高考数学一轮总复习 第54讲 圆的方程同步测控 文
(全国版)高考数学一轮复习第七章圆的方程学案理
（全国版）高考数学一轮复习第七章圆的方程学案理一、圆的方程1.圆的标准方程:圆心坐标是(a,b),半径是r的圆的标准方程是________.2.圆的一般方程:当方程x2+y2+Dx+Ey+F=0满足________时表示圆,此圆的圆心坐标为________,半径为________.二、直线、圆的位置关系1.直线与圆的位置关系:直线l:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判定方法(1)几何法:圆心O(a,b)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.若d________________r⇔直线与圆相交;若d________________r⇔直线与圆相切;若d________________r⇔直线与圆相离.(2)代数法:由直线与圆的方程联立得方程组消元后得到的关于x或y的一元二次方程的判别式为Δ,则:若Δ________0⇔直线与圆相交;若Δ________0⇔直线与圆相切;若Δ<0⇔直线与圆________.2.圆与圆的位置关系:位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2| d<|r1-r2|三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系:空间直角坐标系中特殊点的坐标:(1)x轴上的点________,y轴上的点________,z轴上的点________.(2)xOy平面内的点________,xOz平面内的点________,yOz平面内的点________.2.空间两点间的距离公式:在空间中,P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的距离|P1P2|=________________.热点一圆的方程【例1】(1)(2013·湖南学业水平考试真题)已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是( )A.(x+2)2+(y+1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=10C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=10(2)圆x2+y2-ax=0的圆心的横坐标为1,则a=________.热点二直线与圆的位置关系【例2】(1)圆x2+y2+2x+4y-3=0到直线x+y+1=0距离等于的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(2)(2015·湖南学业水平考试真题)已知直线l:x-y+2=0,圆C:x2+y2=r2(r>0),若直线l与圆C 相切,则圆C的半径r=________.热点三圆与圆的位置关系【例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.(1)当m为何值时,圆C1与C2相外切?(2)当m为何值时,圆C1与C2相内切?(3)当m为何值时,圆C1与C2相离?与两圆相切有关问题的处理方法在处理两圆相切问题时,首先必须准确把握是内切还是外切,若只告诉两圆相切,则必须分两圆外切和两圆内切两种情况讨论;其次,将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)来解决.热点四直线与圆的方程的综合应用【例4】(2014·湖南学业水平考试真题)已知圆C:x2+y2+2x-3=0.(1)求圆的圆心C的坐标和半径长.(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:+为定值.(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D,E两点,求直线m的方程,使△CDE的面积最大.热点五空间直角坐标系【例5】给定空间直角坐标系,若x轴上一点P,且它与点P0(4,1,2)的距离为,则点P 的坐标是( )A.(9,0,0)B.(-1,0,0)C.(0,0,0)D.(9,0,0)或(-1,0,0)一、选择题1.(考点1)(2015·湘潭学业水平模拟)圆x2+y2-4x+6y+3=0的圆心坐标是( )A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)2.(考点2)圆心在点(2,3)上,且经过点(2,6)的圆的方程为( )A.x2+y2-4x-6y+4=0B.x2+y2+4x+6y-72=0C.x2+y2-4x-6y+9=0D.x2+y2-4x+6y-68=03.(考点2)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )A.-1<a<1B.0<a<1C.a>1或a>-1D.a=±14.(考点2)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则m的取值范围是( )A.m<B.m<0C.m>D.m≤5.(考点3)(2015·郴州学业水平模拟)两圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4与C2:(x+2)2+(y-2)2=16的公切线有( )A.1条B.2条C.4条D.3条6.(考点1,3)以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是( )A.x2+y2=5B.x2+y2=25C.x2+y2=4D.x2+y2=167.(考点4)两圆C1:x2+y2-1=0和C2:x2+y2-4x-5=0的位置关系是( )A.相交B.外切C.内切D.外离8.(考点5)(2015·衡阳学业水平模拟)直线x-y+1=0与圆x2+(y+1)2=2的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.不能确定二、填空题9.(考点1)(2012·湖南学业水平考试真题)已知圆(x-a)2+y2=4的圆心坐标为(3,0),则实数a=________.10.(考点3)若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为________.11.(考点6)点P(3,4,-2)关于z轴对称的点的坐标为________.12.(考点5)(2015·郴州学业水平模拟)已知圆C:x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切,则圆C的半径r=________.三、解答题13.(考点1,3)已知圆C的圆心是直线2x+y+1=0和x+3y-4=0的交点,且圆C与直线3x+4y+17=0相切,求圆C的方程.14.(考点1,3)(2015·衡阳学业水平模拟)已知圆C:x2+y2+4y-21=0.(1)将圆C的方程化为标准方程,并指出圆心坐标和半径;(2)求直线l:2x-y+3=0被圆C所截得的弦长.15.(考点1,5)(2015·邵阳学业水平模拟)已知圆心为(1,1)的圆C经过点M(1,2).(1)求圆C的方程.(2)若直线x+y+m=0与圆C交于A,B两点,且△ABC是直角三角形,求实数m的值.16.(考点1,2,5)已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求的最大值与最小值.测评阶段效果,请进入“单元达标检测(四)”。
高考理科数学一轮复习课件圆的方程
定义
01
两个圆有且仅有一个公共点，且一个圆在另一个圆的外部时，
称这两个圆外切。
判定方法
02
通过比较两个圆心之间的距离与两个圆的半径之和的大小关系
来判定。若圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切。
性质
03
两圆外切时，连心线必过切点，且两圆心到切点的距离相等。
圆与圆相交
01
定义
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。
圆的方程形式
标准方程
(x - a)² + (y - b)² = r² ， 其中(a, b)是圆心坐标，r 是半径。
一般方程
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ，其中D² + E² - 4F > 0 。通过配方可以化为标准 方程。
参数方程
圆的参数方程为 x = a + rcosθ, y = b + rsinθ (θ为 参数)。
05
圆的方程在几何问题中的应用
利用圆的方程求轨迹问题
确定动点的轨迹
通过设定动点的坐标，利用圆的方程将动点的坐标代入，得到动 点的轨迹方程。
求解轨迹的半径和圆心
通过轨迹方程，可以进一步求解出轨迹的半径和圆心坐标。
判断轨迹的形状
根据轨迹方程的形式和性质，可以判断出轨迹的形状，如圆、椭圆 等。
利用圆的方程解决最值问题
直线与圆相切
直线与圆有且仅有一个交点，即 直线刚好与圆接触。
可以通过比较圆心到直线的距离 与圆的半径来判断，若距离等于
半径则相切。
切线的斜率可以通过圆心坐标和 切点坐标求得。
直线与圆相离
直线与圆没有交点，即直线在 圆外部。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：圆的方程课件北师大版
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
掌握确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆
的标准方程与一般方程.
