工作排序问题及其数学模型
利用数学模型解决时间问题
利用数学模型解决时间问题时间是我们生活中非常重要的因素之一。
我们常常面临需要高效利用时间的问题，因此利用数学模型来解决时间问题就变得非常有意义。
数学模型可以帮助我们合理安排时间，提高工作效率，实现更好的时间管理。
本文将以不同情境为例，介绍如何利用数学模型解决时间问题。
1.任务调度问题任务调度是一个常见的时间问题。
假设我们有N个任务需要完成，每个任务所需的时间分别为t1，t2，t3，...，tN。
我们要找到一种最佳的调度方式，使得总的完成时间最短。
为了解决这个问题，我们可以使用图论中的关键路径方法。
首先，我们将每个任务作为一个节点，用有向边连接各个任务。
边的权值为任务所需的时间。
然后，我们可以使用拓扑排序算法找到任务的顺序，使得前驱节点的完成时间早于后继节点的开始时间。
最后，我们计算节点的最早开始时间和最迟开始时间，并确定关键路径。
关键路径上的节点需要被严格按照顺序执行，以保证总的完成时间最短。
2.列车时刻表安排问题在列车运行管理中，时刻表的合理安排是非常重要的。
我们需要考虑列车的出发时间、到达时间、停车时间等因素，来保证列车之间的间隔合理、运行安全。
为了解决这个问题，我们可以使用运筹学中的整数规划模型。
我们将列车时刻表安排视为一个线性规划问题，设定目标函数和约束条件。
目标函数可以是最小化列车之间的时间间隔或最小化整个列车运行时间。
约束条件可以包括列车的出发时间、到达时间、停车时间等。
3.路线选择问题在日常生活中，我们经常面临选择最短路线的问题。
比如我们要从A地点到B地点，有多个不同的路线可供选择。
我们希望找到一条最短的路线，以节省时间和能源。
为了解决这个问题，我们可以使用图论中的最短路径算法，比如迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法。
我们将地点抽象成图的节点，道路抽象成边，并为边赋予权值（比如距离或时间）。
然后，我们可以使用最短路径算法找到从起点到终点的最短路径，并计算出最短路径的长度。
这样，我们就可以选择最短路径来解决路线选择问题。
生活中的排序问题
生活之中的排序问题在我们的现实生活中，尤其在公共事业、交通、通讯、文艺演出和生产、管理等领域，广泛存在着排序问题，这些问题能否顺利解决，直接关系到人民生活质量的提高，关系到社会的安定有序。
因此，这类问题的解决是至关重要的。
下面通过对一个具体实例（节目排序问题）的分析研究，来探究此类问题的解决方法。
例1（节目排序问题）一场文艺演出共有8个节目，全体演员中有10人须参加两个以上的节目演出，情况如下表(表一)。
若节目主办单位希望首尾两个节目为A和H或者H和A，并且希望每位演员不连续参加两个节目的演出，试为该主办单位安排一个节目顺序表。
表一摘要随着社会日新月异的发展，人们在物质层面得到满足的同时，更注重精神层面的满足，比较常见的是利用周末看场文艺演出来放松一周以来疲惫的心情。
然而，有时也会发生一些不尽如人意事情，比如连续几个节目都由同一人出演，使得节目基本上是同一风格，显得非常单调。
有的时候，由于节目次序不合理，使得整场演出达不到预计的效果，影响心情。
这就涉及到节目的排序问题。
本文是在一个具体的排序问题（节目排序问题）的基础上，构造了四种不同的简单数学模型来解决这一问题，这四种简单数学模型分别是：图解模型，集合模型，矩阵模型，向量模型。
殊途同归，最终都可得出比较合理的解决方式，且后两者模型均可利用计算机软件，通过设计简单的C语言程序或者Matlab程序来解决，较前两种模型而言更直观，使得问题的求解过程简单化、程序化。
使得模型在解决实际问题中实用性更强，更具说服力。
最后，提出了这四种模型在实用范围层面的推广。
关键字：模型；排序；矩阵；向量问题分析在节目排序这一问题中，涉及到首尾节目的固定，因此只需要考虑中间六个节目的排序，与首尾节目的连接问题。
我们可以通过画结构图，构造一系列适当的数学模型来解决。
模型假设（1）假设所有节目均合格，即任何节目都必须按节目表并且按时演出而不被剃除；（2）假设所有演员都能按时参加演出，也就是所有演员不请假，也不会有其他意外情况而缺席；（3）假设场景设备全部正常，不影响演出。
14种策略7大模型绝杀排列组合
14种策略7大模型“绝杀”排列组合排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题方法，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。
第一部分——组合的常见技巧策略一：合理分类与准确分步策略分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？【解析】：按只会英语的有4名、3名、2名分类4431422456525524C C C C C C C C ++【例2】见后面【例19】【特别提醒】 在解排列组合问题时，一定要以两个原理为核心。
按元素的性质分类，按事情发生的过程分步。
综合题通常是整体分类再局部分步。
【类题演练】1、360的正约数（包括1和360）共有 个。
（答案24）2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种 （答案15）；3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种 （答案36）；4、f 是集合{}4,5,6M =到集合{}1,0,1N =-的映射。
（答案①7；②9） ①若(4)(5)f f +(6)f =，则映射共有 个 ； ②若()3xf x +为奇数，则映射共有 个。
5、（2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） （答案B ）（A ）10 （B ） 11 （C ）12 （D ）156、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。
作业排序与生产作业计划
17.10.2024
6
第一节 作业排序的基本概念
二、假设条件与符号说明
为了便于采用数学模型来分析研究排序问题，做下列假设：
1. 一个工件不能同时在几台不同的机器上被加工。 2. 采取平行移动方式移送被加工的工件。 3. 不允许中断。当一个工件一旦开始加工,必须一直进行到完
