变分法基本引理与证明

。这就是一个特例
由
可得到
。
因为
在
2
是正值，所以 ≝ ������ ������ ≥ 0
必须恒等于 0 。
define: ������ ������ 下证：
b g a
x r x dx = 0,其中g x ≥ 0，r x > 0，对∀x ∈ a, b 上成立。必有 g x ≡
0，∀x ∈ a, b 。
������������������������������������������ ������������ ������ ������0 = ������0 ������ ������1 = ������1 设已经解得最优解������ (������)
∗
变分法基本引理与证明 一、基本引理： 设 代表 阶导数连续（ 阶光滑）的函数空间， 代表无限光滑的函数
空间。 设
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若任意
满足下列两式
则
。
设 Proof： 令 满足下列两个条件：
；
；
因为只要存在一个满足条件的 满足条件的 例。 所以可令 ，此结果
使得
， 那么不论有没有其他同样
都会为真，因此我们只须证明其中一个特
and ������ ������ > 0, 故
������ ������ ������������ = 0.
下面用反证法：假设，∃μ ∈ ������, ������ , ������. ������. ������ ������ ≠ 0, ������ . ������. ������ ������ > 0.由连续函数的局部 保号性得：∃δ > 0, ������. ������. 在去心邻域 μ − δ, μ + δ 中，g(x) ≥
b ������ −������ ������ +������ ������ g μ 2
> 0.所以：
g ������ ������������ =
a ������
������ ������ ������������ +
������ −������
������ ������ ������������ +
������ +������
������ ������ ������������ > 0
上式中第 1,3 项大于等于 0， 而第二项严格大于 0.与题设矛盾， 则原假设不成立。 得证：g(x)=0,for all ������ ∈ [������, ������ ],也即，������ ������ = ������ (������)2 = 0, ������ (������) ≡ 0. 即
������ ������ ������ ������
proof： 由积分中值定理得： ∃θ ∈ ������, ������ , ������. ������.
b a
������ ������ ������ ������ ������������ = ������(������)
������ ������ ������������ = 0.
三、欧拉方程的推导： max������ (������ )
������ 1 ������ [������, ������ ������ 0
。
������ , ������ ������ ] ������������
其中������ ������ 表示函数������ ������ 对 t 的一阶导数。设已经解得