材料力学静不定课件PPT
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材料力学课件：静不定问题分析 (2)
M/2
M MB 2
沿BD方向的线位移为零 构造相当系统：
M RA H A 2l
12
静不定问题分析
例2：弯曲刚度EI为常数。
F
解法1：
a
F2
a/2
a
0 M Fs x1 x1 dx1 a/2 M Fs x1 F ( x1 a / 2) x1 dx1
a
a/2 0
C C' 0
C C' 0
上下对称： 由平衡条件：
FNC FNC'
MC MC'
FNC
FNC'
F 2
FNC’ MC’
剩余一个多余内力——弯矩
20
静不定问题分析
x2
x1
FA
C
A’ F
C’
FSC 0
静不定问题分析
上一讲回顾
1.静不定问题的回顾
• 解决静不定问题的思路 • 静不定问题的类型与基本概念 • 力法与位移法 2.使用力法分析静不定问题
• 使用力法进行分析的步骤 • 使用基本系统构造单位载荷状态
的原因与证明
1
静不定问题分析
第十四章 静不定问题分析
§14-3 对称与反对称静不定问题分析 §14-4 平面刚架空间受力分析
承受对称载荷
内力、变形对称
承受反对称载荷
内力、变形反对称
符号仅表示
P
FS左＝FS右
方向关系
FN左＝ FN右
M左＝ M右
f左＝f右
F
左＝ 右
左＝ 右
FS左＝ FS右 FN左＝FN右 M左＝M右
F f左＝ f右
左＝ 右
左＝右
8
静不定问题分析 ➢ 对称面上的受力与变形特点
M MB 2
沿BD方向的线位移为零 构造相当系统：
M RA H A 2l
12
静不定问题分析
例2：弯曲刚度EI为常数。
F
解法1：
a
F2
a/2
a
0 M Fs x1 x1 dx1 a/2 M Fs x1 F ( x1 a / 2) x1 dx1
a
a/2 0
C C' 0
C C' 0
上下对称： 由平衡条件：
FNC FNC'
MC MC'
FNC
FNC'
F 2
FNC’ MC’
剩余一个多余内力——弯矩
20
静不定问题分析
x2
x1
FA
C
A’ F
C’
FSC 0
静不定问题分析
上一讲回顾
1.静不定问题的回顾
• 解决静不定问题的思路 • 静不定问题的类型与基本概念 • 力法与位移法 2.使用力法分析静不定问题
• 使用力法进行分析的步骤 • 使用基本系统构造单位载荷状态
的原因与证明
1
静不定问题分析
第十四章 静不定问题分析
§14-3 对称与反对称静不定问题分析 §14-4 平面刚架空间受力分析
承受对称载荷
内力、变形对称
承受反对称载荷
内力、变形反对称
符号仅表示
P
FS左＝FS右
方向关系
FN左＝ FN右
M左＝ M右
f左＝f右
F
左＝ 右
左＝ 右
FS左＝ FS右 FN左＝FN右 M左＝M右
F f左＝ f右
左＝ 右
左＝右
8
静不定问题分析 ➢ 对称面上的受力与变形特点
第九章-弯曲变形 静不定梁(材料力学课件)
y
q
x
l
CL9TU5
y ql q 2 解: ( x ) = x x M 2 2 ql q 2 EIv ′′ = x x A 2 2 x ql 2 q 3 EIv ′ = x x + C 4 6 ql 3 q 4 EIv = x x + Cx + D 12 24
q
B
x l
由边界条件: 由边界条件: x = 0时,v = 0
y
P
A B
x
l
CL9TU6
解:M ( x ) = P (l x )
EIv ′′ = P x P l
y
P
x
A B
l
x
P 2 EIv ′ = x Pl x + C 2 P 3 Pl 2 EIv = x x + Cx + D 6 2
由边界条件: 由边界条件:x = 0时,v = 0, v ′ = 0 得: C = D = 0
C1 = C2 ′ = v ′, v = v 由连续条件: 由连续条件:x1 = x 2 = a时, v1 2 1 2 得 D1 = D2
由边界条件: 由边界条件:x1 = 0时, v1 = 0 得 D1 = 0
′ = 0 得 C = 11 qa 3 x 由对称条件: 由对称条件: 2 = 2a时, v 2 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
Px θ= ( x 2l ) 2 EI
y
P
x
A B
l
2
Px 2 v= ( x 3l) 6 EI
Pl = 2 EI
x
最大转角和最大挠度分别为: 最大转角和最大挠度分别为:
θ max = θ B
q
x
l
CL9TU5
y ql q 2 解: ( x ) = x x M 2 2 ql q 2 EIv ′′ = x x A 2 2 x ql 2 q 3 EIv ′ = x x + C 4 6 ql 3 q 4 EIv = x x + Cx + D 12 24
q
B
x l
由边界条件: 由边界条件: x = 0时,v = 0
y
P
A B
x
l
CL9TU6
解:M ( x ) = P (l x )
EIv ′′ = P x P l
y
P
x
A B
l
x
P 2 EIv ′ = x Pl x + C 2 P 3 Pl 2 EIv = x x + Cx + D 6 2
由边界条件: 由边界条件:x = 0时,v = 0, v ′ = 0 得: C = D = 0
C1 = C2 ′ = v ′, v = v 由连续条件: 由连续条件:x1 = x 2 = a时, v1 2 1 2 得 D1 = D2
