水力学相似理论
水力学知识点总结讲解
水力学知识点总结讲解《水力学》学习指南央广播电视大学水利水电工程专业(专科)同学们,你们好!这学期我们学习的水力学是水利水电工程专业重要的技术基础课程。
通过本课程的学习,要求大家掌握水流运动的基本概念、基本理论和分析方法,;能够分析水利工程一般的水流现象;学会常见的工程水力计算。
今天直播课堂的任务是给大家进行一个回顾性总结,使同学们在复习水力学时,了解重点和难点,同时全面系统的复习总结课程内容,达到考核要求。
第一章绪论(一)液体的主要物理性质1.惯性与重力特性:掌握水的密度ρ和容重γ;描述液体内部的粘滞力规律的是牛顿内摩擦定律: 下面我们介绍水力学的两个基本假设:水静力学包括静水压强和静水总压力两部分内容。
通过静水压强和静水总压力的计算,我们可以求作用在建筑物上的静水荷载。
(一)静水压强:主要掌握静水压强特性,等压面,水头的概念,以及静水压强的计算和不同表示方法。
(它是静水压强计算和测量的依据)p=p 0+γh 或其 : z —位置水头,p/γ—压强水头(z+p/γ)—测压管水头请注意,“水头”表示单位重量液体含有的能量。
4.压强的三种表示方法:绝对压强p′,相对压强p , 真空度p v , ↑ 它们之间的关系为:p= p′-p a p v =│p│(当p <0时p v 存在)↑相对压强:p=γh,可以是正值,也可以是负值。
要求掌握绝对压强、相对压强和真空度三者的概念和它们之间的转换关系。
1pa(工程大气压)=98000N/m 2=98KN/m 2下面我们讨论静水总压力的计算。
计算静水总压力包括求力的大小、方向和作用点,受压面可以分为平面和曲面两类。
根据平面的形状:对规则的矩形平面可采用图解法,任意形状的平面都可以用解析法进行计算。
(一)静水总压力的计算1)平面壁静水总压力(1)图解法:大小:P=Ωb, Ω--静水压强分布图面积方向:垂直并指向受压平面作用线:过压强分布图的形心,作用点位于对称轴上。
流体力学4-3.4相似定理
5. 马赫准则 Ma（表面张力） Mach number
在高速气流中，存在着 弹性力和惯性力的关系
FEp I p FEm Im
FE=El2 E=ρa2
I=ρl 2v2 FE= ρl2a2
pl
2 p
v2p
pl
p2a
2 p
mlm2 vm2 mlm2 am2
vp vm ap am
Map = Mam
适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的流体流动， 如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。
2.弗劳德准则 Fr（重力）
考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系
G gl3
I l22
Gp Ip
Gm Im
2 p
m2
g plp gmlm
Fr Fr 2
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似； 而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。
考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系
P pl2
I l22
Pp I p
Pm Im
pp pm
p
2 p
mm2
Eup
Eum
p
2
欧拉数（Euler number）表征压力与惯性力之比。 两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。
由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力 相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳 德准则成立，欧拉准则可自行成立。
水力学 第六章 量纲分析和相似原理
几何学量纲：0，=0，=0 运动学量纲：0，0，=0
动力学量纲：0，（0或=0 ），0
6、无量纲数或称量纲为1（纯数，如相似准数）：
=0，=0，=0，即 [x] = [1]。 特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；
（2）普适性。
2012-12-30 水力学基础 5
（三）本章的内容用于解决以下问题
1、定性分析：建立各相关参数间的关系。 2、指导试验：针对所建立的定性关系（公式结构形式），对无量纲系数进 行实验，形成定量关系。 3、模型实验设计——相似准数与相似律
2012-12-30 水力学基础 2
第六章 量纲分析和相似理论
北京工业大学市政工程系
二、定性分析与实验量化
(i 1,2,3, n m )
4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出
各项的指数a1，a2，….，am；从而定 出各无量纲参数。
5）写出描述现象的关系式
f( 1 , 2 , n - m ) 0
或显解一个参数，如：
2012-12-30
1 f( 2 , 3 , n - m )
第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系第六章量纲分析和相似原理2020720水力学基础本章内容一概述二定性分析与实验量化一量纲和单位二量纲和谐原理三量纲分析法四实验量化三相似准数与模型实验一基本概念二相似准数方程三模型相似律相似准则的适用本章小结第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系2020720水力学基础一流体力学研究问题的方法1解析法
