2020年浙江省温州市苍南县、龙港市“姜立夫杯”高一数学竞赛试题

2020年苍南县､龙港市“姜立夫杯”数学竞赛
高一试卷
满分100分，考试时间120分钟.
一､单选题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分，每小题有且仅有一个正确的答案) 1. 已知集合{|1},{|lg }A x y x B y y x ==+==，则A B =（ ） A. [1,)-+∞ B. [0,)+∞ C. (0,)+∞ D. R
2. 已知函数对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的图象大致为（ ）
A. B.
C.
D. 3. 已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨
++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234
x x x x +的值是（ ）. A. -4 B. -3
C. -2
D. -1 4. 320x -<是3210x x x ++-<（ ）条件.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c ---p 为
三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足6a =，8+=b c ，
则此三角形面积的最大值为（ ）
A
B. 8
C.
D. 二､多选题(本大题共3小题，每小题4分，满分12分，每小题有多个正确的答案，错选不给分，少选给一半分数)
6. 定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +
<<⎧=⎨≥⎩，下列命题中正确的有（ ） A. 若0a >，0b >，则()ln ln
ln ab a b +++=+； B. 若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=；
C. 若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥-
⎪⎝⎭； D. 若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2n a b a b +++++≤++.
7. (ln )()()0x a x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列结论正确的
是（ ）
A. 0a ≤
B. 1a ≥
C. (0,1]b ∈
D. 1b >
8. 若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有(1)(1)2()f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ，则下列判断正确的有（ ）
A. 函数()3x f x =具有性质P
B. 函数3()f x x =具有性质P
C. 函数()f x 具有性质P ，若(1)(99)0f f ==，则(10)0f ≤
D. 函数()f x 具有性质P ，若(1)(14)0f f
==，则0f ≤
三､填空题(本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.)
9. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车．数为______辆. 10. 定义在R 上的函数()f x 具有性质：（1）()()()f x y f x f y +=+（2）当0x >时，()f x 单调增，则不等式(1)(33)42f x f x x ++-+>的解集为______. 11. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，(2017)2018f =，(2018)2019f =，
(2019)2020f =，则
(2020)f =________.
12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当(0,3)x ∈时，()4x f x =，则2(log 60)f =______.
13. 2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+，(())y f f x =有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是______. 14. 2221x xy y ++=，则222x xy y ++的最小值为______.
四､解答题(本大题共3小题，第15题10分，第16､17题各11分.满分32分要求写出必要的解答过程)
15. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.5261e
t f t -+=
+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. ()ln5 1.61≈ （1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）
（2）在第几年内，该树长高最快？
16. 已知函数2()21f x ax bx a =-++，(0)a >
（1）当[1,3]x ∈时，证明：()|64||42|1f x a b a b ≤-+-+
（2）若1,1a b ==，关于x 的方程()()2143210x x f
k -+--=，有3个不同的实数解，求实数k 的值. 17. 已知函数()22f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x ∈R .
（1）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）若对任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.
参考答案和解析
2020年苍南县､龙港市“姜立夫杯”数学竞赛
高一试卷
满分100分，考试时间120分钟.
一､单选题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分，每小题有且仅有一个正确的答案) 1. 已知集合{|1},{|lg }A x y x B y y x ==
+==，则A B =（ ） A. [1,)-+∞
B. [0,)+∞
C. (0,)+∞
D. R 【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合,A B ，再求并集，得到结果.
【详解】{|1}A x x =≥-，B R =，
所以A B R =，
故选：D ．
【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目.
2. 已知函数对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由()()0f x f x +-=得()()f x f x -=-，得到函数是奇函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.
【详解】由()()0f x f x +-=得()()f x f x -=-，则函数是奇函数，排除A 、 C
当0x >时，()ln(1)f x x =+，∴对应的图象为D ，
故选：D .