由边界条件: 由边界条件:x1 = 0时, v1 = 0 得 D1 = 0
′ = 0 得 C = 11 qa 3 x 由对称条件: 由对称条件: 2 = 2a时, v 2 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
Px θ= ( x 2l ) 2 EI
y
P
x
A B
l
2
Px 2 v= ( x 3l) 6 EI
Pl = 2 EI
x
最大转角和最大挠度分别为: 最大转角和最大挠度分别为:
θ max = θ B
扭转静不定问题PPT课件
M/a
Fs左 = Fs右，
M左+M = M A a
C
a
B
右
F
结论：集中力偶处，剪力图连续
SO
_
x
弯矩图跳跃，顺时针力偶
M/a
向上，逆时针力偶向下跳。 M
M
O
_+
x
M
26
第26页/共47页
四、弯矩图快速校核
F
M0
请从剪力、弯矩图的绘制
中发现校核的简便有效的
F
规律。
M0
规律：剪力、弯矩图的图
线从坐标轴开始，最后回
右
FS
结论：在集中力处，剪
力图沿集中力方向跳跃
O
（突变）跟着箭头走
M
弯矩图连续
O
25
第25页/共47页
F q
F 左
M右
M左
F右
dx
F a
F
+
x
Fa
+x
2. 集中力偶处（顺时针为正）
Fs左+q(x)dx=Fs 右 M左+ Fs左dx+M+q(x)dx2/2=M右
qM
F
左
M右
M左 dx F右
M/a
2M
FS
到坐标轴。
O
力学依据：平衡，合力和
合力偶为零。
M
M0
O
27
第27页/共47页
a
a
M0+F a
F
F
+
x
M0+Fa
+
x
利用微积分关系画剪力弯矩图小结
Fs图: 斜率q=常数, Fs直线; q>0, 上斜;q<0,下斜 集中力F处, Fs按F大小, 方向跳 各段起终点Fs值=q图左边面积+集中力值(含支反力)
材料力学课件：静不定问题分析-1
是否是原结构静力 许可场？
Page20
例2：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力
a
a
4
2
a 57
8 3
1
6
解： 判断静不定度： P 存在1个多余内部约束
内力静不定度： 8 - 25 + 3 = 1
4
m
5 N7m’N7 8 3
2 1
6
1、 去除多余约束，建立相当系统
P
2、 建立补充方程(找变形协调条件)
内力静定
5度
5度
4度
Page6
➢ 混合(一般)静不定
2度
6度
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
Page7
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
安装法 2度
拆卸法
2度
Page8
拆卸法
1度
安装法 两杆多余，2度内力静不定
Page9
➢ 静不定问题的分析方法： 力法： 以多余未知力为待定量，利用变形 协调条件列方程。 位移法： 以位移为待定量，利用平衡条件求解。
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
Page4
平面刚架： 三度内力静不定
断开：内力静定
刚性连接：多了三 个约束
两度内力静不定
六度内力静不定
四度内力静不定
封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加三，加一铰支杆加一
Page5
平面曲杆：
三度内力静不定 两度内力静不定 ➢ 例：判断内力静不定度
l
B
l
B
l
l
A RC
l
C
HC
《弯曲变形静不定梁》课件
THANK YOU
。
适用范围
适用于分析简单梁结构，计 算过程相对简单，但精度略 低于弹性力学方法和有限元 方法。
04
静不定梁的应用
工程结构
桥梁
静不定梁在桥梁设计中应用广泛 ，如斜拉桥、悬索桥等，能够承 受较大的弯曲和剪切力，提高桥 梁的稳定性和安全性。
建筑
在高层建筑、大跨度结构等建筑 设计中，静不定梁能够提供更好 的支撑和稳定性，保证建筑的安 全性和耐久性。
解法
通过求解弹性力学基本方程，可以得到梁的位 移、应变和应力等参数。
适用范围
适用于分析梁的精确解，但计算过程较为复杂。
有限元方法
基本思想
01
将连续的梁离散为有限个小的单元，对每个单元进行受力分析
，再通过单元的集合体来近似表示整个梁。
求解过程
02
通过迭代或直接求解方法，得到每个单元的位移和应力，再通
大跨度结构
大跨度结构如体育场馆、会展中心等需要承受较大的荷载和 变形，静不定梁能够提供更好的承载和支撑，保证大跨度结 构的稳定性和安全性。
05
静不定梁的优化设计
材料选择
钢材
高强度钢材具有较高的承载能力和耐久性，适用于需要承受较大 载荷的静不定梁。
铝合金
铝合金具有轻质、耐腐蚀的优点，适用于需要减轻自重的静不定梁 。
01
03
为了减小扭转变形的影响，可以通过增加梁的截面尺 寸、提高材料的剪切模量或改变截面形状等方式来实
现。
04
在静不定梁中，扭转变形的影响通常较小，但在某些 情况下，如梁的长度较大或受到较大的力矩作用时， 其影响可能会变得较为显著。
03
静不定梁的分析方法
弹性力学方法
材料力学 (陪浙大 刘鸿文 第五版)14 静不定结构 完整版68页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
