阿罗投票悖论
公共选择理论中的投票规则
S110090 张铃晗
投票规则
一致同意规则 多数票规则 最优投票规则
投票规则
一致同意规则
welcome to use these PowerPoint templates, New Content design, 10 years experience 一项决策或议案，须经全体投票人一致赞同或没有 任何一个人反对，才能获得通过的一种投票规则。 在这种集体决策方式下，每一个人都拥有否决权。
阿罗关于公共选择的五项准则阿罗关于公共选择的五项准则个人理性假定与选择方案无关的独立性假定帕累托最优假定阿罗关于公共选择的五项准则阿罗关于公共选择的五项准则定义域的非限制性假定非个人独裁假定投票悖论的消除投票悖论的消除在多数票规则下如果首先确定一个投票或表决程序集体选择将会获得确定的结果投票循环不再发生
? 即赞同这项决策的人数为K时，K所对应的外在成本和时 间成本之和最小，即K对应的是曲线最低点。在K点，为 了争取更多一个赞同者而再来解释议案所获得的预期效用 与其在时间上的预期损失相等。
? K值称作最优多数。
参考资料
? 1.《公共选择理论：政治的经济学》，方福 前，中国人民大学出版社
? 2.《公共政策导论》，谢民，中国人民大学 出版社，2001年
决策结果的内在强制性强加给个人的。
外在成本函数可以定义如下：
Ci=f（Na），i=1,2，…，N
Na≤N
Ci为由其他人的行动强加给第i个人的预期成本的现
值；Na为在采取最终的集体行动前需要做出同意
（投赞成票）的个人的数量；N为这个集体的总人
数。由Ci表示的所有的成本都是外在成本。
最优投票规则的选择
决策时间成本
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阿罗问题名词解释
阿罗问题名词解释
阿罗问题指的是阿罗问题（Arrow's paradox），又称为阿罗悖论或阿罗不可能定理，是20世纪经济学中重要的议题之一。
阿罗问题最早由诺贝尔经济学奖得主肯尼斯·阿罗在1950年提出。
它探讨的是民主选举中存在的矛盾和不确定性。
具体来说，阿罗问题指出，在一个选项超过两个的选举中，不存在一种完美的投票规则能够同时满足以下四个条件：
1.无独裁性（Non-dictatorship）：没有一个个体能够独自确定最终的结果。
2.普遍性（Universality）：每个个体都有平等的权力参与投票过程。
3.无个人偏好（Independence of irrelevant alternatives）：最终的选择不受
其他候选项的顺序或排除影响。
4.非矢量化（Non-vectoriality）：投票结果只取决于个体之间的两两比较，
而不是整个候选项的排名列表。
这四个条件在理论上似乎都是合理的，但阿罗证明了它们无法同时满足。
也就是说，在选项超过两个的情况下，不存在一种公正公平的投票规则。
阿罗问题的影响不仅限于经济学领域，它也引发了政治学、社会学和伦理学等多个学科领域的深入研究。
人们通过对阿罗问题的探索，试图找到更加合理和公正的选举制度，以实现民主和公平。
阿罗不可能定理
☐前面的问题尚不仅于此，这种情况在现实中就极有可能成为社会选择的最终结果。
而这个结果表现为只有1号的意愿得以实现，那么如果1号改变顺序，还按刚才的方式去进行比较，与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，仍是以1号的选择顺序为转移。
☐可见，在这种情况下利用少数服从多数的投票机制将不能产生一个让所有人满意的结果。
☐阿罗不可能定理——如果一个社会决策机制满足上述性质，那么它必然是一个独裁：所有的社会偏好顺序就是一个人的偏好顺序。
☐满足上述四项条件的公众决策机制是不存在的。
☐如果企图寻找一个把个人偏好加总成社会偏好的方法，我们将不得不放弃阿罗不可能定理中所描述的社会决策机制性质中的一个性质。
☐阿罗不可能定理是对现代公共选择理论的极大支持。
——经济生活中存在的只是一个个特殊的利益集团.☐阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。
阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。
我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。
☐就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。
阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。
如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。
对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（C.Campbell）和塔洛克（G. Tullock）。
☐坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。
譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。
也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。
因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。
☐此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。
投票悖论的名词解释
