PE=10m，答：坡顶A到地面PQ的距离为10m；（2）延长BC交PQ于点F，设AC=ym，∵tanα=3，∴BC=3y，∵∠BPF=45°，∴PF=BF，∴10+y=3y+10，解得y=5﹣5，则BC=3y=15﹣15．答：古塔BC的高度为（15﹣15）m．18．（2016•东河区二模）如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C 地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（≈1.732，≈1.414，结果保留整数）【解答】解：作BF⊥AD于F，设BC=x米，∵∠CBE=60°，∴BE=BC×cos∠CBE=x，CE=BC×sin∠CBE=x，∵CD=200米，∴DE=200﹣x，则BF=DE=200﹣x，∵∠CAD=45°，∴AD=CD=200，则AF=200﹣x，∵tan∠BAF=，∴=，解得，x=200（﹣1）≈146米．答：电缆BC至少146米．19．（2016•吉林一模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为27°，看这栋楼底部的俯角β为58°，热气球与这栋楼的水平距离为120米，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51，sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）【解答】解：在Rt△ABD中，tanα=，则BD=AD•tanα=120×0.51=61.2，在Rt△ACD中，tanβ=，则CD=AD•tanβ=120×1.60=192，∴BC=BD+CD=61.2+192=253.2≈253，答：这栋楼高约为253米．20．（2016•双柏县二模）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD是多少？（结果保留整数，测角仪忽略不计，参考数据≈1.414，≈1.73）【解答】解：由题意得，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137米，答：山高AD约为137米．21．（2016•绿园区一模）如图，李明在自家楼房的窗口A处，测量楼前的路灯CD的高度，现测得窗口处A到路灯顶部C的仰角为44°，到地面的距离AB为20米，楼底到路灯的距离BD为12米，求路灯CD的高度（结果精确到0.1）【参考数据：sin44°=0.69，cos44°=0.72，tan44°=0.97】【解答】解：作CE⊥AB于E，则四边形EBDC为矩形，∴CE=BD=12米，在Rt△AEC中，tan∠ACE=，则AE=EC•tan∠ACE=12×0.97=11.64，∴CD=BE=AB﹣BE=8.36≈8.4米，答：路灯CD的高度约为8.4米．22．（2016•黄冈一模）如图，小俊在A处利用高为1.8米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：=1.414，=1.732）【解答】解：设楼EF的高为x米，则EG=EF﹣GF=（x﹣1.8）米，由题意得：EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF，在Rt△EGD中，DG==（x﹣1.8），在Rt△EGB中，BG=（x﹣1.8），∴CA=DB=BG﹣DG=（x﹣1.8），∵CA=12米，∴（x﹣1.8）=12，解得：x=6+1.8≈12.2，答：楼EF的高度约为12.2米．23．（2016•长春四模）如图，为了开发利用海洋资源，我勘测飞机测量钓鱼岛附属岛屿之一的北小岛（又称为鸟岛）两侧端点A，B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的北小岛上方点C处测得端点A的俯角为30°，测得端点B的俯角为45°，求北小岛两侧端点A，B的距离（结果精确到1米≈1.732）【解答】解：作CD⊥AB于D，由题意得，∠A=30°，∠B=45°，CD=100米，AD==100，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100≈273米，答：小岛两侧端点A，B的距离约为273米．24．（2016•潮州校级模拟）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°，另一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一直线上，已知楼高AC=24米，求荷塘宽BD为多少米？【解答】解：由题意知：∠CAB=90°﹣30°=60°，△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，tan60°=，∴BC=AC•tan60°=24米，∵∠CAD=90°﹣60°=30°，∴CD=AC1tan30°=24×=8（米），∴BD=BC﹣CD=24﹣8=16（米）；答：荷塘宽BD为16米．25．（2015•广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．【解答】解：（1）DH=1.6×=1.2米（2）连接CD．∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB∥CD且AB=CD．∴∠HDC=∠DAB=66.5°Rt△HDC中，cos∠HDC=，∴CD==3（米）．∴l=AD+AB+BC=0.8+3+0.8=4.6（米）．∴所用不锈钢材料的长度约为4.6米．26．（2015•海安县校级二模）如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，在小道上测得如下数据：AB=60米，∠PAB=45°，∠PBA=30°．请求出小桥PD的长．