材料力学 (陪浙大 刘鸿文 第五版)14 静不定结构 完整版
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人
材料力学第六章静不定PPT课件
lE A F N 2 = F N 3 1 c 2 o c s o 2 s 3
E A ( ) l
材料力学
最新课件
16
1 1 2 2 c o c s o 3 s q 3 qd lE 2 = 3 1 c 2 o c s2 o q s3 qd lE
注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短 , 应为压力。
变形协调方程 。
材料力学
最新课件
4
拉压静不定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基础 （2）变形协调方程——几何——灵活思考 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
材料力学
最新课件
5
图示结构，求各杆轴力。
解：1、判断：一次静不定。 2、列平衡方程
F N 2sin F N 3sin 0
3 T l
FN1
A l1
FN2
FN3
a
b
dc
B
l2
F l3
物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得： FN1=7.92kN，FN2=10. 2kN，FN3=21.9kN
由此求得应力为
1=39.6MPa，2=102MPa，3=73MPa
材料力学
最新课件
24
§6.3 扭转超静定问题
试求图示轴两端的约束力偶矩。 解: 受力分析,建立平衡方程
FN1－2FN2cosq=0
FN1
FN2
FN3
A
几何方程：l1＋l2 / cosq =d 物理方程： l1FENA1ll2FN2EcA olsql3
B
2
l1 l2
C
D
1
3
《材料力学》课件第12章
第12章 静不定问题分析
12.1 引言 12.2 用力法分析求解静不定问题 12.3 对称与反对称静不定问题分析
12.1 引 言
静不定结构和相应的静定结构相比，具有强度高、刚度 大的显著优点，因此工程实际中的结构大多数是静不定结构。 前面曾经介绍过简单静不定问题的概念与分析方法，本章以 能量法为基础，进一步研究分析求解静不定问题的原理与方
FAx F
；
FAy
2F
；
MA
1
2
FR
在相当系统上分析曲杆的弯矩方程为
由上式求出
M
FR1cos2
sin
（e）
M min 0.185 FR, M maxM A0.363 FR
如果该曲杆没有B处的活动铰链支座，在水平载荷F作 用下，固定端A处的弯矩为
M A M m axFR
显然，原静不定曲杆的强度远高于相应的静定曲杆。
M C M C
FNC
FNC
F 2
（a）
图12－10
这样，只剩弯矩MC一个多余未知力，原来三次静不定
如果选取相当系统如图12－11(a)所示，变形协调条件 为切开处左、右截面间的相对转角θl/r为零，即
l / r 0
（b）
用单位载荷法计算θl/r。在载荷F与多余约束力MC共同作 用下，相当系统ABC部分的弯矩方程为
12－7(b)所示。变形协调条件为截面m与m′沿杆轴方向的相
对位移为零，即
m /m 0
（a）
用单位载荷法计算Δm/m′。在载荷F与多余约束力FN1 作 用下，基本系统中杆的轴力为
FN 2 FN 3 FN1
梁AC段的弯矩方程为
M x1
x1 2
根据莫尔定理，相当系统截面m与m′沿杆轴方向的相对位移为
12.1 引言 12.2 用力法分析求解静不定问题 12.3 对称与反对称静不定问题分析
12.1 引 言
静不定结构和相应的静定结构相比，具有强度高、刚度 大的显著优点，因此工程实际中的结构大多数是静不定结构。 前面曾经介绍过简单静不定问题的概念与分析方法，本章以 能量法为基础，进一步研究分析求解静不定问题的原理与方
FAx F
；
FAy
2F
；
MA
1
2
FR
在相当系统上分析曲杆的弯矩方程为
由上式求出
M
FR1cos2
sin
（e）
M min 0.185 FR, M maxM A0.363 FR
如果该曲杆没有B处的活动铰链支座，在水平载荷F作 用下，固定端A处的弯矩为
M A M m axFR
显然，原静不定曲杆的强度远高于相应的静定曲杆。
M C M C
FNC
FNC
F 2
（a）
图12－10
这样，只剩弯矩MC一个多余未知力，原来三次静不定
如果选取相当系统如图12－11(a)所示，变形协调条件 为切开处左、右截面间的相对转角θl/r为零，即
l / r 0
（b）
用单位载荷法计算θl/r。在载荷F与多余约束力MC共同作 用下，相当系统ABC部分的弯矩方程为
12－7(b)所示。变形协调条件为截面m与m′沿杆轴方向的相
对位移为零，即
m /m 0
（a）
用单位载荷法计算Δm/m′。在载荷F与多余约束力FN1 作 用下，基本系统中杆的轴力为
FN 2 FN 3 FN1
梁AC段的弯矩方程为
M x1
x1 2
根据莫尔定理，相当系统截面m与m′沿杆轴方向的相对位移为
材料力学课件：静不定问题分析
1
C
l
A
B
1、以相当系统为真实载荷状态
l
2、单位载荷法的本质
C
1A
1 EI
[
l
0 M( x1)M( x1 )dx1
l
0 M( x2 )M( x2 )dx2]
M
l
A
B
3、分解式的证明