投票悖论的名词解释在现代民主制度中，投票是一种重要的决策方式。
人们通过投票选择代表，支持或反对特定的议题，影响政府政策的制定和执行。
然而，在投票过程中，存在着一些看似矛盾和悖论的现象，这就是所谓的投票悖论。
投票悖论是指在特定条件下，投票结果可能会引发矛盾或错误的结论。
具体来说，投票悖论依赖于个人偏好的聚合问题。
简单来说，当个人对多个选择或候选人进行排序时，将这些个人偏好相互整合可能会导致不稳定、混乱或矛盾的结果。
这一现象最早由法国数学家和政治学家孔度（Condorcet）在18世纪末提出。
孔度发现，当投票参与者人数较多、选择数量较多时，个人的偏好往往无法稳定地在集体决策中得到准确体现。
投票悖论有许多具体的例子，其中著名的有孔度悖论、阿罗悖论和德林格悖论。
这些悖论展示了在不同投票规则下，投票结果可能会产生不同效果，甚至引发逻辑上矛盾的结论。
孔度悖论的一个例子是当有超过两个候选人时，个人偏好的汇总可能会导致循环优势。
也就是说，在一个三人选举中，如果每个选民都按照 A>B>C 的顺序进行排序，那么根据赢得多数票的标准，A可能赢得第一轮投票。
然而，当以同样的方式对比 B 和 C 时，B 可能会赢得第一轮投票。
最后，对比 C 和 A 时，C 也可能赢得第一轮。
这种循环优势导致了投票结果的不稳定性。
阿罗悖论关注的是个人偏好与集体偏好之间的矛盾。
当个体的偏好只考虑到部分因素时，对于整个群体来说，可能会出现倒数效应。
倒数效应是指当某一候选人的排名在个体中上升时，整个群体对该候选人的排名反而下降。
德林格悖论与传统的投票规则相关。
传统的投票规则通常使用排名制，允许选民以某种顺序来排列候选人。
然而，德林格悖论表明，这种投票方式并不一定能够准确地反映选民的真实偏好。
简单而言，个人的偏好可能会受到候选人的数量和排名方式的影响，从而导致不同的投票结果。
投票悖论的存在提醒着我们，在设计和运用投票制度时需要谨慎考虑。
阿罗投票悖论及单峰偏好
二、单峰偏好
所谓单峰偏好，是指个人在一组按某种标准 （如数量大小）排列的备选方案 中，有一个最为偏好的方案，而从这个方案向任何方面的游离，其偏好程度 或效用都是递减的。
效用
效用
效用
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
双峰或多峰偏好（两个或多个峰值）
如果一个人具有双峰或多峰偏好，则他从最为偏好的方案游离开，其偏好程 度或效用会下降，但之后会再上升。
V2 Y（车场） Z（中心） X（公园）
V3 Z（中心） X（公园） Y（车场）
公园 X
车场 Y （箭头指向胜利者） Z 中心 图6-6 循环问题
投票悖论的求解
一、程序控制
某些个人、集团、惯例或法律决定了根据什么行事，并暗含着不能根 据什么行事。例如，如果惯例是只对一次会议所提出的头两种用途投 票，它们碰巧是X和Y，X就会获胜，Z绝不会被引入，并也不会看到循 环投票。
效用
X
Y
Z
效用 V1 V2
V3 V3 ′
X 公园
Y 车场 图6-7 双峰和单峰偏好
Z 中心
V1 X（公园） Y（车场） Z（中心）
V2 Y（车场） Z（中心） X（公园）
V3' X（公园） Y（车场） Z（中心）
公园 X
车场 Y （箭头指向胜利者） Z 中心 图6-8 循环问题的解
思考
命题： 单峰偏好 ，可以产生均衡结果 逆命题：有均衡的结果，那么投票人的偏好均为单峰 否命题：只要不是单峰偏好，就一定没有均衡的结果
V1 X（公园） Y（车场） Z（中心）
V2′ Z（中心） Y（车场） X（公园）
V3 Z（中心） X（公园） Y（车场）
投票选举中的数学悖论
A:蛋炒饭>盖浇饭>面条
B:盖浇饭>面条>蛋炒饭
C:面条>蛋炒饭>盖浇饭
这种情况下投票特别分散，无法决出最后胜负（孔多赛胜 者）。在这种情况下，每个投票者都做出自己的合理判断，但 结果却是不合理的（无法做出决定）。
假定有一个百人社会，分成左中右三派，各派出一个 候选人。三派选民的分布如下：
“ 少数服从多数”是我们经常说的一句话， 小到 一群人去哪里吃饭、学校班干部选举， 大到国家政策 的决定、某些国家的议员选举， 通常都是遵照这条规 则行事。然而， 如果从数学的角度分析这种“ 多数决 定” 的规则， 我们就会发现， 按照这种规则做出的 决定也有可能不是“最佳” 决定，甚至可能是“ 最差” 决定。
因此，投票中即使每个人都的，这种现象被称为是“投票悖 谬”。早在18世纪，法国的数学家和政治家孔多赛（1747-1794） 就揭示了投票所具有的这种奇怪的性质。并且将一对一比较得 到的由多数人选择的那个选项（盖浇饭）叫做“孔多赛胜者”。
另外，还会出现这样的一种“投票悖谬”：
左派：４０， 同时亲中反右 中派：２５， 同时亲右反左 右派：３５， 同时亲中反左
如果采用简单多数制，则左派胜。于是中派右派 大呼上当，我们可是有６０％的选民最讨厌左派！民 主制度下怎么能让多数人都最反对的人当选呢？
左派：４０， 同时亲中反右 中派：２５， 同时亲右反左 右派：３５， 同时亲中反左
举个例子。办公室7 个人， 打电话到外面定快餐， 只能共同选择一种食品。可选择的食品有3种： 蛋 炒饭、盖浇饭和面条。7 个人想吃的食品排名顺序 各不相同。比如说， A 先生想吃的是“ 蛋炒饭> 盖浇饭> 面条”。F 先生想吃的相反， 是“ 面条 > 盖浇饭> 蛋炒饭”。
阿罗悖论的基本内容
阿罗悖论的基本内容
阿罗悖论是古希腊哲学家亚里士多德提出的思想。
它是由特定版本的正义论形成的反神学论证，也就是人们可能会犯过错，但因为上帝律法是多么完美，人类虽然感受不到，但上帝依然是绝对无误的。
