数学建模人口预测模型ppt课件
数学建模讲座--预测模型
年份
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （ t） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
总额 （ yt ） 604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
k
(一) 直线趋势外推法
适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线 上升或下降的情形。 该预测变量的长期趋势可以用关于时间 的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸 （外推），估计其预测值。 两种处理方式：拟合直线方程与加权拟合直线 方程
例 3.1 某家用电器厂 1993～2003 年利润额数据资料如表 3.1 所示。试预测 2004、2005年该企业的利润。
二 、趋势外推法经常选用的数学模型
根据预测变量变动趋势是否为线性，又分为线性趋势外推法 和曲线趋势外推法。
ˆt b0 b （一）线性模型y 1t （二）曲线模型 1.多项式曲线模型 2.简单指数曲线模型 3.修正指数曲线模型 4.生长曲线模型 （龚珀资曲线模型）
2
ˆt b0 b1t b2t bk t y 多项式模型一般形式：
预测模型简介
数学模型按功能大致分三种： 评价、优化、预测 最近几年，在大学生数学建模竞赛常常出 现预测模型或是与预测有关的题目：
1.疾病的传播； 2.雨量的预报； 3.人口的预测。
统计预测的概念和作用
（一）统计预测的概念
概念: 预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。 统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计 方法对事物的未来发展进行定量推测.
数学建模 人口模型
中国人口增长预测模型的建立与分析摘要针对我国人口发展过程中出现的老龄化进程加快，出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化的新特点，我们基于LESLIE 矩阵，着重考虑城镇与乡村间的人口迁移及女性人口比例变化对我国人口增长的影响，经过两次改进建立了便于计算机求解的差分方程模型，对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测。
随后利用时间段参数设置法，对差分方程模型又进行了一次改进。
然后运用等维灰色系统预测法对该差分方程模型的中短期预测进行了检验，同时根据2001年人口基本数据运用此模型对2001年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。
我们将预测区间分为2006～2020年、2021～2035年、2036～2050年三个区间，以量化短期、中期与长期。
通过调整模型中相关参数及输入条件，定量地分析了男女性别比例、老龄化和乡村人口城镇化对我国人口增长的影响。
预测结果表明，从短期来看，我国的出生性别比变化不明显，将在短期内维持基本不变，老龄化进程在15年内在上升了8个百分点，人口扶养比持续升高，这将加重我国的人口压力，乡村人口城镇化水平进展缓慢；从中期来看，总人口性别比将保持在1与1.1之间，老龄化进程将呈线性增加趋势，乡村人口城镇化水平将持续发展；从长期来看，老龄化进程将在2035到2045年经历老龄人口高峰平台，老龄人口比重在0.3以上，育龄妇女人数持续下降，总人口数将在2023年达到峰值14.05亿。
关键词：LESLIE矩阵，人口预测，性别比例，城镇化，老龄化，灰色系统预测一、问题的重述人口问题是中国社会发展的重要问题，对中国人口的中长期预测有助于政府制定相应的政策保持中国的长治久安。
现需要解决的问题如下：1.主要根据2001～2005年的人口统计数据，对中国人口增长的中短期和长期趋势作出预测，特别要关注老龄化，出生人口性别比及乡村人口城镇化等因素。
2.指出所建模型的优点和不足之处。
人口模型(马尔萨斯--vs--logistic)分解PPT课件
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§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
世界人口
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 哇！
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
美丽的大自然
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。
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例5 赝品的鉴定
历史背景:
在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同 谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945 年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦（H·A·Vanmeegren），此 人曾将17世纪荷兰名画家扬·弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等 卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称： 他从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在 埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰 画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明 自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中 间”，当这项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造 罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。
y=log(x);
p=polyfit(t,y,1) 输出结果： p0.27431.4323
数学建模人口模型人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究【摘要】本文着重于讨论两个问题：1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。
2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、等方法进行建模预测。
首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2014至2040年的人口数目进行了预测，得出在2040年时，中国人口有14.32亿。
在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。
