第12讲 向量的内积.PPT
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向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1
1
1,
2
2
1
1
正交，试求3 使1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2, x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
这个基正交规范化， 也就是将一个线性无关 的向量组正交规范化.
将线性无关的向量组1,2, ,r正交规范化
（1）正交化
取 1 1,
2
2
1 , 1 ,
2 1
1
,
3
3
[1, [1,
3 1
] ]
1
[2, [2,
3 2
] ]
2
,
r
r
[1, [1,
r 1
] ]
1
[ [r
r 1
1 ,
,
r
r] 1 ]
e1
1 1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
1 2
2 2 2 2
e2
2 2
1 0,2,1,3 0, 2 , 1 ,
14
14 14
3 14
e3
3 3
1 1,1,2,0
6
1, 6
1 , 2 ,0 6 6
3
3
[3, 21] 1
1
[3, 22] 2
2
4 1 0
a b c d 0,
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交, 所以P是正交矩阵.
五、小结
1．将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化．
2． A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
解
cos
[,
]
3
18 26
2 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当[ x, y] 0时,称向量x与y 正交 .
注：由定义知,若 x 0,则 x与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理一 若n维向量α1,α2, ,αr是一组两两正交的
a21
a22
an1 an2
a1n a11 a2n a12 ann a1n
a21 a22 a2n
an1
an2
E
ann
12
T1
,T2
,
,Tn
E
n
12
T1 T1
n T1
12
T2 T2
n T2
12
Tn Tn
n Tn
E
i
Tj
1,当i
0,当i
( A1)T ( AT )1 ( A1)1 A A1是正交阵；
( A )1 ( A1) ( AT ) ( A )T A是正交阵
（3）若A, B是 n阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵.
( AB) ( AB)T ABBT AT AEAT E
定义5 若P为正交阵,则线性变换 y Px 称为正
~
0 0
1 0
1
0
3 4
3
x1 4 / 3x4
对应的同解方程为： x2 -3x4
x3 4 / 3x4 4 3
令x4 1
得基础解系:
4
3 3
4 3
1
方程通解为:
x
k
4
3 3
(k为任意常数）
1
1 2 3 3 7
2.
3 0
2 1
1 2
1 3 2 6
5 4 3 3 1
为向量 x与 y的内积，记为 x, y
[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn
说明 1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列
向量,内积可用矩阵记号表示为: x, y xT y.
内积的运算性质 其中x, y, z为n维向量,为实数 :
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 3
1 2 1 12
1 3 1 2, 1
2
1
9 8
9
4 9
8 9 1
9 4
9
4
9 4
.
9
7 9
解 1 考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1
1 2
1 2
1
1 3
1 2
0,
所以它不是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
交变换．
正交变换具有以下性质：
(1)正交变换保持向量的长度不变； 证明 设y Px为正交变换, 则有 y yT y xT PT Px xT x x .
(2)正交变换保持向量的内积不变.
证明 设1 P1, 2 P2, 其中P为正交矩阵，
则有 1, 2 P1, P2 1PP2 12 1, 2 .
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交基.
５正交规范基 定义3 设n维向量 e1,e2, ,er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1,e2, ,er两两正交且都是单位 向量,则称e1,e2, ,er是 V的一个正交规范基
解 2 ,3 应满足方程1T x 0,即
x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1 0
1
0 1
,
2
1 1
.
1 0
1
0 ,
1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
2
1
,
3
2
[[11,,12]]1.
其中[1
, 2]
1,[ 1, 1]
2,于是得
2
1 0
n维向量空间Rn的一个正交规范基.
6、求正交规范基的方法
设1,2, ,r是向量空间V的一个基, 要
求V的一个规范正交基, 就是要找一组两两正
交的单位向量e1,e2, ,er , 使e1,e2, ,er与1, 2, ,r等价, 这样一个问题, 称为把1,2, ,r 这个基正交规范化.
若1,2, ,r为向量空间V的一个基, 将
练习十 参考答案与参考解答
一 填空题
1. 1, 2, ,k 线性无关 AX O 中任一解可由1，2， ，k线性表示
2. t n n t
二
1 1. 2
2
1 1 2
2 1 1 1 1 2
1
~
0 0
1 1 0
2 1
3 3
1 4
1 0 0 4 3
~
0 0
1 0
1
0
3 4
3
1 0 0 4 3
由于
[ei ,ej ] 0, i j且i, j 1,2,3,4. [ei ,ei ] 1, i 1,2,3,4.