该论证的具体表述是：任何动作都存在一个行为准则，可以被称为“布鲁赛洛斯德右派”—任何做出的行为的唯一的正义取向都必须是最大的布鲁赛洛斯德右派；在上帝的律法中，任何违反上帝的指令都必然会产生惩罚；无故事的结果，如果一个人犯过错，他将必须受到惩罚，反之，如果不犯过错，他就不应受到惩罚。
再者，阿罗悖论包含制衡概念，即正义负责对不同行为采取不同对待，有助于保障公民的权利，但是，如果公民受到惩罚，即使是无辜的，也就等于是违反上帝的权利，这样的说法，他们就会质疑正义的力量，因此，这一理论也就提出了反神学论证，也就是说上帝不会侵犯自己的律法，也不会保护错误行为而受到保护。
最后，阿罗悖论还说到，即使是上帝，也无权改变其既定的法则，为了避免歧视，上帝也不能按照他喜欢的使者选择错误的行为，而是必须按照所有使者应遵守的社会行为准则来进行选择。
最后，他总结出，尽管上帝是完美的，但仍有人会犯错，仍有人部分未能达到上帝要求的最佳状态，导致必须受到惩罚，从而达成了“阿罗悖论”的总结。
阿罗投票悖论
阿罗投票悖论标签：经济学人们在日常生活中，总是面临着许多选择。
不过，只要稍加分析你就不难发现，所有这些选择活动，总的来说不外乎两类：一类是私人选择，另一类是公共选择。
私人选择完全可以根据私人的意愿作出，没有必要非得争取别人的同意。
比如说你早上到菜市场买了1斤萝卜，回家的途中遇到了你的邻居，他绝不会责备你买萝卜没跟他商量。
因为这纯属私人选择，选择的结果完全由你自己承担，无论萝卜是买贵了还是买贱了，都与他没有关系。
相比之下，公共选择则必须由多个人共同作出，一个人就力不能及了。
举个例子，你与你的一位同学素来不睦，现在你愿意跟他摒弃前嫌、言归于好，那就得需要你们两个人协商决定。
大致说来，经济个体在市场条件下作出的决策，都是私人选择，而公共选择则大量地发生在政治领域，如制定或修改法律，选举政府官员，充实国防力量等等。
经济学有一个分支公共选择理论，专门来分析上述发生在政治领域中的决策行为，阿罗不可能性定理就是有关决策效果的一个重要结论。
市场条件下的私人选择，实际上是经济个体利用自己手中的“货币选票”，直接表达他们对各种产品的意见。
对于这种行为的研究，一直是经济学的核心内容。
比较一致的结论是，市场条件下的私人选择，通常可以导致有效率的结果，能够引导资源实现合理配置，但也存在着市场失灵的情况。
而在政治领域中，个人意愿的表达，必须经过公共选择这个过程，在民主制度下，最为常见的办法就是投票。
那么，它是否也能导致一种有效率的结果呢？这便跟投票的规则有很大的关系。
公共选择理论的创始人布坎南认为，一致同意规则是公共选择的最高准则。
“任何一个有理性的人都不会同意那些预期会给他带来损害的事情”，因此，一个人一旦同意了某一选择，他一定认为这是对他有利的，至少不会受损。
市场机制之所以有效，就是因为在市场中达成的任何一笔交易，都是以交易双方一致同意为基础的，哪怕有一方不同意，交易都无法达成。
这一原则对公共选择来说也是适用的，只要某一集体决策获得了一致同意，那就表明，它肯定没有使任何一个参与者受损，却至少对其中的一个人有利。
阿罗不可能定理
阿罗不可能定理阿罗在运用新的数学工具研究一般均衡理论，研究不确定条件下如何进行最优化决策，研究社会选择理论的工作中，做出了突出贡献。
在为数不少的国人的心目中，选举的意义恐怕就在于大家根据多数原则（majority rule）通过投票推举出最受我们爱戴或信赖的人。
然而，通过选举能否达到这个目的呢？1972年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家阿罗（K. Arrow）采用数学中的公理化方法，于1951年深入研究了这个问题，并得出在大多数情况下是否定的结论，那就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）”。
阿罗遵从经济学研究集体决策（group decision-making）和公共选择（public choice）问题时的惯例，首先将个人投票视为每个独立个体根据自己的偏好程度给各种备选方案从大到小排序，个体的偏好排序满足下列要求：1、完全性（completivity）：对任意一对备选方案x 、y ，一个人喜欢x 胜于y 、喜欢y 胜于x 和对两者同样喜欢这三种情况必有其一。
2、反身性（reflexivity）：任意一个备选方案至少和它自身一样好。
或者说，从同样的偏好标准出发，一个人不能既喜欢又不喜欢同一个备选方案。
3、传递性（transivity）：如果一个人喜欢x 胜于y ，喜欢y 胜于z ，那么他应该喜欢x 胜于z ；而且只有当他喜欢x 和y 的程度相同，喜欢y 和z 的程度相同时，他才能同样程度地喜欢x 和z 。
显而易见，对于一个正常人来说，这三个要求相当合情合理，绝无过分之处。
阿罗进而将选举视为一种规则，它能够将每个个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，并满足以下五个条件（即阿罗公理[Arrow's atoxism]）的要求：1、所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。
该公理表明：选民对候选人的任何一种排序都是允许的，也就是每一位选民可以完全按照各自的意愿挑选自己中意的候选人。
投票悖论
投票悖论投票悖论指的是在通过“多数原则”实现个人选择到集体选择的转换过程中所遇到的障碍或非传递性，这是阿罗的不可能定理衍生出的难题。
公共选择理论对投票行为的研究假设投票是那些其福利受到投票结果影响的人们进行的，投票行为的作用是将个人偏好转化为社会偏好。
在多数投票原则下，可能没有稳定一致的结果。