然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1)灰色预测模型，对2014至2040年的人口数目进行了预测，同时还用2002 至2013年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2040年时，中国人口有14.22亿。
与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。
对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99,我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。
同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。
并做出了拟合函数X(t+1)= 17255.&041 977 - 1 653 1.2对于新政策的实施，我们做出了两个假设。
人口和城市化水平预测模型(整理).ppt
❖ 四、求各类人均生态足迹的总和（ef）
ef r j Ai
❖ 五、计算地区总人口（N）的总生态足迹（EF）
EF N ef N r j Ai N r j (Ci Pi)
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（4）计算生态供给足迹
❖ 一、计算各类生态生产性土地的面积；
❖ 该方法要求人口有较长的时间序列统计数据，而且人 口数据没有大的起伏。
❖ 适用于相对封闭、历史长、影响发展因素变化缓和的 城市。
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一、回归分析法
❖ 2、工农业总产值与人口规模的一元线性回归模 型。
y b0 b1 x
x为工农业总产值等；
y为人口规模。
❖ 自变量一般是与人口规模关系密切、有较长时序的统 计数据，且易于把握的影响因素，如产值、就业等。
❖ 此方法只适用于城市人口规模的校核，不适合于预测。
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七、百岁图法 （人口分组生存模型法）
❖ 本方法根据已掌握的年龄构成及妇女的生育 情况，并且考虑机械增长情况预测未来人口规模。
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八、生态足迹（Ecological footprint）法
❖ 1、基本概念
❖ 是由加拿大生态经济学家E.R.William和其博士生 M.Wackermagel于20世纪90年代提出的一种度量可 持续发展程度的方法，它是一组基于土地面积的量 指标。
❖ 二、计算生产力系数。由于同类生态生产性土地的生产力在不 同国家和地区之间是存在差异的，因而各国各地区同类生态生 产性土地的实际面积是不能直接进行对比的。生产力系数就是 一个将各国各地区同类生态生产性土地转化为可比面积的参数， 是一个国家和地区某类土地的平均生产力与世界同类平均生产 力的比率，例如荷兰的生产力系数为3.01，表明相同面积条件 下荷兰的耕地生产力要比世界平均的耕地生产力高出201%；
课件2(人口模型)
r yk 变量 xk ( r 1) N 代换
xk 1 bxk (1 xk ) (2)
一阶(非线性)差分方程
记 b r 1
(1)的平衡点y*=N
r 1 1 (2)的平衡点 x r 1 b
*
讨论 x* 的稳定性
补充知识
一阶非线性差分方程 xk 1 f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N
y*=N 是平衡点
讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
yk yk 1 yk ryk (1 ) (1) N
r yk 1 (r 1) yk 1 yk (r 1) N
yx
b/4
(1) 1 b 2
x 1 1/ b 1/ 2
*
x1
0
y f (x)
xk （单调增） x*
x0 x1 x2 x* 1 / 2
1
x
xk 1 bxk (1 xk ) 的平衡点及其稳定性
(2) 2 b 3
(3) b 3
y
x 1 1/ b 1/ 2
（ ）设x(t )表示t时刻的人口数，且x(t )连续可微； 1
（2）人口的增长率r是常数； （3）人口数量的变化是封闭的.
建模与求解
dx rx dt x(t0 ) x0
Malthus模型
这是一个带有初始条件的一阶线性（或可分离变量） 微分方程， 其解为：
x(t ) x0e
0.2000
0.4160 0.6317 0.6049 0.6154
16771-数学模型课件(北邮)-2.1
人口增长的建模人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地球在变小”，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。
本节介绍几个经典的人口模型，也以此试图说明数学建模的一般步骤。
以P(t)表示时刻t 某地区（或国家）的人口数。
模型一：人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus ，1766--1834）一．模型假设1．时刻t 人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，即人口的相对增长率为常数，记之为r 。
2．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。
二．模型建立及求解：据模型假设，不难得到如下初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=0)0(P P P r dt dP 解之得 rt e P t P ⋅=0)(。
三．模型检验1．19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。
19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。
2．+∞=∞→rt t e P 0lim模型二：阻滞增长模型（Logistic ）一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在——或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远。
在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源，定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的。
一．模型假设1．地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用*/1P （这里事实上也内在地假定了地球的极限承载人口为*P ）；2．在时刻t ，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设它与当时的剩余资源量*-=P P s /1成正比；比例系数*r 表示人口的固有增长率；3．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。
数学建模 人口数量预测ppt
模型建立： 假设时刻t=0是人口数为 x0 ，时刻t的人口为 是t的连续、可微函数。 x(t ) x(t ) t到 t& t ) x(t ) rx(t ) t
由此得到微分方程
dx rx （*） dt x(0) x0