工,不得中途停止插入其它工件。 4. 工件在每道工序的加工只在一台机器上进行。 5. 工件数（或批量）、机器数已知，单件加工时间已知, 完
第一节 作业排序的基本概念
一、编制生产作业计划与排序的关系
编制生产作业计划与作业排序不同，排序只是确 定工件在机器上的加工顺序，可以用一组工件的代 号的排列来表示这组工件的加工顺序，而编制生产 作业计划不仅包括确定工件的加工顺序，而且包括 确定机器加工每个工件的开始时间和完成时间。所 以，只有生产作业计划才能指导工人的生产活动。
显然，当ri = 0 时， Fmax = Cm(sn)
在知道了上述计算Fmax 公式后，便可直接在工件加工的 时间矩阵上从左向右计算完工时间。
第二节 流水作业排序问题
例11.1有一个6/4/p/Fmax问题,其加工时间如下表所示。 当按顺序S=(6,1,5,2,4,3)加工时,求Fmax
表11-1 加工时间矩阵
i
1
2
3
4
5
6
Pi1
4
2
3
1
4
2
Pi2
4
5
6
7
4
5
Pi3
5
8
7
5
5
5
Pi4
4
2
4
3
3
1
表11-2 顺序S下的加工时间矩阵
排课问题及其数学模型
的课程 。
·76 ·
洪 文 朱广斌 :排课问题及其数学模型
表 3 某班级某学期的课程
ID 课程代码
课程名称
课序 人数 R 教师 状态学时 周学时
16
A10
商务谈判
7
53
吴元其
6
6
17
A11
证券与证券基础知识 1
55
杨爱元
2
2
18
A12
经济活动分析
2
59
李 莉
2
2
19
A13
计算机信息网络
3
58
@for (jiaoshi (j) : @sum (kecheng (i) | zhu (i) # gt # 0 : X(i ,j) ) < 1) ; 它为每一门课程安排一个教室 。 模型的第五个约束是限制教室容量大于等于班级人数 ,使得排课方案满足排课规则 1 。 模型的最后一个约束是用于重新计算状态学时的值 ,表明还有哪些课程没有被安排 。 3. 4 解答 运行上面的模型 (周学时为 2 的课程总数大于等于教室总数) ,可得下面的结果 (满足 X( I ,J ) = 1) : X( A11 , 4) 1. 000000 0. 0000000
生产管理中一类排序问题的扩展模型及通用算法
器 空闲并引人负荷 （ 最大加工零件数 ） 的思想 ， 出了此类 排序 问题 的扩展 模型 以及 通用求 解算 法 。算 例结 得 果 表明该扩展模型 和求解 算法的有效性 。
关键词 ： 数学模 型 ； 排序算 法 ； 指派 问题 ； 匈牙利算法
中图 分 类 号 ：２ ３ Ｆ ７ 文献标 识码 ： Ａ
Ａ ｓ ａ ｔ ｉ ｕｓ ｎ ｏ ｅｊｂ ｓｈ ｄ ｌ ｇｐｏ ｌｍ ｏ ｓ ｇ ｉｇｎ ｐｒ ｏｂ ｒｃｓｅ ｏｍ ｂ ｔ ｃ ：Ａ ｄｓ ｓｉ ｆｔ ｏ ｃ ｅ ｕ ｎ ｒｂｅ ｆａｓ ｎｎ ａｔ ｔ ｅ ｐｏｅｓｄ ｔ ｒ ｃ ｏ ｈ ｉ ｉ ｓ
ｍａ ｈ ｎ ｓ ｉ ｍａ ｅ Ｗ ｉ ｃ ｉｅ ｌ ｗ ｄ ｔ ｅ ｉ ｌ ｎ ｄ ａ ｏ ｏ ｄ ｉ ｔ ｄ ｃ ｄ，ｗ ｅ ｅ ｌ ａ ｃ ｉ ｅ ｓ ｄ． ｈ ｔ ｍａ ｈ ｎ ｓ ａｌ ｅ ｏ ｂ ｄ ｅ ａ ｄ ａ ｉ ｅ ｆ ｌａ ｎ ｒ ｕ ｅ ｏ ｏ ｈ ｒ ｏ ｄ ｍｅ ｎ ｅ ｍａ ｉ ｍ ｆ ｐ ｒｓ ｐ ｏ ｅ ｓ ｄ ｂ ａ ｈ ｍａ ｈｎ ， ａ ｘ ｅ ｄ ｄ ｍｏ ｅ ｎ ｅ ｅａ ｉｅ ａ ｓｔ ｘ ｍｕ ｏ ａ ｔ ｒ ｃ ｓ ｅ ｙ ｅ ｃ ｃ ｉ ｅ ｎ ｅ ｔｎ ｅ ｄ ｌ ａ ｄ ａ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ｈ ｚ
Ｋｅ ｒ ｓ ｍａ ｅ ｔ ａ ｄ ｌ ；ｓ ｈ ｄ ｌ ｇａ ｇ ｒ ｍ ； ｓ ｉｎ ｎ ｒ ｂ ｅ ；Ｈｕ ｇ ｒ ｎ ａ ｇ ｒ ｍ ｙ ｗｏ ｄ ： ｈ ｔ ｍａｉ ｌ ｃ ｍｏ ｅ ｓ ｃ ｅ ｕ ｉ ｌｏ ｔ ｎ ｉ ｈ ａ ｓｇ ｍｅ ｔｐ ｏ ｌ ｍ ｎ ａ ｉ ｌｏ ｔ ａ ｉ ｈ
知。问如何安排 ．，：…， ， ．， ． 的顺序使总加工时间最少 。文献 ［ ］ 。， ， １ 限定此类问题是在 ｍ≤２台机器上加工 ｎ个 零 件 ， 标 为总 花费 时 间 （ 个零 件 的加 工时 间和 等待 时 间 ） 少 。 指 每 最
《数据结构排序》课件
根据实际需求选择时间复杂度和空间 复杂度最优的排序算法，例如快速排 序在平均情况下具有较好的性能，但 最坏情况下其时间复杂度为O(n^2)。
排序算法的适用场景问题
适用场景考虑因素
选择排序算法时需要考虑实际应 用场景的特点，如数据量大小、 数据类型、是否需要稳定排序等 因素。
不同场景适用不同
算法
例如，对于小规模数据，插入排 序可能更合适；对于大规模数据 ，快速排序或归并排序可能更优 。
排序的算法复杂度
时间复杂度
衡量排序算法执行时间随数据量增长而增长的速率。时间复杂度越低，算法效 率越高。常见的时间复杂度有O(n^2)、O(nlogn)、O(n)等。
空间复杂度
衡量排序算法所需额外空间的大小。空间复杂度越低，算法所需额外空间越少 。常见的空间复杂度有O(1)、O(logn)、O(n)等。
在数据库查询中，经常需要对结果进行排序，以便用户能够快速找到所需信息。排序算 法的效率直接影响到查询的响应时间。
索引与排序
数据库索引能够提高查询效率，但同时也需要考虑到排序的需求。合理地设计索引结构 ，可以加速排序操作。
搜索引擎中的排序
相关性排序
搜索引擎的核心功能是根据用户输入的 关键词，返回最相关的网页。排序算法 需要综合考虑网页内容、关键词密度、 链接关系等因素。
VS
广告与排序
搜索引擎中的广告通常会根据关键词的竞 价和相关性进行排序，以达到最佳的广告 效果。
程序中的排序应用
数组排序
在程序中处理数组时，经常需要对其进行排 序。不同的排序算法适用于不同类型的数据 和场景，如快速排序、归并排序等。
数据可视化中的排序
在数据可视化中，需要对数据进行排序以生 成图表。例如，柱状图、饼图等都需要对数 据进行排序处理。
关于零件加工排序问题数学模型的建立
Ｂ
ｌ
３ ２ ８ ４ ５ １ ７ 加工时 间
３表示零件名称
收 稿 日期 ：２ Ｏ— ０ —拍 Ｏ２ ２