资料个人收集整理，勿做商业用途目录编辑本段多数票规则中存在一个明显的投票悖论。
这一悖论由法国著名社会学家多孔塞在18世纪80年代发现，所以又称多孔塞悖论。
对这一悖论，人们以一个例子加以说明。
假定有三个投票者里根、布什、克林顿对ABC三个议案进行表决。
假定里根的个人偏好是A>B>C，布什的个人偏好是B>C>A，克林顿的个人偏好是C>A>B。
如果在A和B之间进行选择，那么肯定是A获胜；如果在B与C之间选择，则肯定是B获胜；如果在C与A之间选择，则肯定是C获胜。
也就是说投票陷于循环之中。
需要指出的是投票悖论只在备选方案超过两个时才会出现，在只有一个或两个备选方案时多数票规则可以获得一个均资料个人收集整理，勿做商业用途资料个人收集整理，勿做商业用途投票悖论衡的结果，或者说此时多数票规则是一个最优规则。
这酒是为什么在社会生活中人们市场运用“少数服从多数”的规则。
还要注意的是一旦投票人数较多或备选方案超过3个，出现投票悖论的概率就会增大。
当3个人对3个备选方案进行表决时，出现投票循环的概率为5.7%；当27个人对3个备选方案进行表决时，出现投票循环的概率为11.1%；当3个投票人对17个备选方案进行表决时，出现投票循环的概率为46.4%；当19个投票人对17个备选方案进行投票时，出现投票循环的概率为62.6%。
资料个人收集整理，勿做商业用途如何消除投票悖论，这里的关键是确立表决程序。
早在1785年，多孔塞就提出，解决投票循环的方法之一就是按照预先设计好的程序对各种备选方案进行两两比较，在每一对方案中选择出多数票支持的方案，最终获胜的那个方案被称为“多孔塞获胜者”。
从投票的悖论浅读理性选择理论的病变
从投票的悖论浅读理性选择理论的病变先阐述一下理性选择理论，理性选择理论所讲的“理性”就是解释个人有目的的行动与其所可能达到的结果之问的联系的工具性理性。
同时，理性选择继承了古典经济学家亚当·斯密著作中的一个基本假设一“经济人”假设，即假定人在一切经济活动中的行为都是合乎理性的，即都是以利己为动机，力图以最小的经济代价去追逐和获得自身最大的经济利益。
一般认为，理性选择的基本理论假设包括：①个人是自身最大利益的追求者；②在特定情境中有不同的行为策略可供选择；③人在理智上相信不同的选择会导致不同的结果；④人在主观上对不同的选择结果有不同的偏好排列。
可简单概括为理性人目标最优化或效用最大化，即理性行动者趋向于采取最优策略，以最小代价取得最大收益。
20世纪50年代，作为现代理性选择理论标志的各种研究途径的典型融合产生，当时理性选择理论仅仅是政治科学学科中的小小分支，现在理性选择理论的发展已经超出了政治理论和美国政治的范围，进入国际关系的研究领域和比较关系领域。
理性选择理论试图通过假设投票人和政治家都是理性人即追求利益或收益最大化来解释政治现象。
多数理性选择的解释认为政党不是为了特殊的意识形态仅仅是为了最大化其选举胜利的机会，选民则寻求利益最大化。
因此，人们投入时间和金钱不仅仅是实现公民的责任感和满足感情的需要，更是一种市场交换，选民通过捐献来“投资”以换取政治候选人当选后从其许诺中得到“收益”。
在投票中存在著名的投票悖论。
投票悖论指的是在通过“多数原则”实现个人选择到集体选择的转换过程中所遇到的障碍或非传递性，这是阿罗的不可能定理衍生出的难题。
公共选择理论对投票行为的研究假设投票是那些其福利受到投票结果影响的人们进行的，投票行为的作用是将个人偏好转化为社会偏好。
在多数投票原则下，可能没有稳定一致的结果。
在书中提出了另一种投票的悖论，理性选择理论家把投票参与特定为集体行动的一个问题，即为了公共物品以及特殊候选人或政党而要求投票人牺牲个人的时间和交通成本。
阿罗不可能定理与投票悖论
阿罗不可能定理公共选择理论的代表人物之一丹尼斯·缪勒在其《公共选择》（1979）一书中认为，社会选择理论以及社会福利函数性质的论著，特别是伯格森（A. Bergson）的《福利经济学的某些方面的重新论述》、肯尼斯·阿罗的《社会选择和个人价值》和布莱克的《委员会和选举的理论》是公共选择理论的主要来源之一。
所谓社会选择，是与个人选择相对而言的，个人选择的中心是确定个人偏好，而社会选择理论的中心是确定社会偏好。
在社会选择理论中，最著名的也是最受推崇的结论是阿罗的"不可能性定理"。
1951年，阿罗出版了他的研究社会理论的重要著作《社会选择和个人价值》。
他首次运用数理逻辑的分析工具，对社会决策和社会民主程序设计之间的关系做了形式化的深入考察，所得出的"不可能性定理"在西方经济学界引起了轰动，被认为是近数十年来数学应用于社会科学所取得的一项突出成果。
阿罗认为，在现代民主社会中，有两种做出社会选择的基本方法：一种是投票，通常用于做"政治"决策；另一种是市场机制，通常用于做"经济"决策。
此外，在其他非民主的国家，甚至在民主社会中的较小单位里，也存在两种社会选择的方法，即独裁和传统，在它们的正式结构中具有某些投票或市场机制所不具备的明确性。
在理想的独裁体制中，社会选择只根据神的或者全体个人的共同意志做出。
因此，这两种情况下均没有个人之间的冲突。
然而，投票或市场的方法是汇集许多不同的个人偏好做出社会选择的方法。
在任何个人是理性地做出他的选择的意义上，社会选择的独裁方法和传统方法也是理性的。
但是在涉及许多个人不同意志的集体选择中，这种个人选择和社会选择的协调性还存在吗？美国著名数理经济学家肯·阿罗（１９２１年生）是１９７２年诺贝尔经济学奖金获得者。
他获奖的主要成果，是揭示了＂不可能性定理＂，人们俗称为＂阿罗定理＂。
阿罗的不可能定理
阿罗的不可能定理阿罗的不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）阿罗的不可能定理概述阿罗不可能定理是由1972年诺贝尔经济学奖的获得者之一阿罗首先陈述和证明的。
