强度与振动6

阻尼总使转子的临界转速大于横向振动固有频率，与 机械振动（非旋转）中的阻尼使固有频率降低作用相 反。
当转子系统阻尼很小时，可近似认为：
cr n
此时有
max
e 2
,

2
ω＝ωn时，φ≡π/2，与阻尼系数ξ大小无关，利用这一 特点可测取转子系统的ωn，在小阻尼情况下可近似为临界 转速。
第5章 转子动力学 Chapter 5 Rotor Dynamics
随着工业的高速发展，旋转机械正在向着高转速、轻结构、高 效率、高载荷的趋势发展。这使得转子动力系统的结构更加复 杂，也使得影响其动力学特性的因素变得复杂。
§5-1 单盘转子的动力学分析
一般的旋转机械的主要部件即其转子，转子的结构型式多种 多样，为分析和计算方便，一般将转子的力学模型简化为一 无质量的弹性转轴和一薄的圆盘，转轴两端由刚性轴承及轴 承座支撑，称之为Jeffcott单盘转子模型为主，如下图示， 来分析旋转动力系统的振动基本特性。
，上式变为：
x(t ) e cos(t ) y (t ) e sin(t )
进一步上式变为：
x(t ) e cos(t ) 0 y (t ) e sin(t ) 0
§5-2 描述转子动力学的基本理论
建立Jeffcott转子模型，其中 0 为附体坐标系，
阻尼不平衡响应分析应该指出，该机器将符合下面SM（隔离 裕度）。 1）如果在一具体临界转速上的AF（放大系数）小于2.5,则该 响应被看作临界阻尼的和不要求SM。 2）如果在一具体临界转速上的AF为2.5或大于2.5及临界转速 低于最低转速，该SM（作为最小转速的百分数）应不小于 下列方程式中计算出的值或值16，取较小者。 1 SM 171 AF 1.5 3）如果在一具体转速上的AF等于2.5或大于2.5及临界转速高 于最大连续转速，该SM（作为最大连续转速的百分数）应 不小于下列方程式计算出的值或值26，取较小值。
在此
qa u e , a 1, 2, ,8,
同时假定质量偏心按下式分布：
( s) L 1 R l l
s s
( s) L 1 R l l


s
s
联合得到：
Q
s L L a (t ) dt Qa qa dt qa (t ) q q q a 1 a 1 a a s
s e s L d L L t2 a (t ) t1 a (t ) dt Qa qa dt qa (t ) dt q q a a a 1 qa a 1 q a 1 dt q a 1 s
c , 2mn
, n
2 , tg 1 2
1

2
(1 2 ) 2 (2 ) 2
则稳态响应为：
x(t ) e cos(t ) y (t ) e sin(t )
形心的运动轨迹：
x y (e )
2 2
2
2）转子的幅（值）—频（转速）曲线（特性）
xG x e cos t yG y e sin t
联立上面两个方程，我们可以得到此时轴心O’的运动微 分方程：
mx cx kx me 2 cos t 2 my sin t cy ky me
令：
k n m
很明显（物理含义）： 1）ω«ωn时，φ→0 ，圆盘“重边飞出”。 2）ω=ωn时，φ= π/2 。 3）ω»ωn时，φ→π，圆盘“轻边飞出”，质心与o重合： 自动定心或质心转向。
x(t ) e cos(t ) y (t ) e sin(t )
事实上，
1 ω»ωn时，φ→π，
L d L Qa qa (t )dt a dt q a 1 qa
s
由 q a 的独立性、任意性，可得到：
L d L Qa a q a dt q
其中
Qa 包括广义（由偏心质量引起的）及节点处的油膜力。
将有关公式代入，并经整理，可得到下列形式的系统运动 方程：
其中
m
Ip
Id
为轴单位长度上的质量、极转动惯量、直径转动惯量。
将上式代入得到轴段的质量阵、刚度阵、陀螺阵、广义重力 向量及广义力向量： 单元质量阵（见PDF文件）：
2 2 M M T 0 M T 1 M T 2 M R 0 M R 1 M R 2
离心力：
2 e cos( ) j m e sin( )k F m
在以上的推导中，不考虑x方向的变形，且
,
则上式可进一步写成：
d 2 d F m cos sin d d
其中
d e cos
d e sin
§5-3 转轴系统的有限元逼近
根据所研究结构的特点，同时考虑到数学推导的方便，对系统作下 列的一些假设： 1)转轴产生小的变形，并采用Timoshenko梁－轴模型，即考虑了梁 的 剪切变形。 2)轴承的油膜力，在系统中处理为节点力。同时外弹性刚度、阻尼 产 生的力也做同样的处理。 3)根据实际情况，将转盘处理为旋转刚体，同时将轴承体也处理为 刚 体。
轴段的动能、势能分别为：
T
e