（1） 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量，如管道流体输送中 单位长度的压强损失：
p F (u, D, , , ) L
水力学第六章 量纲分析和相似原理
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm
Pp Pm
Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t
tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm
Ep Em
水力学实验5.水工模型试验基础
将上式代入牛顿普遍相似准则 L22 L3g
Frp Frm
★在重力起主导作用两个相似系统中， 必须保证原型和模型的弗汝德数相等。因 此重力相似准则，又称弗汝德数准则，模 型与原型之间各物理量的比尺不能任意选 择，必须遵循弗汝德数准则。
现将各种物理量的比尺与模型比尺 L
的关系推导如下：
因为 V L3 8000
所以
Vm
Vp
V
2074104 8000
2593m3
所以水工模型中的放水时间为16.11d， 控制放水流量是2593m3。
第三节 水工模型设计的几点说明
（1）如果原型水流是紊流，则模型中 的水流也应该是紊流，在设计河道模型时 要选择几个流速较小的断面进行校核。
(2)原型水流是缓流或急流，模型中也 相应为缓流或急流。
L
W F L L4
3.阻力相似准则
2 p
m2
g p Lp J p gmLm Jm
或
Frp Frm Jp Jm
（1）阻力平均方区的紊流阻力相似准则
★水流在阻力平方区时，只要模型与原型
的沿程水头损失系数相等，就可以满足模 型与原型流动的阻力相似的要求，就可以 用弗汝德数准则进行阻力相似模型的设计。
t
tp tm
加速度比尺
p m
Lp / tP Lm / tm
L t
a
ap am
Lp Lm
/ tP2 / tm2
L t 2
根据定义，流速可以用长度除以时间 表示，而加速度则要用速度除以时间表示。
由此可见，满足运动相似的流速比尺 和加速度比尺都不是任意选定的，它们与 时间比尺、长度比尺都是相互关联的。
L
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
5 相似理论
Fi a V kF kF k 2 2 Fi aV k a kV k l k v
基本比例尺：kρ，kl，kv 其他如：力的比例尺，力矩的比例尺，压强的比例尺， 功率比例尺，动力黏度比例尺
几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征
它们是一个统一的整体，缺一不可
e F K 2 l e
v Ca K
2
柯西数；是惯性力 与弹性力的比值。 Ｋ为体积模量
弹性力相似准则：
Ca Ca
弹性力相似准则对于气体（马赫准则）
Ma
v c
马赫数；是惯性力 与弹性力的比值。 c为音速
表面张力相似（韦伯准则）
v l We
2
韦伯数；是惯性力与 张力的比值。
两流动相似应满足的条件
流动空间各对应点上和各对应时刻，表征流动
过程的所有物理量各自互成一定比例。
力 学 相 似
几何相似 运动相似 动力相似
表征流场几何形状 表征流体微团运动状态 表征流体微团动力性质
如何设计模型，使模型与原型流动相似 ？ 如何把模型中测量的物理量换算到原型 ？
相似原理和模型试验基础
kA
A A
V V
k
2 l
体积比例尺
kV
k
3 l
5.2.2 运动相似（时间相似）
模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相 同而速度大小的比例相等，即速度场相似。
v v
时间比例尺：k t
kv
l v l v kl kv
速度比例尺
t t
k 加速度比例尺：a
2
Jr
v r2 C r2 Lr
《水力学》自己复习整理知识框架
《水力学》自己复习整理知识框架水力学是研究水流在各种流动条件下的物理规律的学科。
水力学的研究对象包括河流、湖泊、水库、海洋等自然水体的运动规律，以及水力工程中涉及的渠道、管道、泵站等的水流行为。
以下是水力学的知识框架及复习整理。
一、基本概念和基本方程1.水力学的研究对象、目标和意义2.水的物理性质及其在水力学中的应用3.流动的基本概念：流线、流量、流速、剖面平均流速、平均流速、瞬时流速、表观流速、临界流速等4.流体运动的宏观描述：物质守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律5.海森堡统一速度场二、流态分类和力学特性1.流态分类：层流和湍流2.湍流的产生和发展机制3.湍流的统计特性：平均流速、涡度、雷诺应力、雷诺应力公式等4.湍流的判别方法和湍流的传输性质三、流动的基本方程1.牛顿第二定律和欧拉方程2.曼宁公式和雨道公式3.马克斯韦方程组和势流理论4.控制体分析法和控制体微分形式四、流动的能量方程1.泊肃叶方程和能量守恒方程2.流动过程中的能量转化和能量损失3.流体摩擦和阻力的计算五、水力学实验和模型1.水力学原理实验、水工模型2.模型尺度和相似理论3.型流和真流的关系4.实测资料的处理和分析六、流动的计算方法1.数值方法在水力学中的应用2.一维水流数值模拟方法3.CFD在水力学中的应用4.流动的计算机模拟与可视化技术七、水动力学1.水体运动的动力学机制2.水体运动的力学特性3.溶解氧和氨氮的弥散4.水体温度和盐度的传输以上是《水力学》的知识框架和复习整理，通过掌握这些知识点，可以对水力学的基本概念、基本方程和流态分类等进行全面地理解和复习。