【解答】解：设PD=x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°．在Rt△PAD中，tan∠PAD=，∴AD==x，在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB===x，又∵AB=60米，∴x+x=60，解得：x=30﹣30．答：小桥PD的长度约为30﹣30．27．（2015•孝义市一模）某中学综合实践小组同学，想测量金龙山观音大佛的高度，他们在山脚下的D处测得山顶B的仰角为30°，沿着山脚向前走了4米达到E处，测得观音大佛的头顶A的倾角为45°，已知金龙山的山顶距地面的标高（线段BC的长度）为60米，请计算观音大佛的高度为多少米？（结果精确到0.1米，≈1.73）【解答】解：在Rt△BDC中，由cot∠D=，得DC=BC•cot30°=60×=60，EC=DC﹣DE=60﹣4，在Rt△AEC中，由tan∠AEC=，得AC=EC•tan45°=60﹣4，AB=AC﹣BC=60﹣4﹣60≈39.8，即观音大佛的高度约为39.8米28．（2015•和平区二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到1海里，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67 ）【解答】解：如图，在Rt△APC中，∠APC=90°﹣65°=25°，∴PC=PA•cos∠APC≈80×0.91=72.8．（4分）.WORD 完美格式.在Rt△BPC中，∠B=34°，∴PB=（海里）（8分）答：海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里．（9分）29．（2015秋•徐州期末）如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ 的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7）【解答】解：如图，连接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（m）；在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（m）．在Rt△CDQ中，DQ===78（m）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（m）．答：PQ的长度约为89m．30．（2015秋•万州区期末）为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09）（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=20×0.21=4.2米，BD=BC•cos∠CBD=20×0.98=19.6米，在Rt△CAD中，AD=≈46.7米，故斜坡新起点到原起点B的距离AB=AD﹣BD=27.1米．（2）由题意得：+×4×（1+a%）=1，解得a=30．答：a的值是30．. 技术资料. 专业整理.。
锐角三角比
锐角三角比：知识点一：锐角三角比的定义： 一、 锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角比 2、取值范围 <sinA< cosA< tanA> 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值针对训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．453.如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图6，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB=，10BC=，AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．457. 如图7，在等腰直角三角形ABC∆中，90C∠=︒，6AC=，D为AC上一点，若1tan5DBA∠=，则AD 的长为( )A．2 B．2 C．1 D．228. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DCBAOyx第8题图A DECBFDABC类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D. 13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值． 1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin60tan 2.锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan αCBAABO3）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．5．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；家庭作业：1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.签字确认 学员 教师 班主任DCBAACB。
锐角三角比经典练习试题附带附有答案.docx