强基础 固本增分
1.圆的定义与方程
微点拨
径 r=
方程 x +y +Dx+Ey+F=0,当 D +E -4F>0 时,表示圆心为
2
2 + 2 -4
,
√2
2r2=(a-b-3)2+3.
①
由于所求圆与直线 x-y=0 相切,
∴(a-b)2=2r2.
②
又圆心在直线 x+y=0 上,∴a+b=0.
③
= 1,
联立①②③,解得 = -1, 故圆 C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
2 = 2,
(方法 3 待定系数法)设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为
√6 2 2
+( 2 ) =r ,
2
③
规律方法 求圆的方程的两种方法
对点训练(2022·全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个
圆的方程为
.
答案 (x-2) +(y-3) =13 或(x-2) +(y-1) =5 或
2
2
8 2
169
+(y-1)2=
5
25
√
∴d2+( 2 )2=r2,即 2
+
3
2
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第三节 圆的方程(课件)
2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＞_r_2_． (2)若M(x0，y0)在圆上，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＝_r_2_．
答案：B
10
考点三 与圆有关的轨迹方程 [综合性]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P， Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2， 2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程 为(x－1)2＋y2＝1.
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
的最大值和最小值．
答案：(1)B
12
反思感悟 建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基 本不等式、函数单调性等方法求最值．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y_0－__b_)2_＜__r2_．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这 一条件．
2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
（3） 在圆内，即 在圆内.
【用一用】
1.若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 解得 ,故选C.
√
2.圆过点 ， ，则周长最小的圆的方程为____________________.
√
√
解析：选BC.由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为 ，半径为 ,故选项A，D不正确；因为 ，所以该圆过原点，故选项B正确；在圆的方程 中，令 ，有 或 ，因为 ,所以该圆与 轴相交于两个不同点，故选项C正确，故选BC.
3.(2023·广东广州模拟)过 ， 两点，且半径为4的圆的标准方程为_____________________________________.
或
解析：由题意 ,所以 中垂线的斜率为 ， 中点坐标为 ，所以线段 的垂直平分线的方程为 ,整理 ，故所求圆的标准方程为 或 .
4.(2022·高考全国卷甲)设点 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为______________________.
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
圆的定义和圆的方程
定义
平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆
标准方程
圆心
半径为
一般方程
充要条件：
圆心 __________
半径
定点
定长
[提醒] 当 时，此方程表示的图形是圆；当 时，此方程表示一个点 ；当 时，它不表示任何图形.
解析：显然当 为直径时，圆周长最小，此时圆的方程为 ,即 .