作者简 介 ：高峻螬 （９ ３ ） １ｒ 一 ，男 ，安徽望江 人 ，南京工 业职业技 术学院 助教 ，理学学 士 、工学学 士 。 ７
决。
工 序上 的加 工 时间 如 表 （ ）所 示 。 １
表 １ Ａ和 Ｂ两 道 工 序 上 的 加 工 时 间 田 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
Ａ ４ ２ ５ ７ ３ ８ ｌ Ｏ ｌ １ １ ２ ６
设 有 Ｋ个 零 件 需 要在 机 床 Ａ、Ｂ上 加 工 ，每 个零 件 都 必须 经过 Ａ和 Ｂ两道 工 序 ，先 Ａ后 Ｂ 。 以ａ 和 ｂ 分别 表 示零 件 ｍ在 Ａ、Ｂ上 的 加 工 时
１ 问 题 的提 出
某 工厂 要生 产 ｌ 不 同的零 件 ，名 称 为 甲 、 ０个 乙 、丙 、丁 、戊 、己 、庚 、辛 、壬 、癸 。每 个零
问应 如 何安 排 各零 件 的加工 顺 序 ，才 能 使 总 加工 时 间 （ 从 机 床 Ａ 加 工 第 一 个 零 件 开 始 到 即 机 床 Ｂ将 最 后 一 个 零 件 加 工 完 毕 所 需 时 间 ） 最
却 ．２０ ，０２ ＿
关 于 零 件 加 工 排 序 问 题 数 学 模 型 的 建 立
高峻 增 ，杨 雨 慧
（ 南京 工业 职 业技 术 学 院
摘
基础 课 部 ，江 苏 南京
２０ １ ） １０ ６
要 ：零 件 加 工 的 排 序 问 题 在 企 业 的 生 产 过 程 中是 一 个 常 见 问题 。 本 文 通 过 建 立 适 当 的 数 学模 型 ， 分 析
第8节 排列组合中的数学思想方法及模型
排列组合问题中的数学思想方法及模型（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。
例.已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）C A B ≠⊂ 且C 中含有3个元素，2）C A φ≠ 解：如图，因为A ，B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，所以A B 中的元素有12+12-4=20个，其中属于A 的有12个，属于A 而不属于B 的有8个，要使C A φ≠ ，则C 中的元素至少含在A 中，集合C 的个数是：1）只含A 中1个元素的有12128C C ；2）含A 中2个元素的有21128C C ；3）含A 中3个元素的有30128C C ，故所求的集合C 的个数共有12128C C +21128C C +30128C C =1084个（二）．等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。
1.具体与抽象的转化例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列1234567,,,,,,a a a a a a a 有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？解：1）两个0不相邻的情况有26C 种，2）两个0相邻的情况有16C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有26C +16C =21种。
2）不同的数学概念之间的转化例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有48C 种，其中4点共面的有12种，（6个表面和6个对角面）将不共面的4点可构一个三棱锥，共有48C -12个三棱锥，因而共有3（48C -12）=174对异面直线。
高中数学排列组合问题方法总结
高中数学排列组合方法总结1. 分组（堆）问题分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)处理问题的原则：①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.1. 分组（堆）问题例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴将四项工程分为三“堆”，有种分法；⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴共有6×6＝36种不同的发包方式.2.插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.♀♀♀♀♀♀♀↑↑↑↑↑↑例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.3.捆绑法相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?解：（1）分两步进行：♀♀♀♀♀♀甲乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.4.消序法(留空法)几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？解法1：将5个人依次站成一排，有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为211421226C C CA =55A有=120种排法26A有=30种插入法120303600∴⨯共有＝种排法22A有＝2种捆法2120240∴⨯共有＝种排法55A有＝120种排法55A22A535522543AAA=⨯⨯=解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为4.消序法(留空法)变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?BABA解: 如图所示将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有种排法. 其中必有四个↑和七个→组成!所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A 到B 共有条不同的路径.5.剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里. 35A 33551A A ⨯=514(51)(81)11C C --+-=315455C =因此，不同的分配方案共有455种 .5.