3. 已知函数32log ,0
()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满
足：1234x x x x <<<，则
1234x x x x +的值是（ ）. A. -4
B. -3
C. -2
D. -1
【答案】A
【解析】
【
分析】 作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】函数()()F x f x b =-的四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，就是函数()y f x =与y b =两个图象四个交点的横坐标， 作出函数()y f x =的图象如下图所示， 根据二次函数的性质和图象得出
1222+=-x x ，所以124x x +=-， 又3343log log x x =，且3334log 0log >0x x <，，所以3334log log x x -=， 即()3334334log +log log 0x x x x =⋅=，所以341x x ⋅=， 所以1234441
x x x x +-==-， 故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解决问题的关键，属于中档题.
4. 320x -<是3210x x x ++-<的（ ）条件.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
令()321f x x x x =++-，利用导数研究得()0f x <的解集为区间()0,x -∞，()00,1x ∈，进而根据集合关系即可判断.
【详解】解：令()321f x x x x =++-，则()2
212'3213033f x x x x ⎛⎫=++=++> ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 在R 上单调递增，()()010,120f f =-<=>，
故存在()00,1x ∈，使得()0f x <在区间()0,x -∞，()00,1x ∈
即3210x x x ++-<的解集为()0,x -∞，()00,1x ∈，
解不等式320x -<得13,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭
，
由于()130,,2x ⎛⎫-∞-∞ ⎪⎝⎭，()00,1x ∈， 故320x -<是3210x x x ++-<的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题解题的关键在于研究3210x x x ++-<的解集，借助导数研究单调性，即可得到()0f x <的
解集为区间()0,x -∞，()00,1x ∈.
5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形
的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足6a =，8+=b c ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 8 C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】
由题意7p =，S =，利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意7p =，
77
2
b c S -+-==≤= 当且仅当77b c -=-，即b c =时等号成立，
∴此三角形面积的最大值为A ． 【点睛】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
二､多选题(本大题共3小题，每小题4分，满分12分，每小题有多个正确的答案，错选不给分，少选给一半分数)
6. 定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨
≥⎩，下列命题中正确的有（ ） A. 若0a >，0b >，则()ln ln ln ab a b +++=+；
B. 若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=；
C. 若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥-
⎪⎝⎭； D. 若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2n
a b a b +++++≤++.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于A ，通过举反例说明错误；对于B ，由“正对数”的定义分别对a 、b 分01a <<，0b >；1a ≥，0b >两种情况进行推理；对于CD ，分别从四种情况，即当01a <<，0b >时；当1a ≥，01b <<时；
当01a <<，1b ≥时；当1a ≥，1b ≥时进行推理．
【详解】对于A ，当14a =
，2b =时，满足0a >，0b >，而()1ln ln 02ab ++==， 1ln ln ln ln 2ln24
a b +++++=+=，()ln ln ln ab a b +++∴≠+，命题A 错误； 对于B ，当01a <<，0b >时，有01b a <<，
从而()ln 0b
a +=，ln 00
b a b +=⨯=，()ln ln b a a b ++∴=； 当1a ≥，0b >时，有1b a ≥，从而()ln
ln ln b b a a b a +==，ln ln b a b a +=， ()ln ln b a b a ++∴=.
∴当0a >，0b >时，()ln ln b a b a ++=，命题B 正确；
对于C ，由“正对数”的定义知，ln 0x +≥且ln ln x x +≥．
当01a <<，01b <<时，ln ln 000a b ++-=-=，而ln 0a b +
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭； 当1a ≥，01b <<时，有
1a b >，ln ln ln 0ln a b a a +++-=-=，而ln ln ln ln a a a b b b +⎛⎫==- ⎪⎝⎭
， ln 0b <，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭． 当01a <<，1b ≥时，有01a b <<，ln ln 0ln ln 0a b b b +++-=-=-<，而ln 0a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
． 当1a ≥，1b ≥时，ln ln ln ln ln a a b a b b ++-=-=，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
． ∴当0a >，0b >时，n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
，命题C 正确； 对于D ，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤.