核心考点 师生共研
02
考点一 圆的方程（自主练透）
第3节圆的方程--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
高考总复习2025第3节 圆的方程课标解读了解确定圆的几何要素.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.1 强基础 固本增分知识梳理1.圆的定义与方程定长(a,b) 2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0).(x0-a)2+(y0-b)2>r2(x0-a)2+(y0-b)2<r2常用结论1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.点M(x0,y0)与圆x2+y2+D x+E y+F=0(D2+E2-4F>0)的位置关系:自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.点(0,0)在圆(x -1)2+(y -2)2=1上.( )2.过不共线的三点一定有唯一的一个圆.( )3.方程(x +a )2+(y +b )2=t 2(t ∈R)表示圆心为(a ,b ),半径为t 的圆.( )× √ × ×题组二回源教材6.(湘教版选择性必修第一册习题2.5第8题改编)已知点P(-1,-1),Q 是圆(x -2)2+(y -3)2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为 . 7.(湘教版选择性必修第一册第93页练习第2题)讨论方程x 2+y 2+ax +2y +2=0表示何种曲线.4 解析 圆(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为(2,3),半径为1,所以点P (-1,-1)到圆心的距离为 =5,所以|PQ|的最小值为5-1=4.解 由方程可得D 2+E 2-4F=a 2+4-8=a 2-4,当a 2-4<0,即-2<a<2时,方程不表示任何曲线;当a 2-4=0时,a=±2,当a=2时,方程表示点(-1,-1),当a=-2时,方程题组三连线高考8.(2022·北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=( )A解析圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),代入直线方程,可得2a+0-1=0,∴a= ,故选A.9.(2022·全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,(x-1)2+(y+1)2=5则☉M的方程为 .(方法二)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+ (1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.2 研考点 精准突破考点一 求圆的方程例1已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0 (x-1)2+(y+1)2=2 上截得的弦长为 ,则圆C的方程为 .[对点训练1](2022·全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一(x-2)2+(y-3)2=13个圆的方程为 .考点二 与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△AB C的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边B C的中点M的轨迹方程.解(1)(方法一)设C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以k AC·k BC=-1,即=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(方法二)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0).由直角三角形的性质,知|CD|= |AB|=2.由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点),所以直角顶点C的2+y2=4(y≠0).[对点训练2](2020·北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4B.5C.6D.7A 所以|OC|≥5-1=4,当且仅当点C 在线段OM 上时取得等号.考点三 与圆有关的最值问题(多考向探究预测)考向1借助目标函数的几何意义求最值例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.[对点训练3](2023·全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )C解析(方法一)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆考向2利用对称性求最值例4已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,点N分别是圆C1,圆C2上的动点,点P为x轴上的动点,则|P M|+|PN|的最小值为( )A解析由题可知圆心C1(2,3),圆心C2(3,4).因为点P是x轴上任意一点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3)(图略),所以[对点训练4]已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|P A|+|PQ|的最小值是 .考向3利用函数求最值例5设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则的最12 大值为 .[对点训练5]已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆x2+y2=4上运动,则[72,88] |PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是 .解析设点P(x,y),则x2+y2=4,所以|P A|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3x2+3y2-4y+68=3×4-4y+68 =-4y+80,因为x2+y2=4,所以-2≤y≤2.当y=-2时,(|P A|2+|PB|2+|PC|2)max=88,当y=2时,(|P A|2+|PB|2+|PC|2)min=72.所以|P A|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是[72,88].。
2019-2020学年高考数学一轮复习《圆的方程》学案.doc
2019-2020学年高考数学一轮复习《圆的方程》学案例1. 根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上． (2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6． 解：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0 由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==37y x∴圆心为C(7，－3)，半径r ＝65 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 将P 、Q 两点坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=--②F E D ①F E D 1032042 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0由弦长|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36 ③解①②③可得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 变式训练1：求过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线x －2y －3=0上的圆的方程． 由A （2，－3），B （－2，－5），得直线AB 的斜率为k AB = －5－(－3)－2－2 = 12 ,线段AB 的中点为（0，－4），线段AB 的中垂线方程为y ＋4=－2x,即y ＋2x ＋4=0,解方程组240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2＋(－3＋2)2=10 所求圆的方程为（x ＋1)2＋(y ＋2)2=10例2. 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ，Q 两点，且OP⊥OQ（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径 解 方法一 将x=3-代入方程x 2+y 2+x-得5y 2-基础过关设P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=.512m+ ∵OP⊥OQ,∴x 1x 2+y 1y 2 而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-321，,半径r=25方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M⊥PQ，∴21=MO k∴O 1M 的方程为:y-3=2⎪⎭⎫⎝⎛+21x即：由方程组.03242⎩⎨⎧=-++=y x x y解得M 的坐标为（-1，2）则以PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r 2. ∵OP⊥OQ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2在Rt△O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121(3-2)2+5=44)6(12m --+∴-21λ++2（3-λ）-3=0， ∴λ=1，∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25变式训练2：已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程 （1）证明 直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)即不论m 取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点 两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得 |AB|=222CM r -=.54]）21（）13（[25222=-+--此时，k t =-C Mk 1,从而k t =-31121--∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y 的最大值和最小值；（3）求12--x y 的最大值和最小值解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 d=56431204)2(322=++⨯+-⨯∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=56+1=511，最小值为d -r=56-1=51（2）设t=x-则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5（3）设k=12--x y ，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点， ∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k≤433+∴k max =433+，k min =433-.变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-（1）求y-x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值解 （1）y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时,3202=+-b，解得b=-2±6.所以y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22）00（）02（-+-=2， 所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2+y 2的最小值是（2-3）2=7-43.例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。
圆的方程课件-2024届高考数学一轮复习
得 �� + − + ＋ = ， 解得 = ， 所以圆 C 的一般方
＝ − .
− ＋ − = ，
程为
x 2＋ y 2＋8 x ＋2 y －33＝0.
返回目录Βιβλιοθήκη 考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 （1） 已知 A （－1，0）， B （1，0）， C 为平面内的一动点，且
2. （2023·浙江模考）在平面直角坐标系中， A （－1，0）， B （1，
0），动点 P 满足｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝4.
（1） 求点 P 的轨迹方程.
解：（1） 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则由题意，得（ x ＋1）2＋ y 2＋
（ x －1）2＋ y 2＝4.化简，得 x 2＋ y 2＝1.所以点 P 的轨迹方程为 x 2＋ y 2
＝1有交点.所以
最小值为－
｜｜
+
≤1，解得－
≤ k ≤ .所以 的最大值为 ，
.