一、 （6× 4/ =24/ ）1．在 Rt ABC 中，∠ C90 0 ， AB2 ， AC 1， sin B 的 是（）（ A ） 1；（ B ）2； （ C ）3； （ D ） 2.2222．如果 Rt ABC 中各 的 度都 大到原来的 2 倍，那么 角∠A 的三角比的 （）（ A ） 都 大到原来的 2 倍；（ B ） 都 小到原来的一半； （ C ） 没有 化；（ D ） 不能确定 .3．等腰三角形的底10cm ，周 36cm ， 底角的余弦 ⋯⋯（）( A ) 5；(B)12； (C)5；( D)12.12513131 4．在 Rt ABC 中，∠ C90 ， sin B， tan A 的 ⋯⋯（）3（ A ） 3 ；（B ）3 ； （C ） 2 2 ；（D ）10 10.11335．在 Rt △ABC 中， ∠ C=90°， ∠ A 的 a ，已知 ∠A 和 a ，求 c ， 下列关系中正确的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ( )（ A ） casin A ； （ B ） c a （ C ）a=btana ．；A ； （ D ） csin Acos A6．在△ ABC 中，若 cos A2 ， tanB3 ， 个三角形一定是⋯⋯（）2（ A ） 角三角形 ;（ B ）直角三角形 ; （ C ） 角三角形 ; （ C ）等腰三角形 . 二、填空 （12× 4/ =48/ ）7．在 RtABC 中，∠ C90 , 若 AB =5, BC =3, ， sin A =， cos A，tan A，8．在 Rt ABC 中，∠ C90 ，∠ A =30°， AC =3, BC =.9. 在△ ABC 中，∠ C =90°， sin A2， sinB 的 是 ________.510．有一个坡角，坡度i 1 : 3 ，则坡角11．在Rt ABC中，∠C900, cos A 1,则∠B. 212．已知P（ 2， 3），OP与x轴所夹锐角为，则tan=_______ .13．如图，ABC中，ACB=90，CD是斜边上的高，若AC=8， AB=10，tan BCD=___________.14．如图，若人在离塔BC塔底 B 的200米远的 A 地测得塔顶B的仰角是30，则塔高BC=______（3 1.732, 精确到 0.1米）B_A15 题图C13 题图14 题图15．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1 ： 3 的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为 _________m.16．一个楼梯的面与地面所成的坡角是30，两层楼之间的层高 3 米，若在楼梯上铺地毯，地毯的长度是米（ 3 =，精确到0.1米） .17．如图，已知正方形ABCD的边长为 1．如果将对角线BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 D 点处，联结 AD ，那么cot/BAD__________．A DD B C6m15m17 题图18 题图18．矩形一边长为5，两对角线夹角为60°，则对角线长为.三、解答题（3× 10/ =30/）19．计算：tan 45cot 30.cot 45tan 604 x 4 交x轴于A，交y轴于B，求ABO的正弦值．20．已知直线y321．如图，将正方形ABCD的边 BC延长到点 E，使 CE=AC， AE与 CD相交于点 F.求∠ E 的余切值 .A DFBC E21 题图四、解答题（4× 12/ =48/）22．某人要测河对岸的树高，在河边 A 处测得树顶仰角是60，然后沿与河垂直的方向后退 10 米到Ｂ处，再测仰角是30，求河对岸的树高。
青岛版九年级第一学期数学上册《锐角三角比》同步练习及答案--分层练习+同步训练
九年级数学上册《锐角三角比》同步练习及答案分层练习 + 同步练习分层练习基础扫描1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．2．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝34，c＝4，则a＝_______．3．如果a∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cosα的值是（）A．12B．2C．1D．24．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若56AC=，65AB=，则tan∠ACD的值为（）A．5B．5C．30D．66．已知α是锐角，且cosα=34，求sinα、tanα的值．能力拓展7．若α为锐角，试证明：sintancosααα=．8．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a，AC=b（b＞a），若tan∠DCE=12，求ab的值．αyxP(2,3)OAb aE DCBA（第8题图）创新学习9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，cosA 与tanA 的值．参考答案1．13 2．． B 4．13，13，325． A6． 解：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，∵ 3cos 4AC AB α== ∴设AC=3k ，AB=4k （k ＞0），则k ．∴sin tan BC AB αα=== 7． 证明：如图，Rt ABC ∆中，∠C=90°，设∠A=α，则sin ,cos BC AC AB AB αα== ∴sin cos BCACαα=又 ∵ tan BC AC α= ∴sin tan cos ααα=.8． 解：如图，∵1tanDE DCE DC ∠==，∴设 DE=k ，DC=2k （k ＞0）则CE=.又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线 ∴∴1),BD k =∴tan BD BCD CD∠== ∵ A BCD ∠=∠ ∴tan tan A BCD ∠=∠∴12a b = 9．解：在Rt △DBC 中，∠C=90°，∠DBC=30°， ∴tan 3DC DBC BC ∠== C B AD CBAbaE D CBA CBAB∴可设DC=k ，BC=3k （k ＞0）．在Rt △ABC 中，由勾股定理知：222BC CA AB +=． ∴()()223319kk ++=．整理得()()2510k k +-=．∴k=1．∴BC=3，CA=4．∴4193cos ,tan A A ==．同步练习1、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A ＝_____，cos A ＝_____，sin B ＝_____，cos B ＝_____。
