天体运动总结

天体运动

总结

一、处理天体运动的基本思路

1．利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解，即G Mm

r 2＝ma ，其中a

＝v 2r ＝ω2r ＝(2π

T

)2r ，该组公式可称为“天上”公式． 2．利用天体表面的物体的重力约等于万有引力来求解，即G Mm

R 2＝m g ，gR2＝GM ，该公式通常被称为黄金代

换式．该式可称为“人间”公式．

合起来称为“天上人间”公式．

二、对开普勒三定律的理解 开普勒行星运动定律

1．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．此比值的大小只与有关，在不

同的星系中，此比值是不同的.(R 3

T 2＝k )

1．开普勒第一定律说明了不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，但有一个共同的焦点． 2．行星靠近太阳的过程中都是向心运动，速度增加，在近日点速度最大；行星远离太阳的时候都是离心运动，速度减小，在远日点速度最小．

3．开普勒第三定律的表达式为a 3

T 2＝k ，其中a 是椭圆轨道的半长轴，T 是行星绕太阳公转的周期，k

是一个常量，与行星无关但与中心天体的质量有关．

三、开普勒三定律的应用

1．开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转．

2.表达式a 3

T 2＝k 中的常数k 只与中心天体的质量有关．如研究行星绕太阳运动时， 常数k 只与太

阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k 只与地球的质量有关．

四、太阳与行星间的引力

1．模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运一、太阳与行星间的引力 2．万有引力的三个特性

(1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力．

(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足牛顿第三定律．

(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力很小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用．

五．万有引力和重力的关系

1. 万有引力和重力的关系

如图6－2、3－3所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式

得F＝G Mm

r2

.引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转

做圆周运动的向心力F n，F2就是物体的重力mg

2.近似关系：如果忽略地球的自转，则万有引力和重力的关系为：mg＝

GMm R2，g为地球表面的重力加速度．关系式2

G Mm/R

mg=即2

gr

G M=

3．随高度的变化：在高空中的物体所受到的万有引力可认为等于它在高空中所受的重力mg′＝

G

Mm

（R＋h）2

，在地球表面时mg＝G

Mm

R2

，所以在距地面h处的重力加速度g′＝

R2

（R＋h）2

g.

六．天体质量和密度的计算

（一）.“天体自身求解”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重

力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G Mm

R2

，解得天体质量为M＝

gR2

G

，因g、R是天体自身的参量，

故称“自力更生法”．

(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况：

G Mm

r2

＝m

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

2π

T

2

r⇒M＝

4π2r3

GT2

，已知绕行天体的r和T可以求M.

观测行星的运动，计算太阳的质量；观测卫星的运动，计算行星的质量。

（二）.若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝

M

4

3

πR3

，将M＝

4π2r3

GT2

代入上式可得ρ＝

3πr3

GT2R3

.特殊情

况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2

.

七、四个重要结论：

设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．

(1)由G Mm

r2

＝m

v2

r

得v＝

GM

r

，r越大，v越小．

(2)由G

Mm r 2＝m ω2

r 得ω＝GM

r 3

，r 越大，ω越小． (3)由G Mm r 2＝m ⎝

⎛⎭

⎪⎫2πT 2

r 得T ＝2πr 3

GM

，r 越大，T 越大． (4)由G Mm r 2＝ma 向得a 向＝GM

r 2，r 越大，a 向越小．

以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．

八．、人造卫星、宇宙航行的相关问题

1．发射速度与环绕速度

人造卫星的发射速度随着发射高度的增加而增大，最小的发射速度为v ＝

GM

R

＝gR ＝7.9 km/s ，即第一宇宙速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度．由v ＝

GM

r

可知，人造地球卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，所以第一宇宙速度v ＝7.9 km/s 是最小的发射速度也是最大的环绕速度．

2．稳定运行和变轨运行

稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，由GMm r 2＝m v 2

r ，得v ＝

GM

r

，由此可知，轨道半径r 越大，卫星的速度越小．

变轨运行：当卫星由于某种原因，其速度v 突然变化时，F 万和m v 2

r 不再相等，速度不能再根据v ＝

GM

r

来确定大小．如：

(1) 当v 减小时，F 万>m v 2

r 时，卫星做近心运动，卫星轨道半径r 减小，轨迹变为椭圆；

(2) 当v 增大时，F 万

r 时，卫星做离心运动，卫星轨道半径r 增大，轨道变为椭圆．

3．两种特殊卫星

(1)近地卫星：卫星轨道半径约为地球半径，受到的万有引力近似为重力，故有G Mm R 2＝mg ＝m v 2

R ，v ＝

GM

R

＝gR ＝7.9 km/s.

(2)地球同步卫星：相对于地面静止的人造卫星，它的周期T ＝24 h ．所以它只能位于赤道正上方某一确定高度h ，h ＝(GMT 24π2

)1

3

－R ≈3.6×104 km ，故世界上所有同步卫星的轨道均相同，但它们的质量可以不同． 四个特点：

A. 轨道取向一定：运行轨道平面与地球赤道平面共面

B. 运行方向一定：与地球自转方向相同

C. 运行周期一定：与地球自转周期一样

D. 运行速率、角速度一定