2020年初一奥数题——有理数的运算技巧简便计算
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数的简便运算技巧及常见错误
一. 符号与括号例1. 计算分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，……，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。
解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（－1）的和，即；当n为奇数时，上式是个（－1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：二. 巧添辅助数例2. 计算：解：原式三. 巧用整体例3．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？ 解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2×1995－2984＝1006（元）说明：设购买物品i ＝1，2，3，4，5则，① ②由 2×①－② 得需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。
四. 巧用凑整运算 例4. 计算：解：原式=-+-+-（）（）20920082000000002Λ六. 巧用拆项法 例7. 计算 10032114321132112111ΛΛ++++++++++++++＝________分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，，而，同理，，那么本题就不难解决了。
解：原式＝10100299002202122621++++++Λ ＝)10111001100199141313121211(2-+-++-+-+-Λ说明：形如1n n a （）+的分数，可以拆成1a （）11n n a-+的形式。
例8.解：应用关系式来进行“拆项”。
原式2. 已知0为数轴的原点，A 、B 两点对应的数分别为1、2，设P 1为AB 的中点，P 2为AP 1的中点，…，P 100为P 99的中点，求P 1，P 2，P 3，…，P 100所对应的各数之和。
初一奥数 第四讲 有理数的混合运算
第五节 加、减、乘、除、乘方混合运算【知识要点】运算级别 ①、 通常把六种运算分成三级，加与减是第一级运算；乘除是第二级运算； 乘方和开方是第三级运算。
②、 一般先算高级运算，再算低级运算，即先算第三级运算，再算第二级 运算，最后算第一级运算。
③、同一级运算，按从左到右的顺序运算。
④、如果有括号，先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号。
⑤、能应用运算律时，可不按常规顺序运算，而用运算律简化运算。
【超级练习】一．快速计算（20分钟）1、()()125.34145.5874+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 2、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-141523132133215．姓名： 日期：3、761241571325.53132+--+-． 4、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+25.257.18432349．5、911325.0321÷⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-． 6、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷+-1452535212．7、2233213115312⎪⎭⎫⎝⎛÷⎪⎭⎫⎝⎛-⨯÷-．8、()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯---3242121315.021．9、()()322175.0656.14⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯--÷-． 10、()()()2221999249231-÷--⨯-+-．11、()32692211332-÷-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-．12、()()32366112119755-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫⎝⎛+--．13、()()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-7631276377635．14、()[]42535731732131--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-．15、()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯÷-311123221218.1022．16、()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯---19234375.021*******．二．智力抢答（15分钟）1．下列说法中正确的是（ ）A 、两个数相减，被减数一定大于减数B 、零减去一个数仍得这个数C 、一个正数减去一个负数的差是一个正数D 、互为相反数的两个数差是零2．若有2003个有理数相乘所得的积为零，则这个2003个数中（ ）A 、均为零B 、恰好一个数为零C 、至少有一个数为零D 、最多有一个数为零3．已知等式（1）23=++b a a ；（2）16=++b a b ，如果b a ,分别表示一个数，那么b a +是（ ）A 、13B 、14C 、15D 、164．下列说法正确的是（ ）A 、有最小的负数，没有最大的正数B 、有最大的负数，没有最小的正数C 、没有最大的有理数和最小的有理数D 、有最小的正数和最小的负数5．食品店一周中各天的盈亏情况如下（盈余为正）：132元，－12.5元，－105元，127元，－87元，136.5元，98元，则一周总的盈亏情况是（ ）A 、盈3B 、亏3C 、不盈不亏D 、以上都不正确6．一种零件的内径图纸尺寸是10±0.05（单位：mm ），表示这种零件的标准尺寸是10mm ，加工要求最大不超过mm ；最小不小于mm 。
有理数运算常用的技巧
有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。
如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例1、计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)变式：计算：()()()231324-+++-++-二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：36.54228263.46+-+三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．变式： 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭四、逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-变式2：4726342+4726352-472633×472635-472634×472636五、巧拆项（裂项相消）把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++ ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④1111()(1)(1)211n n n n =--+-+ 例5、计算2005×20042003－1001×10021001．例6、111113355799101++++⨯⨯⨯⨯变式1：111111261220309900++++++变式2：10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯变式3：计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯六、变量替换（换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-)．例8、（第8届“希望杯”）计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++变式1：计算（2＋20101......413121++++）×（20111......413121++++）－（2＋20111......413121++++）×（20101......413121++++）变式2：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++20051312120061312112005131211200613121变式3：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+39385271781712133937111712727717七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．变式1：计算20034005200332003220031++++变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对（添项法）添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式：计算512125611281641321161814121++++++++十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．例13、计算：23201012222S =+++++变式1：计算：20103221212121++++变式2：计算：201332313131311+++++十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。
