同济大学高数 第四节 函数的单调性凹凸性

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3
2
-3
-2
-1
1
2
3
注意：
1:一个区间上的单调性要用导数在区间上的符号 来判定，而不能用一点处的导数符号来判别
2：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分 区间上单调．
5
y ex x 1
4
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2
-3
-2
-1
1
2
3
问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
2
例5 证明
时, 成立不等式
证明
例6
证明方程 ln x x 1 在区间 (0,) 内有
两个实根.
e
例7
判断对错
1 区间内若有点导数为零, 左右区间的单调性会改变.
2 若 f (0) 0 ，则 f ( x ) 在原点的充分小的邻域内 单调递增
3 单调函数的导函数仍是单调函数
y
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续, 若对 I 上任意
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理 2 设 f ( x ) 在 [a , b]上连续, 在 (a , b )内具有二 阶导数, 若在 (a , b )内 (1) f '' ( x ) 0,则 f ( x ) 在 [a , b]上的图形是凹的; (2) f '' ( x ) 0,则 f ( x ) 在 [a , b]上的图形是凸的.
定义: 若函数图像在其定义域的某个区间内是凹的,
则该区间称为函数的凹区间. 类似可以定义函数 的凸区间. 凹区间、凸区间合称为凹凸区间. 问题: 如何确定函数的凹凸区间？
例 8 判定 y x ln(1 x ) 的凹凸性.
例9
判断曲线 y x 3 的凹凸性.
定义 设函数f ( x )在区间I 上连续，我们把 y f ( x )的图形上凸弧与凹弧（凹弧与凸弧）
(1) 若在 (a , b ) 内 f ' ( x ) 0, 则函数 y f ( x ) 在
[a , b] 上单调增加;
(2) 若在 (a , b ) 内 f ' ( x ) 0,则函数 y f ( x ) 在
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[a , b] 上单调减少;
例1
讨论函数 y e x x 1 的单调性.
第三章 微分中值定理 和导数的应用
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
y
y f ( x)
A
B
y
A
y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b
x
单调性的判别法 定理 设函数 y f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b ) 内可导
例2
2 3 y x 讨论函数 的单调区间.
注意
区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.
例如，y x 3 , y x 0 0, 但是 ( ,) 上单调增加.
例3 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3 的单调区 间.
例 4 试证明： 当 x 0 时，ln(1 x ) x 1 x 2 .
的分界点叫做曲线的拐点.
注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线.
注2、拐点是用坐标（x0 , f ( x0 ))来表示的.
判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤为:
(1) 求函数的二阶导数 f '' ( x ); (2) 令 f '' ( x ) 0, 解出全部实根, 并求出使 f '' ( x )
不存在的点; (3) 对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、 右两侧二阶导数 f '' ( x ) 的符号,确定曲线的凹凸 区间和拐点.
例10 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及凹、凸的区间.
凹凸区间为 ( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 , ). 3
例 11 求函数 y a 2 3 x b 的凹凸区间及拐点.
x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
于所张弦的上方
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x1 , x 2 , 恒有 f ( ) , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 两点 x1 , x 2 , 恒有 f ( ) , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是凸的.
B N M
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
o
A
x
y
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
x x2 f( 1 ) 2
y f ( x)
y
f(
x1 x2 ) 2
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
o
x1 x1 x2 x x 2
2
o
x1 x1 x2 x2
2 图形上任意弧段位