所以e1,e2 ,e3 ,e4为R4的一个正交规范基.
同理可知
1 0 0 0
1
0 0
,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个正交规范基.
n维单位向量组1， 2， ， n就是
1 3
1 2 1
5 3
1 1 1
1 2 0.
1
再把它们单位化，取
e1
1
1
1
1 6
2 1
,
e2
2
2
1 3
1 1 , 1
e3
3
3
1 2
1 0 1
.
e1 , e2 , e3即合所求.
1
例４
已知1
1
,
求一组非零
向量2
,3
,
使1
,2
,
1
3两两正交.
,
1
3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AAT E 即A1 AT ,则
称A为正交矩阵 .
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量 都是单位向量且两两正交．
证明 A AT E
a11 a12
从而 1 2，2, ,r 是原方程组的基础解系。
第十二讲
第五章 相似矩阵与二次型
第一节 向量的内积
一 内积的定义及性质 二 向量的长度及性质 三 正交向量组的概念及求法 四 正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
定义1 设有n维向量
x1
x
x2 ,
xn
y1
y
y2 ,
yn
定义 x1 y1 x2 y2 xn yn
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4) [x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x [x, x] x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度 或 范数 .
思考题
求一单位向量，使它与下面 3 个向量均正交．
1,1,1,1 1
1,1,1,1
23 2,1,1,3
思考题解答
解 设所求向量为x (a,b,c,d ),则由题意可得:
[ x, x] 1 a2 b2 c2 d2 1,
则有
[[[132
, , ,
x] x] x]
0 0 0
1 2 3 3 7
~0 4 8 8 24
0 0
1 6
2 12
2 12
6
36
1 0 1 1 5
~ 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 0 0 0 0 0
对应的同解方程为：
x
1
x3 x4 5x5
x
2
2 x3
2 x4
6 x5
令
x3 x4
1 0 ,
非零向量,则α1,α2, ,αr线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使
11
22
rr
0
以1T 左乘上式两端, 11T1 0
因两两正交，1Ti
0(i
1)
由1
0
1T1
1
2
0,
从而有1
0
.
同理可得2 r 0. 故1,2, ,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2, ,r是向量空间V的一个基,且1,2, ,r是两两正交的非零向量组,则称1,2, ,r是
(或标准正交基).
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1 1
0
2 2
, e4
0 1 1
2 . 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
正交规范化.
解 先正交化， 取
1
1
1,1,1,1
2
2
1
,2
1,1
1 1,1,0,4
11 4
1,1,1,1
1111
0,2,1,3
3
3
[1 [1
,3 ,1
] ]
1
[2 [ 2
,3 ,2
] ]
2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 14 0,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
9 9 9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9 8
9
4 9
8 9 1
9 4
9
4 9
4 9 7
9
1
9 8
9 4
T
1 0
9 7
0
9
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
j; j
i, j 1,2, ,n
正交矩阵还具有以下性质： (1)正交矩阵 A 的行列式 A 1;
（AAT E 或者A1 AT）
AAT E,| AAT || A |2 1 | A | 1
(2)若A 是正交矩阵，则AT , A1, A 也是正交矩阵；
AT ( AT )T AT A E AT 是正交阵；
0 1 ,
0 0
x5 0 0 1
得
x1 x2
1
2
,
1
2
,
5
6
1 2
1 2
5 6
1 1 2 0 3 0
0
1
0
0
0
1
为方程组的基础解系
三、
设
1
,2，
,r
的一个基础解系，则
是齐次线性方程组
1,1
2，
,1
2
Ax
r
0
也是此方程组的一个基础解系。
证（1）显然，1
,2，
,r
与
1
2，2 ,
,r
都是原方程组的解。
（2） 这说明
R1 (12,，2，2,,r,)r与R(11,2，2，,r22等,价,。r )
从而向量组线性无关。
线由性于表示Ax，所0以的任x 一也解可由x可1由 基2，础解2,系 ,1r
,2，
,r
线性表示，
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当x 0时, x 0;当x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1当 x 1时,称 x为单位向量.
2当
x
0,
y
0时,
arccos
x,
x
y
y
称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
r
1
,
那么1, , r两两正交, 且1, , r与1, r等价.
（2）单位化
取
e1
1 1
,
e2
2 2
,
, er
r r
,
那么e1,e2 , ,er为V的一个正交规范基.