1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。
结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。
或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。
从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。
一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。
为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。
这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。
[编辑]阿罗不可能定理的孕育和诞生阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。
关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候，波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算，阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念在此之前．阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。
后来，阿罗考上研究生．在哈罗德·霍特林（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地就拿消费者的最优决策来说吧，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组合、这正好与逻辑学上的排序概念吻合。
投票理论
★阿罗研究了社会选择必须满足的条件，或者说是提出了社 会选择的五个假设：
◆ 理性假设：（备选项的可比性和可逆性） 对任何一组既定的社会偏好而言，社会选择规则都必须能够产生一种完整的 和可传递的社会秩序。完整性是指在每两个备选项中，总有一个比另一个更加理 想或者两者没什么区别。可递性是指如果X优于Y，Y优于Z，那么X肯定优于Z。完 整性强调的是选项之间的差异性，而可递性强调选项之间的排序规律。 ◆不相关选择的独立性：（不受不列入选项的影响） 针对一组不同的备选项进行选择，只取决于人们对这些选项的排序而不是其 他的因素。因此，如果选择是在X和Y之间进行，并且X和Y之间的关系发生了变化， 那么这一变化对X和Y的排序没有影响。正是因为如此，阿罗坚持认为，社会偏好 排序应当源于个人偏好的排序，也就是说，如果备选项没有发生变化，而选择的 结果发生了变化，这一变化的原因只能是某个人的偏好发生了变化
多数投票规则又可分为简单多数规则和比例多数规则两种。 简单多数：指在投票表决时，只要赞成票超过半数，议案或决策就可以通过。 它是最 基本的投票规则，选举与立法中最常用。 比例多数：指在投票表决时，赞成票必须以高于半数以上的相当大的比例，议案才能 获得通过。 如2/3多数制、3/5多数制、4/5多数制等。常用于立法选举中。 一般讲多数决策，即是指简单多数。
一、投票和个人偏好、社会偏好
★公共产品的供给不是根据个人偏好而是根据集体偏好决定的，
个人价值取向向集体价值取向转化的主要方式就是投票，在民 主政体下，投票是非市场决策中最重要的决策方式。投票是由 那些福利受到投票结果影响的人们参与的，人们通过投票最终 形成公共决策
（一）投票的含义和作用
◆肯尼斯·阿罗（Kenneth J．Arrow，1921.8.23-，1972年诺奖 ）： “投票是一种纯粹的社会选择行为，社会按照选定的投票规则加总选票， 作出选择”。 实质和作用：将个人选择转化为公共选择。将个人偏好转化为社会偏好， 从而就公共物品的供给及融资方式达成协议，作出集体抉择。 ◆投票是民主治理的必要工具和机制： 是民主政治体制下非市场决策中最重要的决策方式。 直接民主下：公众投票直接决定公共物品种类和数量； 间接民主下：公众投票选代表，代表投票选择公共物品种类和数量。
阿罗定理
（KennethJ．Arrow)兰德公司经由伯格森(Bergson)在1938年给出。
伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题，它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的，但是阿罗告诉赫尔墨，不难用序数效用概念加以重新表述。
于是赫尔墨顺水推舟，请阿罗为他写一个详细的说明当阿罗依嘱着手去做时，他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。
既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，阿罗猜测也许会有其他方法。
几天的试探碰壁之后，阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。
果然，他很快就发现了这样一个结果；几个星期以后，他又对这个结果作进一步加强。
阿罗不可能定理就这样呱呱坠地了。
从1947年萌发胚芽到1950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折，千呼万唤始出来，而且颇有点无心插柳的意味。