有理数的简便运算
有理数的简便运算有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数和零。
在数学中，有理数的运算是非常重要的，它们可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
本文将介绍有理数的简便运算方法，帮助读者更好地理解和掌握有理数的运算规则。
一、有理数的加法运算有理数的加法运算是指将两个有理数相加得到一个新的有理数的过程。
要进行有理数的加法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个有理数的分母找到一个公共的倍数，使得它们的分母相同。
2. 将两个有理数的分子相加，得到新的分子。
3. 分子的符号与原有理数的符号保持一致。
例如，计算-3/4 + 1/2，可以按照以下步骤进行：1. 分母4和2的最小公倍数为4，将两个有理数的分母都改为4。
-3/4 + 1/2 = -3/4 + 2/42. 将两个有理数的分子相加，得到新的分子。
-3/4 + 2/4 = -1/43. 结果的符号与原有理数的符号保持一致，即为负数。
所以，-3/4 + 1/2 = -1/4。
二、有理数的减法运算有理数的减法运算是指将一个有理数减去另一个有理数得到一个新的有理数的过程。
要进行有理数的减法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将减法转换为加法，即将减数变为相反数。
2. 将两个有理数按照加法运算的方法相加。
例如，计算5/6 - 1/3，可以按照以下步骤进行：1. 将减数1/3变为相反数，即-1/3。
2. 将两个有理数按照加法运算的方法相加。
5/6 + (-1/3) = 5/6 - 1/33. 按照有理数的加法运算规则进行计算。
5/6 - 1/3 = (5*3 - 6*1) / 6 = 15/18 - 6/18 = 9/184. 将结果进行约分，得到最简形式。
9/18 = 1/2所以，5/6 - 1/3 = 1/2。
三、有理数的乘法运算有理数的乘法运算是指将两个有理数相乘得到一个新的有理数的过程。
要进行有理数的乘法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个有理数的分子相乘，得到新的分子。
【初一数学】初一奥数专题七有理数计算技巧(二)(共5页)
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有理数计算运算技巧讲解
初一数学竞赛选讲有理数的巧算（一）有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 34345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n 2-(n 2-12)=n 2-n 2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690． 例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(．解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… =(232-1)(232+1) =264-1．1、若单项式324y x m --与单项式n y x 27332-能合并成一项，求()n m n m 2222--+的值．2、设P=223b ab a ++，Q=223b ab a +-且P －[Q －2P －（－P －Q ）]+R=222b ab a ++，求R ． 3、计算：①求)26532(3)54332(2434-+---+-x x x x x x 的值，此时x=21- ②求32332331)]}3(2[22{23b ab a b a b ba b a a --+--+-的值，此时a=2，b=3．1、 求代数式1234567891023456789+++++++++x x x x x x x x x ，当x=－1时的值时由于将式子中某两项的“+”号看成了“－”号，算出的结果为7，看错的是哪几项？ 2、 多项式42112435--++-++m n n nm nmnmy x v uy x v u （其中m 、n 为正整数）化简后为三项式，求mn 的值。
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法(含答案)
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【题型1 归类法】【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；（2）仿照题意简便方法计算即可．【解答】解：（1）计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律．故答案为：省略加号和括号，转化，加法的交换律和结合律；（2）−2123+314−(−23)−(+14) ＝﹣2123+314+23−14＝（﹣2123+23）+（+314−14） ＝﹣21+3 ＝﹣18．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913. 【分析】可利用结合律进行运算，最后得出结果．【解答】解：原式＝（−23−913）+（516−416）＝﹣10+1＝﹣9 【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【分析】先算同分母分数，再相加即可求解； 【解答】解：123+212−334+13−4.25＝（123+13）+212+（﹣334−4.25） ＝2+212−8＝﹣312；【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【分析】先算同分母分数，再相加即可求解． 【解答】解：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）＝（3712−3712）+（﹣114+114）+（﹣418）＝0+0+（﹣418） ＝﹣418．【题型2 凑整法】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消. 【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣2.5）【分析】运用加法的交换律和结合律计算可得． 【解答】解：原式＝（﹣347−1637）+（12.5+2.5）＝﹣20+15 ＝﹣5．【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4； （2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【分析】根据加法的运算律计算即可．【解答】解：（1）原式＝（20.36﹣13.36）+（1.4﹣1.4）＝7+0＝7； （2）原式=(325+535)−(278+18)=9﹣3＝6． 【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4） （2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣（0.1+8.9）+（4.6+5.4） ＝﹣9+10 ＝1；（2）原式＝（﹣1.75+234）+（﹣345）+145=+(234−1.75)−(345−145) ＝1﹣2 ＝﹣1．【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5； （2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【分析】（1）应用加法交换律和结合律将两个小数和两个分数分别结合在一起计算； （2）先运用减法法则，再将分母相同的结合起来进行计算； （3）将正负数分别结合计算；（4）小数化分数，分母相同的结合计算． 【解答】解：（1）原式＝（0.5+9.5）+（92−192）＝10﹣5＝5；（2）原式=−12−25+32+185+395=（32−12）+（185+395−25）＝1+11＝12；（3）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝（1.4+3.6）+（﹣1.5﹣4.3﹣5.2）＝5﹣11＝﹣6； （4）原式=−72−43−34+72+34−73=（72−72）+（34−34）+（−43−73）=−113． 【题型3 逆向法】【例3】计算：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2． 【分析】先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2 =52×115−133×115+56×115 ＝（52−133+56）×115＝（156−266+56）×115 ＝（﹣1）×115=−115．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【分析】先将题目式子中的带分数化为假分数，小数化为假分式，然后根据乘法分配律即可解答本题． 【解答】解：235×127+2.6÷711−135×67=135×97+135×117−135×67 =135×（97+117−67） =135×147 =265．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【分析】分别提取公因数﹣13和﹣0.34，即可简化计算，再合并即可； 【解答】解：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34 ＝﹣13×（23+13）﹣0.34×（27+57）＝﹣13﹣0.34 ＝﹣13.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)； 【分析】根据乘法分配律可以解答本题；【解答】解：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15) ＝0.7×（149+59）+（234+14）×（﹣15）＝0.7×2+3×（﹣15） ＝1.4+（﹣45） ＝﹣43.6； 【题型4 拆项法】【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212) 【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12） ＝﹣4+（−710） ＝﹣4710．