上述由线性无关向量组1, ,r构造出
正交向量组1, , r的过程, 称为施密特正
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1
1
1,
2
2
1
1
正交，试求3 使1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2, x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
这个基正交规范化， 也就是将一个线性无关 的向量组正交规范化.
将线性无关的向量组1,2, ,r正交规范化
（1）正交化
取 1 1,
2
2
1 , 1 ,
2 1
1
,
3
3
[1, [1,
3 1
] ]
1
[2, [2,
3 2
] ]
2
,
r
r
[1, [1,
r 1
] ]
1
[ [r
r 1
1 ,
,
r
r] 1 ]
e1
1 1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
1 2
2 2 2 2
e2
2 2
1 0,2,1,3 0, 2 , 1 ,
14
14 14
3 14
e3
3 3
1 1,1,2,0
6
1, 6
1 , 2 ,0 6 6
3
3
[3, 21] 1
1
[3, 22] 2
2
4 1 0
a b c d 0,
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交, 所以P是正交矩阵.
五、小结
1．将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化．
2． A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
解
cos
[,
]
3
18 26
2 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当[ x, y] 0时,称向量x与y 正交 .
注：由定义知,若 x 0,则 x与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理一 若n维向量α1,α2, ,αr是一组两两正交的
a21
a22
an1 an2
a1n a11 a2n a12 ann a1n
a21 a22 a2n
an1
an2
E
ann
12
T1
,T2
,
,Tn
E
n
12
T1 T1
n T1
12
T2 T2
n T2
12
Tn Tn
n Tn
E
i
Tj
1,当i
0,当i
( A1)T ( AT )1 ( A1)1 A A1是正交阵；
( A )1 ( A1) ( AT ) ( A )T A是正交阵
（3）若A, B是 n阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵.
( AB) ( AB)T ABBT AT AEAT E
定义5 若P为正交阵,则线性变换 y Px 称为正
~
0 0
1 0
1
0
3 4
3
x1 4 / 3x4
对应的同解方程为： x2 -3x4
x3 4 / 3x4 4 3
令x4 1
得基础解系:
4
3 3
4 3
1
方程通解为:
x
k
4
3 3
(k为任意常数）
1
1 2 3 3 7
2.
3 0
2 1
1 2
1 3 2 6
5 4 3 3 1
为向量 x与 y的内积，记为 x, y
[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn
说明 1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列
向量,内积可用矩阵记号表示为: x, y xT y.
内积的运算性质 其中x, y, z为n维向量,为实数 :
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 3
1 2 1 12
1 3 1 2, 1
2
1
9 8
9
4 9
8 9 1
9 4
9
4
9 4
.
9
7 9
解 1 考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1
1 2
1 2
1
1 3
1 2
0,
所以它不是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
交变换．
正交变换具有以下性质：
(1)正交变换保持向量的长度不变； 证明 设y Px为正交变换, 则有 y yT y xT PT Px xT x x .
(2)正交变换保持向量的内积不变.
证明 设1 P1, 2 P2, 其中P为正交矩阵，
则有 1, 2 P1, P2 1PP2 12 1, 2 .
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交基.
５正交规范基 定义3 设n维向量 e1,e2, ,er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1,e2, ,er两两正交且都是单位 向量,则称e1,e2, ,er是 V的一个正交规范基
解 2 ,3 应满足方程1T x 0,即
x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1 0
1
0 1
,
2
1 1
.
1 0
1
0 ,
1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
2
1
,
3
2
[[11,,12]]1.
其中[1
, 2]
1,[ 1, 1]
2,于是得
2
1 0
n维向量空间Rn的一个正交规范基.
6、求正交规范基的方法
设1,2, ,r是向量空间V的一个基, 要
求V的一个规范正交基, 就是要找一组两两正
交的单位向量e1,e2, ,er , 使e1,e2, ,er与1, 2, ,r等价, 这样一个问题, 称为把1,2, ,r 这个基正交规范化.
若1,2, ,r为向量空间V的一个基, 将
练习十 参考答案与参考解答
一 填空题
1. 1, 2, ,k 线性无关 AX O 中任一解可由1，2， ，k线性表示
2. t n n t
二
1 1. 2
2
1 1 2
2 1 1 1 1 2
1
~
0 0
1 1 0
2 1
3 3
1 4
1 0 0 4 3
~
0 0
1 0
1
0
3 4
3
1 0 0 4 3
由于
[ei ,ej ] 0, i j且i, j 1,2,3,4. [ei ,ei ] 1, i 1,2,3,4.
