知识点142--换元法解分式方程(解答)

1、（2010•苏州）解方程：．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：换元法。

分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化

为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．

解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，

解得，t1=2，t2=﹣1，

当t=2时，=2，解得x1=﹣1，

当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，

经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．

点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

2、（2010•嘉兴）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；

（2）解方程：+=2．

考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。

分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；

（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转

化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．

解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，

3x﹣x＞4+2

2x＞6

x＞3；

（2）设=y，则原方程化为y+=2．

整理得，y2﹣2y+1=0，

解之得，y=1．

当y=1时，=1，此方程无解．

故原方程无解．

点评：（1）移项时注意符号的变化．

（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

3、（2008•苏州）解方程：

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题；换元法。

分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．

解答：解：设=y，则=y2，

所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．

解得y1=﹣2，y2=．

即：=﹣2或=．

解得x1=2，．

经检验，x1=2，是原方程的根．

点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．

4、（2008•上海）解方程：

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题；换元法。

分析：本题考查解分式方程的能力，观察分式因为与互为倒数，所以可根据方程特点选择换元法进行解方程，同时又可用常用方法：去分母方法进行解方程．

解答：解：方法一：设，

则原方程化为，整理得2y2﹣5y+2=0，

∴y1=，y2=2，

当y=时，，

解得：x=2；

当y=2时，，

解得：x=﹣1．

经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根；

方法二：去分母得2（x﹣1）2+2x2=5x（x﹣1），

整理得x2﹣x﹣2=0，

解得x1=2，x2=﹣1，

经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根．

点评：解方程时要注意根据方程特点选择合适的方法，达到灵活技巧解题的效果．

5、（2008•乐山）解方程：x2﹣=2x﹣1

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题；换元法。

分析：运用换元法，设y=x2﹣2x，降次求方程的解．

解答：解：设y=x2﹣2x，

则原方程变为：，

即y2+y﹣12=0，

得（y﹣3）（y+4）=0，

解得：y=3或y=﹣4，

当y=3时，x2﹣2x=3，

（x﹣3）（x+1）=0，

解得x1=3，x2=﹣1，

当y=﹣4时，x2﹣2x=﹣4，

∵△=﹣12＜0，

∴此方程无解．

经检验，x1=3，x2=﹣1都是原方程的根．

点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

6、（2007•包头）解分式方程：

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题；换元法。

分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．

∵

∴可设y=．把y代入原方程，转化为整式方程求解．

解答：解：设，原方程化为y2﹣y+3=0，

解得y1=2，，

当y=2时，，解得x=﹣1．

当时，，解得x=﹣2．

经检验x1=﹣1，x2=﹣2都是原方程的根．

点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．本题应注意：最后需代入

y=求得x的值，再验根．

7、（2006•湛江）用换元法解方程：x2+3x﹣=﹣1．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：换元法。

分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，观察可得方程若直接去分母会很麻烦，涉及到的计算量会很大，因此可设x2+3x=y，将原方程变形整理为y﹣=﹣1，即：y2+y﹣20=0，求得y的值，然后再去解一元二次方程即可求得x的值．

解答：解：设x2+3x=y，则原方程变形为y﹣=﹣1，

即y2+y﹣20=0，

解得y1=﹣5，y2=4．

当y=﹣5时，x2+3x=﹣5，即x2+3x+5=0，

∵△=32﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，

∴此方程无解；

当y=4时，x2+3x=4，即x2+3x﹣4=0，

解得x1=﹣4，x2=1．

经检验，x1=﹣4，x2=1都是原方程的解．

点评：解分式方程的关键就是把分式方程通过去分母或换元等方式转化为整式方程，因此应根据方程特点选择合适的方法．求解后要注意验根．

8、（2006•盐城）解方程：

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题；换元法。

分析：本题考查用换元法解分式方程能力，观察方程，根据其特点可设=y，可得=，再进一步去分母整理化为整式方程即可求解．

解答：解：设：=y，

则原方程为：2y2﹣y﹣1=0，

解得：．

由得：x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．

由y2=1得：x2﹣x﹣1=0，此方程的解x3=，x4=．

检验：都是方程的根．

点评：用换元法可将分式方程化繁为简，化难为易，是解分式方程常用方法之一，要注意总结能够熟练运用换元法解分式方程的特点．