但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩这不能不说是耐人寻味的。
编辑本段内容阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想西方经济学家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。
甲（a＞b＞c）；乙（b＞c＞a）；丙（c＞a＞b）注：甲（a＞b＞c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。
1、若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a＞b）；乙（b＞a）；丙（a＞b）；社会次序偏好为（a＞b）2、若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（b＞c）；乙（b＞c）；丙（c＞b）；社会次序偏好为（b＞c）3、若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a＞c）；乙（c＞a）；丙（c＞a）；社会次序偏好为（c＞a）于是得到三个社会偏好次序——（a＞b）、（b＞c）、（c＞a），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。
阿罗不可能定理
阿罗不可能定理本词条缺少名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来编辑吧！阿罗不可能性定理（Arrow定理）是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。
定理是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·J·阿罗提出。
中文名阿罗不可能定理外文名Arrow's impossibility theorem提出肯尼斯·约瑟夫·阿罗时间1951年简介编辑1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（KennethJ．Arrow）在他的经济《社会选择与个人价值》《社会选择与个人价值》学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。
结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。
或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。
从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。
一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。
为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。
这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。
产生编辑阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。
哥伦比亚大学哥伦比亚大学关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
阿波罗不可能定理
1951年阿罗指出的不可能性定理是福利经济学中的第一个不可能性定理，证明了在某些条件下阿罗社会福利函数是不存在的。
实际上，阿罗证明的是阿罗一般性定理(General Possibility Theorem)，该定理证明了阿罗社会福利函数必须至少满座五个合理化的条件，即：1．符合逻辑的个人效用函数的任意性(free triple)；在所有状态中至少有三种选择，关于这三种选择，所有逻辑上可能的个人排序都是可以接受的。
2．社会价值和个人价值选择的正或非负关联性(positive or not negative association)；社会排序随着个人价值判断的变化而同方向变化，或者至少不是反方向变化。
因此，如果在每个人的排序中某个社会状态的排序上升或保持不变，而在这些排序中没有发生其他的变化，那么，我们就可以预期，该社会状态在社会排序中的排序也上升或至少没有下降。
3．无关选择的独立性(independence of irrelevant alternatives)；给定条件下社会所做出的选择只取决于该条件下个人对这些选择的排序。
换言之，如果我们考虑这样的两个个人选择集合，对每一个个人而言，他对于给定条件下特定选择的排序在任何时候都是一样，那么我们就可以要求，在该条件下，当个人的价值判断由第一个排序集合给出时，和当个人的价值判断由第二个排序集合给出时，社会所做出的选择应该是相同的。
4．非强迫性或公民的主权性(non-imposition or citizens’sovereignty)；如果有一组选择x和y，无论所有人的偏好是什么，社会都不会显示出y胜于x，即使所有人都认为y胜于x，社会的排序也仍然是x不差于y，这样的社会排序就是强加的。
该条件要求社会排序必须根据个人排序得出。
5．非独裁性(non-dictatorship)；如果对于每一组选择，某个人的偏好就是社会的偏好，而不管其他人的排序如何，这种制度就是独裁。
论文：投票悖论的社会技术诠释
论文：投票悖论的社会技术诠释摘要：为了更清晰地剖析投票悖论，本文绘制了它的产生机理图，通过分析其推理过程，发现将多数规则作为计票方法是造成投票悖论的本质根源。