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（2） y － x 的最大值和最小值；
解：（2） 方法一：令 y － x ＝ t ，所以直线 x － y ＋ t ＝0与圆（ x －2）2
＋ y 2＝1有交点.所以
｜+｜
＋(−）
的是（
AC
）
A. 圆 C 的方程为（ x －5）2＋（ y －6）2＝10
B. 点 M （3，3）在圆 C 内
C. 若点 Q （5，3），则｜ PQ ｜的最小值为 10 －3
D. 若点 N （6， a ）在圆外，则 a 的取值范围是（3，9）
高考数学一轮专项复习讲义-圆的方程(北师大版)
§8.3圆的方程课标要求1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：(1)|MC |>r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |<r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．常用结论1．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x －2)2＋(y ＋1)2＝a 2(a ≠0)表示以(2,1)为圆心，a 为半径的圆．(×)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.(√)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.(√)2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8D ．x 2＋y 2＝2答案B3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay －10a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围为()A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．[－2,0]D ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)答案B解析由x 2＋y 2＋2ax －4ay －10a ＝0，得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝5a 2＋10a ，由该曲线表示圆，可知5a 2＋10a >0，解得a >0或a <－2.4．下列各点中，在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝25的外部的是()A ．(0,2)B ．(3,3)C ．(－2,2)D ．(4,1)答案B解析由(0－1)2＋(2＋2)2＝17<25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＝29>25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2＝18<25知(4,1)在圆内.题型一圆的方程例1(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________________．答案(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析方法一设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，a ＋b －1＝0，3－a )2＋b 2＝r 2，2＋(1－b )2＝r 2，＝1，＝－1，2＝5，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.方法二设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则－D2，－1＝0，＋3D＋F＝0，＋E＋F＝0，＝－2，＝2，＝－3，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则k AB＝1－00－3＝－13，AB∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3x－y－4＝0.x－y－4＝0，x＋y－1＝0，＝1，＝－1，∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.思维升华求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1(1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四点共圆，则a＝________.答案±5解析设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，＋1－2D＋E＋F＝0，－D＋F＝0，＋9＋2D＋3E＋F＝0，＝0，＝－4，＝－1，所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，所以a＝± 5.(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为__________________________．答案＝95解析设圆心坐标为(a ，－2a ＋3)，则圆的半径r ＝(a －0)2＋(－2a ＋3－0)2＝5a 2－12a ＋9当a ＝65时，r min ＝355.故所求圆的方程为＝95.题型二与圆有关的轨迹问题命题点1直接法例2已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是________．答案x 2＋y 2－203x ＋4＝0解析设M (x ，y )，则|MA |＝(x ＋2)2＋y 2，|MB |＝(x －2)2＋y 2.因为|MA |＝2|MB |，所以(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得，3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，即x 2＋y 2－203x ＋4＝0.所以点M 的轨迹是圆，方程为x 2＋y 2－203x ＋4＝0.命题点2定义法例3(2023·茂名模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，点M 是圆上的动点，AM 与圆相切，且|AM |＝2，则点A 的轨迹方程是()A ．y 2＝4xB ．x 2＋y 2－2x －2y －3＝0C ．x 2＋y 2－2y －3＝0D ．y 2＝－4x 答案B解析因为圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C (1,1)，半径r ＝1，因为点M 是圆上的动点，所以|MC |＝1，又AM 与圆相切，且|AM |＝2，则|AC |＝|MC |2＋|AM |2＝5，设A (x ，y )，则(x －1)2＋(y －1)2＝5，即x 2＋y 2－2x －2y －3＝0，所以点A 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －2y －3＝0.命题点3相关点法例4已知O 为坐标原点，点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，∵四边形MONP 为平行四边形，则OP →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(－3,4)＋(x 0，y 0)，＝－3＋x 0，＝4＋y 0，0＝x ＋3，0＝y －4，又N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，易知直线OM 的方程为y ＝－43x ，＝－43x ，x ＋3)2＋(y －4)2＝4，＝－95，＝125＝－215，＝285，∴点P 的轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4－95，－215，思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解(1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，且M 是线段BC 的中点，所以由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例5(2024·泉州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值；(2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解(1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆．设yx＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k |1＋k 2＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－3.＝3＝－3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆相切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x 轴相交于点B 和C ′(点B 在点C ′左侧)，则(x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.圆的参数方程圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)＝a ＋r cos θ，＝b ＋r sin θ，其中θ为参数．典例利用圆的参数方程解决例5(2)(3)．解x 2＋y 2－4x ＋1＝0可化为(x －2)2＋y 2＝3，＝2＋3cos θ，＝3sin θ.(2)y －x ＝3sin θ－(2＋3cos θ)＝6sin2，∴(y －x )min ＝－6－2.(3)x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ，∵cos θ∈[－1,1]，∴(x 2＋y 2)max ＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝7－43.命题点2利用函数求最值例6(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA →·PB →的最大值为________．答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y －bx －a ，t ＝ax ＋by ，(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3(1)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值是()A ．6B ．25C ．26D ．36答案D解析(x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到(5，－4)的距离的平方，∵P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x －5)2＋(y ＋4)2]max ＝[(2－5)2＋(0＋4)2＋1]2＝36.(2)已知x 2＋y 2＋x ＋y ＝0，求x ＋y 的取值范围为________．答案[－2,0]解析将x 2＋y 2＋x ＋y ＝0化为＝12，－12，－22为半径的圆，令x ＋y ＝t ，即x ＋y －t ＝0，由题可知，直线和圆有公共点，所以|－12－12－t |2≤22，即|t ＋1|≤1，解得－2≤t ≤0，即x ＋y 的取值范围为[－2,0]．课时精练一、单项选择题1．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋14＝0－12，()A ．