三维刚体极限平衡法中荷载的计算方法及工程应用

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集中力
集中力有拱坝的拱端推力或锚索的加固力等。 拱端推力一般分解到沿坐标轴方向，可以直接施加 到所作用的块体上。锚索的锚固力一般按方位和倾 角给出，需要换算到坐标轴方向。设锚索的倾向为 θ ，倾角为 ϕ , θ 为从正北方向顺时针旋转到锚索
收稿日期：2003-03-17 修改稿收到日期：2003-06-18 作者简介：徐明毅，男，1973 年生，华中科技大学博士后，主要从事水工结构的数值仿真计算。
Fig.3
图 3 按滑块高度设定地下水位线 The groundwater level setting by block height
在计算拉裂面上的水压力时，由于拉裂面的形 状为任意的多边形，如果要区分有水和无水区域分 别进行积分有一些困难，其实有一个简单的处理方 法。如图 4 所示，拉裂面按普通滑动面处理时，面 上所有点都有渗透水压，而实际上是 1/N 的部分有 水， 根据三角形的面积比， 在每一条垂直积分线上， 拉裂面上的实际积分水压力是按普通情况积分后的 1/N。该系数可以放在积分符号里面，这样，线积分 就转化为普通的面积分情况进行统一处理。
4.1 地下水位的结点设定法 算渗流荷载，一般可通过数值计算和经验假设的方 法来设定块体结点上的水头值。如用块体渗流程序 直接计算出各结点的水头值；或通过有限元渗流计 算得到块体系统模拟范围内的渗流场，然后，插值 得到各结点的水头值； 也可用曲面模拟地下水位线， 再根据块体各结点的高程， 计算出各结点的水头值。 知道结点水头值后， 再计算块体各个面所受水压值， 从而得到整个块体的渗流荷载。 在计算每个面上的水压时，将该多边形面剖分 成一些三角形，先在三角形上积分，再对所有三角 形的结果求和，就可以得到该面上总的水压力值。 三角形离散时，先寻找到多边形最低的一个点，然 后以该点为中心，按边的顺序依次剖分。围绕最低 点进行三角形离散，可以保证在大多数情况下，水 压力计算有较好的一致性，不会因为三角形剖分次 序的不同引起计算结果的差异。 对每个离散后的三角形进行积分时（图 2） ，假 设角点 3 上承受荷载强度值为 p3 ，该点承受全值， 然后，线性递减到其他角点为 0。积分后该种荷载 分布可简化为作用在 3 个角点上的集中力： 1 1 1 1 1 1 F13 = × Ap3 ; F23 = × Ap3 ; F33 = × Ap3 (2) 4 3 4 3 2 3 式中 A 为三角形的面积。公式可理解为： 三棱锥体 积的 1 / 2 分配到该荷载强度作用的角点，另外 1 / 2 平均分配到其他 2 个角点。考虑所有角点上的荷载 强度，则可得到每个角点总的等效集中力：
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2004 年
的角度（范围为 0° ～360° ） ，ϕ 为从水平面旋转到 锚索的角度（范围±90° ） 。换算方法如图 1 所示， 先求出分解到 Z 轴的部分，再将投影到 XY 平面的 部分分解到 x 轴和 y 轴： f x = f cosϕ sinθ ; f y = f cosϕ cosθ ; f z = f sinϕ (1)
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自重和地震荷载
计算自重荷载时，只要给出各个块体的重度， 通过矢体方法计算出块体的体积[3]，乘以重度，就 可以算出块体的自重，作为竖向的集中力加到块体 上。地震荷载采用拟静力法处理，根据水平向地震 加速度的大小和作用方向，分解成对应坐标轴的地 震加速度，换算成虚拟重度就可以如同计算自重荷 载一样计算出地震荷载；然后作为集中力加到块体 上。
在积分里了，处理起来十分方便。 这种情况下块体水压积分计算的具体步骤为： (1) 对每个块体的每个面进行积分； (2) 将任意多边形面分成多个三角形，再将三 角形划分为足够密集的三角形网，对其中每个微小 的三角形计算水压。足够准确地假定微小三角形内 水压是均匀的，用形心处的值来代表； (3) 计算微小三角形的形心所引垂线与滑块表 面的交点，得到形心处的滑体高度； (4) 根据微小三角形的形心点所在面的类型、 库水位、形心处的滑体高度来设置正确的水压值； (5) 对水压力进行数值积分，计算出块体每个 面上的水压力，再根据情况合成到块体所受的总作 用力中。 为了顺利实施数值积分，需要将三角形离散成 足够密集的三角形网，即离散成很多小的三角形单 元。认为这些小三角形是常函数单元，只要数量足 够多，积分精度就可以达到要求。如图 5 所示，将 三角形每边分成 N 份，然后，两两对连，形成三角 形网。剖分后总的顶点数为 1 + 2 + L + (n + 1) = 总的三角形个数为 1 + 3 + 5 + L + ( 2n − 1) = n 2 (7) 用面积坐标 (ci , c j , c k ) 来表示三角形内部的 点，如顶点 i 的面积坐标为（1，0，0） ，顶点 j 的 面积坐标为（0，1，0） ，顶点 k 的面积坐标为（0， 0，1） 。面积坐标必须满足条件： ci + c j + ck = 1 (8) (n + 1)(n + 2) 2 (6)
摘 关
要： 在三维刚体极限平衡矢量分析法的基础上， 探讨了一些常用荷载的计算方法， 给出了渗流荷载在不同假定下的算法， 键 词：边坡；稳定分析；极限平衡；块体；渗流 文献标识码：A