在此理论与nmu模型的基础上，建立了投票悖论模型vpm方法，计算出投票悖论中的三个备择方案得票率相等，各为，得证“投票悖论”并非悖论。
文章在序数条件下实现了从个体偏好次序得出社会偏好次序的量化方法的模型设计，对原“投票悖论”的群体投票结果作出了符合逻辑的诠释，并对其投票结果满足阿罗不可能定律的合理性进行了证明。
关键词: 投票悖论，阿罗不可能定律，社会选择理论。
研究领域：福利经济学the voting paradox of social technical interpretationyang suhonghangzhou dianzi university, chinaabstract: the voting paradox, from it nature, denies the democratic voting system, and questions a series of related theories on philosophy, politics and economics. the heated research on the paradox never ends for 200 years, while a rational and general agreement on the technical interpretation of it can not be reached. by establishing a mathematical analytic model vpm, this thesis puts forward a scientific interpretation of the paradox of voting under ordinal condition, and proves that the result can reasonably satisfi。
阿罗不可能定理
答案提示
If no prior assumption are made about the nature of individual orderings, there is no method of voting which will remove the paradox of voting…neither plurality（多数） voting nor any scheme of proportional representation, no matter how complicated. Similarly, the market mechanism does not create a rational social choice. ——Social Choice and individual values
①连贯性（connectedness）； ②传递性（transitivity）；
（2）民主决策方式所需满足的五个条件
①选择的非限制性； ②集体选择的非反常性； ③不相关方案的独立性； ④公民的至上性； ⑤非独裁性； …… 任何投票规则和选择 程序必须满足这些公 理和条件，才能把个 人偏好次序转化为社 会偏好次序。
2. 阿罗不可能定理的表述
阿罗不可能定理：要找到这样一种投票决策机制，
它所产生的结果不受投票程序的影响，同时又不限制 投票人的偏好以及进行的独立决策，并能最终将所有 将所有 的个人偏好转化为一种社会偏好，是不可能的。 的个人偏好转化为一种社会偏好，是不可能的
3、阿罗不可能定理的证明
（1）社会选择的两个公理
讲课结束
谢
谢
4.阿罗不可能定理提出的意义
（1）积极意义
①结束了人们对于投票悖论解决方法无休止的探究； ②极大提升了人们对于社会的认识； ……
投票悖论PPT
假设投票者对A、B、C三种选择方案的偏好顺序如下图
按多数票规则由三个人
对三个方案进行两两投 甲 票表决。
A与B表决，A赢
A与C表决，C赢
乙
（ ） 集体偏好的传递性，C>A>B
C与B表决，B赢
丙
（悖论出现）
A＞B＞C B＞C＞A C＞A＞B
避免孔多塞悖论—限制投票选择序的单峰条件
中如果要求各种备选方案满足广泛性、一致 性、非加强性、和非独裁性 等条件，就无法
形成一种集体方案。换句话说，合情合理的 常识中认为理应具备的选择条件事实上是苛 刻得无法满足的，也正是因为这个原因，这 个定理被称为“不可能定理”
偏好强度悖论
给定个体偏好的强度，偏好在个体间才能比较和叠加。除独 裁投票的投票规则外几乎所有投票规则都对不同的个体偏好赋予相 同的强度，这体现了人人平等的关系。然而，当备选方案多于两个 时，同一投票人的偏好排序中也存在不同的偏好强度。 例如：若甲的偏好是X>Y>Z 则包括X>Y , X>Z 和Y>Z ，如果我们认 为X>Y和Y>Z的偏好强度相同，结果应该是A=B,这与A>B矛盾。
一种公平的投票规则
从经济人的角度来看，投票实际上是一种对利益进行分配的方 式。这种利益可能是政治的地位或经济的财富，具体的金钱或抽象 的荣誉等—只要其满足投票人的某些需求或愿望。每个投票人将根 据不同的投票结果所带来的收益决定他的策略。 一个代表性的例子就是用投票来解决对公共财富的分配问题。
设想价值为S的公共财富归n位个体所共同所有，他们分属m个行业， 现在要通过投票的方式将S投资到一些行业中。每个投票者都希望更多 的资本进入自己所在的行业。显然，公平的分配方式将是平均分配， 即每个投票者拥有对S/n财富的支配权。采用以下投票规则，将得到与 平均分配相同的投票结果： 1.每个投票人都可以提出备选方案 2每人一票的比例代表制，即某备选方案将获得的投资正比与他获得的 选票数。例如备选方案A 获得选票数为s，则获得s/n *S的投资。