当01a <<，01b <<时，有02a b <+<，
从而()ln ln 2ln 2a b +++<=，ln ln ln 200ln 2ln 2a b +++++=++=，
()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；
当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()ln ln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，
ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a +++++=++=，()ln
ln ln ln 2a b a b ++++∴+<++； 当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()ln ln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，
ln ln ln 20ln ln 2ln 2a b b b +++++=++=，()ln
ln ln ln 2a b a b ++++∴+<++； 当1a ≥，1b ≥时，()()ln ln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab +++++=++=， ()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥，2ab a b ∴≥+，
从而()ln ln n l l 2n a b a b +++++≤++，命题D 正确．
故选：BCD ．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．
7. (ln )()()0x a x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. 0a ≤
B. 1a ≥
C. (0,1]b ∈
D. 1b >
【答案】AC
【解析】
【分析】
等价于()()()0a x e x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立，显然a e a >且0a e >，根据穿针引线法分析得解.
【详解】由题得原题等价于()()()0a x e x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立，
显然a e a >且0a e >，
根据“穿针引线”法得a e 处的图象不能在x 轴下方（a e 处不能穿下去），
所以a e b =且0a ≤，
所以01b <≤.
故选：AC
【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点：（1）等价转化为()()()0a x e x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立；（2）通过穿针引线法分析出a e 处不能穿下去.
8. 若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有(1)(1)2()f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ，则下列判断正确的有（ ）
A. 函数()3x
f x =具有性质P
B. 函数3
()f x x =具有性质P
C . 函数()f x 具有性质P ，若(1)(99)0f f ==，则(10)0f ≤
D. 函数()f x 具有性质P ，若(1)(14)0f f ==
，则0f ≤
【答案】AC
【解析】
【分析】 A. 由指数运算判断；B.利用特殊值，取1x =-判断；C. 采用反证法，假设存在1,2,3,...,99i =有()0f i >，且i 为最小的值，则()()10f i f i -->，根据(1)(1)2()f x f x f x -++≥推理；D. 举例
()()()2114,x x x f x x x ⎧--=⎨⎩为有理数，为无理数
判断.
【详解】A. 因为1110333233x x x x -++=⋅≥⋅，所以函数()3x f x =具有性质P ，故正确； B.当1x =-时，(2)(0)82(1)2f f f -+=-≤-=-，故错误；
C. 假设存在1,2,3,...,99i =，有()0f i >，且i 为最小的值，则()()10f i f i -->，因为
(1)(1)2()f x f x f x -++≥，则(99)(98)(98)(97)...()(1)0f f f f f i f i -≥-≥≥-->，则()()()()()()()()9999989897...10f f f f f f i f i f i =-+-+++-+>，与()990f =矛盾，所以对任意1,2,3,...,99i =，当(1)(99)0f f ==时， 均有()0f i ≤，则(10)0f ≤，故正确；
D. 如()()()2114,x x x f x x x ⎧--=⎨⎩为有理数，为无理数
，x 为有理数时，1,1x x -+为有理数，则
()()()()()21513211420x x x x x x --+----=≥ ，x 为无理数时，1,1x x -+为无理数，
()
()2
2
211220x x x ++--=≥，具有具有性质P ，且(1)(14)0f f ==
，而150f
=≥，故错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对(1)(1)2()f x f x f x -++≥的理解和变形为(1)()()(1)f x f x f x f x +-≥--是解决本题的关键.
三､填空题(本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.)
9. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车．数为______辆. 【答案】15 【解析】 【分析】
设车数为x 辆，列出方程解出答案即可.
【详解】解：设车数为x 辆，则3（x －2）＝2x+9， 解得：x ＝15 故答案为15.
【点睛】本题考查了方程得实际应用，属于基础题.
10. 定义在R 上的函数()f x 具有性质：（1）()()()f x y f x f y +=+（2）当0x >时，()f x 单调增，则不等式(1)(33)42f x f x x ++-+>的解集为______.
【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据条件()()()f x y f x f y +=+可得出函数()f x 为R 上的奇函数；当0x >时，()0f x >，当0x =时，
()0f x =；当0x <时，()0f x <，原不等式等价于(42)420f x x -+->，讨论420x ->，420x -=，
420x -<，判断(42)420f x x -+->是否成立.