同时，了解水力学实验和模型、流动的计算方法以及水动力学等内容，可以为深入研究水力学提供一定的基础。
在复习过程中，可以结合教材、参考书籍和相关研究论文进行学习和理解，通过刷题和实践练习来提高对该学科的应用能力和实际问题解决能力。
《水力学》课程教学大纲
《水力学》课程教学大纲课程名称：水力学（Hydraulics)课程类型：专业基础课;范围选修课学时:72学时，4.5学分适用对象：水利水电工程、农业水利工程、给水排水工程本科先修课程：高等数学、大学物理、理论力学一、课程性质、目的与任务以及对先开课程要求水力学是水利类各专业必修的一门主要专业基础课.水力学的任务是研究液体（主要是水）的平衡和机械运动的规律及其实际应用。
通过本课程的学习，使学生掌握水流运动的基本概念、基本理论与分析方法，理解不同水流的特点，学会常见水利工程中的水力计算，并具备初步的试验量测技能，为学习后续课程和专业技术工作打下基础.二、教学重点及难点本课程教学重点:水静力学,水动力学理论基础，流动阻力与水头损失,有压管路，明渠均匀流,明渠非均匀流。
难点：液体的相对平衡，作用在平面、曲面上的力,实际液体的运动微分方程，恒定总流伯诺里方程，恒定总流动量方程，紊流沿程损失的分析与计算，复杂长管的水力计算，管网的水力计算，无压圆管均匀流水力计算，断面单位能量、临界水深，恒定明渠流动的流动型态及判别标准,明渠非均匀渐变流微分方程，棱柱体渠道非均匀渐变流水面曲线的计算.三、与其它课程的关系学习本课程应具备高等数学中有关微分、积分、简单微分方程等高等数学基础；还应具备理论力学、材料力学中有关静力学、动力学、应力与应变、面积矩等方面的工程力学基础。
后续课程为水资源管理、水工建筑物、水利工程施工与水电站。
四、教学内容、学时分配及基本要求第一章绪论(2学时）基本要求：了解液体运动的基本规律及研究液体运动规律的一般方法,掌握液体的主要物理性质.重点：.液体的主要物理性质难点：液体粘性产生原因及作用第一节水力学的任务及其发展概况1、水力学的任务2、水力学发展简史第二节液体的主要物理性质及其作用在液体上的力1、液体的质量和密度2、液体的重量和容重3、液体的粘滞性4、液体的压缩性5、液体的表面张力6、作用于液体上的力第三节液体的基本特征和连续介质1、液体的基本特征2、连续介质假设3、理想液体的概念第四节水力学的研究方法1、科学试验2、理论分析3、数值计算第二章水静力学（8 学时）基本要求：掌握静水压强的特性，压强的表示方法及计量单位，掌握液体平衡微分方程与水静力学的基本方程，掌握液柱式测压仪的基本原理,能熟练计算作用在平面、曲面上的静水总压力。
水力学第5章 量纲分析与相似模型
雷诺准则也是流动稳定性的重要判据。 适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流 动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受 粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另 外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产 生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力 相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。 无粘性流是Re → ∞的极限情况。
几何相似
...... l 长度比尺： lm1 lm 2 lm p1 m1 p 2 m 2 l p1 l p2 lp
面积比尺： A AP 2 2 l Am lm
体积比尺： V
l3 VP p 3 3 l Vm lm
Qm
Qp
12 2 l l
模型比尺表
按雷诺准则和弗劳德准则导出的各物理 比 尺 量比尺 比 尺
雷诺准则 ＝ 1 ≠1 弗劳德 准则 名称 雷诺准则 ＝ 1 力的比尺F ≠1
2
名称
弗劳德 准则
长度比尺l
l
l
l
2 1 l
流速比尺
加速度比尺a 流量比尺Q 时间比尺t
lp lm lp lm
这样只有 l p lm ，即 l 1 时才可能
1）模型律的选择
当原型和模型为不同种流体时， p m ， 则有：
p lm lp ml p lm
p m
lp vm l m vp
32
p m 3 2 l
第五章 量纲分析与相似模型
一、量纲及其概念 二、量纲分析 三、相似理论与相似模型
一、量纲及其概念
相似理论在机械工程中的应用探讨
相似理论在机械工程中的应用探讨相似理论是指通过缩小模型尺寸和时间尺度，来代替原始系统进行试验研究的一种方法。
相似理论在机械工程中有着广泛的应用。
相似理论在流体力学中有着重要的应用。
流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，包括气体和液体。
相似理论在流体力学实验中可以通过缩小模型尺寸，减小实验成本，提高实验效率。
在风洞实验中，可以采用缩比的模型进行实验，通过相似的模型来研究真实尺寸的飞行器在空气中的飞行特性。
在水力学中，例如水电站的设计，可以通过相似理论来研究水流的流动情况，提高设计的准确性和可靠性。