l
C
21
3、分解式的证明
M
l
A
B
A
l
C
静不定问题分析
M l
B l HC C
x1 l
A 1
B l x2 C
静不定问题分析
上一讲回顾
1.梁的横向剪切变形效应 Euler梁直法线假设的本质
•
矩形截面梁应变能
V
l M2(x) dx
0 2EIz
l 6 FS2( x)dx 0 5 2GA
对一般实心截面梁，当l/h>5时，可不计剪力的影响。
2.冲击应力分析
机械能
应变能
分析方法： 功能原理 E V
d st (1
➢ 分析要点： 1、 去除多余约束，建立相当系统 2、 建立补充方程（找变形协调条件） 3、 确定多余未知力(多余内力和多余外力)
14
静不定问题分析
一、 外力静不定结构分析 解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统
在解除约束处，建立变形协调条件
建立补充方程
M
A
l
BA
l
B
l
B
l
l
A RC
l
C
HC
RC
2、 位移法： 以位移为待定量，利用平衡条件求解。
KU F 刚度法，平衡法
《静不定结构》课件
梁的截面性质
梁的截面性质对其承受弯曲力和剪切力的能力至关重要。了解梁的截面性质对设计和分析静 不定梁非常重要。
内力和应力计算
1
截面受弯矩时的应力
2
静不定梁在受弯矩作用下会发生应力
分布。了解截面受弯矩时的应力对梁
的设计和分析非常重要。
3
截面受拉和受压时的应力
在计算静不定结构的内力和应力时， 需要考虑梁的截面受拉和受压时的应 力分布。
截面受剪力时的应力
剪力是静不定结构中的常见力。了解 截面受剪力时的应力分布有助于分析 和设计静不定结构。
静不定梁的分析方法
静最大值三种方法
静不定梁的分析可以使用三种 常见的方法：弯矩法、剪力法 和位移法。
数值分析方法
数值分析方法可以应用于解决 更复杂的静不定结构问题。它 运用数学模型和计算方法，提 供准确的结果。
静力学平衡定理
静力学平衡定理是分析静不定结构的基础。它要 求结构的总受力和总弯矩为零，以保持结构的平 衡。
应力分析
法向应力和切向应力
法向应力和切向应力是静不定结构中的重要概念。它们描述了物体内部受力的方向和大小。
支反力和弯矩方程
支反力和弯矩方程是通过应力分析来计算静不定结构中的支撑力和弯曲力矩的工具。
总结与展望
1 总结
通过本课程，你学习了静不定结构的基本概念、力学原理和应力分析方法。
2 展望
静不定结构是一个复杂而有趣的领域，还有许多进一步的研究和应用。希望你可以继续 探索并深入了解这个领域。
3 悬臂梁上的集中力和分布力
在悬臂梁上施加集中力和分布力会对梁产生不同的弯曲和剪力，通过实例分析可以更好 地理解这些力的影响。
静不定结构设计与应用
设计流程
梁的截面性质对其承受弯曲力和剪切力的能力至关重要。了解梁的截面性质对设计和分析静 不定梁非常重要。
内力和应力计算
1
截面受弯矩时的应力
2
静不定梁在受弯矩作用下会发生应力
分布。了解截面受弯矩时的应力对梁
的设计和分析非常重要。
3
截面受拉和受压时的应力
在计算静不定结构的内力和应力时， 需要考虑梁的截面受拉和受压时的应 力分布。
截面受剪力时的应力
剪力是静不定结构中的常见力。了解 截面受剪力时的应力分布有助于分析 和设计静不定结构。
静不定梁的分析方法
静最大值三种方法
静不定梁的分析可以使用三种 常见的方法：弯矩法、剪力法 和位移法。
数值分析方法
数值分析方法可以应用于解决 更复杂的静不定结构问题。它 运用数学模型和计算方法，提 供准确的结果。
静力学平衡定理
静力学平衡定理是分析静不定结构的基础。它要 求结构的总受力和总弯矩为零，以保持结构的平 衡。
应力分析
法向应力和切向应力
法向应力和切向应力是静不定结构中的重要概念。它们描述了物体内部受力的方向和大小。
支反力和弯矩方程
支反力和弯矩方程是通过应力分析来计算静不定结构中的支撑力和弯曲力矩的工具。
总结与展望
1 总结
通过本课程，你学习了静不定结构的基本概念、力学原理和应力分析方法。
2 展望
静不定结构是一个复杂而有趣的领域，还有许多进一步的研究和应用。希望你可以继续 探索并深入了解这个领域。
3 悬臂梁上的集中力和分布力
在悬臂梁上施加集中力和分布力会对梁产生不同的弯曲和剪力，通过实例分析可以更好 地理解这些力的影响。
静不定结构设计与应用
设计流程
材料力学(17)第十四章-3PPT课件
反对称载荷作用时
对称面上：
M z 0 M y 0 FN 0 fz 0 fy 0 0
T
FSy FSz
T
具有反对称性质的内力分量
Page10
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
平面刚架空间受力时的对称与反对称问题
H F
y z x
A
结构与载荷均关于CH 铅垂面对称,对称面上无集 中力
FN
z Bx
截面上只存在对称性的内力分量 Mz , My, FN
载荷关于AB对称
My=Me/2, FN=0 载荷作用面垂直于圆环平面 Mz=0 可直接写出圆环的内力分布
Page13
BUAA C My Me y D M My z Bx
MECHANICS OF MATERIALS
求圆环的内力分布（1/4圆弧）
RD
C D A B 0 A B 0 1
R
C B
B
相当系统
C B 0
单位载荷状态
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：EI为常数，求A截面相对于O点的位移