【详解】解：因为()()()f x y f x f y +=+ 所以令0x =，得(0)(0)(0)(0)0f f f f =+⇒=，
令y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，所以()f x 为R 上的奇函数，
令(0)x x y x y =->>，得()()()()()()f x f x y f y f x y f x f y =-+⇒-=-， 因为0x >时，()f x 单调递增，
所以()()()0f x y f x f y -=->，即当0x >时，()0f x >， 因为()f x 为R 上的奇函数，
所以当0x =时，()0f x =；当0x <时，()0f x <，
(1)(33)42f x f x x ++-+>等价于(42)420f x x -+->，
当420x ->即1
2x >时，(42)0,420f x x ->->所以(42)420f x x -+->符合题意； 当420x -=即1
2
x =时，(42)0,420f x x -=-=所以(42)420f x x -+-=不符合题意；
当420x -<即1
2
x <
时，(42)0,420f x x -<-<所以(42)420f x x -+-<不符合题意； 故答案为：1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. 【点睛】求解与函数单调性有关的抽象函数不等式问题：
（1）主要是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解； （2）应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用.
11. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，(2017)2018f =，(2018)2019f =，
(2019)2020f =，则
(2020)f =________.
【答案】2027 【解析】 【分析】
通过条件将()f x 表示为()(2017)(2018)(2019)1f x x x x x =---++，代值化简. 【详解】解：因为函数3
2
()f x x ax bx c =+++， 又(2017)2018f =，(2018)2019f =，
(2019)2020f =，
所以321x ax bx c x +++=+的根为2017,2018,2019， 即方程32(1)10x ax b x c ++-+-=的根为2017,2018,2019， 所以32(1)1(2017)(2018)(2019)x ax b x c x x x ++-+-=---， 所以32()(2017)(2018)(2019)1f x x ax bx c x x x x =+++=---++，
所以(2020)(20202017)(20202018)(20202019)202012027f =-⨯-⨯-++=， 故答案为：2027
【点睛】函数解析式的求法：
（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
（2）换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：由已知条件(())()f g x F x =，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x ，便得()f x 的解析式；
（4）消去法：已知()f x 与1()f x
或()f x -之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出()f x .
12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当(0,3)x ∈时，()4x f x =，则
2(log 60)f =______.
【答案】256
225
【解析】 【分析】
根据(4)(2)f x f x +=-和()f x 是定义在R 上的偶函数，得到()()6f x f x -=，即()f x 是以6为周期的周期函数，然后根据()2log 605,6∈及(0,3)x ∈时，()4x
f x =，利用函数性质求解
【详解】因为(4)(2)f x f x +=-， 所以(6)()f x f x -=，
又因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()6f x f x -=，
所以()f x 是以6为周期的周期函数，
因为()2log 605,6∈，且(0,3)x ∈时，()4x f x =， 所以222(log 60)(log 606)(6log 60)f f f =-=-，
216log 15216256
(log )415225
f ===
. 故答案为：
256
225
13. 2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+，(())y f f x =有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是______.
【答案】1
1))4
-⋃ 【解析】 【分析】
首先令2
()32(1)(2)0f x x a x a a =+--+=，解得2
3
a x +=-
或x a =，将问题转化为()y f x =与y a =或23a y +=-有两个不同的交点，求出()f x 的最小值，只需满足()()min
min
23a f x a f x ⎧>⎪
⎨+>-⎪⎩或
()()min
min 23a f x a f x ⎧<⎪⎨+<-⎪⎩
，解不等式即可求解. 【详解】令2
()32(1)(2)0f x x a x a a =+--+=， 即()()320x a x a ++-=⎡⎤⎣⎦，解得2
3
a x +=-
或x a =， (())y f f x =有且只有两个零点，
则()2
3
a f x +=-
与()f x a =共有两个不同的零点， 即()y f x =与y a =或2
3
a y +=-有两个不同的交点，
由2
()32(1)(2)f x x a x a a =+--+的开口向上，
且()2
min 144133a a a f x f ----⎛⎫==
⎪⎝⎭
， 当23a a +>-
，即1
2
a >-时，
只需22
4413441233a a a a a a ⎧--->⎪⎪⎨---+⎪>-
⎪⎩
，解得114a a a ⎧><⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，
此时
71
84
a -+<<， 当23a a +=-，即12a =-时，()min 102f x f a ⎛⎫
=-=> ⎪⎝⎭
，此时无交点，即无零点；
当2
3
a a +<-
，即12a <-时，
只需22
4413441233a a a a a a ⎧---<⎪⎪⎨---+⎪<-
⎪⎩
，解得114a a a <<⎨⎪><-⎪⎩或，
此时
718
a -<<-， 综上所述，实数a
的取值范围是1
1))4
-⋃.