相似理论在结构力学中也有着重要的应用。
结构力学是研究结构的载荷和应力的学科，包括建筑结构、桥梁结构、船舶结构等。
相似理论可以通过缩小模型尺寸，在实验室中进行模型试验研究。
在地震工程中，可以利用相似理论来研究地震对建筑物的影响，通过加速度放大器来模拟真实地震的效果。
这样可以在实验室中获得地震的实时反应数据，从而改进建筑物的设计和抗震能力。
相似理论在热力学和传热学中也有着广泛的应用。
热力学是研究物质能量转化和传递的学科，传热学是研究热量传递的学科。
相似理论可以通过缩小模型尺寸和调整温度或压力参数，来研究热力系统的性能和传热过程。
在汽车工程中，可以利用相似理论研究汽车发动机的冷却效果，通过调整模型的尺寸和温度参数，来模拟真实尺寸的发动机在不同工况下的冷却性能。
相似理论在机械工程中有许多应用。
相似理论通过缩小模型尺寸和时间尺度，来代替原始系统进行试验研究。
它可以在流体力学、结构力学、热力学和传热学、材料力学等领域中提高研究的效率和准确性，为机械工程的研究和应用提供支持和指导。
量纲分析与相似理论
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
量纲分析和相似原理
第十二章量纲分析与相似原理实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。
因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。
量纲分析与相似原理是指导分析问题和模型试验的重要方法，通过量纲分析和相似原理可以合理地、正确地组织试验，简化试验以及整理试验成果。
对于复杂的流动问题，借助量纲分析可以寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构，量纲分析是分析流动问题的有力工具和方法。
相似原理则是模型试验的理论依据，也是分析水力学问题的有效方法之一。
要求掌握正确组合无量纲量的方法，掌握根据不同的水流进行模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺的换算与模型设计。
第一节量纲分析一、量纲和单位量纲：表征物理量按其性质不同而划分的类别，即量纲表示的是物理量的种类。
量纲也称因次（Demension）。
单位：度量各种物理量数值大小的标准。
即单位是度量某一物理量的基值，预先人为选定的。
同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。
具体的“数值”和“单位”就准确地表示出了该物理量的大小。
从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的864001。
由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。
量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。
二、 基本量纲与诱导量纲量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲是指具有独立性的量纲。
该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。
如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。
基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。
水力学第12章 相似理论-2015
（2 ）相似准则
（i) 重力相似准则(弗劳德数相似准则）
G
Gp Gm
3 p g pl p 3 g l 3 m gmlm
重力起主要作用时： F G ，
3 3 p g pl p m g m lm 2 2 2 2 pl p v p m lm v m
1 1 a , b 2, c 2 2
Q k d p kd
2
1 2
1 2
2
p
kd
2
gh kd 2 gh
4
令 则
k 2 Q k'
k'
4
d 2 2 gh k ' A 2 gh
２. 定理
•
物理现象涉及 n 个物理量
f ( x1 , x2 ,, xn ) 0
p l vd l f ( , , ) f ( , Re, ) 2 2 2 v d d d d v2 两边乘以 g
p hf , g
令 f 3 (Re, ) d
p l v2 f 3 (Re, ) g d d 2g
l v2 hf d 2g
10
几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征 它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件
动力相似是决定流动相似的主导因素
运动相似是几何相似和动力相似的表现形式 它们是一个统一的整体，缺一不可。
2 相似准数及相似原理
（1）.牛顿数Ne及牛顿相似定律
牛顿数=外力/位移惯性力 惯性力：
•
如
诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出
[ x] [ L T M ]
相似理论与量纲分析
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
相似理论与量测技术(1)
ai k i a
b k
i i
b
相似理论
量纲相关理论——量纲和谐的应用