锐角三角比练习题7含答案
锐角三角比双基训练*1.在Rt ΔΑBC 中，∠C=900，BC=2，sin Α=,则ΑB= .【1】 *2.已知α为锐角，且cos α=25,则sin α= ,tg α= ,ctg α= .【2】**3.在Rt ΔΑBC 中，∠C=900，tgB=3,c-α=2,则α= ,b= ,c= .【2】 **4.在P 是直线y=512x 在第一象限上一点，若∠Pox=β,则cos β= ，ctg β= .【2】 **5.在直角坐标平面内有一点P(6,y),OP 与x 轴正方向所夹锐角为α,sin α=45,则y 的值是 ；OP 长是 .【2】**6.已知M(2,x)是直角坐标平面内一点，且锐角∠Mox=α,ctg α=3，则点M 的纵坐标为 .【2】**7.（1）sin180=cos ；（2）tg21.30=ctg ；（3）cos21012′=sin ；（4）ctg11021′31″=tg .【2】 **8.比较大小：【3】（1）sin200 sin700；（2）sin350 cos350；（3）tg180 ctg710；（4）sin720 tg620**9.tg10·tg20·tg30·…·tg890= .【2】**10.sin α210+sin220+…+sin 2880+sin 2890= .【2】 **11.已知sin α+cos α=43,则sin α·cos α= .【1】 **12.若α是锐角，且tg2α=3,则sin α·cos α= .【1】 **13.如果6sin 2cos 22sin cos a aa a-=+，那么tg α= .【2】**14.直线上有点Α(-1,-2)、B(3，4),则此直线与x 轴所夹锐角的正弦值为 .【3】**15.若ΔΑBC 中，∠C=900，则tgB=（ ）.【1】（Α）AB BC （B ）AC BC （C ）AC AB （D ）BC AC**16.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD 是ΑB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）.【2】（Α）sin Α （B ）cos Α （C ）sinB （D ）cosB**17.在Rt ΔΑBCk , ∠Α=900,α、b 、c 分别是∠Α、∠B 、∠C 的对边，则下列结论中正确的是（ ）.【2】（Α）b=α·sinB （B ）b=c ·cosB （C ）b=c ·tgB （D ）c=α·ctgB**18.当450<∠Α<∠B<900时，下列各式不正确的是（ ）.【2】（Α）sin Α>sinB （B ）tg Α>tgB （C ）cos Α<cosB （D ）ctg Α>ctgB**19.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD 是斜边ΑB 上的高，sin Α等于（ ）.【2】（Α）AD CD （B ）BD BC （C ）CD AC （D ）ADAC**20.在ΔΑBC 中，如果2A Btg +=1,那么ΔΑBC 的形状是（ ）.【2】（A ） 锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰三角形**21.如果x 为锐角，那么sinx+cosx 的值是（ ）.【2】（Α）大于1 （B ）小于1 （C ）等于1 （D ）不能确定**22.已知sin θ+sin 2θ=1,则cos 2θ+cos 4θ的值是（ ）.【2】（Α）1 （B ）2 （C （D **23.当450<α<900时，下列各式正确的是（ ）.【2】（Α）tg α>cos α>sin α （B ）sin α>cos α>tg α （C ）tg α>sin α>cos α （D ）cos α>sin α>tg α**24.已知P(sin300,tg450),则P 关于原点对称的点的坐标是（ ）.【2】（Α）（12，-1） （B ）（-12，-1） （C ）（-2，-1） （D ）（2，1）**25.在ΔΑBC 中，若|tg Α-1|+(cosB-2)2=0,则ΔΑBC 是（ ）.【2】 （Α）等腰三角形 （B ）等边三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）钝角三角形**26.已知sin α+cos α=m,sin α·cos α=n,则m 、n 的关系是（ ）.【2】（Α）m=n （B ）m=2n+1 （C ）m2=2n+1 （D ）m2=1-2n**27.如图9-6，两条宽度都为1的纸条交叉重叠放在一起，且它们夹角为α，则其重叠部分面积为（ ）.p.134【3】（Α）1sin a（B ）1cos a （C ）sin α （D ）1**28.当α为锐角时，sin α和tg α的大小关系为（ ）.【2】（Α）sin α>tg α （B ）si α<tg α（C ）sin α≤tg α （D ）由α的大小决定 **29.计算下列各式的值：【5】（1）tg300+sin450-cos600； （2）2cos300+5tg600-2sin300；（3）0000cos 604530245tg ctg ctg --； （4）00000006045sin 5060sin 60cos30cos 40tg tg ctg --++. **30.计算：【4】（1）0000002sin 45cos 4545360sin 30cos30tg ctg -+-； （2）0203603cos 301ctg -； （3）0000sin 604560245ctg tg tg --.**31.