【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【分析】利用加法的结合律，将整数、分数分别结合在一起先相加，运算简便． 【解答】解：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112＝[（﹣2019）+（﹣2018）]+[（−56）+（−23）]+4037+112＝﹣4037+（−32）+4037+32 ＝0【变式4-2】计算：﹣991517×34．【分析】根据乘法分配律简便计算． 【解答】解：﹣991517×34＝（﹣100+217）×34 ＝﹣100×34+217×34 ＝﹣3400+4 ＝﹣3396．【变式4-3】计算：399498399×(−6) 【分析】根据乘法分配律简便计算． 【解答】解：399498399×(−6)＝（400+33133）×（﹣6）＝400×（﹣6）+33133×（﹣6）＝﹣2400﹣165133＝﹣240165133．【题型5 组合法】【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【分析】把原式写成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一个有25个﹣2，据此计算即可．【解答】解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【分析】原式结合后，相加即可得到结果．【解答】解：原式＝1+（﹣2+3）+（﹣4+5）+…+（﹣98+99）＝1+1+…+1＝50．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）＝0．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【分析】将4个数字作为一组，分组计算即可．【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣2008）＝﹣4+（﹣4）+…+（﹣4）＝﹣4×502＝﹣2008．【题型6 裂项相消法】算变得简洁.【例6】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值． （3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【分析】（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；（2）根据上述规律得原式＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17，计算即可得出答案； （3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12，则可以用裂项法进行计算．【解答】解：（1）17−18=17×18；故答案为：17−18=17×18；（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17 ＝1−17=67； （3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．=12（1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+⋯+197−199） =12（1−199） =12×9899 =4999． 【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342= ＝ ，1772= ＝ ．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【分析】（1）直接利用已知运算规律进而计算得出答案； （2）直接利用已知运算规律将原式变形进而计算得出答案． 【解答】解：（1）1342=16+17=6+76×7；1772=18+19=8+98×9；故答案为：16+17，6+76×7；18+19，8+98×9；（2）32−56+712−920+1130−1342+1556−1772＝1+12−（12+13）+（13+14）﹣（14+15）+（15+16）﹣（16+17）+（17+18）﹣（18+19）＝1−19 =89．【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：1n(n+1)= ．（2）探究并计算下列各式： ①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题；（2）①根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）1n(n+1)=1n−1n+1，故答案为：1n −1n+1；（2）①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50＝1−12+12−13+13−14+⋯+149−150 ＝1−150=4950； ②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020=−12×（12−14+14−16+16−18+⋯+12018−12020）=−12×（12−12020）=−12×10092020 =−10094040． 【变式6-3】阅读理解题 第1个等式：12=2−12×1=1−12； 第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式： ； （2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．【分析】（1）仿照已知等式得到第5个等式即可； （2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值． 【解答】解：（1）第5个等式：130=6−56×5=15−16；（2）11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021=14×（1−15+15−19+19−113+⋯⋯+12017−1 2021）=14×（1−12021）=14×20202021=5052021．故答案为：130=6−56×5=15−16．11。
有理数运算的十种技巧
２ （ １ 一 而 １） ＝ 而 ２ ０ ０
．
孚： ÷（ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ５ ９ ） ： 了 １ ×
＝８ ８ ５ ．
说 明 ： 形 如 面的 分 数 。 可 以 拆 成 ÷ （
— －） Ｉ 的形 式 ． ， ｌ ＋ 口
二、 巧用饲序法
例 ２ 计算
解： 设 ＝
Ｉ 、
解 ： 设 ｓ ＝ １ ＋ （ ÷＋ 丁 ２ ） ＋ （ ÷＋ ２ ＋ ３ ） ＋
（１
，
即 ２ Ａ ＝２ Ｘ４ ０１ １ ．
了 了 了 了 ） 一 ＋【 丽
２
３
４、
，１
２
＋ ‘ 一 丽 丽 ） ’
４ ８ ４ ９、
辽一 一 一
有理数的运算是初 中代数运算 中 的基 础运算 ， 它有
一
‘ ． ．
Ａ ＝４ ０ １ １ ． ． ． ．原 式 ＝ ４ ０ １ １ ．
定规律 和技 巧． 只要 认 真 分析 和研 究题 目的 内在 特
三、 巧 用 拆 项 法
征， 并根据这些特 征灵活 巧妙 地运 用运算 法则 、 运算 定 律和有针对性地运用 一定 的方法和技巧 ， 不但可 以使运
解 ： 因 为 （ ÷ ＋ 西 １ 一 ÷ 一 ） ÷ ＝ （ ÷ ＋ 去 一 ÷
一
一
１、
） ，
嘉） 嘉 ９ ３ — １ ４ 一 ｌ 一 ３ ，
所以原式 ＝ 一 ÷一 ３ ：一 ３ ÷
八、 巧 用 添项 法
两式相加得 ２ Ｓ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４＋… ＋ ４ ９ ．
解 ： 原 式 ＝ ｝ ＋ （ ÷＋ 号 ） ＋ （ ｝＋ ÷ ＋ ÷ ） ＋ …
有理数的巧算
有理数的巧算有理数运算中的几个技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127] = 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)] = 11＋(－73) = 1074．二、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例4 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．三、凑整求和例5 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1= (20＋300＋4000＋50000)－4= 54320－4= 54316．例6 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．四、逆用运算律有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例7 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44= 17.48×(37＋19＋44)= 1748．五、巧拆项例8 计算2005×20042003－1001×10021001．解：2005×20042003－100210011001? = (2004＋1)×20042003－(1002－1)×10021001 = (2003－1001)＋(20042003＋10021001) =100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、换元法通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例9 计算512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-)．解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则 512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-) = cab a +×(b ＋a c ) =c ab a +×a c ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，① 则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ，② ① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256 171．七、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例11 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)，② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885．评析：此题运等比数列求和也行有理数的巧算与速算有理数的计算题在大大小小的考试中都占有很重要的地位，而有理数的题目又变化多样，可以说是形形色色，怎样解决这类题目呢？当然，灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。
