数学建模人口预测模型ppt课件
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i
1)
xi1(t 1) (1 di (t))xi (t),
i 0,1,2,m 1,t 0,1,2 (1)
•
• 记 bi (t) 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
3
• 生育率, [i1, i2 ] 为育龄区间, ki (t) 为第t 年 i 岁人口
的女性比, 则第t 年的出生人数为
大年龄为 m岁,记 xi (t) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1
周岁)的人数, t 0,1,2,, i 0,1,2,, m .只考虑由
于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会
因素的影响. 记 di (t) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 于是
di (t)
xi (t) xi1(t x (t ) bi(t)
我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模
型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
1
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量.
i2
f (t) bi (t)ki (t)xi (t)
(2)
•
记
d00 (t)
i i1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到
人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人
口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00 (t)
f (t) x0 (t) f (t)
x0 (t) (1 d00 (t)) f (t)
时生育率的高低, 满足
i2
hi (t) 1
(6)
i i1
利用(6)式对(5)式求和得到:
i2
(t) bi (t)
(7)
i i1
5
• 可知 (t)表示第t 年每个育龄妇女平均生育的人 数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的 女性生育率 bi (t) 都不变,那么 (t)又可表示为
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁 着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋近于 零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数 学在社会发展中的重要应用领域.
•
如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来
描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立
相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,
要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也
是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描
述, 用差分方程来实现它.
•
2
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
0
0 1 dm1(t) 0
(9)
(10)
(12)
7
0 B(t) 0
0
bi1 (t)
bi2 (t)
0
0 0
(13)
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x(t 1) A(t)x(t) (t)B(t)x(t) (14)
(3)
4
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i2
x1(t 1) (1 d00 (t))(1 d0 (t)) bi (t)ki (t)xi (t) (4) i i1 将bi (t)分解为
bi (t) (t)hi (t) (5)
其中hi (t)是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄
• 死亡率用下列公式外推:
i
(t
)
i
(1978)[1 (t
i (1978)
1978)103 ] 5
妇女的生育率比i 岁妇女的生育率高。制订生
育政策就是确定 (t)和hi (t) ,通过 (t)控制生育
的多少, 通过hi (t)可以控制生育的早晚和疏密.
6
• 将(5)式代入(4)式,并记
bi(t) (1 d00 (t))(1 d0 (t))hi (t)ki (t)
• 则(4)式写作
i2
x1(t 1) (t) bi(t)xi (t)
• 引入向量,矩阵记号
wenku.baidu.com
i i1
x(t) [x1(t), x2 (t),, xm (t)]T
(11)
0
0 0 0 0
1 d1(t)
0
A(t)
1 d2 (t)
(t) bi1 (t) bi11(t 1) bi2 (t i2 i1) (8)
i •
即 (t)是第 t
年
1
岁的每位妇女一生平均生 bi (t)
育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制
人口数量的主要参数. 生育模式hi (t)是 i 岁妇
女生育的加权因子, 若hi (t) hi (t) 表示 i 岁
x(t 1) Ax(t) (t)Bx(t)
(15)
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
• 1)人口总数N(t)
m
•
N (t) xi (t)
(16)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R(t)
1 N (t)
m i0
ixi (t)
(17 )
9
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初
始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并
且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人
口的发展方程.
8
•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t)作为控
制变量.
• 在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女 性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为
1)
xi1(t 1) (1 di (t))xi (t),
i 0,1,2,m 1,t 0,1,2 (1)
•
• 记 bi (t) 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
3
• 生育率, [i1, i2 ] 为育龄区间, ki (t) 为第t 年 i 岁人口
的女性比, 则第t 年的出生人数为
大年龄为 m岁,记 xi (t) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1
周岁)的人数, t 0,1,2,, i 0,1,2,, m .只考虑由
于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会
因素的影响. 记 di (t) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 于是
di (t)
xi (t) xi1(t x (t ) bi(t)
我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模
型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
1
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量.
i2
f (t) bi (t)ki (t)xi (t)
(2)
•
记
d00 (t)
i i1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到
人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人
口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00 (t)
f (t) x0 (t) f (t)
x0 (t) (1 d00 (t)) f (t)
时生育率的高低, 满足
i2
hi (t) 1
(6)
i i1
利用(6)式对(5)式求和得到:
i2
(t) bi (t)
(7)
i i1
5
• 可知 (t)表示第t 年每个育龄妇女平均生育的人 数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的 女性生育率 bi (t) 都不变,那么 (t)又可表示为
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁 着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋近于 零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数 学在社会发展中的重要应用领域.
•
如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来
描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立
相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,
要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也
是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描
述, 用差分方程来实现它.
•
2
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
0
0 1 dm1(t) 0
(9)
(10)
(12)
7
0 B(t) 0
0
bi1 (t)
bi2 (t)
0
0 0
(13)
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x(t 1) A(t)x(t) (t)B(t)x(t) (14)
(3)
4
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i2
x1(t 1) (1 d00 (t))(1 d0 (t)) bi (t)ki (t)xi (t) (4) i i1 将bi (t)分解为
bi (t) (t)hi (t) (5)
其中hi (t)是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄
• 死亡率用下列公式外推:
i
(t
)
i
(1978)[1 (t
i (1978)
1978)103 ] 5
妇女的生育率比i 岁妇女的生育率高。制订生
育政策就是确定 (t)和hi (t) ,通过 (t)控制生育
的多少, 通过hi (t)可以控制生育的早晚和疏密.
6
• 将(5)式代入(4)式,并记
bi(t) (1 d00 (t))(1 d0 (t))hi (t)ki (t)
• 则(4)式写作
i2
x1(t 1) (t) bi(t)xi (t)
• 引入向量,矩阵记号
wenku.baidu.com
i i1
x(t) [x1(t), x2 (t),, xm (t)]T
(11)
0
0 0 0 0
1 d1(t)
0
A(t)
1 d2 (t)
(t) bi1 (t) bi11(t 1) bi2 (t i2 i1) (8)
i •
即 (t)是第 t
年
1
岁的每位妇女一生平均生 bi (t)
育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制
人口数量的主要参数. 生育模式hi (t)是 i 岁妇
女生育的加权因子, 若hi (t) hi (t) 表示 i 岁
x(t 1) Ax(t) (t)Bx(t)
(15)
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
• 1)人口总数N(t)
m
•
N (t) xi (t)
(16)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R(t)
1 N (t)
m i0
ixi (t)
(17 )
9
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初
始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并
且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人
口的发展方程.
8
•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t)作为控
制变量.
• 在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女 性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为