人口增长到一定数量后，资源， 环境等因素将对人口的增长加以 限制 ，并且，人口数量越大，资 源，环境问题越明显，人口增长 率值将会减小，即r(x)是x的减函 数，当人口数量达到人口最大容 量 时，人口不在增长，即人口 增长率r（x）=0
忽略因素： 1-近似认为x(t)是t的一个连续可微函数 2-忽略战争、瘟疫、地震等灾害造成人口数 骤变 3-医疗水平稳定，对人口数量影响较小 4-计划生育政策在短期内不会发生重大改变
模型分析： 搜集我国历史上每年的人口数量，统计分 析，认识和了解人口数量的变化规律，从 而建立初步的数学模型，应用数学软件等 对数据进行拟合，求解出已建立模型中的 未知参数，从而监理处完善的，可供利用 的数学模型，最后，利用模型求解出所需 要的数据。
人口数量预测
组长：李 组员：宋 李 李 * * * * 石** 孙 ** 马**
题目：根据中国历史上每年人 口数量，分析其变化规律，预 测2020年以前每年的人口数量。
符号说明
r——人口增长率 t——时间 ——1978年人口数量 x(t)——时刻t的人口数 r(x)——增长率的函数 ——人口最大容量 S ——人口增长率函数系数
设r（x）= r-sx （r,s > 0） 由上述分析得0= r -s x 从而 r ( x) r (1 ）
xm
解得 （**）
r s xm
将（**）代入（*）可得
中国人口增长预测-数学建模
中国人口增长的预测和人口的结构分析摘要本文是在已知国家政策和人口数据的前提下对未来人口的发展进行预测和评估，选择了两种模型分别对人口发展的短期和长期进行预测。
模型一中我们在人口阻滞增长模型logistic模型的基础上进行改进，弥补了logistic原始模型仅仅能表示环境对人口发展趋势影响的缺陷，加入了社会因素的影响作为改进，保证了logistic改进模型的有效性和短期预测的正确性。
多次运用拟合的方法（非线性单元拟合，线性多元拟合）对数据进行整合，得到的改进模型对短期预测具有极高的准确性，证明了我们的修正方式与模型改进具有一定的正确性。
模型二中我们分别考虑了城、乡、镇人口的发展情况，利用不同年龄段存活率和死亡率的不同，采用迭代的方式也就是Leslie矩阵的方式对人口发展进行预测，迭代的方式不同于拟合，具有逐步递进的准确性，在参数正确的前提下，能够保证每一年得到的人口都有正确性，同时我们分男女两方面来考虑模型，不仅仅用静态的男女比例来估算人口总数，具有更高的准确性。
然而Leslie模型涉及的参数较多，如果采用动态模型的方式，计算量过大，我们首先用均值的方式对模型进行简化，同样得到迭代矩阵后的人口数值，发展趋势与预测相同，能够很好的预测中国人口的长期发展，同时，由于Leslie矩阵涉及多个参数，所以我们用最终的结果来表征老龄化程度，城乡比，抚养比等多个评价社会发展的参数，得到了较好的估计值，使模型在估算人口的基础上得到了推广和应用。
通过logistic改进模型和Leslie模型我们分别对中国人口发展进行短期和中长期预测，均能得到很好的效果，说明了我们的模型在适用范围内的准确性和实用性。
关键词：人口发展预测；logistic模型改进；参数拟合；Leslie迭代模型；一、问题重述中国是世界上人口最多的发展中国家, 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情,短时间内难以改变。
数学建模_人口模型与预测
人口模型与预测摘要人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的，由于人口基数大，尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策，人口的增长依然很快，巨大的人口压力给我国的社会、政治、经济、医疗、就业等带来了一系列的问题。
因此，研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。
我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报,说到本世纪末，或到下世纪中叶，全世界(或某地区)的人口将达到多少亿。
你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上长有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。
人类社会进入20世纪以来,在科学技术和生产力飞速发展的同时,世界人口也以空前的规模增长。
人口每增加十亿的时间,由一百年缩短为十二三年.我们赖以生存的地球,已经携带着它的60亿子民踏入21世纪.长期以来,人类的繁殖一直在自发地进行着,只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化,人们才猛然醒悟,开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题本文建立两个模型（1）中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
而且利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
关键词指数增长模型Logistic模型MATLAB软件人口增长预测1 问题的提出下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MATLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
中国人口增长预测模型PPT课件
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四、符号约定
Nt Bt Dt A j(t)
第t年年初的总人口数； 第t年新生育的婴儿数； 第t年死亡的人数； 第t年第j地区人口占全国总人口的比例；
j ( r , t ) 第t年第j地区r岁人口中的男性比例；
j ( r , t ) 第t年第j地区r岁人口中的女性比例；
b j ( r , t ) 第t年第j地区r岁人口中的妇女的生育率；
d ij ( r , t )
p(r,t)
第t年第j地区r岁人口中的第i种性别的死亡率； 第t年r岁人口占第t年总人口的比例，即人口随年龄的分布密度函数；
h(r,t) 第t年r岁死亡人口占第t年r岁总人口的比例，即死亡率随年龄的分布密
度函数；
f(r,t) 第t年r岁的妇女生育的人口占第t年r岁总人口的比例，即生育率随年龄
的分布密度函数；
F(r,t) 第t年年龄为r的人的生育率；
H(r,t) 第t年年龄时间变化的值；
s(t) 长期预测时f(r)随时间变化的值；
其中
t=1表示2001年，t=2 表示2002年…
由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型中的优点与 不足之处。
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三、问题的假设
① 不考虑机械增长率（如国际人口的迁入迁 出） 对我国总人口的影响；
② 年龄在90及以上的，即90 一行的数据 一律按
年龄为90来处理； ③ 调查数据是在全国随机调查所得的数据； ④ 在模型Ⅱ中不考虑出生率、死亡率随时间的变
r=0，1，2，3…90 表示年龄；
i=1，2
表示性别，其中i=1表示男性，i=2表示女性；
j=1，2，3
表示地区，其中j=1表示城市，j=2表示城镇，j=3表
数学建模美国人口预测报告1