2 、 π 定理基本内容：任何一个物理过程 ，可由包含 (k+1)个有量纲的物理量所组成的关系式表示，其中一 个因变量，k个自变量，如果在自变量中选择m个作为基 本物理量，那么该过程也可由 (k+1-m) 个无量纲数所组 成的关系式来描述。由于这些无量纲数是用π 来表示， 故称为π 定理。用数学关系式可表示为：
1927 年J·Th·西捷斯 (J ． Th ． Thijsse) 在代尔夫特、 1928 年E·梅叶 - 彼得 (E ． Meyer—Peter) 在苏黎世分别 建立了各自的实验室。 在美国也建立了一些水力学实验室，对于它们的发展，
J·R·费礼门 (John R ． Freeman) 作出了重要的贡献
8、无量纲数特点：①无量纲数既无量纲又无单位，它 的数值大小与所选用的单位无关。②无量纲量不随所选 用单位的不同而改变其数值，所以要正确反映客观规律， 最好将其物理量组合成用无量纲数表示的形式。
相似理论
量纲相关理论——相关概念与准则
③无量纲量的重要性还表现在对数、指数、三角函数等
任何超越函数的运算中。
学实验室的国际组织。由于雷伯克和费里尼阿斯的努力，
在1935年由65位科学家发起成立了“国际水力学研
相似理论
相似理论起源与发展
究协会(IAHR)”。发起者中 18 人来自德国，并于 1937 年在柏林举
行了协会的第一次会议。到上世界 80 年代，协会已发展为一个拥
有近300个研究单位和约2000名科学家为会员的世界性组织，仅在 联邦德国，相关的水力实验室和研究所就有16个。
1、雷列法基本内容： 假定一个物理过程可用如下幂次乘积形式表示：
同济大学：相似理论
在实际中，一般选一个几何学量，一个运动学量和 一个物理系数或动力学量来作基本物理量。
（3）从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮 取一个，连同三个基本物理量组合成一个无量纲的 π项，这样一共可写出（n-3）个π 项
（4）每个π项即是无量纲数，根据量纲和谐原理 ，求出各π项的指数ai、bi、ci，从而定出各无量 纲π项。 （5）写出描述现象的关系式
相似准则
◦ 将相似指标中的同种物理量之比代入，便得到同一体系中 各物理量的无量纲组合，称为相似准则，也叫相似模数、 相似判据或相似不变量。
如何描述相似？
◦ 相似的基本特征：
几何（空间）相似 运动（时间）相似 动力（物理）相似
（1）几何相似（空间相似）
◦ （Geometrical Similarity）
力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速 度比例系数的不同组合形式。
力矩 ( Fl )m 2 Mr r L3 v r r ( Fl ) p
几何比尺、运动比尺和动力比尺之间
由力学基本定律规定了的一定的约束 关系。
牛顿第二定律
四个相似比尺中三个可自由选取，剩余一个由上述 比尺关系确定
2 欧拉准则(Euler) 表示压力和惯性力的比值，表示物体表面压力分布 的压强系数，以及升力系数和阻力系数等。
欧拉相似准数(无量纲)
3 雷诺准则(Renolds) 表示惯性力和粘性力之比，反映了流体流动时惯性 力与内摩擦力的相对大小。
雷诺相似准数
其他相似准数
动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动 动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称 为完全的动力相似。 如果所有的相似准数都相等，意味着各比例系数均 等于1，这实际上意味着模型流动和原型流动各对 应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等 流动。
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• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2, , xn ) 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1,2, ,nm ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F(1, 2, , nm ) 0
❖本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力 学试验研究有重要的指导意义。
水力模型试验:在模型中重演（或预演）与原型相似的水 流现象以观测分析研究水流运动规律的手段
湖北均县丹江口水利枢纽闸墩振动试验 长江三峡水利枢纽总体布置模型
长江三峡水库变动回水区铜锣峡河段泥沙模型
内容
12.1 概述 12.2 量纲分析法 12.3 水力相似基本原理
[ ] L3T 3 M 3 L3T 0M 1
10 0 1 1 0 1 0
3 0 1
n-m=7-3=4个数
1
l
d v a1 b1 c1
3
d v a3 b3 c3
2
d v a2 b2 c2
4
p
d v a4 b4 c4
以１为例
[L] [L]a1 [LT 1]b1 [ML3 ]c1 1
式中
为长度比尺。
L
L
Lp Lm
面积比尺 体积比尺
A
Ap AM
Lp2 Lm 2
• 从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉
及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相 互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之 间规律性联系的实质，也更具普遍性。
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
例
a1 1 b1 0 c1 0
则
1
l d
2
dv
3
d
4
p
v2
f
(1, 2 , 3, 4 ) 2
f
(l d
,
dv
, , p )
d v2
0
f1 (
l d
,
dv
,
d
,
p
v2
)
0
p
v2
f
2
(
l d
, dv
, ,) d
p
g
f
3
(
Re,
d
)
l d
v2 2g
p
g
hf
,
hf
l d
v2 2g
令
f
3
第12章 水力模型试验基本原理
12.1 概述
❖水力模型试验：是将原形实物按照相似原理缩制（或放大） 为模型，在模型中预演或重演与原型相似的自然现象并进行观 测，然后将观测结果再按相似原理引申于原型并作出判断。
❖ 量纲分析法：是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间 规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理 过程是十分有益的。
如与温度无关的动力学问题 可选取长度[L]、时间[T]和质 量[M]为基本量纲。
• 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出
如 [x] [LT M ]
0, 0, 0 0, 0, 0
0, 0, 0
, , 称为量纲指数
则 x 为几何学的量 则 x 为运动学的量 则 x 为动力学的量
运动粘性系数 [ ] [L2T 1]
12．2 量纲分析法
1. 量纲、无量纲量
• 量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示
物理量的类别，是物理量的质的特征。
• 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体
的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物 理量的量的特征。
• 量纲
基本量纲 诱导量纲
• 基本量纲具有独立性，比
• 表征液体运动有三种不同性质的物理量：表征流场几何形状的、 表征运动状态的以及表征动力特性的物理量。 即描述水流运动 的物理量可以分为三个类型：几何量、运动量、动力量。
• 因此，两个系统的流动相似必须做到几何相似、运动相似和动力 相似。即两个流动系统的相似可用几何相似、运动相似及动力相 似来描述。
达式．
解： Q f (, d, p)
k ad bpc
[L3T 1] [ML3 ]a[L]b[ML1T 2 ]c
a 1 ,b 2, c 1
2
2
Q
k
1 2
d
2
p
1 2
kd2
p
令
kd2 gh kd2 gh
则
k 2
4
Q d 2 2gh A 2gh
4
２. 定理
• 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互
动力粘性系数 [] [L1T 1M ]
• 无量纲（量纲为一）量
定义： 物理量 的所有 量纲指 数为零
相同量纲量的比值 如角度，三角函数
几个有量纲量通过乘除组合而成
如压力系数
Cp
p p
1 2
U
2
2.量纲和谐原理
• 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量
纲指数都分别相同。
• 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位
17
• 原型：Prototype 模型：Model
• 为便于讨论，规定：
• 以λ 表示其原型量和模型量的比尺，而 物理量 下标 P、M 则分别表示原型量和模型量。
流动相似
几何相似 运动相似 动力相似
18
１、几何相似
几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似， 也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比例关 系。
(Re,
d
)
12．3 水力相似基本原理
12.3.1 流动相似
在自然界中有些流动规律还不能用完整的理论去描 述，必须通过实验去寻找这些规律。而实验所需的 模型与实型不一定相同，需按一定的规律制作模型， 才能将实验得到的规律换算到实型上。这些规律称 为相似要求。
• 水流运动是在一定时间和空间中进行的，它遵循水流运动学和动 力学的规律。
用 定理推求水平等直径有压管内压强差．p
的表达式。已知影响压强差的物理量有管长l、管径d、 管壁绝对粗糙度 、流速v、液体密度 、动力粘滞系数 及重 力加速度g。
解：
F(d,v, ,l, , , p) 0
[d ] L1T 1 M 1 L1T 0M 0 [v] L2T 2 M 2 L1T 1M 0
制变换而改变形式。
• 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。
3. 量纲分析法 １．瑞利法． 适用于影响因素（自变量）间的关系为单项指数形式 y f (x1, x2 , x3, xn ) 0
例
图为理想液体孔口出流，试用瑞利法导出以液体密
度，孔口直径d及压强差 p 表g示h的孔口流量Q的表