七年级奥数：有理数的计算
七年级奥数：有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则x —(1+m +n +ab )x +(m +n )x+(—ab )的值等于_________．(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路 利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．例2 把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )．(A )6次 (B )7次 (C )8次 (D )9次 (江苏省竞赛题)解题思路 探索对折的规律，运用估算求解．例3 计算： (1) 1111..12123123100+++⋯+++++++⋯⋯+ (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2) 23419987777.7++++⋯+(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3) 22222221949195019511952199719981999-+-+⋯+-+(北京市竞赛题)解题思路 对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联3220012002想到平方差公式．例4 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a +b ，a 的形式，又可表示为0、、b 的形式，求的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应考虑对应分情况讨论．例5 有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到2．(全国初中数学竞赛题)解题思路 要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的程序即可．能力训练 A 级1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4，-6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：(杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1)111135577919971999+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ (2) 43421(0.25)(8)2(2)(6)3⎛⎫⎡⎤-⨯--+-÷-÷- ⎪⎣⎦⎝⎭=ab20001999b a+30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+2297100-+4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…，依此类推，直主最后减去余下的，最后的答数是_________． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5.如果对于任意非零有理数a 、b 定义运算△如下:a ba b ab-=，则 5(43)=____ 6.如果有理数c 、b 、c 满足关系式0a b c <<<那么代数式23bc acab c-的值（ ). （A ）必为正数 （C ）可正可负 （B ）必为负数 （D ）可能为0（第十六届江苏省竞赛题） 7．199797199898,,,199898199999----这四个数由小到大的排列顺序是（)・ 199797199898(A) 199898199999199819979897 (B) 199919989998979819971998 (C) 989919981999981998971997 (D) 991999981998-<-<-<--<-<-<--<-<-<--<-<-<-(重庆市竞赛题)8.若a 与（一b ）互为相反数，则221898991997a b ab+= (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1997 9.如果20012002()1,()1a b a b +=--=,则20032003a b +的值是（)・(A) 2 (B) 1 （C ） 0 （D ） -1 （第十三届“希望杯”邀请赛试题）10.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数9且abed = 9,则d+b+c+d 等于（ ）. (A) 0 (B) 4 (C) 8 （D ）值无法确定 1 1 亠1L 把111,3.7,6,2.9,4.652分别填在图中五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中找出一种填法，使△中的数尽可 能小,并求这个数.2131415119971（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛） 12.已知a 、b 、c 都不等于零，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，求(+1)1998m n +的值.B 级1.计算：1131351397=244666989898⎛⎫⎛⎫⎛++++++++++⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝） （第十届“五羊杯”竞赛题）2．计算：23456789102222222222--------+= （第十届“希望杯”邀请赛试题）3．计算：212424824139261839n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎛⎫= ⎪⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎝⎭4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知底，人类知识总量为以a ．假如从底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020年是每73天翻一番．则： (1)2009年底人类知识总量是——； (2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——． (北京市顺义区中考题) 5.你能比较两个数20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题.我们先写岀它的一般形式，即比较1n n +与+1nn （）的大小（n 是自然数），然后，我们从分析1,2,3,n n n ===中发现规律，经归纳、猜想得出结论.（1）通过计算.比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写<，=，>号）2132435465(1)12;(2)23;(3)34;(4)45;(5)56-----（2）从第（1）题的结果经过归纳.以猜想出1n n+与+1nn （）的大小关系是——； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20022001_20012002 (福建省龙岩市中考题)6．如果ac<0,那么下面的不等式22330,0,0,00aac a c c a ca c<<<<<，中必定成立的有（）个(A )1 (B )2 (C )3 (D )47. a 、b 都是有理数,代数式222222222,,(),(),1,0.001,a b a b a b a b a a b +--++++24231a b ++中，其中值为正的共有（ ）个・(A )3 (B )4 (C )5 (D )68．三进位制数201可用十进位制数表示为21230312901219⨯+⨯+=⨯++；二进位制数1011可用十进位制法表示为3211202121802111⨯+⨯+⨯+=+++=．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a =221，二进位制数b =10111，则a 与b 的大小关系为( )．(D )不能判定(重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a +b >c +d ，则( )． (第十一届“希望杯”邀请赛试题)222233334444(A) |1||1| (B) (C) (D) a b c d a b c d a b c da b c d-++>++>++>++>+10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )． (《学习报》公开赛试题)999997998999(A)(B)(C)(D)199719971998199811．设n 为自然数，比较与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)n n ns 223222132++++=n s。