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阿罗投票悖论
标签：经济学
人们在日常生活中，总是面临着许多选择。
不过，只要稍加分析你就不难发现，所有这些选择活动，总的来说不外乎两类：一类是私人选择，另一类是公共选择。
私人选择完全可以根据私人的意愿作出，没有必要非得争取别人的同意。
比如说你早上到菜市场买了1斤萝卜，回家的途中遇到了你的邻居，他绝不会责备你买萝卜没跟他商量。
因为这纯属私人选择，选择的结果完全由你自己承担，无论萝卜是买贵了还是买贱了，都与他没有关系。
相比之下，公共选择则必须由多个人共同作出，一个人就力不能及了。
举个例子，你与你的一位同学素来不睦，现在你愿意跟他摒弃前嫌、言归于好，那就得需要你们两个人协商决定。
大致说来，经济个体在市场条件下作出的决策，都是私人选择，而公共选择则大量地发生在政治领域，如制定或修改法律，选举政府官员，充实国防力量等等。
经济学有一个分支——公共选择理论，专门来分析上述发生在政治领域中的决策行为，阿罗不可能性定理就是有关决策效果的一个重要结论。
市场条件下的私人选择，实际上是经济个体利用自己手中的“货币选票”，直接表达他们对各种产品的意见。
对于这种行为的研究，一直是经济学的核心内容。
比较一致的结论是，市场条件下的私人选择，通常可以导致有效率的结果，能够引导资源实现合理配置，但也存在着市场失灵的情况。
而在政治领域中，个人意愿的表达，必须经过公共选择这个过程，在民主制度下，最为常见的办法就是投票。
那么，它是否也能导致一种有效率的结果呢?这便跟投票的规则有很大的关系。
公共选择理论的创始人布坎南认为，一致同意规则是公共选择的最高准则。
“任何一个有理性的人都不会同意那些预期会给他带来损害的事情”，因此，一个人一旦同意了某一选择，他一定认为这是对他有利的，至少不会受损。
市场机制之所以有效，就是因为在市场中达成的任何一笔交易，都是以交易双方一致同意为基础的，哪怕有一方不同意，交易都无法达成。
这一原则对公共选择来说也是适用的，只要某一集体决策获得了一致同意，那就表明，它肯定没有使任何一个参与者受损，却至少对其中的一个人有利。
用经济学的术语来说，这就是一种帕累托效率的改进。
然而令人遗憾的是，“一致性是件好事，但却太昂贵了”。
各参与者之间的利益差别不可避免，而每项议案的通过，却都要征得所有人的同意，这就需要付出巨大的努力，去说服每一个人，直至最后一个怀疑者。
更糟糕的是，一旦这个最后的怀疑者认识到他有如此巨大的威力，他就有可能以投否决票相要挟，去敲诈那些支持议案的人。
通常的情况则是，在马拉松式的讨价还价中，达不成任何协议。
既然一致同意规则代价高昂，人们就转而求其次，降低同意的“百分比”，将一致同意的100％，降为80％、70％，或者是51％，这样就产生了多数同意规则。
相对于一致同意来讲，多数同意规则无疑是降低了决策的成本，但由于每项决策都可能在有人反对的情况下通过，这就便公共选择带有了强制的色彩。
尽管作为一个和平主义者，你不赞成军备扩张，但却必须跟那些鹰派人物一样，为扩张军备而纳税，为别人的选择支付成本。
对此，人们通常的看法是，少数服从多数是一种“民主”的公共选择过程，它虽然使少部分人受损，但同时却让大部分人获益。
因此，从整个社会的角度看，这个决策还不失为一个“好”的决策。
问题在于，“民主”真的万无一失吗?让我们来看一个例子：有三家企业属于同一主管部门，上级决定将它们合并为一个大公司，公司的总经理从三家企业的现任厂长中产生，他们是牛厂长、杨厂长和马厂长。
可供选择的方案有：职工普选(A)、主管部门任命(B)、按企业的资金实力来确定权利的分配(C)，三位厂长将采用投票的方式，决定最终采用哪种方案。
在这三个企业中，牛厂长的企业职工人数最多，资金实力最弱，牛厂长本人与上级的关系还行。
因此，牛厂长员希望职工普选，最反对按资金实力来分配权利。
杨厂长的企业职工人数最少，资金实力居中，但杨厂长跟上级主管领导是“铁哥们”，因此他最支持上级任命，员反对职工普选。
马厂长的企业资金实力最为雄厚，但马厂长跟上级领导积怨很深，因此，他最支持按资金实力来分配权利，员反对上级任命。
于是，便出现了一个奇怪的现象：在3个投票者中，总有2个人认为，方案A优于方案B，方案：B优于方案C，方案C又优于方案A，支持每个方案的大多数总是循环出现的，这便是“循环投票之谜”。
在循环投票的情况下，哪一个方案最终获得了通过，不是依据是否符合多数人的意愿，而是依据投票的程序。
比如说，先就A和B进行表决，牛厂长和马厂长将更偏爱A，于是A方案当选，再就A和C进行表决，马厂长和杨厂长无疑更倾向C，于是C方案就最终获得通过。
但如果从对A和C表决开始，最后获胜的就不是C，而是B。
若从B和C的比较开始，最终当选的方案又变成了A。
这样一来，如果哪个人能够影响投票的次序，他就可以决定表决的结果，少数服从多数的原则也就失效了。
循环投票现象最早是由法国人孔多塞特发现的，后来美国经济学家肯尼斯·阿罗又进行了更进一步的研究。
他发现，如果两个以上的投票者，就两个以上的方案进行表决，循环投票就总有可能出现，出现的概率随着投票人数和供选方案的增多而增大。
在此基础上，阿罗经过严格的数学证明，得出了一个令人吃惊的结论：任何一种多数同意规则，都不可能万元一失的保证投票的结果符合大多数人的意愿。
这就是著名的阿罗不可能性定理，又称阿罗悖论。
阿罗悖论使我们对公共选择和民主制度有了新的认识，正如市场存在着失灵一样，民主也有它失效的时候。
尽管失效的概率可能很小，但这并不意味着阿罗的警告无足轻重。
飞机失事只有不足万分之一的可能，但它一旦掉下来，对乘客来说就是百分之百的灾难。