故答案为：1
1))4
-⋃ 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是将问题转化为()y f x =与y a =或23a y +=-有两个不同的交点，进而转化为()min 2
,,3
a a f x +-
之间的关系，考查了分类讨论的思想.
14. 2221x xy y ++=，则222x xy y ++的最小值为______.
【答案】97
- 【解析】 【分析】
根据条件等式可设sin x y θ=
=，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.
【详解】
2221x xy y ++=，则22
27144x x xy y +++=，即2
2
12x y ⎛⎫
++= ⎪⎝
⎭⎝⎭，
设
cos ,sin
22
x y θθ
=+=，则sin x y θ==， ∴2
2
222sin 2sin
x xy y θθ⎛
⎛
++=+
+- ⎝⎝
224cos 2sin
7θθ=+
41cos 21cos 2
72θ
θ+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
59
2cos 2
77θθ=-+
()9sin 277θϕ=
++，其中ϕ是辅助角，且tan 7
ϕ=
，
当()sin 21θϕ+=-时，原式取得最小值为
9
7
-+.
. 【点睛】本题考查条件等式求最值，解题的关键是设sin
x y θ==，利用三角恒等变换化简可求出.
四､解答题(本大题共3小题，第15题10分，第16､17题各11分.满分32分要求写出必要的解答过程)
15. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单
位：年，t ∈N *
）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.52
6
1e
t f t -+=
+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. ()ln5 1.61≈
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位） （2）在第几年内，该树长高最快？ 【答案】（1）8年（2）第四年内或第五年内
【解析】 【分析】
（1）解不等式f （t ）>5，即可
（2）利用作差法求出f （t ）﹣f （t ﹣1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可． 【详解】解：(1) 令()0.52
6
1e t f t -+=
>+5，解得42ln57.2t >+≈，
即需要经过8年，该树的高度才能超过5米； (2) 当t ∈N*时，()()()0.520.51266
11e 1e
t t f t f t -+--+--=
-++ ()()()
0.520.50.52
0.5 2.5
6e e 1
1e
1e t t t -+-+-+-=
++
设0.52t e u -+=，则(
2
0,u e ⎤∈⎦，()()()
()()
0.50.5
61111e u
f t f t u e
u
---=
++.
令()()()0.511u g u u e u =
++，则
()()0.50.5111g u e u e u
=+++. 上式当且仅当0.5
1e u u
=时，()g u 取得最大值
此时，0.25u e -=，即0.520.25t e e -+-=，解得 4.5t =.
由于要求t 为正整数，故树木长高最快的t 可能值为4或5， 又()()0.564331f f e -=-
+，()()
0.50.5
66
543311f f e e --=-=-++， 所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．
【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
16. 已知函数2()21f x ax bx a =-++，(0)a >
（1）当[1,3]x ∈时，证明：()|64||42|1f x a b a b ≤-+-+ （2）若1,1a b ==，关于x 的方程()()
2
143210x
x f
k -+--=，有3个不同的实数解，求实数k 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
2
k =-. 【解析】 【分析】
（1）根据二次函数性质知max ()max{(1),(3)}f x f f =，只要证明max ()|64||42|1f x a b a b ≤-+-+，利
用绝对值三角不等式易证得结论成立；
（2）由函数式化简方程，然后换元，设21x
u =-，化为二次方程，再根据常数项大于0，等于0，小于0分类讨论，利用二次方程根的分布知识求解．
【详解】（1）∵0a >∴当[1,3]x ∈时，证明：max ()max{(1),(3)}f x f f =
|64||42|11061(3)a b a b a b f -+-+≥-+= |64||42|1221(1)a b a b a b f -+-+≥-+=
所以命题成立.