2初一奥数第02讲有理数的加减法
2初一奥数第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法如此，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法如此进展运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】〔某某某某〕某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，如此股票A这天的收盘价为〔〕ABCD．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法如此，是同号相加，取一样符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋〔－1.5〕＋〔0.3〕＝16.8，应当选C．【变式题组】01．今年某某省元月份某一天的天气预报中，某某市最低气温为－6℃，某某市最低气温2℃，这一天某某市的最低气温比某某低〔〕A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．〔某某〕飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．〔某某〕珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155m，如此它们的平均海拔高度为__________【例２】计算〔－83〕＋〔＋26〕＋〔－17〕＋〔－26〕＋〔＋15〕【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷一样符号的数结合一起.解：〔－83〕＋〔＋26〕＋〔－17〕＋〔－26〕＋〔＋15〕＝[〔－83〕＋〔－17〕]＋[〔＋26〕＋〔－26〕]＋15＝〔－100〕＋15＝－85 【变式题组】01．〔－2.5〕＋〔－312〕＋〔－134〕＋〔－114〕02．〔－13.6〕＋0.26＋〔－2.7〕＋〔－1.06〕03．0.125＋314＋〔－318〕＋1123＋〔－0.25〕【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进展裂项，然后邻项相消进展化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++- ＝111111112233420082009-+-+-++- ＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋〔－2〕＋3＋〔－4〕＋ … ＋99＋〔－100〕02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进展下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么如下关系中正确的答案是〔 〕A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法如此，由两加数与其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，如此它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．假如m ＞0，n ＜0，且|m |＞|n |，如此m ＋n ________ 0.〔填＞、＜号〕02．假如m＜0，n＞0，且|m |＞|n |，如此m＋n ________ 0.〔填＞、＜号〕03．a＜0，b＞0，c＜0，且|c |＞|b |＞|a |，试比拟a、b、c、a＋b、a＋c的大小【例５】425－〔－33311〕－〔－1.6〕－〔－21811〕【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法如此，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法如此进展运算.解：425－〔－33311〕－〔－1.6〕－〔－21811〕＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋〔33311＋21811〕＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－〔＋3.85〕－〔－314〕＋〔－3.15〕03．178－87.21－〔－43221〕＋1531921【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜测第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜测出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝〔25＋1〕＋〔23＋3〕＋…＋〔15＋11〕＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(某某)观察如下等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答如下问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察如下等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n〔n≥1的自然数〕的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】〔第十届希望杯竞赛试题〕求12＋〔13＋23〕＋〔14＋24＋34〕＋〔15＋25＋35＋45〕＋…＋〔150＋250＋…＋4850＋4950〕【解法指导】观察式中数的特点发现：假如括号内在加上一样的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋〔13＋23〕＋〔14＋24＋34〕＋…＋〔150＋250＋…＋4850＋4950〕如此有S＝12＋〔23＋13〕＋〔34＋24＋14〕＋…＋〔4950＋4850＋…＋250＋150〕将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋〔13＋23＋23＋13〕＋〔14＋24＋34＋34＋24＋14〕＋…＋〔150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150〕即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．〔第8届希望杯试题〕计算〔1－12－13－…－12003〕〔12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004〕－〔1－12－13－…－12004〕〔12＋13＋14＋…＋12003〕演练巩固·反应提高01．m是有理数，如此m＋|m|〔〕A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为〔〕A．5B．1C．1或5D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是〔〕A．1B．0C．－1D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的答案是〔〕A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．如下等式一定成立的是〔〕A．|x|－ x＝0B．－x－x＝0C．|x|＋|－x| ＝0D．|x|－|x|＝006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，如此午夜气温是〔〕A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．假如a＜0，如此|a－(－a)|等于〔〕A．－aB．0C．2aD．－2a08．设x是不等于0的有理数，如此||||2x xx值为〔〕A．0或1B．0或2C．0或－1D．0或－209．〔某某〕2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示如下各式：⑴假如a＜0，b＞0,如此b－a＝__________，a－b＝__________⑵假如a＞b＞0，如此|a－b|＝__________⑶假如a＜b＜0，如此a－b＝__________11．计算如下各题：⑴23＋〔－27〕＋9＋5⑵⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－〔－22.9〕－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线〔单位：千米〕为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵假如每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃与分数：埃与同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃与人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃与分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．〔第16届希望杯邀请赛试题〕1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于〔〕A ．14B ．14-C ．12D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，如此31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于〔 〕A ．18B ．316C ．732D ．156403．〔第17届希望杯邀请赛试题〕a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，如此a＋b ＋c ＋d 值是〔 〕A ．30B ．32C ．34D ．3604．〔第7届希望杯试题〕假如a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，如此a 、b 、c 大小关系是〔 〕A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数局部为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为〔 〕A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．〔希望杯邀请赛试题〕假如|m |＝m ＋1，如此(4m ＋1)2004＝__________08．12＋〔13＋23〕＋〔14＋24＋34〕＋ … ＋〔160＋260＋…＋5960〕＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求ab ．534333231313．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.。