2B ．3C ．4D ．5答案A解析圆C ：x 2＋y2＋Dx ＋Ey ＋14＝0，即＝D 2＋E 2－14，－D 2，－半径为D 2＋E 2－12.－12所以D ＝1，E ＝－4，半径为D 2＋E 2－12＝2.2．(2023·宁德模拟)已知点M (3,1)在圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋2k ＋4＝0外，则k 的取值范围为()A ．－6<k <12B ．k <－6或k >12C ．k >－6D ．k <12答案A解析∵圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋2k ＋4＝0，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1－2k ，∴圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝1－2k .若点M (3,1)在圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋2k ＋4＝0外，则满足(3－1)2＋(1＋2)2>1－2k ，且1－2k >0，即13>1－2k 且k <12，即－6<k <12.3．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于()A ．22 B.2C ．3D ．9答案C解析圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的标准方程为＋(y ＋1)2＝5＋k 24，－k2，－r ＝5＋k 24，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，解得k ＝4.所以圆的半径r ＝5＋k 24＝3.4．已知圆C 过点A (－2,0)，B (2,4)，当圆心C 到原点O 的距离最小时，圆C 的标准方程为()A ．(x －1)2＋y 2＝10B ．x 2＋(y ＋1)2＝10C ．(x －1)2＋(y －1)2＝10D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10答案C解析由A (－2,0)，B (2,4)可得线段AB 中点坐标为(0,2)，又k AB ＝4－02－(－2)＝1，所以AB 垂直平分线的方程为y ＝－x ＋2，所以圆心C 在线段AB 垂直平分线上，当圆心C 到原点O 的距离最小时，则OC ∥AB ，所以直线OC 的方程为y ＝x ，＝x ，＝－x ＋2，＝1，＝1，所以圆心C (1,1)，又半径r 2＝AC 2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝10.5．若点M (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9上的一点，则x 2＋2x ＋y 2＋4y 的最小值为()A．8B．3C．－1D．－3答案C解析x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5，只需求圆C上的点到定点(－1，－2)的最小距离即可，又圆心(3,1)到(－1，－2)的距离d＝42＋32＝5，而圆C的半径r＝3，∴d－r＝2≤(x＋1)2＋(y＋2)2≤d＋r＝8，故原式的最小值为(d－r)2－5＝22－5＝－1.6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0答案D解析由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．设P(x，y)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x －3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.二、多项选择题7．圆M与y轴相切，且经过A(1,0)，B(2,1)两点，则圆M可能是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝4B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25C．(x－1)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9答案BC解析设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.又点A(1,0)，B(2,1)在圆上，所以有|MA|＝|MB|，即(a－1)2＋b2＝(a－2)2＋(b－1)2，整理可得a＋b＝2.又|MA|＝r＝|a|，即(a－1)2＋b2＝|a|，整理可得b2－2a＋1＝0.＋b＝2，2－2a＋1＝0，＝1，＝1＝5，＝－3，所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3)．当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25. 8．(2024·宿迁模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有() A．圆C过定点B．点(0,0)在圆C外C．直线4x－3y－3＝0平分圆周D．存在实数k，使圆与x轴相切答案ACD解析对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y ＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，2＋y2＋2y＝0，x＋8y＋8＝0，＝－45，＝－25＝45，＝－85，故圆C －45，－A正确；对于选项B，因为圆心为(3k,4k－1)，r＝1＋25k2，点(0,0)到圆心的距离d＝9k2＋16k2－8k＋1＝1＋25k2－8k，又因为k∈R，当k>0时，d<r，此时点(0,0)在圆C内，所以选项B错误；对于选项C，因为圆心为(3k,4k－1)，又4×3k－3(4k－1)－3＝0，即圆心在直线4x－3y－3＝0上，所以选项C正确；对于选项D，若圆与x轴相切，则|4k－1|＝1＋25k2，即9k2＋8k＝0，解得k＝0或k＝－8 9，所以选项D正确．三、填空题9．写出一个过原点，且半径为22的圆的方程________________．答案(x－2)2＋(y－2)2＝8(答案不唯一)解析过原点，且半径为22，即圆心在圆x2＋y2＝8上，取圆心为(2,2)，即可得圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.10．已知圆M 过曲线y ＝－x 2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M 的标准方程为________________________．答案x 2＝254解析曲线y ＝－x 2＋4与坐标轴的三个交点分别为A (－2,0)，B (2,0)，C (0,4)，设过A ，B ，C 的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，－2D ＋F ＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4E ＋F ＝0，＝0，＝－3，＝－4，∴过A ，B ，C 的圆的方程为x 2＋y 2－3y －4＝0，即x 2＝254.11．已知等腰△ABC ，其中顶点A 的坐标为(0,0)，底边的一个端点B 的坐标为(1,1)，则另一个端点C 的轨迹方程为______________________．答案x 2＋y 2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))解析设C (x ，y )，根据在等腰△ABC 中|AB |＝|AC |，可得(x －0)2＋(y －0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x 2＋y 2＝2.考虑到A ，B ，C 三点要构成三角形，因此点C 不能为(1,1)和(－1，－1)．所以点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．12．(2023·酒泉统考)若直线3x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，动点P 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，则△ABP 面积的取值范围是__________．答案[3，33]解析如图所示，因为直线3x －y －3＝0与坐标轴的交点A (3，0)，B (0，－3)，则|AB |＝3＋9＝23，圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心C (0,1)，半径为r ＝1，则圆心C (0,1)到直线3x －y －3＝0的距离为d ＝|－1－3|3＋1＝2，所以圆x 2＋(y －1)2＝1上的点P 到直线3x －y －3＝0的距离的最小值为d －r ＝2－1＝1，距离的最大值为d ＋r ＝2＋1＝3，所以△ABP 面积的最小值为12×23×1＝3，最大值为12×23×3＝33，即△ABP 面积的取值范围为[3，33]．四、解答题13．(2024·盐城模拟)已知圆C 的圆心在x 轴上，并且过A (1,3)，B (3,3)两点．(1)求圆C 的方程；(2)若P 为圆C 上任意一点，定点M (8,0)，点Q 满足PM →＝3QM →，求点Q 的轨迹方程．解(1)由题意可知，AB 的中点为(2,3)，k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝2，它与x 轴的交点为圆心C (2,0)，又半径r ＝|AC |＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.(2)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，由PM →＝3QM →，得(8－x 0，－y 0)＝3(8－x ，－y )，0＝3x －16，0＝3y ，又点P 在圆C 上，故(x 0－2)2＋y 20＝10，所以(3x －18)2＋(3y )2＝10，化简得点Q 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝109.14．已知圆C 1经过点A (1,3)和B (2,4)，圆心在直线2x －y －1＝0上．(1)求圆C 1的方程；(2)若M ，N 分别是圆C 1和圆C 2：(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝9上的点，点P 是直线x ＋y ＝0上的点，求|PM |＋|PN |的最小值，以及此时点P 的坐标．解(1)由题意知AB k AB ＝4－32－1＝1，∴AB 的垂直平分线为y －72＝－即y ＝5－x ，＝5－x ，＝2x －1，＝2，＝3，即圆C 1的圆心坐标为(2,3)，半径r ＝1，其方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)注意到点C 1(2,3)和点C 2(－3，－4)在直线x ＋y ＝0的两侧，直线x ＋y ＝0与两圆分别相离，如图所示．∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|－1＋|PC 2|－3≥|C 1C 2|－4＝74－4，当且仅当M ，N ，P ，C 1，C 2五点共线时等号成立，则|PM |＋|PN |的最小值为74－4，此时点P 为直线C 1C 2与x ＋y ＝0的交点，过C 1，C 2的直线方程为7x －5y ＋1＝0，＋y ＝0，x －5y ＋1＝0，＝－112，＝112，∴点P －112，15．(2024·滁州模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上存在两动点A ，B 满足△ABC 为正三角形，O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|的最大值为()A ．23B ．22C ．22－3D ．22＋3答案D解析由题意可知△ABC 是边长为1的正三角形，设AB 的中点为M ，则|CM |＝32，又C (1,1)，所以点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝34，且|OC |＝ 2.因为OA →＋OB →＝2OM →，所以|OA →＋OB →|＝2|OM →|，因为|OM |≤|OC |＋|CM |＝2＋32，当且仅当点C 在线段OM 上时等号成立，所以|OM →|的最大值为2＋32，所以|OA →＋OB →|的最大值为22＋3.16．(2023·清华附中模拟)在平面直角坐标系内，A (1,0)，B (2,0)，动点C 在直线y ＝x 上，若圆M 过A ，B ，C 三点，则圆M 面积的最小值为()A.π2B.π4C ．πD.2π3答案A解析由圆的几何性质知，圆心在A ，B 中垂线上，故可设圆心M当圆M 与直线y ＝x 相切即圆心到y ＝x 的距离等于圆心到A 点距离时，圆M 的面积最小，可得|32－a |12＋12＝解得a ＝12或－72，当a＝12时，M 的半径为|MA |＝22，圆M 的面积为π2；当a ＝－72时，M 的半径为|MA |＝522，圆M 的面积为25π2，所以圆M 面积的最小值为π2.。