计算：【6】（1）tg 2300+2sin600·cos450+tg450-ctg600-cos 2300；（2）（1+sin450-cos300）(1-sin450-cos300)；（3）（cos450-sin600）(sin450+cos300)；（4）tg100·tg200·tg300·tg400·tg500·tg600·tg700·tg800. 纵向应用 **1.计算：【4】（1 （2001|3045|2ctg tg -. **2.计算：【4】（1）2020000sin 23sin 67301872ctg tg tg ++； （2.**3.化简下列各式：【8】（1（2）tg440·tg450·tg460-cos 2260-cos 2640；（3）tg(900-Α)÷ctg Α (Α为锐角)（4）|sin α+cos α|-|sin α-cos α|(α为锐角) **4.化简下列各式：【8】（1）1-sin 2630-cos 2630； （2）tg 2530·ctg 2530；（3）(cos a a为锐角）； （4a 为锐角）. ***5.θ为锐角时，化简下列各式：【8】（1 （2；（3）|||ctg ctg θθ- （4）1|sin |2θ-. ***6.化简下列各式：【6】（1 （2）（1+tg 2α）·cos 2α；（3）tg(300-α)·tg(600+α). ***7.已知tg α=2且α为锐角，求2sin 5cos 4sin cos a aa a+-的值.【2】***8.已知ctg α且α为锐角，求（2sin α+cos α）÷(2sin α-cos α)的值.【3】 ***9.已知3sin 2cos 22sin cos A AA A+=-，求tg Α.【3】***10.已知sin(x+450)=sin300·ctg300,求x 的值.【2】***11.已知a =，求α2-6α-2的值.【5】***12.若方程22sin 0x A +=有两个相等的实数根，求锐角Α的度数.【2】 ***13.在三角函数中,常用sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+计算某些三角函数值,试计算0sin 75的值.【3】***14.sin α是方程23720x x -+=的一个根,求(1)sin α的值;(2)tg α的值.【3】 ***15.已知锐角α的正弦和正切值分别是方程21529120x x -+=的一个根,求角α的正弦和正切的值.【3】***16.已知在锐角∆ΑBC 中,cos m B n=其中m 是方程260x x +-=的根,n 是方程2280x x --=的根,求角B 的度数.【5】***17.试判断方程2212cos (1)sin 0x x x θθ+-+-=的根的情况(θ为锐角).【5】 ***18.已知方程2450x x m -+=的两根是直角三角形的两锐角的正弦,求m 的值.【5】 ***19.已知α的锐角,且2,sin cos tg ctg αααα+=+求的值.【5】 横向拓展***1.已知θ是大于045是锐角,且15θθsin -cos =，求(1)sin cos θθ的值;(2)tg θ的值;(3)33sin cos θθ-的值.【10】***2.已知2232cos tg a a+=8(00090α),求sin α的值.【5】 ***3.已知7sin cos ,5tg ctg ααθθ+=+求的值.【5】***4.已知0012sin cos (045)25a a α=,求sin α和cos α的值.【8】***5.已知sin α、cos α是方程20x px q ++=的两个根,求证:2120q p +-=.【6】****6.已知sin ,sin ,tg a tg b θθθθθ+=-=为锐角,当α≥b 时,求证:22a b -=.【8】****7.已知22268sin sin 1,2cos cos cos cos a a a a a a +=+++求的值.【8】****8.已知222cos cos sin cos sin sin ,sin sin sin A x C B x C A B C ==++且求的值.【6】****9.试比较①04848;tg ctg +②00sin 48cos 48+;③048cos 48tg +;④0048sin 48ctg +,这四个数值的大小.【12】****10.已知4sin 2cos 2sin 1y cisa a a a a =+--且为锐角.求当y 的值为非负时,角α的取值范围.【10】****11.已知函数2(cos )(4sin )6y x x θθ=-+,对于任意实数x 都有0y,且θ是三角形的一个内角,求θ的取值范围.【10】阶梯训练锐角三角比 双基训练8 4.1213 125 5.8 10 6.23± 7.(1)720(2)68.70(3)68048′ (4)78038′29″ 8.(1)< (2)< (3)< (4)< 9.1 10.441211.718、C 17.A 、C 18.A 、B 、C 19.B 、C 20.C 21.A 22.A 23.C 24.B 25.A 、C 26.C 27.A 28.B 29.(1)36(2)6-1 (3)22 (4)0 30.(1) (2)5 (3)1231.(1)71223+-(2)54-14(4)1 纵向应用1.(1) (2)0 (3)1 (4)当00<a ≤450时，原式=2sina ；当450<a<900时，原式=2cos α 4.(1)0 (2)1 (3)1 (4)2tga 5.(1)00<θ≤450时，原式=1-tg θ；450<θ<900时，原式=tg θ-1 (3)00<θ≤300时，原式；300<θ<900时，原式=2ctg θ (4)00<θ≤300时，原式=12-sin θ；300<θ<900时，原式=sin θ-126.(1)cos400-sin400(2)1 (3)1 7.978.3+2 9.4 10.150 11.-5 12.45013.14.(1)13 15.sina=35,tga=4316.60017.∆=0有两个相等实根 18.98横向拓展1.（1）1225 （2）43 （3）37125 2.2 3.2512 4.34sin ,cos 55a a == 5.提示：sin cos a a p +=-，22sin cos ,sin cos 1a a q a a =+= 6.提示：先求出a+b,a-b ，相乘得a 2-b 2=4tg ·sin,再证θ·sin θ 7.2 8.2 9.tg480+ctg480>tg480+cos480>ctg480+sin480>sin480+cos480 10.00<a<600. 提示：y=2(sina+1)·(2cosa-1) 11.00<θ<600.提示：cosθ>0且Δ<0。