有理数简便运算与技巧
有理数简便运算与技巧Revised on November 25, 2020有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。
七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
初中数学 有理数的巧算
四两拨千斤—活学巧用——有理数的巧算【知识要点】1、凑整法如果几个数的和恰好可以凑成未尾带零的整数或者一个特殊的整数，那么，就先求出这几个数的和，可以使计算简便。
这种方法叫做凑整法。
2．倒写相加法：用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法． 3、乘法分配律法先运用乘法分配律“()ac ab c b a +=+”去括号，然后再巧算，这种方法叫做乘法分配律法． 4、提取公因数法一个多项式的各项有公因数，可以把这个公因数提取出来，使计算简便，这种方法叫做提取公因数法． 5、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化。
这种方法叫做整体换元法。
【典型例题】例1．计算：89999989999899989989++++例2．计算：85314526612833531218++++++．例3．计算：2004321++++例4．计算： 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯例5．计算: 10099199981321211⨯+⨯++⨯+⨯【经典练习】1．()()()()()11111-÷-⨯---+-的结果是（ ）．A 、-1B 、1C 、0D 、22．计算：()322212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-的结果是（ ）．A 、2B 、1C 、-1D 、03. ()[]{}19991998199919981999----4． ()3188313.10775.0875.3⨯÷-⨯-5．计算：()()[]22223434435.01441094112140---⨯÷-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-6．计算：()()()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0有理数的巧算作业姓名 成绩1． 200920077531++++++2．计算：200220017654321-+-+-+-+-3. ()()20012222133213423-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-12．下图是王敏从家A 处到科技馆B 处的路线图，每段路上的数字是王敏走这段路所需的分钟数，则王敏从家出发走到科技馆参观，最快需要多少分钟？自我评价定级A（家）B （科技）馆）1415 7911510 12 17 613· ·。
七年级上册数学有理数混合(简便)运算含详解
七年级上册数学有理数混合（简便）运算一、解答题1．（1）()1314864⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭（2）()()1031224-⨯+-÷（3）()()22131524043543⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--÷-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦- （4）()()241110.5233⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦2．计算（1）45554559696⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）()33312121315137474⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()3311624 2.52⎛⎫÷---⨯-+ ⎪⎝⎭ （4）()()2019211112424248⎛⎫-+-+--+⨯- ⎪⎝⎭3．计算： (1)514166÷×÷8357⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)－3－3510.225⎡⎤⎛⎫-+-⨯÷- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(3)114332⎛⎫- ⎪⎝⎭ ×(－2)－221÷32⎛⎫- ⎪⎝⎭； (4)2711150(6)9126⎡⎤⎛⎫--+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦÷(－7)2.4．计算题（1）32215-545353⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）17-8-24-3÷+⨯（）（）（3）3511760--461512⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ （4）2133124⎡⎤⎛⎫-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（4）()()20093111 2.75241238⎛⎫+-⨯-+--- ⎪⎝⎭（6）()311252525424⎛⎫⨯--⨯+⨯- ⎪⎝⎭5．计算：（1）8(10)2---- （2）121123357373⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）13124243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭（4）24491025-⨯（简便运算）（4）124-÷1753812⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （6）55533843838111111⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）()()220123210.25-⨯---÷ （8）()21.250.485⎛⎫-⨯÷-⨯- ⎪⎝⎭6．阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．（1）5231591736342⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解：原式5231(5)(9)1736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦5231[(5)(9)17(3)]6342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭114=-． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便．（2）仿照（1）中的方法计算：251201920204038362⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．7．计算：（1）15(8)(11)12-+---- （2）524312(4)()12(152)2-÷-⨯-⨯-+（3）71993672-⨯ （4）201221.6(32)150( 2.16) 2.7216(1)⨯--⨯-+⨯⨯-（用简便运算方法）8．简便运算：（1）7581285⨯-÷ （2）157353691246⎛⎫⎛⎫-÷-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）52311492576342⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）34567891067686970--++--++⋅⋅⋅+--+9．（1）计算：①()()1581112-+----； ②()()⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭2354124121522．（2）简便运算： ①()71993672⨯-； ②()17.4837174.8 1.98.7488⨯--⨯-⨯．10．简便运算：（1）110.53 2.75742⎛⎫⎛⎫---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()11825 3.794067411⨯⨯⨯-⨯（3）357241468⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭（4）()11175250.1255088⎛⎫⨯+-⨯--⨯ ⎪⎝⎭参考答案1．（1）-76；（2）0；（3）-9；（4）16【分析】（1）利用乘法分配律解答；（2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法；（3）先计算乘方、乘除法，再去括号计算加减法；（4）先计算乘方和小括号，再计算乘法，加减法．