剪截法：n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有84种 .6.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.7.剔除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.解：所有这样的直线共有条，其中不过原点的直线有条，∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.小结:①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).3 984C=2 615C=37210A=1266180A A⨯=1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（）A.43B.34C.34AD.34CB2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ） A.24种 B.18种 C.12种 D.6种B3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A.4448412C C C 种B.34448412C C C 种 C.3348412AC C 种D.334448412A C C C 种 A。
80 排列组合中的常见模型
第80炼 排列组合的常见模型一、基础知识：排列、组合、二项式1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.：nn A =n!4.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720 单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列） （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k m k n A A 11+-+-种注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +5．分配问题6“错位问题”及其推广①信2封信与2个信封全部错位有1种排法； ②信3封信与3个信封全部错位有2种排法； ③信4封信与4个信封全部错位有9种排法； ④信5封信与5个信封全部错位有44种排法；贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =-+-+- 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!m m m m ppmm mmf n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--12341224![1(1)(1)]p m p mm m m m mmp m n n n n nnC C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++-7．不定方程2n x x x m =1+++的解的个数(1)方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）的正整数解有11m n C --个(2) 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11n m n C +--个 (3) 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≥(k N *∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有11(2)(1)n m n k C -+---个8.组合（1）组合的定义，排列与组合的区别 （2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n12.解排列组合应用题的基本规律（1）分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。
数学建模(工件加工排序)
完成时间 T i 0.9 2.1 3.8 6.3 8.8 11.5 14.3 17.5 20.8 24.4 28.4 33.1 总计：171.9
-5-
2) 分析：由于工件必须在它们要求的时间内完工，即某工件在任务开始起到该工件加工完
毕之间所用的总时间应少于该工件பைடு நூலகம்规定完工时间。 所以要使整个加工任务的工件总价值最 大，必须合理选择加工工件的种类及其加工的次序。 引入 0-1 变量,若选择 i 工件加工,则记 Y i =1.否则记 Y i =0; 工件的排序算法同问题 1） ，但约束条件有所不同。在本题中，12 种工件不一定都可以入选 到最优加工序列中（即目标排序中可能出现工件空缺） ，所以
Lingo 程序： （wenti(2).lg4 文件） model: !考虑完工时间和工件价值的排序问题; sets: gongjian/g1..g12/:shijian,endtime,gj_value; ! 属性为原始排序下各个工件的机床加工时间， 完工时间，工件价值; shunxu/s1..s12/:time,overtime,fin_value; ! 属性为重新排序后各个工件的机床加工时间，完 工时间，工件价值; links(shunxu,gongjian): note; endsets !目标函数; max=@sum(shunxu(I):fin_value(I)); !从新排序后各工件的机床加工时间（可能为零，即表示未选中工件）; @for(shunxu(I): time(I)=@sum(gongjian(J):shijian(J)*note(I,J))); !从新排序后各工件的完工时间（可能为零，即表示未选中工件）; @for(shunxu(I): overtime(I)=@sum(gongjian(J):endtime(J)*note(I,J)); ); !从新排序后各工件的工件价值（可能为零，即表示未选中工件）; @for(shunxu(I):