（2）()2
22f x x x =-+，所以()()
2
143210x
x f
k -+--=
可化为()2
212321420x
x k k --+-++=令21x
u =-， 则方程可化为()2
23420u k u k -+++=，
首先对方程21x
u t =-=，当0t <方程无解，0t =或1t ≥时，方程有1个解，当01t <<时，方程有两个解．
①若420k +<，即1
2
k <-
，则关于u 的方程只有一个正数解，原方程不可能有3个解； ②若12k =-，则()223420u k u k -+++=可化为2
102
u u -=，
所以，原方程有3个解21,0,log 31x x x =-==-；
③若1
2
k >-，要使原方程有3个实数解，则必须满足：
一根为零，另一根在()0,1上，或两根分别在()0,1和()1,+∞上，前一情形即12
k =-
， 后一情形2
(23)14201k k -+⋅++<，得1k <-，与12k >-矛盾，
所以12
k =-
． 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的性质，不等式的证明，考查由方程根的分布求参数值． 对于绝对值三角不等式：a b a b a b +≥+≥+，a b a b a b +≥-≥-．在讨论方程根的分布时，注意换元法的应用，本题利用换元法把方程转化为一元二次方程根的分布问题，从而易于求解． 17. 已知函数()2
2
f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x ∈R .
（1）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）若对任意[]0,1x ∈，都有()2
f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.
【答案】（1）单调递增区间为11,2⎡⎤--
⎢⎥⎣
⎦，[)1,+∞，单调减区间为：(],1-∞-，1,12
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
；（2）最小值为
1. 【解析】 【分析】
（1）将1a b ==代入，去绝对值得出分段函数，然后作出图象，观察图象即可得出结果.
（2）根据题意可得()2
0f a b ≤+，解得0a ≥，讨论21b >，0a ≥；21b ≤，1a >；21b ≤，01a ≤≤或
21
2
a b ==
，根据绝对值三角不等式即可求解. 【详解】解：（1）当1a b ==时，
则()22
222,1
112,11,1x x x y f x x x x x x x x x ⎧+-≥⎪==-+-=--+-<<⎨⎪-≤-⎩
，
当11x -<<时，()2
2f x x x =--+，对称轴为12
x =-，
结合图象，易知()y f x =的单调递增区间为11,2
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
，[)1,+∞，
()y f x =的单调减区间为：(],1-∞-，1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
（2）∵对任意[]0,1x ∈，都有()2
f x a b ≤+恒成立，
即对任意[]0,1x ∈，都有()2
2
2
f x x a x b a b =-+-≤+恒成立，
∴()2
00f a b a a a ≤+⇒≤⇒≥，
且对任意实数a ，b ，()2
2
111f a b a b =-+-≤+恒成立，.
①当21b >，0a ≥时，
()22221111111f a b a b a b a b =-+-=-+-≤++-=+恒成立，
②当21b ≤，1a >时，
()22211111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立，
③当21b ≤，01a ≤≤时，
由()2
2
2
11111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立，则21a b +≥，
④当2
1
2
a b ==时，对一切[]0,1x ∈时()1f x ≤恒成立， 当2
12
a b ==
时，()2
1122f x x x =-+-，
∵[]0,1x ∈，∴202x x ≤+≤， ∴()2211
1122
f x x x x x =-
+-≤+-≤， 综上所述，2a b +的最小值为1.
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数的单调性，不等式恒成立以及绝对值三角不等式，解题的关键是确定0a ≥，考查了分类讨论的思想.。