【详解】解：（1）()1314864⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭=()()()13148484864⨯--⨯-+⨯-=-48+8-36=-76；（2）()()1031224-⨯+-÷=()1284⨯+-÷=2-2=0；（3）()()22131524043543⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--÷-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦- =132515359⎡⎤⎛⎫-⨯⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦- =()1151539-⨯-+-=-9；（4）()()241110.5233⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦ =111(7)23--⨯⨯- =716-+ =16．【点睛】此题考查了有理数的计算，正确掌握有理数的乘法分配律、含乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键．2．（1）15-，（2）－49，（3）0，（4）8【分析】（1）利用减法法则把加减法统一成加法，相加即可得到结果；（2）运用加法交换律和结合律，把含有相同因数的两个式子相加；再用乘法分配律的逆运算，进行简便运算即可；（3）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；（4）按照乘方、绝对值、乘法分配律进行运算即可．【详解】（1）45554559696⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝45554559696---+ ＝4555(45)(5)9966--+-+ ＝105--＝15-（2）()33312121315137474⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝[][()33312115213137744⎛⎫⎛⎫⎤⨯-+-⨯+-⨯+⨯- ⎪ ⎪⎦⎝⎭⎝⎭＝3311(52)13(2)744⎛⎫-⨯++⨯-- ⎪⎝⎭＝－10－39＝－49（3）()()3311624 2.52⎛⎫÷---⨯-+ ⎪⎝⎭ ＝()()11684 2.58⎛⎫÷---⨯-+ ⎪⎝⎭＝12 2.52--+ ＝0（4）()()2019211112424248⎛⎫-+-+--+⨯- ⎪⎝⎭＝()()()11110242424248⎡⎤-+-⨯--⨯-+⨯-⎢⎥⎣⎦＝11263-+-+＝8【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及恰当的运用运算律是解本题的关键． 3．(1)－12；(2) 11425；(3) 323；(4)1.【分析】根据有理数混合运算法则即可解题.【详解】解：（1）514166÷×÷8357⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =53167×÷81456⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =12-;（2）－3－3510.225⎡⎤⎛⎫-+-⨯÷- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =-3-2215252-+⨯（）=-3-（-5+1125） =-3+5-1125 =2-1125 =14125;（3）114332⎛⎫- ⎪⎝⎭ ×(－2)－221÷32⎛⎫- ⎪⎝⎭=（13732-）×(－2)823-⨯-（） =53-+163 =113 =323;(4)()271115069126⎡⎤⎛⎫--+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦÷(－7)2 =[50-(79)36⨯+(1112)36⨯-(16)36⨯]÷49 =(50-28+33-6)÷49 =49÷49=1.【点睛】本题考查了有理数的混合运算,属于简单题,熟悉有理数运算法则和运算优先级是解题关键. 4．（1）4；（2）9；（3）16（4）4（5）22；（6）25【解析】试题分析：（1）根据有理数的加法法则计算即可；（2）根据有理数的加减乘除运算法则计算即可；（3）根据有理数的混合运算法则和运算律计算即可，解题时注意预算符号的变换 （4）先算括号里面和乘方运算，然后按照有理数的混合运算法则和运算律计算即可； （5）先算括号里面和乘方运算，然后按照有理数的混合运算法则和运算律计算即可 （6）根据乘法分配律计算即可.试题解析：（1）532215-545353⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（535+425）+（-523-13） =10-6=4；（2）17-8-24-3÷+⨯（）（） =17+4-12=9；（3）3511760--461512⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=60×34+60×56-60×1115-60×712=45+50-44-35=16．（4）2133124⎡⎤⎛⎫-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-9÷（-94） =9×49=4；（5）()()20093111 2.75241238⎛⎫+-⨯-+--- ⎪⎝⎭=43×（-24）+18×（-24）-2.75×（-24）-1-23 =-32-3+66-1-8=22；（6）()311252525424⎛⎫⨯--⨯+⨯- ⎪⎝⎭=25×34+25×12-25×14=25×（34+12-14） =25×1=25.5．（1）16；（2）10-；（3）2；（4）34995-；（5）13；（6）0；（7）16-；（8）10- 【分析】（1）根据绝对值的性质以及有理数的加减运算法则求解即可；（2）将同分母的项先合并计算，然后求解即可；（3）利用乘法分配律进行求解即可；（4）对244925-进行变形处理，然后结合乘法分配律求解即可； （5）先计算括号内，然后根据有理数除法运算法则求解即可；（6）先提取公因数，利用乘法分配律的逆运算求解即可；（7）直接根据含有理数乘方运算的混合运算法则求解即可；（8）根据有理数乘除混合运算法则求解即可．【详解】解：（1）原式8102=+-16=；（2）原式112123357733⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()19=-+-10=-；（3）原式()()131242424243⎛⎫=-⨯-+-⨯--⨯ ⎪⎝⎭()12188=+-+ 2=；（4）原式1501025⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭110501025=⨯-⨯ 25005=-34995=-；（5）原式01242482112424⎛⎫=-÷-+ ⎪⎝⎭11248⎛⎫=-÷- ⎪⎝⎭()1824=-⨯-13=；（6）原式()53834111=-⨯-+538011-⨯=0=；（7）原式3410.25=-⨯-÷ 124=--16=-；（8）原式()5228455⎛⎫=-⨯÷-⨯- ⎪⎝⎭()5258452⎛⎫=-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭10=-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则，注意运算顺序是解题关键． 6．（2）3-．【分析】（2）根据题中所给的方法，就是把带分数的整数部分和分数部分拆开分别利用加法结合律进行计算即可得到答案．【详解】（2）原式251201920204038362⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]25132019(2020)240386⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+-+⎦- (1)(2)=-+-3=-．【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键在于能够熟练掌握有理数加法计算的计算法则．7．（1）-24；（2）-10；（3）135992-；（4）216 【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）根据有理数的乘方、乘除法和加减法可解答本题；（3）先变形，再根据有理数的乘法分配律可解答本题；（4）根据乘法分配律的逆运算可以解答本题．【详解】解：（1）15(8)(11)12-+----(15)(8)11(12)=-+-++-24=-；（2）524312(4)()12(152)2-÷-⨯-⨯-+ ()3113212151644⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭ 2121=-⨯10=-（3）71993672-⨯ 1(100)3672=-+⨯ 136002=-+ 135992=-； （4）201221.6(32)150( 2.16) 2.7216(1)⨯--⨯-+⨯⨯-21.6(321527)=⨯-++21.610=⨯216=．【点睛】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．解题关键是掌握有理数的混合运算的计算方法．8．（1）2516；（2）12；（3）5512- ；（4）0． 【分析】（1）分别计算乘法与除法，最后计算减法可得答案；（2）先计算括号内的分数的加减，再把除法转化为乘法，从而可得答案；（3）先把每个带分数化为整数与分数的和，再把整数，分数分别相加减，从而可得答案； （4）观察发现每四个数的和为0，从而把四个数作为一组，利用加法的结合律，从而可得答案．