作业车间调度问题的几种模型
作业车间调度问题是指如何合理地安排工件在不同工序间的加工顺序，以达到最优的生产效率和成本控制。
针对这一主题，我将从几种常见的模型出发，深入探讨作业车间调度问题，旨在为您提供一篇有价值的文章。
一、传统作业车间调度模型1.1 单机调度模型在单机调度模型中，工件依次经过一个加工机器的加工过程。
我们需要考虑如何安排加工顺序、加工时间等因素，以最大程度地减少工件的等待时间和加工时间，提高生产效率。
1.2 流水车间调度模型流水车间调度模型是指在多台加工机器之间，工件按照特定的加工顺序依次进行加工。
我们需要考虑如何合理安排工件的加工顺序，以减少生产中的瓶颈和待机时间，提高整个流水线的生产效率。
1.3 作业车间调度的经典排序问题这种模型主要关注如何将待加工的工件按照特定的规则进行排序，以便在加工过程中最大程度地降低总加工时间和成本。
以上是传统作业车间调度问题的一些经典模型，它们都是针对不同的生产场景和加工流程所提出的解决方案。
接下来，我将对每种模型进行更深入的探讨，以便更好地理解作业车间调度问题。
二、作业车间调度问题的多种解决方法2.1 基于启发式算法的调度方法启发式算法是一种基于经验和规则的算法，它能够快速、高效地求解作业车间调度问题。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法等，它们能够在短时间内找到较优的解，并且适用于各种不同规模和复杂度的生产场景。
2.2 基于数学规划的调度方法数学规划方法是指利用数学建模和优化理论，对作业车间调度问题进行严格的数学求解。
通过建立数学模型，我们可以利用线性规划、整数规划等方法，对作业车间调度问题进行最优化求解，得到最优的生产调度方案。
2.3 基于仿真的调度方法仿真方法是指利用计算机模拟生产场景，通过模拟实际的生产过程，找到最优的调度方案。
通过仿真，我们可以更加真实地模拟生产现场的情况，找到最优的生产调度策略，提高生产效率和降低成本。
以上是作业车间调度问题的多种解决方法，它们都能够根据不同的生产场景和需求，找到最优的调度方案。
压气机叶片排序的数学模型
压气机叶片排序的数学模型摘要本文根据工件安装要求对24个工件进行排序，首先根据其排序要求不同建立了二个规划模型；再模型一：只考虑按重量约束，每个扇形区域的工件总重量与相邻区域的工件总重量之差不超过一定值，我们以相邻扇形区域工件总重量之差最小为目标函数建立规划关键字：叶片排序多目标规划线性规划 LINGO软件1.1问题要求：由于加工出的压气机叶片的重量和频率不同，安装时需要按工艺要求重新排序。
1．压气机24片叶片均匀分布在一圆盘边上，分成六个象限，每象限4片叶片的总重量与相邻象限4片叶片的总重量之差不允许超过一定值（如8g）。
2．叶片排序不仅要保证重量差，还要满足频率要求，两相邻叶片频率差尽量大，使相邻叶片频率差不小于一定值（如6Hz）。
3．当叶片确实不满足上述要求时，允许更换少量叶片。
1.2问题提出：问题1．按重量排序算法；问题2．按重量和频率排序算法；问题3．叶片不满足要求时，指出所更换叶片及新叶片的重量和频率值范围；问题4．当叶片保证了重量差和频率差时，按排列顺序输出。
1.3参考数据：2.1 问题一：在只考虑按重量约束的情况下，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值，所以我们以相邻扇形区域工件总重量之差最小为目标函数建立规划模型，约束条件为总重量之差不超过一定值，每个工件只能放一次。
2.2 问题二：考虑两个因素：各相邻的扇形之间总重量不超过某值，每个相邻工件频率差不小于一定值。
所以我们在问题一的基础上增加频率约束条件建立多目标规划模型。
考虑总重量差越小越好而每个相邻工件频率差越大越好，而且两个条件同等重要，后将问题转化为单目标规划问题求解。
因为问题一得出的结果是只对6个区域排序而没有在区域内排序，所以我们在第一问得出的结果中再对6个区域内的工件进行排序，用LINGO 软件得出结果。
三、模型假设1、每个扇形区域是相等的；2、给出的数据真实准确；3、每个工件都是完好没有损坏的；四、符号约定i m ：第i 个工件的重量；（1,2,i =...，24） i f ：第i 个工件的频率；（1,2,i = (24)10ij x ⎧=⎨⎩ 第i 个工件放在第j 个扇形区域 否则 ；（1,2,i =...，24，j=1,2...，6） i u ：排序后第i 个工件的频率；（1,2,i = (24)五、模型的建立与求解5.1.1 模型一的建立：以相邻扇形区域工件总重量之差最小为目标函数建立规划模型116min j j Z G G G G +=-+-其中：241j i ij i G m x ==∑ 241(1)1j i i j i G m x ++==∑ 24111i i i G m x ==∑ 24661i i i G m x ==∑s.t.2424(1)1124241611241618(1,2, ··,23)841i ij i i ji ii i i ii iijiijjm x m x jm x m xxx+======⎧-≤=⎪⎪⎪-≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩∑∑∑∑∑∑即⎧⎨⎩相邻扇形的工件总重量不超过8每个工件只放在一个扇形区域上5.1.2 模型一的求解：带入第一组数据，用LINGO软件求解得出ijx等于1值如下：所以6个扇形区的工件排序如下：5.2.1 模型二的建立：在模型一的基础上考虑相邻工件频率的约束以相邻扇形区域工件总重量之差小和频率之差大为目标函数建立规划模型。
数学建模案例工件的安装与排序
工件的安装与排序问题王晓楠，崔超，陈涛（中国矿业大学，徐州221008）摘要：本文首先深入分析了组合优化的特点，然后针对本题中设备对工件排血安装时的重量约束和体积约束的特点，就题目中提出几个问题分别设计了不同的算法，通过不同的算法的优劣的比较，不仅较好的解决了工件的排序安装问题，还得出了问题中算法设计的一些根据。
在问题1中，我们引入了贪心策略和自适应方法对搜索算法进行改进，大大减小了搜索的规模得到了一种效率和性能都不错的搜索算法，另外还针对数据的特点给出了一种操作简便的简化算法，通过两种算法的比较得出了一些有用的算法设计结论。