包括地下水位的结点设定法和滑块高度折减法。该法已应用于小湾电站进水口边坡的稳定分析，得到了有实用价值的结果。 中图分类号：TU 457
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前 言
用工程实例检验方法[1, 2]， 有明确的力学假定和丰富的工程实践经验，易于使 用，并能给出工程中最关心的边坡破坏的形式及其 对应的安全系数，检验锚固等措施对边坡加固的有 效性。但在使用过程中，往往通过作图法来进行刚 体极限平衡分析，手续烦琐，精度不高，因而限制 了它的大量使用。而采用三维块体系统的自动识别 方法[3]，用块体系统来描述被结构面切割的岩体，然 后， 用程序来实现刚体极限平衡的矢量分析过程[4]， 这样就可以在工程中较简便地使用这种方法，为实 际应用提供广阔的前景。 计算中，荷载可以考虑自重、集中力（ 如拱端 推力以及锚固力） 、 渗流作用等， 但如何针对块体系 统的特点计算相应的荷载，还未见相关的报道。本 文将探讨块体的刚体极限平衡法中常用荷载的计算 方法，特别是不同假定下渗流荷载算法的实现，并
将锚索的锚固力分解到坐标轴方向后，就可以 将各个方向的锚固力叠加到块体所受的作用力中。
(3) 对所有剖分的三角形求和，面的压力积分就可 1 2 1 1 F1 = Ap1 + Ap2 + Ap3 ; 4 3 3 3 1 1 2 1 F2 = Ap1 + Ap2 + Ap3 ; 4 3 3 3 11 1 2 F3 = Ap1 + Ap2 + Ap3 4 3 3 3 总体表示为 P = ∑∑ ∫ Ä p j (Ù )dÙ
Load calculation in 3D rigid body limit equilibrium method and engineering application
XU Ming-yi1, WANG Wei-ming2, CHEN Shen-hong2
(1. College of Hydroelectric and Digital Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 2. School of Water Resources and Hydropower, Wuhan University, Wuhan 430072, China)
第 25 卷第 5 期 2004 年 5 月
文章编号： 1000－7598－(2004) 05―755―04
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.25 No.5 May 2004
三维刚体极限平衡法中荷载的计算方法及工程应用
徐明毅 1，汪卫明 2，陈胜宏 2
（1. 华中科技大学 水电及数字化工程学院，湖北 武汉 430074；2. 武汉大学 水利水电学院，湖北 武汉 430072）
三角形内部任一点的实际坐标可由面积坐标表
Fig.4 图 4 拉裂面上的水压计算 The calculation of water pressure on crack face
示为 x = ci xi + c j x j + ck xk (9) 剖分后的三角形网中有两类三角形，第一类为 正常放置的三角形，第二类为倒置的三角形。正常 放置的三角形的形心的面积坐标为 ck = ( k +1/ 3) / n, k = 0， L, n −1; c j = ( j +1/ 3) / n, j = 0, L, n − k −1; ci =1− ck − c j 倒置的三角形的形心的面积坐标为 (10)
位。如图 3 所示，设折减系数为 1/N，对于滑动面中
第5期
徐明毅等：三维刚体极限平衡法中荷载的计算方法及工程应用
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库水位以上部分，滑面上某点的水头值为该点以上 滑块高度的 1/N； 对于库水位以下部分， 滑面上某点 的水头值为该点的库水位值加上该处库水位以上滑 块高度的 1/N； 对于拉裂面， 则按该面底部的水头值 进行设定，因此，是一部分有水，一部分无水。
块体结点水位设定的最简单办法就是假设坡外 水位（库水位）和坡内水位（地下水位） 。对于临空 面上的出露点，将自身高程与库水位比较，若低于 库水位时，该结点水位设为库水位值；若高于库水 位时，则设为自身高程。而对于边坡内部的结点， 是将自身高程与地下水位比较， 若低于地下水位时， 设为地下水位值；若高于地下水位时，设为自身高 程。结点之间的水位则假设是线性变化的。如对于 有后缘拉裂面的滑体，底滑面的水头从内向外由地 下水位线性折减到坡外水位。 对任意多边形的渗透水压，实际只需计算水位 线以下部分。由于任意多边形是剖分成三角形后积 分的问题归结为对三角形如何分成水上和水下部分 进行积分。水位线将三角形截成水上和水下部分 后，水下部分可能是一个三角形或四边形。处理过 程是：先找到在水下的一个顶点，从该顶点所在的 线段开始，其他线段依次与水位相交就可构成一个 三角形或四边形，接着设置水下部分每个顶点的水 头值，然后，采用已知水头值的多边形水压积分方 法计算出三角形水下部分所受的渗透水压值。这样 处理后，渗流荷载的积分结果很准确，并且避免了 因三角形剖分次序不同而引起的计算差异。 4.2 地下水位的滑块高度折减法 工程中经常采用滑块高度折减法来假设地下水