【详解】解：（1）原式7551288=⨯-⨯ 57182⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 5582=⨯ 2516=. （2）原式1202127303636363636⎛⎫⎛⎫=-÷-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113618⎛⎫⎛⎫=-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(18)36=-⨯- 12=. （3）原式5231(149257)6342⎛⎫=--+-+-+- ⎪⎝⎭ 10896512121212⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭5512=-+ 5512=-. （4）原式()()()34567891067686970=--++--++⋅⋅⋅+--+000=++⋅⋅⋅+0=.【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除混合运算，加法的运算律，乘法的运算律，掌握以上知识是解题的关键．9．（1）①-24；②-10；（2）①-359912；②-1748．【分析】（1）①根据有理数加减法法则计算即可；②根据有理数混合运算法则计算即可得答案；（2）①根据有理数混合运算法则，利用乘法分配率计算即可；②根据有理数混合运算法则，利用乘法结合律和分配律计算即可．【详解】（1）①()()1581112-+----=-15-8+11-12=-24．②()()⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭2354124121522 =-32×（14-）×14-12×（-15+16）3=2-12×1=-10．（2）①()71993672⨯- =（100-172）×（-36） =-3600+12 =-359912． ②()17.4837174.8 1.98.7488⨯--⨯-⨯=17.48×（-37）-17.48×10×1.9-8.74×2×44 =17.48×（-37）-17.48×19-17.48×44 =17.48×（-37-19-44）=17.48×（-100）=-1748．【点睛】本题考查有理数的混合运算及乘法运算律，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键． 10．（1）﹣2；（2）﹣3790；（3）﹣5；（4）25【分析】（1）先将分数化为小数，再去括号进行加减运算即可；（2）先将小数化为分数、带分数化为假分数，再利用乘法运算律进行计算即可； （3）利用乘法分配律简便计算即可；（4）先将小数化为分数，再利用乘法分配律的逆运算计算即可．【详解】解：（1）110.53 2.75742⎛⎫⎛⎫---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()()0.5 3.25 2.757.5---+-+=0.5 3.25 2.757.5-++-=86-+=2-；（2）()11825 3.794067411⨯⨯⨯-⨯=()113797425407410011⨯⨯⨯-⨯ =1174379(2540)()7411100-⨯⨯⨯⨯ =3791000100-⨯ =3790-；（3）357241468⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭=3117242424468⨯-⨯+⨯ =184421-+=5-；（4）()11175250.1255088⎛⎫⨯+-⨯--⨯ ⎪⎝⎭=()1111752550888⎛⎫⨯+-⨯--⨯ ⎪⎝⎭=1(1752550)8⨯-+ =12008⨯ =25．【点睛】本题考查有理数的加减乘除混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则，适当运用运算律进行简便运算．。
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作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
有理数的运算技巧
姓名
有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。
只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
一. 巧用运算律
例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）
求和
()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++++++++++++++++++++ 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
解：原式=+++++++++++1213231424341602603605960
()()() =
++3+++=++++=⨯+⨯=1222242592
12
1235912159592
885 ()()
二. 巧用倒序法
例2. 计算12003220033200340052003
++++ 解：设A
=++++12003220033200340052003 ，把等式右边倒序排列，得
A =++++40052003400420032200312003
将两式相加，得
2120034005200322003400420034005200312003
A =++++++()()() 即224005A =⨯，所以A =4005
所以原式＝4005
三. 巧用拆项法
例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题） 计算11121123112341123100
+++++++++++++++= ________ 分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为
14950，15050，而14950150992991002992100
=⨯=⨯=- 同理，1505021002101
=- 那么本题就不难解决了。
解：原式=++++++1262122
2029900210100
=-+-+-++-+-211212131314199110011001101
() =-=211101200101
() 说明：形如1n n a ()
+的分数，可以拆成111a n n a ()-+的形式。
四. 巧用反序相加减的方法
例4. （第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题） 计算121323142434155354515025048504950
2+++++++++++++++=()()()() _____
分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行。
解：设S =+++1++++++++++++121323424341525354515025048504950
()()()() 又S =+++++++++1+++++122313342414453525549504850150()()()() 两式相加得2123449
S =+++++ 又249484721S =+++++
上面两式相加得450492450
S =⨯= 故S ＝612.5
五. 巧用缩放法
例5. 求1110111112119
++++ 的整数部分。
分析：直接进行计算较繁，若想到利用缩、放的方法，可快速估算出值的范围。
缩放法是“求整数部分”以及相关题型的常用方法。
解：原式>+++=1
110110110110
个 原式<+++=1
1191191191910
个.
即1<原式<1.9，所以所求整数部分是1。
六. 巧用整体换元法
例6. （广西2005年初一数学竞赛决赛题） 计算()()()()12131200511213120041121312005121312004+++++++-+++++++ 分析：本题目从结构上看相当繁琐，因此要选择恰当的方法进行计算。
不妨巧用整体换元法，那么本题就不难解决了，计算就简便了。
解：令1121312004++++
= a 则原式=-+-+-()()()a a a a 11200512005
1 =-+
--++=a a a a a a 221200512005120051
2005
七. 巧用倒数法
例7. 计算1361411271813614112718136136
÷+--++--÷()() 分析：因为
13614112718136÷+--()与()14112718136136
+--÷互为倒数，而()14112718136136+--÷比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。
解：因为()14112718136136
+--÷ =+--⨯()14112718136
36 =+--=-931413
所以原式=--=-133313
八. 巧用添项法
例8. 计算11192199319994199995
++++ 分析：观察算式的特征，发现将算式添上9，8，7，6，5的和，利用加法结合律可以使运算简便快捷。
解：原式=+++++++++-++++()()()()()()119192819937199946199995598765 =++++-=-=2020020002000020000035
22222035
222185
九. 巧用配对的方法
例9. （第六届“华罗庚杯”数学竞赛复赛试题）
1234567899100⨯⨯⨯⨯⨯ 与110
相比较，哪个更大？为什么？ 解：设A =⨯⨯⨯⨯⨯⨯
12345678979899100
构造对偶式 B =⨯⨯⨯⨯⨯⨯2345678999100100101
那么A B ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=12233445991001001011101
而A<B ，所以A A 21101110
<<， 即
1234567899100110
⨯⨯⨯⨯⨯< 十. 巧用凑整法
例10. 计算：--+-+-11
6223445513116
38. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。
解：原式=-++--+-()()(.)11611
6223513445
38 =-+=-817
参考答案：
1. 11
2. -718
3. －32
4. -41318
5. 1212
6. 2004
7. 24552
8.
1005507.5 9. －12.8 10. 15
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13。