在问题1的算法设计过程中我们还适当的引入了一些理论证明，使算法更加有说服力，最终通过MATLAB软件得出了令人满意的结果，有力的证明了算法的可行性。
在问题2中将问题1的算法进行综合，然后分别从不同的出发点提出了两种算法，一种是适用性较强但不易实现的解析算法，另一种针对数据特点的较简便的针对性算法，并比较了两种算法各自的适应性，简便的求出了第二组数据的排序结果，并得出第一组数据无解的结论。
问题3根据前面的结论，如果只考虑重量，分析了两种相临扇区总重量差最大的情况，通过数学分析得出工件调整幅度，如果还要考虑体积因素，通过对工件的贪心选择，不断修正工件重量和体积，筛选出满足条件的工件组合。
我们在论文的最后还给出了模型的评价和推广。
一问题重述某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。
Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。
Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如33cm）；Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。
问题1．按重量排序算法；问题2．按重量和体积排序算法；问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。
排列组合之21种模型(经典)
排列组合模型用于构建离散概率模型，用于描述离散随机事件
的概率分布。
在统计学中的应用
样本统计
排列组合模型用于描述样本数据 的分布和统计规律，例如样本均
值、方差、分布函数等。
贝叶斯统计
贝叶斯统计中的参数估计和假设检 验需要用到排列组合模型来计算概 率和似然函数。
多元统计分析
在多元统计分析中，排列组合模型 用于描述多个变量之间的关联和结 构，例如因子分析、聚类分析等。
插板法
总结词
插板法是一种计数方法，它通过将 n 个物体分成 m 份，使得每份至少有一个物体，从而得到一种组合方式。
详细描述
插板法是组合数学中的一种重要方法，它可以用来解决各种组合问题。插板法的应用非常广泛，例如在排列、组 合、概率论等领域都有应用。插板法的基本思想是通过将 n 个物体分成 m 份，使得每份至少有一个物体，从而 得到一种组合方式。
详细描述
组合恒等式是组合数学中的重要公式之一，它可以用来表示某些组合数之间存在一定的关系。组合恒 等式的应用非常广泛，例如在排列、组合、概率论等领域都有应用。
05
模型应用
在数学中的应用
01
02
03
组合数学
排列组合模型是组合数学 中的基础概念，用于研究 不同元素的选取、排列和 组合问题。
概率论
排列组合模型在概率论中 用于描述随机事件的组合 和排列，是概率计算的基 础。
排列的应用
体育比赛中的名次排列
在体育比赛中，参赛选手的名次是根据他们的成绩进行排列的， 排列的顺序决定了他们的名次。
密码学中的排列
在密码学中，通过排列不同的字母和数字可以生成复杂的密码，增 加了信息的安全性。
统计学中的排列
排列组合常见模型
1.某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C 种不同分法。由分步计数原理知，共有C 种不同分法。
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解析：10个点中任取4个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是 种.
题型三相邻问题捆绑法
8.8个人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种方法？
解析：甲乙相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这个甲乙丙，而是排剩下的5个人，方法数为，然后再将甲乙构成的整体元素及丙这两个元素插入到此前5人所形成的6个空里，方法数为，另外甲乙两个人内部还存在排序要求为。故总方法数为。
设这n个正整数的错排个数为an，为了探求an的表达式，我们先从最特殊的情形入手。
当n=1时，由于只有一个数1，不可能有错排，所以a1=0.
当n=2时，两个数的错排是唯一的，所以a2=1.
当n=3时，三个数1、2、3只有2、3、1和3、1、2两种错排，所以a3=2.
当n=4时，四个数1、2、3、4的错排有：2、1、4、3；2、3、4、1；2、4、1、3；3、1、4、2；3、4、2、1；4、1、2、3；4、3、1、2；4、3、2、1，共有9种错排，所以a4=9.
数学建模C题论文资料(工件加工排序)
enddata
end
模型结果：
导出列表：
工件顺序
车床加工时间
规定的完工时间
各工件价值
0
0
0
0
0
0
1
2.8
9
8
5
1.7
7
7
12
4.7
11
18
10
2.5
18
12
3
1.2
15
16
6
0.9
22
20
7
2.5
17
17
2
4
23
3
11
3.6
问题（一）题目要求：12种工件都要求在车床上加工，车床一次只能加工一种工件。设i工件车床加工时间为A ,规定完工时间为B ,工件价值为C
1）不考虑工件的完工时间和工件的价值，安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。
分析：引入0/1变量，利用目标函数最优化工件排序。
设 为i工件实际完工时间，所以完成这批工件的总时间为T= ,而 =A +A =A +A +A =A +A +………+ =
@for(shunxu(I):
@sum(gongjian(J): note(I,J))=1;
);
!每个工件只能排在一个顺序位上;
@for(gongjian(J):
@sum(shunxu(I): note(I,J))=1;
);
!定义0/1变量;
@for(links:@bin(note));
data:
!输出数据到Excel文档;
因素重要性排序模型有哪些
因素重要性排序模型有哪些朋友们！今天咱们来聊聊这个因素重要性排序模型的事儿。
你想想啊，生活中、工作里，咱们常常得面对一堆复杂的因素，就像一团乱麻，得搞清楚哪个更重要，哪个相对没那么要紧，这样才能有的放矢，把事儿办得漂亮。