3．模型建立模型1(1.1) 假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；(1.2) 利用 (1.1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(1.3) 利用 (1.1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； (1.4) 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (1.1) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.图1为美国1790-2000年的人口数据，人口增长率r 为每10年的取值。
首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R1.....nnt t t r r R n其中t1=1800年….. t21=2000年(1<n ≤21) 例如1810年相对于1790年的增长率为 (3.11+2.99)/2=3.05 其他年份同理可得如图2；对增长率R 求平均直为Rx=2.64%模型1 为阻滞增长模型 假设人口增长率 r(x)是t 时人口x(t)的函数，r(x)应该是x 的减函数。
一个简单的假设是假设 r(x)为x 的线性函数r(x)=r-s*x , s>0.最大人口数量Xm=500 当x=Xm 时增长率为零。
在线性化假设前提下可以得到r(x) = r (1 – x / Xm)，(公式1)其中的r 我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。
在公式1假设下，模型可修改为0(1)(0)xtm d x rx d x x x (公式2)图1上述方程改为Logistic模型x t =m x/1+(m x/0x-1)rt e(公式3)()e取2.718，t为t，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。
2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32；2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16；2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35；2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。
数学建模人口预测模型
• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间, ki (t ) 为第t 年 i 岁人口 的女性比, 则第t 年的出生人数为
f (t ) bi (t )ki (t ) xi (t )
i i1
i2
(2)
• 记 d00 (t ) 为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到 人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人 口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
f (t ) x0 (t ) d 00 (t ) f (t )
x0 (t ) (1 d00 (t )) f (t )
(3)
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
x1 (t 1) (1 d00 (t ))( 1 d0 (t )) bi (t )ki (t ) xi (t )
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最 大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1 周岁)的人数, t 0,1,2,, i 0,1,2,, m .只考虑由 于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会 因素的影响. 记 d i (t ) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量. • 如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来 描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立 相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的, 要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也 是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描 述, 用差分方程来实现它. •
人口模型PPT课件
f (t)
pp(r,t)p(r,t) p(r,t)
r t
(t) 21
.1——人口模型
人口指数
1）人口总数 N(t)0rmp(r,t)dr
2）平均年龄 R(t)N1(t)0rmrp(r,t)dr
3）平均寿命
S(t) e d t(r,t)dr 0
t
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
f(t)r1 r2b (r,t)k(r,t)p (r,t)drh(r,t)h(r)
b (r,t)(t)h (r,t)
0 r1
r2 r1
h(r,t)dr1
h~生育模 式
(t)r1 r2b(r,t)dr ~总和生育率
r2 r
f(t)(t)r 1 r 2h (r,t)k (r,t)p (r,t)dr
20
dt
K
K 2
时，
dx dt
达到最大
值，即
dx dt
max
rK 4
。此结论说明：人口增长率(增长速度)在
x
K 2
时达到最大值。
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.1——人口模型
dx dt
K/2
x K 2
x Kk
m
K/2
K
x t
人口增长率达到最大值
dx rK dt max 4
10
.1——人口模型
Logistic模型预测美国人口
11
➢ 没有考虑环境对人口增长的制约作用。
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.1——人口模型
洛杰斯蒂克(Logistic)模型
提出背景
人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口 增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量 发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通 拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动 物种群的实验中也观察到。 在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人 类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能 容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。
数模培训_模型的建立及参数估计.ppt
录像带运动
录像带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设
• 录像带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 .