P
120° C
A B R
O
解: 问题分析：
三度内力静不定 结构轴对称，载荷具有三个 对称轴
P
60° 60°
B’
A’
A截面相对于O点的位移是载荷 P的相应位移 利用卡氏定理求位移
M ( ) M B FNB R(1 cos ) 3 MB PR(1 cos ) 3
MB PR ( 2 3 9) 6
A/O
V 6
材料力学(静不定)ppt课件
超静定问题 力法正则方程
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。
问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。
利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);
支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。
yAyA PX 3E 1L3IX 2E 2L2I0
AA PX 2E 1L2IXE2LI0
1
（3）比较两次计算的变形量，其值应
C
该满足变形相容条件，建立方程求解。
AC AB0
E2 A2
F
2
RA
E1 A1 2F E2 A21 E1 A1 2
RB B
RB
E2 A21F E1 A1 2 E2 A21)
整理版课件
8
2. 几何分析法
解超静定问题的关键是找出求解所
有未知约束反力所缺少的补充方程。
11 12 13X1 1P
21 31
2 2 3 2
2 3
33X X3232PP
整理版课件
32
由位移互等定理：δij＝δji
11 12 13X1 1P
21
2 2
2
3X22
P
31 32 33X3
3
P
系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角 线的对称矩阵。
先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可 求出未知量列向量X。
5qL3 1P 384EI
11
L3 48 EI
35q8EL44 I4L8E 3 IX10
X1
5qL 8
整理版课件
24
力法的基本思想是：
以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
对于弹性体，变形量与外力成正比，未知力产生的 变形量，是单位力产生变形量的X（M）倍。而单位 力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
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，l2
l3
FN 2l2 E2 A2
F
5、列补充方程
将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
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6
FN 2l2 FN 3l3 FN1l1 cos
E 2 A2 E 3 A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2 A2l1
cos2
E 1 A1l2
FN 2 FN3 2 cos F E1A1l2 E2 A2l1 cos
材料力学
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1
3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
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2
4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)
静不定结构的特点（2） ——装配应力
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
静不定结构 ？——产生装配应力
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15
已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，
求装配后各杆的应力。
解：因制造误差，装配时各杆必须变形，
因此产生装配内力。 一次静不定问题。 平衡方程：FN2=FN3
FN1－2FN2cosq=0
2、列平衡方程
FN2 sin FN3 sin 0
B
C
E1A1 l1
E2A2 l2
D E3A3 l3=E2A2 l2
FN2 FN3
FN1 FN2 cos FN3 cos F 0
3、列几何(变形协调)方程
l3 l1cos
4、列物理方程
y
l3
A FN2
FN1 FN3
F
l1
x
l1
FN1l1 E1 A1
5、多余约束力：多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目
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3
二、拉压静不定问题的解法
1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需