那到底有哪些好用的因素重要性排序模型呢？咱这就来盘一盘。
首先得说说层次分析法（AHP）。
这玩意儿就像是一个聪明的小管家，把复杂的问题拆分成一个个层次，从目标层到准则层，再到方案层，条理清晰得很。
比如说你要选一款手机，目标层就是选到最适合自己的手机，准则层可能就包括性能、价格、外观、拍照能力这些方面，方案层就是各种不同品牌型号的手机啦。
然后通过两两比较的方式，确定每个因素的相对重要性，最后算出权重，给各个方案打分排序。
它的优点就是简单易懂，能处理复杂的多因素决策问题，就像给你理了一条清晰的思路，让你在众多选择中不犯迷糊。
不过呢，它也有个小缺点，就是主观性比较强，毕竟两两比较的时候，人的判断可能会受到各种因素的影响。
再来说说主成分分析法（PCA）。
这就好比是一个会挑重点的小能手。
它通过对原始数据进行线性变换，把多个相关的因素转化为少数几个互不相关的综合指标，也就是主成分。
比如说，你有一堆学生的考试成绩数据，包括语文、数学、英语、物理、化学等等科目，这些科目之间可能存在一定的相关性。
主成分分析法就能从这些数据中找出几个最能代表学生综合水平的主成分，然后根据这些主成分来确定各个因素的重要性。
它的优点是客观性强，完全基于数据本身进行分析，不受人为因素的干扰。
但它也有不足，就是解释性可能不太好，有时候得到的主成分不太容易理解具体的含义。
还有一种叫熵权法的模型。
这名字听起来有点玄乎，其实它就像是一个公平的裁判。
熵权法根据各个因素所包含的信息量来确定它们的权重。
信息量越大，权重就越高，说明这个因素越重要。
比如说，在评价一个企业的经营状况时，有利润、销售额、市场占有率、员工满意度等多个因素。
如果利润这个因素的数据波动比较大，包含的信息量多，那它的权重就会相对高一些。
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[收稿日期] 2002-01-10[作者简介] 洪 文(1958-),男,安徽合肥人,学士,副教授.工作排序问题及其数学模型洪 文 胡雁玲(安徽大学,安徽 合肥230039;合肥联合大学,安徽 合肥 230022)[摘要] 利用LI NGO 4.0给出了工作排序问题的数学模型。
模型的数据与公式完全分离,调试模型只要在数据存放的文件中进行,非常容易。
模型的类型属线性规划模型并用LI NGO 语言编写,求解迅速。
该模型具有较强的实用性和通用性。
[关键词] 密集;属性;约束[分类号] O 220 [文献标识码] A [文章编号] 1008-6056(2002)01-0095-05Work -piece Ordering and Its Math Model HONG Wen (Anhui U niuersity,Hefei 230039)HU Yan -ling (Hefei U nio n U niv.,Hefei Anhui 230022)Abstract:T his paper introduces a math model for wor k-piece ordering w ith LI NGO 4.0.T he debugg ing model can be easily carr ied out within the data files due to the complete seperation of data from t he for mula of the model.T he mo del,w ritten with L IN GO language,belonging to linear pro gramming ,can solve prob -lems more rapidly,and therefo re can be w idely used.Key words:denseness;attribute;restriction0 背景在工作排序问题中,每个工件将被指派到不同的机床上进行加工作业,目标是求出所有工件的加工方案,使在最短的时间内完成全部加工作业。
对于每一个工件来说,它要在不同的机床上进行加工作业,而且还要按一定的顺序进行;对每一个机床来说,它要加工不同的工件,而且必须按照一定的顺序进行。
虽然我们无论如何都可以求出工件的加工方案,但是,如果安排不当就必然会出现瓶颈现象 要床等待加工的时间较长。
这样就会使得完成全部工件加工的总时间较长。
由于工件加工作业之间具有优先关系,有些作业必须等到其它作业完成后才可进行,这使得工件排序问题变得更加复杂。
指派到机床上的加工作业必须服从优先关系。
1 问题假设用4台机床加工3个工件。
各个工件的机床加工顺序,以及工作i 在机床j 上的加工时间(j=1,2,3;j=2,3,4)见下表:(单位:上时)表1 工件加工及时间表机术1机床2机床3机床4工件13492工件22634工件31248第12卷第1期 2002年3月合肥联合大学学报JOU R NAL OF HEFEI U N ION U NI VERSIT YVo l.12 N o.1M ar.,2002我们要找出一种工件加工作业方案使得完成全部工件加工的总时间达到最小。
2 模型!该模型是处理工件加工问题;!建立工件集合、机床集合、时间集合及它们的乘积;sets:GONGJ/1..3/;JICHUANG/1..4/;SHIJIAN/1..8/;!属性x 的奇数列表示开始时间;偶数列表示结束时间。
; GONGSH I(GONGJ,SH IJIAN):x;!属性A 存储工件在每个机床上所用时间;!属性Y 是控制变量;LINKS(GONGJ,JICHUANG):A,y;endsets data:!从文件 工件排序.xls 中输入加工时间,加工时间数据用域 加工时间 定义;A=@OLE( \lingo \工作排序.xls , 加工时间 );!输出解答到文件 工作排序.xls 中的 起止时间 域止; @OLE( \lingo \工作排序.xls , 起止时间 )=x;enddata!求出两个基本集合GONGJ 和JICHUANG 的大小;s=@size(GONGJ);m=@size(JICH UANG);!目标函数;min=w ;@for(GONGJ(i):w >=(i,m+3)+a(i,m));!每个工件加工次序的约束;@for(LINKS(i,j)|j#lt#m:x(i,2*j-1)+a(i,j)<=x (i,2*j+1));!每个机床加工次数的约束;@for(GONGJ(k)|k#lt#s:/@for(LINKS(i,j)|i#lt#s-k+1:/x(i,2*j-1)+a(i,j)<=x (i+k,2*j-1)+1000*-y(i+k-1,j)));/!限制y(i,j)为0-1变量;@for(GONGJ(i):@for(JICHUANG(j):@bin(y(i,j))));/!为结束时间赋值;@for(GONGJ(l):@for(SHIJIAN(k)|k#le#m :x(1,2*k)=x(1,2*k-1)+a(l,k)));3 模型注释上面的数学模型是用LINGO4.0for Window s 编写的线性规划模型。