2019届高考数学一轮复习：《圆的方程》教学案(含解析)
圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B．m＜14或m＞1C．m＜14D．m＞1解析：选B 由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜14或m＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( )A ．(－1,1) B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋－2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y －2)2＝1.4．(2018·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________． 解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2， ∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2018·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝13(2)已知圆C 经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．[自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b)，半径为r ，则rsinπ3＝1，rcos π3＝|b|，解得r ＝23，|b|＝33，即b ＝±33. 故圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y±332＝43. (2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2018·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△PAB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2018·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P(x ，y)在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．[自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C(1,1)得|OC|＝2，则|OP|min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b)与圆上的动点(x ，y)的斜率的最值问题(如A 级T 9)； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a)2＋(y －b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2018·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C(－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋ 5 5－ 5典题导入[例3] (2018·正定模拟)如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD|＝|BC|，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P(x ，y)，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x 0，y 0)， 则D(2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2018·郑州模拟)动点P 到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P(x ，y)，则由题意可得2－2＋y 2＝－2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y)关于原点对称点为(－x ，－y)在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y)2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2018·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2018·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C(a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2018·海淀检测)点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 的中点为M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2018·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )A.95B ．1C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.7．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________． 解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA|＋|OB|－|AB|2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2018·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2018·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 解析：y －2x －1表示圆上的点P(x ，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k(x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k|k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C(3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为(x －a)2＋(y －a)2＝a 2，(x －b)2＋(y －b)2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b.由于两圆都过点C ，则(3－a)2＋(4－a)2＝a 2，(3－b)2＋(4－b)2＝b 2即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根． 故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2018·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN|＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆． (2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C(1,2)，半径r ＝5－m ， 则圆心C(1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15， 因为|MN|＝455，所以12|MN|＝255， 所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552，解得m ＝4.1．(2018·常州模拟)以双曲线x 26－y23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋22＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT(T 为切点)，当|PT|最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT|＝|PC|2－1，故|PT|最小时，即|PC|最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－1－2＝r 2，－1－2＋－2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|PB|， 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S ＝2|PA|， 而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4， 即S ＝2|PM|2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM|2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－2＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC|×|BD|＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________． 解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2018·抚顺调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以 为半径，故圆的方程为
−
+ + ��
= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −
+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−
+ −
=
+ −
= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −
+ +
= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −
解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −
+ = ,
故 = − −
−
+ = ，即表示以点 , 为圆心， 为半径
的圆.