具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。 特别注意：力与变形相对应！！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系； 5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得
FN1
FN2
FN3
A
几何方程：l1＋l2 / cosq =d
物理方程：
l1
FN1l EA
l2
FN2
l
cosq
EA
l3
B
2
l1 l2
C
D
1
3
l
d
A
注意1杆变形计算时用l
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
FN3
32
2 23
3 F 1.24F ()
内力假设与变形假设应一致。
内力假设受拉，变形只能假设伸长。
内力假设受压，变形只能假设缩短。
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11
图示静不定结构， 可列如右变形图。 ∆l1
a
a
∆l1
1
2
3
∆l2 （a）
第六章 简单超静定问题
§6.1～§6.2 概述及拉压静不定问题
一、静定静不定概念 1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知 力，这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
l1 2 l2
sin sin b
l1
FN1 EA
( 2l
cos
)，l2
FN 2 EA
( l 学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
l1 l1
1
2 E2 1 1 E1
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9
图示支架承受力F 作用，①杆的抗拉刚度 为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的
B
①
抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。 解：平衡方程为
C
②
300
300
A
FN1 cos 300 FN2 FN3 cos 300 0 FN1 sin 300 FN3 sin 300 F 0
③
F
D
l
变形协调方程
l3 A l2
FN1
l3 sin 300
l2
cot 300
300
l1 FN2
A
300
FN3
(l1
l2 cos 300
sin 300
)
l2
tan
300
F
300
化简得 3l2 l1 l3
300 300
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物理关系为
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
FN1
14
2 23
3 F 0.76F
FN2 3
∆l2 （b）
几何方程
∆l3
2l2=l1 +l3
∆l3 2(l2+l1 ) = l3 +l1
刚体
F
∆l1
∆l2
2(l2+l3 ) =l1 +l3
（c）
∆l3
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还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。
FN1
FN2
FN3
∆l1
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2
（b）
变形协调方程 。
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拉压静不定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基础 （2）变形协调方程——几何——灵活思考 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
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图示结构，求各杆轴力。 解：1、判断：一次静不定。
对应受力图
∆l3
∆l1 ∆l2
（c）
∆l3
（a） F
FN1
FN2
FN3
（b） F
FN1
FN2
FN3
（c） F
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静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
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C
刚度增加 内力不变
A
F
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7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45
2l1
②
l
l
l
FN1 2l
2
FN2 l
EAsin cos EAsin b cos b
FN1 sin 2 FN2 sin 2b