数学分析ch1-1集合与映射

第一步，证明 A(B D) ( A B) ( A D) 。 x A(B D) 或者 x A，或者 x B D 或者 x A，或者 x B 并且 x D x A B 并且 x A D， 即 x ( A B) ( A D) 。
第二步，证明 ( A B) ( A D) A(B D) 。 x ( A B) ( A D) x A B 并且 x A D 或者 x A，或者 x B 并且 x D， 即 x A(B D) 。 结合上述两步，得到 A(B D) ( A B) ( A D) 。
例： { x x2 1 0 } N 。
例 1.1.1 T { a，bwk.baidu.comc } 有 23 个子集： ； { a } ，{b } ，{ c }； { a，b } , { b，c } , { c，a } ； { a，b，c } 。
T { a1，a2 ， ，an } 有 2n 个子集。
例 1.1.1 T { a，b，c } 有 23 个子集： ； { a } ，{b } ，{ c }； { a，b } , { b，c } , { c，a } ； { a，b，c } 。
数学分析ch1-1集合与映射
第一章 集合与映射
§1 集 合
集合论的基础是由德国数学家 Cantor 在 19 世纪 70 年代奠定 的。
集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总 体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的元素。
通常用大写字母如 A, B, S,T,…表示集合， 用小写字母如 a,b, x, y ,…表示集合的元素。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S ，记为 x S 。 若 y 不是集合 S 的元素，则称 y 不属于 S ，记为 y S 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全 体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 N，Z，Q 和 R 来表示。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S ，记为 x S 。 若 y 不是集合 S 的元素，则称 y 不属于 S ，记为 y S 。
空集：一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集， 记为 。
例：{x x R并且x2 1 0} 。
子集：若 x S x T ，则称 S 是 T 的子集，记为 S T 。 例： N Z Q R 。 注 对任何集合 S ，都有 S S 与 S 。
空集：一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集， 记为 。
例：{x x R并且x2 1 0} 。
子集：若 x S x T ，则称 S 是 T 的子集，记为 S T 。 例： N Z Q R 。 注 对任何集合 S ，都有 S S 与 S 。
如果 S 中至少存在一个元素 x 不属于 T ，即存在 x S ，使 x T ，则 S 不是 T 的子集，记为 S T 。
有理数集
Q
可以表示为
Q
x
x
q p
，其中p
N
并且q
Z
；
正实数集 R 可以表示为 R {x x R并且x 0}。
注 集合中的元素之间并没有次序关系。 例： {a,b}、{b, a} 和{a,b,a} 表示同一个集合。
空集：一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集， 记为 。
例：{x x R并且x2 1 0} 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全 体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 N，Z，Q 和 R 来表示。
集合表示法
（1）枚举法： 光学中的三基色可以用集合{红，绿，蓝}表示； 由 a,b,c,d 四个字母组成的集合 A可用 A {a,b,c,d} 表示； 正整数集 N 可以表示为 N {1，2，3，，n，} ； 整数集 Z 可以表示为 Z {0，1， 2， 3，， n，}。
S ST
图 1.1.1(a)
集合运算
并： S T { x x S 或者 x T } 。 交： S T { x x S 并且 x T } 。
T
T
S ST
S ST
图 1.1.1(a) 例： S {a,b,c}, T {b,c,d,e} ，则 S T {a,b,c,d,e} ， S T {b,c}。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间：
(a,b) x a x b ； a,b x a x b； a,b x a x b ； a,b x a x b。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间：
(a,b) x a x b ； a,b x a x b； a,b x a x b ； a,b x a x b。
T { a1，a2 ， ，an } 有 2n 个子集。
真子集：如果 S T ，但 T S ，则称 S 是 T 的一个真子集。
T { a1，a2 ， ，an } 的 2n 个子集中，有 2n 1个是真子集。
S T ：集合 S 与 T 的元素完全相同。 S T S T 并且 T S 。
集合的并与交运算具有
1. 交换律 2. 结合律 3. 分配律
AB B A， AB B A。 A(B D) ( A B) D , A(B D) ( A B) D 。
A(B D) ( A B) ( A D) , A(B D) ( A B) ( A D) 。
例 证明： A(B D) ( A B) ( A D) 。
（2）描述法： S {x x具有性质P}。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B {x x2 2}；
有理数集
Q
可以表示为
Q
x
x
q p
，其中p
N
并且q
Z
；
正实数集 R 可以表示为 R {x x R并且x 0}。
（2）描述法： S {x x具有性质P}。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 B {x x2 2}；
(a, ) x x a ； a, ) x x a ； (,b) x x b； (,b x x b；
(, ) x x为任意实数（即实数集 R ）。
集合运算
并： S T { x x S 或者 x T } 。 交： S T { x x S 并且 x T } 。
T
T
S ST