2025年高考数学一轮复习-8.3圆的方程【课件】
A. x 2＋（ y －2）2＝1
B. x 2＋（ y ＋2）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y －3）2＝1
D. x 2＋（ y －3）2＝4
解析： 根据题意可设圆的方程为 x 2＋（ y － b ）2＝1，因为圆过
点 A （1，2），所以12＋（2－ b ）2＝1，解得 b ＝2，所以所求圆的
4. 若圆的方程为 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆
心坐标为
（0，－1） .
解析：圆的方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0化为标准方程为（ x ＋
2
2
3
3
）2＋（ y ＋1）2＝1－
，∵ r 2＝1－
≤1，∴ k ＝0时 r 最大.此
1. 以 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）为直径端点的圆的方程为（ x － x1）
（ x － x 2）＋（ y － y 1）（ y － y 2）＝0.
2. 圆心在任一弦的垂直平分线上.
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1. 以 A （3，－1）， B （－2，2）为直径的圆的方程是（
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1. 方程 x 2＋ y 2＋ ax ＋2 ay ＋2 a 2＋ a －1＝0表示圆，则 a 的取值范围是
（
）
A. （－∞，－2）
C. （－2，0）
B.
Байду номын сангаас
2
（－ ，0）
3
D.
2
（－2， ）
3
解析： 由方程表示圆的条件得 a 2＋（2 a ）2－4（2 a 2＋ a －1）
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第54讲 圆的方程
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3． 经过三点(2， －1)、 (5,0)、 (6,1)的圆的一般方程为
.
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解析：设所求方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
22＋－12＋2D－E＋F＝0 2 2 5 ＋ 0 ＋5D＋0＋F＝0 则 2 2 6 ＋ 1 ＋6D＋E＋F＝0
，
解得D＝－4，E＝－8，F＝－5， 故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.
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第54讲
圆的方程
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2
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1 ．圆 (x ＋ 2)2 ＋ y2 ＝ 5 关于原点 (0,0) 对称的圆的方程为 ( A ) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
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2． 圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别是( C ) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
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一
求圆的方程
【例1】已知圆C过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y
＝x上，则圆C的标准方程为____________________．
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解析：(方法一)因为圆心 C 在直线 y＝x 上， 所以可设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2， 将 A，B 两点的坐标代入，
，
所以圆 C 的一般方程为 x2＋y2－4x－4x＋3＝0， 化为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的几种方法
1. 直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表
示等式，直接求解轨迹方程.
2. 定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出
圆的方程.
3. 相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关
或 m ＝2.(二次项系数相等)
当 m ＝－1时，原方程为 x 2＋ y 2＋8 x ＋4 y －5＝0，(二次项系数化为1后再使用公式)
即( x ＋4)2＋( y ＋2)2＝25.
5
2
2
当 m ＝2时，原方程可化为 x ＋ y ＋2 x ＋ y ＋ ＝0，
2
1
2
5
4
即( x ＋1)2＋( y ＋ )2＝－ ，不是圆的方程，∴ m ＝2不合题意.综上， m 的值为－1.
r ，设 M 的坐标为( x 0， y 0).
常用结论
向量法判断点与圆的位置关系
若点 P 是以 AB 为直径的圆 O 所在平面内的一点，则
· ＞0⇔点 P 在圆 O 外；
· ＝0⇔点 P 在圆 O 上；
· ＜0⇔点 P 在圆 O 内.
二、基础题练习
1. [2022北京高考]若直线2 x ＋ y －1＝0是圆( x － a )2 ＋ y 2＝1的一条对称轴，则 a ＝
则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为
[解析]
( x －3)2＋( y －3)2＝1 .