第03讲 锐角三角比(3种题型)(原卷版)
第03讲锐角三角比（3种题型）1锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.BPtanA=余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即COtA=Y?鬻;N 加勺对边正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即SinA=斜边2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小; ②若ZA+ZB=90°,贝IJtan A=cotB;sin A=cos B ；③tanA∙cotA=1.3.特殊角的三角比4.锐角的三角比一.锐角三角函数的定义（共6小题）1. （2023春•浦东新区校级期中）在RtZkABC 中，ZC=90o ,AB=5,AC=4.下列四个选项，正确的是（）A.tanB=-B.cotB=AC.sinB=AD.cosB=A4355余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即COSA=乙船勺邻边NAfi 勺对边 '已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角.2. （2023秋•浦东新区校级期末）已知在Rt4A5C 中，NC=90°,AB=5,AC=4,那么下列式子中正确 的是（ ） λ.λ4A.SinA=-5B.cosA=-⅛-5C.tanA=A D. 5CotA=A53.（2023秋•崇明区期末）在RtZkABC 中， ZC=90o , AB=2,AC=I,那么CosB 的值是（A.√ΣB.近c.1D. 22224. （2023秋•青浦区期末）在4A5C 中，ZC=90o ,如果tan∕A=2,AC=3,那么5C=5. （2023秋•宝山区期末）在RtZkABC 中，ZC=90o ,如果空那么SinA 的值是.BC46. （2023秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系Xoy 中，点尸的坐标为（3,4）,射线。
锐角三角比练习题及答案
锐角三角比练习题及答案
1. 已知一个锐角三角形的两个锐角分别为30度和60度，求第三个角的度数。
答案：第三个角的度数为90度。
2. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：斜边的长度为5。
3. 已知一个锐角三角形的两个角的正弦值分别为0.5和0.866，求这两个角的度数。
答案：这两个角的度数分别为30度和60度。
4. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为8。
5. 已知一个锐角三角形的余弦值为0.6，求对应角的度数。
答案：对应角的度数为53度。
6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，求斜边的长度。
答案：斜边的长度为13。
7. 已知一个锐角三角形的正切值为1.732，求对应角的度数。
答案：对应角的度数为45度。
8. 一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为15。
9. 已知一个锐角三角形的正弦值为0.3，求对应角的度数。
答案：对应角的度数为19.47度。
10. 一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为10，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为10√3。
锐角三角比的计算与应用
ABCPl【例1】 如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B 、C 两点，在对岸岸边选择点A ，测得45B ∠=︒，60C ∠=︒，30BC =米，求这条河的宽度（这里指点A 到直线BC 的距离）．（结果精确到1米，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈）【例2】 如图，l 为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上由西向东匀速行驶，依次经过点A 、B 、C ．P 是一个观测点，PC l ⊥，PC = 60米，4tan 3APC ∠=，45BPC ∠=︒，测得该车从点A 点行驶到B 点所用时间为1秒． （1）求A 、B 两点间的距离； （2）试说明该车是否超过限速．ABCABCDE O左右M A B CDEFG HPQ1.2 m0.8 m 0.8 m【例3】 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，小球在A 、B 两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C 点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为37°，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板DE 所成的角度为30°． （sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）（1）求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． （2）求OD 这段细绳的长度．