所以e1,e2 ,e3 ,e4为R4的一个正交规范基.
同理可知
1 0 0 0
1
0 0
,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个正交规范基.
n维单位向量组1， 2， ， n就是
1 3
1 2 1
5 3
1 1 1
1 2 0.
1
再把它们单位化，取
e1
1
1
1
1 6
2 1
,
e2
2
2
1 3
1 1 , 1
e3
3
3
1 2
1 0 1
.
e1 , e2 , e3即合所求.
1
例４
已知1
1
,
求一组非零
向量2
,3
,
使1
,2
,
1
3两两正交.
,
1
3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AAT E 即A1 AT ,则
称A为正交矩阵 .
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量 都是单位向量且两两正交．
证明 A AT E
a11 a12
从而 1 2，2, ,r 是原方程组的基础解系。
第十二讲
第五章 相似矩阵与二次型
第一节 向量的内积
一 内积的定义及性质 二 向量的长度及性质 三 正交向量组的概念及求法 四 正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
定义1 设有n维向量
x1
x
x2 ,
xn
y1
y
y2 ,
yn
定义 x1 y1 x2 y2 xn yn
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4) [x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x [x, x] x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度 或 范数 .
思考题
求一单位向量，使它与下面 3 个向量均正交．
1,1,1,1 1
1,1,1,1
23 2,1,1,3
思考题解答
解 设所求向量为x (a,b,c,d ),则由题意可得:
[ x, x] 1 a2 b2 c2 d2 1,
则有
[[[132
, , ,
x] x] x]
0 0 0
1 2 3 3 7
~0 4 8 8 24
0 0
1 6
2 12
2 12
6
36
1 0 1 1 5
~ 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 0 0 0 0 0
对应的同解方程为：
x
1
x3 x4 5x5
x
2
2 x3
2 x4
6 x5
令
x3 x4
1 0 ,
非零向量,则α1,α2, ,αr线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使
11
22
rr
0
以1T 左乘上式两端, 11T1 0
因两两正交，1Ti
0(i
1)
由1
0
1T1
1
2
0,
从而有1
0
.
同理可得2 r 0. 故1,2, ,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2, ,r是向量空间V的一个基,且1,2, ,r是两两正交的非零向量组,则称1,2, ,r是
(或标准正交基).
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1 1
0
2 2
, e4
0 1 1
2 . 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
正交规范化.
解 先正交化， 取
1
1
1,1,1,1
2
2
1
,2
1,1
1 1,1,0,4
11 4
1,1,1,1
1111
0,2,1,3
3
3
[1 [1
,3 ,1
] ]
1
[2 [ 2
,3 ,2
] ]
2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 14 0,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
9 9 9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9 8
9
4 9
8 9 1
9 4
9
4 9
4 9 7
9
1
9 8
9 4
T
1 0
9 7
0
9
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
j; j
i, j 1,2, ,n
正交矩阵还具有以下性质： (1)正交矩阵 A 的行列式 A 1;
（AAT E 或者A1 AT）
AAT E,| AAT || A |2 1 | A | 1
(2)若A 是正交矩阵，则AT , A1, A 也是正交矩阵；
AT ( AT )T AT A E AT 是正交阵；
0 1 ,
0 0
x5 0 0 1
得
x1 x2
1
2
,
1
2
,
5
6
1 2
1 2
5 6
1 1 2 0 3 0
0
1
0
0
0
1
为方程组的基础解系
三、
设
1
,2，
,r
的一个基础解系，则
是齐次线性方程组
1,1
2，
,1
2
Ax
r
0
也是此方程组的一个基础解系。
证（1）显然，1
,2，
,r
与
1
2，2 ,
,r
都是原方程组的解。
（2） 这说明
R1 (12,，2，2,,r,)r与R(11,2，2，,r22等,价,。r )
从而向量组线性无关。
线由性于表示Ax，所0以的任x 一也解可由x可1由 基2，础解2,系 ,1r
,2，
,r
线性表示，
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当x 0时, x 0;当x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1当 x 1时,称 x为单位向量.
2当
x
0,
y
0时,
arccos
x,
x
y
y
称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
r
1
,
那么1, , r两两正交, 且1, , r与1, r等价.
（2）单位化
取
e1
1 1
,
e2
2 2
,
, er
r r
,
那么e1,e2 , ,er为V的一个正交规范基.
上述由线性无关向量组1, ,r构造出
正交向量组1, , r的过程, 称为施密特正