我国工科线性代数课程必须改革

我国工科线性代数课程必须改革

陈怀琛

现在线性代数的用途比过去任何时候都更广泛。在20世纪后半期，它的应用不断扩展到了越来越多的新领域。它在数学课程中的角色已经上升到可与微积分学相比美。线性代数的这种发展主要是由于人们所研究的问题的规模愈来愈大，愈来愈复杂，牵涉的变量成百上千，这样复杂的问题，目前只能把变量之间的关系简化为线性才好解，所以大规模的线性代数问题就成为热门的数学工具。除了上述应用的‘需求牵引’之外，线性代数的发展的另一个动力是‘技术推动’，那就是计算技术高速发展的推动,

线性代数是一门应用性很强，但在理论上又可进行高度抽象的数学学科，因此它可以有两种发展方向。为了进一步搞数学理论，可以向抽象方向引导；为了解决工程实际问题，就应当向应用方向发展。在教学中，这个方向性的问题必须十分清楚。其实，中学生就学过了二元一次代数方程的解法，代入法和消去法可能是每个人会记忆一辈子的，这就是最简单的线性代数。当把方程的变量提高到了三元以上时，她不但要求较高级的抽象思维能力，而且也要求用十分繁琐的计算步骤才能解决问题。对于数学家来说，他们重视前者，这无可厚非；但对于大多数工科学生，他们更需要的是能用理论指导完成实际的计算。事实上，线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算，只是由于计算机的出现才赋予它在应用方面的生命力。

原来，线性代数主要是对理科、特别是数学系开设的。由于它的愈来愈广泛的应用价值，理、工、经、管各个大学专业都把它列为必修课。但因为由数学系开课，其内容和要求难免带有很深的数学专业的烙印，很难适应大量工科学生的要求。针对这种情况，美国的线性代数教育从1990年起开始了一次大的改革，该年1月，一些有名望的数学家们组成了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG) 探究线性代数教育如何满足数学和非数学专业的不同需求, 以及如何使线性代数的教育得到更大的关注。同年8月，美国国家科学基金会赞助了大学线性代数课程计划的一次会议，它把数学界和其他专业的许多代表聚集在一起。会产议生了五条重要的建议，简称为LACSG Recommendation它们是[1]：

(i) 线性代数的第一门课程（简称线性代数1）一定要满足非数学专业的需要；

(ii) 这一门课程应该是面向矩阵的;

(iii) 这一门课程应该是根据学生的需要来组织的；

(iv) 这一门课程应该利用新的计算技术;

(v) 对于数学专业，至少还要开设一门线性代数2。

第 (i)条建议强调了，学线性代数的学生中只有少数会攻读数学学位，大量的非数学专业的学生要更多注重于应用。教材中大量的应用篇幅；可以提高学生的理解水平和学习动力；第(ii)条建议强调了矩阵运算，即教材中要摆脱单个元素运算的中学方法；第(iii)条建议强调了从学生需要而不是教师思路出发，这里有两个要点：一是阐述问题应该从具体到抽象，从R2或R3的例子引到高维空间；二是要让学生主动学习，就是要‘带着问题学’，而不是从定义出发。所以新教材大多由线性方程组引出行列式，并由二阶、三阶、递归地定义高阶行列式；第(iv)条建议使用数学软件或图形计算器. 大多数的教材今天都采用了MATLAB。第(v)条建议说明，他们只对数学系的学生强调抽象思维，且用线性代

数2来实现。这样，LACSG就减少了线性代数1的抽象性，强调这门课程应当给工业界和科学界以工具。LACSG 的这五点建议已经被教科书作者所普遍接受。美国有在线性代数教学中使用计算机的传统，所以个人计算机和科学计算软件的普及立即推动了这门课程的教学方法改善，使得计算机的使用渗入到了日常课程教学。尽管如此，他们的教学指导部门仍然对推广新型科学计算软件作出了巨大的投入和努力。1992年美国国家基金会(NSF)资助了一个ATLAST计划，ATLAST

是Augment The Teaching of Linear Algebra through the use o f Software Tools (用软件工具增强线性代数教学)的缩写。该计划在1992 到1997 六个暑期组织了十八个教师学习班。学习班配置在十三个地方。共有来自各大学的425 个教师参加。参加者接受了使用MATLAB 软件包的训练，并研究如何利用此软件作为课堂部份讲课内容。在学习班上，参加者对于本科的线代数课程拟定适当的计算机习题和计划。然后选编成一本ATLAST 线性代数计算机习题书，正式出版，

在使用MATLAB方面，从他们的教材发展来看，在1995年算起的头几年，主要还是反映在采用MATLAB的习题并介绍一些MATLAB的矩阵计算入门，见文献[8~10]。到近几年就完整地有一套办法，把MATLAB掺合到线性代数的各章中去。反映在教材[2~6]中。当然线性代数的整个理论体系，并不受使用计算机而有所改变，只是有些理论可以通过计算机来验证，而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题或大作业中，加强它的工科特性。于是，符合上述五点建议和利用ATLAST成果的大批新型教材出版了，线性代数逐渐成为受学生广泛欢迎的课程。

在我国，由于计算机的发展和应用比较落后。在改革开放以前，大学中就没有计算机，不但是学生，连老师都没有摸过计算机，这种情况大体一直延续到20世纪末。现在虽然计算机很普及，但整整50年造成了数学老师不用计算机的习惯，难以改变。我们国家的线性代数课程和教材出现了崎型的发展，理论抽象愈来愈深，应用和实际计算则毫不沾边。它成了一门非常抽象和困难的课程，由于讲课没有生动的应用背景，后续课又往往怕烦而避开矩阵，学生在是理论上害怕矩阵建模，实践中不会用矩阵算题。它的后果是很坏的。比如，给现在的大学毕业生一个四元一次代数方程组（这样的题目如果用MATLAB，几秒钟就可解出）。可以看看他们用什么方法解？用多少时间能解出来？有百分之多少能得到正确结果？比他们中学毕业时有多少提高？事实证明，他们的解题能力并没比中学提高。

改革开放初期，教育部曾为在大学中推动计算机的普及投过很大的资金，第一批世行贷款实际上主要都买了计算机，各高校也都开了FORTRAN语言，但却没有购买相应的程序库，对课程内容中如何用计算机更没下功夫，所以对本科教学没起什么作用。现在计算机硬件不成问题了，人家从FORTRAN改成MATLAB了，我们却把科学计算语言不要了。连线性代数这么与计算机密切相关的课程都不提计算要求了，加上教师没有使用计算机的传统，大多数本科课程对近十多年来计算工具普及的反响都太迟钝。而在线性代数课程计划和教材方面的反应更几乎是零。

就线性代数的教材而言，可以拿我国的得奖（中国高校2000年科学技术二等奖！）教材[11]与美国教材[2,3]做一个比较，我看至少有以下几点主要的差别：1． [2,3]的写法以需求为动力，先提出实际应用实例，激励学生的兴趣和好奇，