数学建模培训 模型建立及参数估计
dx rx dt
黄可坤
嘉应学院
1 人口增长模型
给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每 10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。
年份 人口(106) 年份 人口(106) 年份 人口(106)
1790 1800 1810 1820 1830 1840 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 1860 1870 1880 1890 1900 1910 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 1930 1940 1950 1960 1970 1980 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5
近期的数据比较重要，更改评估标准：
m
n
E(x0, r) ( f (ti ) xi )2 w ( f (ti ) xi )2
i 1
i m 1
练习题：人口增长模型
年份
1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口
7.1 13.9 17.1 17.6 24.7 33.6 36.2
年份
1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930
人口
48.7 58 73.4 89.9 105.7 125.8 149
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•
如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来
描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立
相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,
要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也
是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描
述, 用差分方程来实现它.
•
2
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
妇女的生育率比i 岁妇女的生育率高。制订生
育政策就是确定 (t)和hi (t) ,通过 (t)控制生育
的多少, 通过hi (t)可以控制生育的早晚和疏密.
6
• 将(5)式代入(4)式,并记
bi(t) (1 d00 (t))(1 d0 (t))hi (t)ki (t)
• 则(4)式写作
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁 着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋近于 零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数 学在社会发展中的重要应用领域.
我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模
型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
1
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量.
• 死亡率用下列公式外推:
i
(t
)
i
(1978)[1 (t
i (1978)
1978)103 ] 5
x(t 1) Ax(t) (t)Bx(t)
(15)
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
• 1)人口总数N(t)
m
•
N (t) xi (t)
(16)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R(t)
1 N (t)
m i0
ixi (t)
(17 )
9
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
0
0 1 dm1(t) 0
(9)
(10)
(12)
7
0 B(t) 0 0来自bi1 (t)
bi2 (t)
0
0 0
(13)
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x(t 1) A(t)x(t) (t)B(t)x(t) (14)
大年龄为 m岁,记 xi (t) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1
周岁)的人数, t 0,1,2,, i 0,1,2,, m .只考虑由
于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会
因素的影响. 记 di (t) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 于是
di (t)
xi (t) xi1(t x (t ) bi(t)
i2
x1(t 1) (t) bi(t)xi (t)
• 引入向量,矩阵记号
i i1
x(t) [x1(t), x2 (t),, xm (t)]T
(11)
0
0 0 0 0
1 d1(t)
0
A(t)
1 d2 (t)
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初
始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并
且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人
口的发展方程.
8
•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t)作为控
制变量.
• 在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女 性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为
i
1)
xi1(t 1) (1 di (t))xi (t),
i 0,1,2,m 1,t 0,1,2 (1)
•
• 记 bi (t) 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
3
• 生育率, [i1, i2 ] 为育龄区间, ki (t) 为第t 年 i 岁人口
的女性比, 则第t 年的出生人数为
i2
f (t) bi (t)ki (t)xi (t)
(2)
•
记
d00 (t)
i i1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到
人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人
口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00 (t)
f (t) x0 (t) f (t)
x0 (t) (1 d00 (t)) f (t)
(t) bi1 (t) bi11(t 1) bi2 (t i2 i1) (8)
i •
即 (t)是第 t
年
1
岁的每位妇女一生平均生 bi (t)
育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制
人口数量的主要参数. 生育模式hi (t)是 i 岁妇
女生育的加权因子, 若hi (t) hi (t) 表示 i 岁
(3)
4
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i2
x1(t 1) (1 d00 (t))(1 d0 (t)) bi (t)ki (t)xi (t) (4) i i1 将bi (t)分解为
bi (t) (t)hi (t) (5)
其中hi (t)是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄
时生育率的高低, 满足
i2
hi (t) 1
(6)
i i1
利用(6)式对(5)式求和得到:
i2
(t) bi (t)
(7)
i i1
5
• 可知 (t)表示第t 年每个育龄妇女平均生育的人 数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的 女性生育率 bi (t) 都不变,那么 (t)又可表示为