运行后立刻就能得到结果。
下面就模型的主要部分给出解释。
3.1 集合我们定义三个基本集合 GONGJ(工件)、JICHUANG(机床)和SHIJAN (时间)。
我们96合肥联合大学学报 第12卷用这三个基本集合产生两个派生集合。
一个是LINKS,它是一个密集,是由集合GONGJ 与JICHUANG 相乘而得。
利用LINKS 我们产生两个属性。
属性A 存储工作在每个机床上加工所用时间;属性Y 是控制变量。
另一个派生集合是GONGSH I,它也是一个密集,是由集合GONGJ 和SHIJIAN 相乘而得。
利用GONGSH I 我们产生一个属性X,它表示工件在各个机床上加工的开始时间和结束时间。
3.2 变量模型里的决策变量是属性X 。
X(i,1)、X(i,3)、X(i,5)、X(i,7)表示工件i 在4个机床上的加工开始时间,X(i,2)、X(i,4)、X(i,6)、X(i,8)表示工件i 在4个机床上的加工结束时间(i=1,2,3);当j 是奇数时,X(1,j)、X(2,j)、X(3,j)表示机床(j+1)/2加工3个工件的开始时间,当j=1,2,...8).所有的X(i,j)构成了工件的加工时间表。
属性Y 是控制变量,它只取0和1,用来控制机床加工工件的顺序。
3.3 数据在此模型中,输入的数据是存放在文件工件排序.x ls 里的 加工时间 域上。
具体内容见表1中的数据部分。
将数据放在模型之外可以使得模型的调试变得很容易。
如果加工时间有变化,只要改动表1中的数据,模型不需作任何改动就可获得相应的解答。
输入数据是用下面的公式完成:A=@OLE( \lingo \工件排序.xls , 加工时间 );3.4 目标函数这个模型的目标很简单,它就是求出加工完全部工件的总时间的最小值。
可用下面的表达式给出:min=w ;@for(GONGJ(i):W>=x(i,m+3)+a(i,m));这里,M 表示最后一个机床。
3.5 约束在这个模型里,我们有下面两类约束:3.5.1 每个工件加工次序的约束对于每个工件来说,加工次序必须得到满足。
即工件i(i=1,2,3)在某个机床上的开始加工时间加上加工所有时间必须小于等于在下一个机床上的开始加工时间。
可以用下面的表达式表达:@for(LINKS(i,j)|j#lt#m:x(i,2*j-1)+a(i,J)<=x(i,2*j+1));3.5.2 每个机床加工次序的约束对于每个机床来说某一时刻只能加工一个工件。
例如,我们只考虑工件1和工件2在机床1上的加工情况,则必须满足:X(1,1)+a(1,1) X(2,1)或X(2,1)+a(2,1) X(1,1)。
我们可以用下面的表达式表达机床加工次序的约束:@for(GONGJ(k)|k#lt#s:@for(LINKS(i,j)|i#lt#s-k+1:x(i,2*j-1)+a(i,j)<=x(i+k,2*j-1)+1000*y(i+k-1,j)));@for(GONGJ(k)|k#lt#s:@for(LINKS(i,j)|i#lt#s-k+1:x(i+k,2*j-1)+a(i+k,j)<=x(i,2*j-1)+1000*(1-y(i+k-1,j))));!限制y(i,j)为0-1变量;@for(GONGJ(i):@for(JICHUANG(j):@bin(y(i<j))));97第1期 洪 文:工作排序问题及其数学模型4 解答模型求解后,我们将解答送回到文件工件排序.xls 里的 起止时间 域上。
可用下式完成:@OLE( \ling o \工件排序.x ls , 起止时间 )=x输出的具体结果见下表中的数据部分:表2 工件加工时间表机床1机床2机床3机床4开始时间结束时间开始时间结束时间开始时间结束时间开始时间结束时间工件13691313222224工件213399121519工件3113377155 说明5.1 模型中的工件数和机床数都是固定的,分别是3和4。
如果发生变化,例如工件数为s,机床数为m,则只需将 GONGJ \1..3\; 、 JICHUANG \1..4\; 和 SHIJIAN \1..8\; 中的3改为s,4改为m,8改为2m 即可。
同时文件工件排序.x ls 中的 起止时间 和 加工时间 域也要作相应的变化。
5.2 如果只是工件的加工时间发生变化,则只需在文件工件排序.xls 中改变相应的数字即可,而对模型不需作任何改动。
5.3 本模型也可直接嵌入到文件工件排序.xls 中,这样使用起来更加方便。
下图就是嵌入模型并变动加工时间后的运算结果:98合肥联合大学学报 第12卷5 结束语本文通过对工件排序问题的研究给出了这一问题的数学模型。
虽然实际问题中的工件排序问题还有很多其他类型,这里不能一一给出相应的模型,但是本文介绍的方法是值得借鉴的,相应的模型公式与数据完全分离,具有通用性强、易于模拟等优点。
另外,LINGO forWin -dow s 对变量,尤其是对整数变量有限制。
当问题较大时就可能导致模型无法运行,这时候不要使用更高版本LINGO forWindow s 。
[参考文献][1] 胡运权.运筹学教程,[M ].北京:清华大学出版社,1998.[2] 卢开澄.单目标、多目标与整数规划[M ].北京:清华大学出版社,1999.[3] 郭耀煌.运筹学原理与方法,[M].成都:西南交通大学出版社,1994.[4] 郭耀煌.运筹学与工程系统分析,[M].北京:中国建筑工业出版社,1986.[5] 李宗元.运筹学ABC,[M ].北京:经济管理出版社,2000.[6] 张建中.线性规划,[M].北京:科学出版社,1999.99第1期 洪 文:工作排序问题及其数学模型。