0
l
0
T 1 v 2 w
T 1 2 m 0 v 1 Ip 0 m w 2 2
Id 0
0 I p ds I d
其中 单元刚度阵：
12 EI kAGl 2
e K K 0 K 1
单元陀螺阵：
e 2 G G G G 2 0 1
广义力向量： 根据广义力的定义：
Q
i 1 n
r F1 i qa
C u K u g (t ) f (u, u ) M u
§5-5 临界转速的确定
1、临界转速 当施加到一转子—轴承支承系统的强制振动现象（激振）的 频率同系统的自然频率一致时，该系统将处于共振状态。 共振中的转子—轴承支承系统可能有被放大的正常振动的量 值。在临界转速情况下，放大量和相对于转速的相位角的变 化率同系统中阻尼量相关。 目前方法有：不平衡响应分析、通过固有频率确定。 API规定：利用不平衡响应分析确定临界转速。 临界转速和它们相关联的放大系数应由阻尼的转子不平衡响 应分析来确定。
l
§5-4 系统运动方程的确定
Hamilton原理：对于一运动的真实过程，满足积分式：
s L Q q a a dt 0 a 1
其中 事实上
L T V
为Lagrange函数，Qa 为非保守的广义力。
s L Q q a a dt a 1
设转子上的圆盘位于转子两支点的中央，当转子静止时，由于 圆盘的重量使转子轴弯曲变形产生静挠度，即静变形。此时， 由于静变形较小，对转子运动的影响不显著，可以忽略不计， 即认为圆盘的几何中心O′与轴线AB上O点相重合，如图所示：
转子开始转动，由于离心力的作用，转子产生动挠度。此时转 子有两种运动： 1)一种是转子的自身转，即圆盘绕其轴线AO′B的转动； 2)另一种是弓形转动，即弯曲的轴心线AO′B与轴承联线AOB组 成的平面绕AB轴线的转动。
wk.baidu.com
下面采用有限元方法，对系统进行离散化处理，选取轴段 单元进行分析：
设节点的位移为 其中有关系式： 并假设
u v, w, ,
T
w EI w x AG

v EI v x AG
w 1, x, x 2 , x 3 a
v 1, x, x 2 , x 3 b
Ve

l
T 1 v 2 w
EI 0
E2I 2 T 0 v 1 v AG w 2 w EI 0
0 v mgw ds 2 2 w E I AG
若刚体为动力对称刚体，即
J J J d
J J p
并且无质量偏心。在此不考虑轴的轴向变形，设质心坐标 为（y,z），则刚体的总动能为：
1 1 2 2 2 )] z sin ) 2 J d ( 2 cos 2 ) [ J p ( T m( y 2 2
将上式展开，并只保留一阶小量得：
1 1 1 2) 2 z 2 J p J d ( 2 2 ) J p m( y 2 2 2
T
对于刚体有质量偏心的情况，将质量偏心产生的离心力视作 非保守的广义力。 刚体有偏心时，偏心质量所产生的离心力：
F m ( rc )
3）转子的相（位）—频（转速）曲线（特性）
4）临界转速
2n 2 n 2 2 n 2 e d 0 3 2 2 d 2 2 2 2 n 2n
2


可得：
cr n
1 1 2 2
0 xyz 为固定坐标系。
根据刚体运动学理论，刚体的转动姿态可用其附体坐标系 0 ) 对固定坐标系 0 xyz的方向余弦阵 A(t表示： i [ A(t )] j k
引入卡丹儿角：
分析转子的振动特性： 1）力学模型 如图圆盘的质心G与转轴中心O′（x,y）不重合，设e为圆盘 的偏心距离，即O′G＝e，如，当圆盘以角速度ω转动时，质 心G的加速度在坐标上的位置为：
质心 G 的运动方程：
G kx cx mx G ky cy my
而G位置又可以由转轴中心O′的坐标表示为：

i 1
n
r F1 i qa

Qce cos t Qse sin t
( s) ( s ) 2 [ ]T m cos sin ds ( s ) ( s ) 0
Nc1 =转子第一阶临界转速，中心频率 r/min。 Ncn =转子第n阶临界转速。 Nmc =最高连续转速，105% 。 N1 =0.707倍振幅峰值（临界的）时对应的初始（较低的）转速。 N2 =0.707倍振幅峰值（临界的）时对应的终止（较高的）转速。 N2—N1=在“半功率”点峰值宽度。 N c1 AF =放大系数 N 2 N 1 SM =隔离裕度。 CRE =临界响应区。 Ac1 =在Nc1处的振幅。 Can =在Ncn处的振幅。