设点 P 的坐标为( x ， y )，点 A 的坐标为( x 0 ， y 0 )，由于点 B 的坐标
为(8，6)，且 P 为线段 AB 的中点，∴ x ＝
学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习训练10.54圆的方程(含答案详析)
第54讲 圆的方程1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2.已知倾斜角为60°的直线l 过圆C ：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心，则此直线l 的方程是( ) A.3x ＋y ＋1＝0 B ．x －3y ＋1＝0C ．x ＋3y ＋1＝0 D.3x －y ＋3＝03.曲线y ＝－4－x 2(x ≤0)的长度为( )A.2π3B.3π2C ．2πD ．π4.已知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，下列结论错误的是( )A ．当a 2＋b 2＝r 2时，圆必过原点B ．当a ＝r 时，圆与y 轴相切C ．当b ＝r 时，圆与x 轴相切D ．当b <r 时，圆与x 轴相交5.设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为______．6.已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝ ，b ＝______.7.已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，则圆的标准方程为______________________．8.已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．第54讲 圆的方程1．D 圆方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，故选D.2．D3．D 化为x 2＋y 2＝4(x ≤0，y ≤0)，表示在第三象限的四分之一圆弧，长度＝14·2π·2＝π.4．D 已知圆的圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的．故选D.5．1 圆心(0,0)到直线3x －4y －10＝0的距离d ＝|－10|5＝2. 再由d －r ＝2－1＝1，知最小距离为1.6．－1 1 点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，①点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心(－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，②由①②解得a ＝－1，b ＝1.7．(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10解析：圆心在直线y ＝2x 上，设圆心为(a,2a )，圆心到直线y ＝x 的距离d ＝r 2－(l 2)2， 得d ＝(10)2－(422)2＝2，2＝|a －2a |12＋12⇒a ＝±2. 所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.8．解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆． 设y x＝k ，即y ＝kx ，由圆心(2,0)到y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3. 所以k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，有OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°解之)9．解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22， 又点P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1y 20－x 20＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0y 0＝－1，此时，圆P 的半径r ＝3； 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1y 20－x 20＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.。
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第54讲 圆的方程
1.(2011·四川卷)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )
A ．(2，3)
B ．(－2，3)
C ．(－2，－3)
D ．(2，－3)
2.已知倾斜角为60°的直线l 过圆C ：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心，则此直线l 的方程是
( ) A.3x ＋y ＋1＝0 B ．x －3y ＋1＝0
C ．x ＋3y ＋1＝0 D.3x －y ＋3＝0
3.方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示圆方程，则t 的取值范围是( )
A ．－1<t <17
B ．－1<t <12
C ．－17
<t <1 D ．1<t <2 4.已知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，下列结论错误的是( )
A ．当a 2＋b 2＝r 2时，圆必过原点
B ．当a ＝r 时，圆与y 轴相切
C ．当b ＝r 时，圆与x 轴相切
D ．当b <r 时，圆与x 轴相交
5.设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为______．
6.(2011·辽宁卷)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为____________________．
7.已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x
的最大值和最小值．
1.过点P (4，2)作圆x 2＋y 2
＝4的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20
C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5
D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20
2.(2012·湖北黄冈市调研考试题)如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，平
面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1、e 2分别为与x
轴、y 轴同方向的单位向量)，设P 点斜坐标为(x ，y )．
(1)若P 点斜坐标为(2，－2)，求P 到O 的距离|PO |；
(2)求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．
3.设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q ，满足关于直线x ＋my
＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.
(1)求m 的值；
(2)求直线PQ 的方程．
第54讲
巩固练习
1．D 2.D 3.C
4．D 解析：已知圆的圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的．故选D.
5．1
解析：圆心(0，0)到直线3x －4y －10＝0的距离d ＝|－10|5
＝2. 再由d －r ＝2－1＝1，知最小距离为1.
6．(x －2)2＋y 2＝10
解析：设圆心坐标为(x ，0)，
则(x －5)2＋1＝(x －1)2＋32，解得x ＝2.
则半径r 2＝(5－2)2＋12＝10，所以C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.
7．解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆． 设y x
＝k ，即y ＝kx ，由圆心(2，0)到y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3. 所以k max ＝3，k min ＝－ 3.
(也可由平面几何知识，有OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°解之)
提升能力
1．A
2．解析：(1)因为P 点斜坐标为(2，－2)，
所以OP →＝2e 1－2e 2.
所以|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1·e 2
＝8－8×cos60°＝4.
所以|OP →|＝2，即|OP |＝2.
(2)设圆上动点M 的斜坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2.
所以(x e 1＋y e 2)2＝1.所以x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝1.所以x 2＋y 2＋xy ＝1.
故所求方程为x 2＋y 2＋xy ＝1.
3．解析：(1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9表示圆心为(－1，3)，半径为3的圆． 因为点P 、Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，
所以圆心(－1，3)在直线x ＋my ＋4＝0上．代入得m ＝－1.
(2)因为直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，
所以设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b .
将直线y ＝－x ＋b 代入圆方程，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0.
Δ＝4(4－b )2－4×2×(b 2－6b ＋1)>0，得2－32<b <2＋3 2.
由韦达定理得x 1＋x 2＝－(4－b )，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12.
y 1·y 2＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2－6b ＋12＋4b .
因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－6b ＋1＋4b ＝0.
解得b ＝1∈(2－32，2＋32)．
所以所求的直线方程为y ＝－x ＋1.。