【例4】 靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的二级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG 及三根与水平底面PQ 垂直的护栏支架CD 、EF 、GH （底端D 、F 、H 分别在每级台阶的中点处），已知看台高为1.2米，护栏支架0.8CD GH ==米，66.5DCG ∠=︒． （参考数据：sin66.50.92︒≈，cos66.50.40︒≈，tan66.5 2.30︒≈） （1）点D 与点H 的高度差是 米；（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l ，即AC CG CD EF GH ++++的长度． （结果精确到0.1米）ABC海平面【例5】 在某反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°，位于军舰A 正上方2000米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin680.9︒≈，cos680.4︒≈，tan68 2.5︒≈，3 1.7≈）．【例6】 如图，已知楼AB 高36米，从楼顶A 处测得旗杆顶C 的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E 处测得旗杆顶C 的仰角为45°，求该旗杆CD 的高．（结果保留根号）A DBCEFABPQ ABCDE【例7】 如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°．求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1米）．（备用数据：sin26.60.45︒=，cos26.60.89︒=，tan26.60.50︒=，cot 26.6 2.00︒=，sin33.70.55︒=，cos33.70.83︒=，tan33.70.67︒=，cot33.7 1.50︒=）【例8】 如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB 的高度，小明在河边C 处测得楼顶A 的仰角是60°．距C 处60米的E 处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的D 处测得楼顶A 的仰角是30°（点B 、C 、E 在同一直线上，且AB 、DE 均与地面BE 垂直）．求楼AB 的高度．DAB CEFGA BC【例9】如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为α和β，矩形建筑物宽度AD = 20m，高度DC = 33m．（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果48α=︒，65β=︒，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值（结果精确到1 m）．（参考数据：sin480.7︒≈，cos480.7︒≈，tan48 1.1︒≈，sin650.9︒≈，cos650.4︒≈，tan65 2.1︒≈）【例10】如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．ABCH 【例11】 如图，某人在C 处看到远处有一凉亭B ，在凉亭B 正东方向有一棵大树A ，这时此人在C 处测得B 在北偏西45°方向上，测得A 在北偏东35°方向上．又测得A 、C 之间的距离为100米，求A 、B 之间的距离．（精确到1米）（参考数据：sin350.574︒≈，cos350.819︒≈，tan350.700︒≈）【例12】 如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为1:2i =，斜坡AB 的长为65米，车库的高度为AH （AH BC ⊥），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14︒（图中的14ACB ∠=︒）． （1）求车库的高度AH ；（2）求点B 与点C 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin140.24︒=，cos140.97︒=，tan140.25︒=，cot14 4.01︒=）ABC45° 35°ABCD37°ABCD E FG【例13】 如图，高压电线杆AB 垂直地面，测得电线杆AB 的底部A 到斜坡底C 的水平距离AC 长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD 为5.2米，在D 点处测得电线杆顶B 的仰角为37°．已知斜坡CD 的坡比为1 : 2.4，求该电线杆AB 的高．（参考数据：sin 37° = 0.6）．【例14】 如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC 的坡度为1 : 2，AC 的长度为55米，AB 为底楼地面，CD 为二楼楼面，EF 为二楼楼顶，当然有EF // AB // CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，过C 的直线EG AB 于G ，在自动扶梯的底端A 测得E 的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE ．【例15】为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60米的斜坡AB进行改造，在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE 的坡角为36°，则平台DE的长约为多少米？（2）在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼，小明在D点测得主楼顶部H的仰角为30°，那么主楼GH高约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin36° = 0.6，cos 36° = 0.8，tan 36° = 0.7，3=1.7）BCD EFHM 30°30°A BCABC DABCDEN M 【习题1】 如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A -C -B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC = 120千米，30A ∠=︒，135B ∠=︒，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【习题2】 如图，热气球在离地面800米的A 处，在A 处测得一大楼楼顶C 的俯角是30︒，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后到达B 处，从B 处再次测得此大楼楼顶C 的俯角是45︒，求该大楼CD 的高度．2 1.41≈3 1.73≈）【习题3】 如图，小明在广场上的C 处用测角仪正面测量一座楼房墙上的广告屏幕AB 的长度，测得屏幕下端B 处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进10米到达D 处，又测得该屏幕上端A 处的仰角为45°，已知该楼高18.7米，测角仪MC 、ND 的高度为1.7米．求广告屏幕AB 的长．。
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锐角三角比的练习题
一、填空题：
1、对锐角α，有tan α = 5，则cotα = .
2、Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，AB = 5，BC = 4，tan A = .
3、Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，AC = 5，BC = 12，sinB = .
4、Rt△MNP中，∠M = 90°，cosP = 4
5，那么tan P = .
5、矩形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，DE⊥AC于E，则sin∠CDE = .
6、已知sin A = 12
13，cos A =
5
13，那么tan B = .
7、sin60° + tan 60° = .
8、2 sin30°– 3 cos30° + 3 cot 60° = .
9、Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，tan A = 1
4，那么AC = .
10、在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°, CD ⊥ AB，BC =12, AC = 5，则sin A = ，cos A = ，
tan ∠BCD = ，cot ∠ ACD = .
11、在等腰三角形中，如果腰长与底边长的比为5∶6，那么底角的正弦值为.
12、在Rt △ ABC 中，如果斜边AB是直角边BC的3倍，则cot B = .
13、点P的坐标是（tan 60°，– tan 45°），那么P关于x轴对称的点的坐标是.
二、选择题：
14、在等腰三角形ABC中，AB = AC = 10，BC = 8，则sin B等于（）
（A）4
5（B）
3
5（C）
21
5（D）
21
10
15、△ABC中，∠C = 90°，cos B = 4
5，那么·sin A 等于（）
（A）2
3（B）
5
6（C）
4
5（D）
3
5
16、在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，tan A= 1，则cos B等于（）
（A）1 （B）
2
2（C）
3
2（D）
1
2
17、在直角△ ABC 中，∠ C = 90°，下列式子中恒正确的是（）
(A) sin A = sinB (B) sin A = cos B (C) tan A = tan B (D) cot A = cot B
18、在R t △ ABC 中，∠ C = 90°，AC = 2, AB = 6, 则tan A =（）
(A) 22
3(B) 2 (C) 2 2 (D)
32
4
19、在△ABC 中，∠A和∠B为锐角, 若sin A =
3
2, cos B =
1
2, 则△ ABC 为( )
(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D) 等腰直角三角形
三、计算：
20、3 tan 45°· tan 60°– cot 60°21、（cot 30°– sin 60°）（tan 60° +·cos 30°）
三、解下列各题：
22、△ ABC 中，AD⊥BC于D，AB = 17cm，AC = 10cm，cos ∠ABD = 15
17，求△ABC的面积.
23、在△ABC中，D是AB的中点，CD⊥AC，tan ∠BCD = 1
3，求∠A的正弦、余弦、正切值.
24、若A、B是△ABC中的两个锐角，且sinA的值是过点（–1
2，
3
4）和（3，–1）的一次函数y = kx + b
在y轴上的截距，cos B是方程2 2 x 2– 4 x + 2 = 0的根，若AC = 2，试求AB的长.。