立体几何中存在性问题教案
高二数学立体几何问题解析教案
高二数学立体几何问题解析教案一、引言在高中数学学习中，立体几何是一个重要的内容领域。
本教案旨在解析高二数学中立体几何问题的解题方法和技巧，帮助学生理解和掌握相关知识，提高解决问题的能力。
二、教学目标1. 理解立体几何的基本概念和性质；2. 学会应用立体几何的知识解决实际问题；3. 培养思维能力和逻辑推理能力。
三、教学内容1. 空间几何体的概念和特性；2. 空间几何体的计算方法；3. 空间几何体的应用问题解析。
四、教学过程1. 导入概念通过引入三维空间的概念，引导学生了解立体几何的基本概念和性质，并举例说明不同几何体的特点。
2. 空间几何体的计算方法分别介绍球体、棱柱、棱锥、棱台等几何体的计算方法，包括体积、表面积等相关公式的推导和应用。
3. 空间几何体的应用问题解析通过例题演练，帮助学生熟悉应用题的解题思路和方法。
重点培养学生观察问题、分析问题、建立数学模型的能力。
4. 答疑解惑针对学生可能遇到的问题和难点，进行答疑解惑，帮助学生理解和巩固所学知识。
五、教学资源1. 教材：根据教学内容选用适当的教材和练习册；2. 图形工具：提供几何体的示意图、实物模型等进行展示。
六、教学评价和反思针对学生的学习情况，及时进行评价和反思，帮助学生发现问题并加以改进。
在教学中关注学生的学习兴趣和动力，激发学生对数学的兴趣和热爱。
七、教学总结通过本教案的教学，学生应当对高二数学中的立体几何问题有初步的认识和理解。
同时，他们也应该能够应用所学知识解决实际问题，并提高解决问题的能力。
八、延伸拓展鼓励学生积极参加数学竞赛和活动，拓宽数学视野，深入了解立体几何的更多内容和应用。
以上是高二数学立体几何问题解析教案的内容，希望能够对学生的学习有所帮助。
通过这份教案的实施，相信学生们会对立体几何有更深入的理解，并能够灵活应用所学知识解决问题。
直角三角形的存在性问题(教案)
直角三角形的存在性问题（教案）学习目标：1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。
2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。
一、课前准备1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 .2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 .【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题.二、我们一起来探究如图，A （0，1），B （4，3）是直线121+=x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标.yxBA OyxBA OyxBAO（备用图1） （备用图2）提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图.（4）解题有哪些方法？（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点.变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值.【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫.三、反馈练习1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个.2.在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别同时从A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2cm/s. 点Q 在线段BC 上向点C 运动，速度为1cm/s.设运动时间为t s ，当t= 时，△BPQ 是直角三角形.3.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =角形，求x 的值；追问：x 的取值范围如何？【设计意图】通过这三个题的练习，让学生了解尽管题目的背景不同，但是方法是一样的，旨在检测学生对分类讨论思想的应用，学会针对直角顶点进行分类画图，并采用合适的方法予以解答.四、链接中考（2011 济南）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）. 抛物线834942++-=x x y 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ，Q 是AC 上一点，且AQ ＝5. 请问在抛物线对称轴l 上是否存在点F ，使得△FDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
立体几何中的存在性问题
立体几何中的存在性问题1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．(1)求证：OD ∥平面ABC ；(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小；(2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE 的值，若不存在，说明理由．立体几何中的存在性问题1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．(1)求证：OD ∥平面ABC ；(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小；(2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE的值，若不存在，说明理由．立体几何中的存在性问题1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．(1)证明 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接C 1D ， ∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形， ∴DC 1⊥D 1C .又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， ∴AD ⊥平面DCC 1D 1， 又D 1C ⊂平面DCC 1D 1， ∴AD ⊥D 1C .∵AD ⊂平面ADC 1，DC 1⊂平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ， ∴D 1C ⊥平面ADC 1，又AC 1⊂平面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1. (2)解 假设存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD . 连接AD 1，AE ，D 1E ， 设AD 1∩A 1D ＝M ， BD ∩AE ＝N ，连接MN ， ∵平面AD 1E ∩平面A 1BD ＝MN ， 要使D 1E ∥平面A 1BD ， 可使MN ∥D 1E ， 又M 是AD 1的中点， 则N 是AE 的中点． 又易知△ABN ≌△EDN ， ∴AB ＝DE .即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时， 可使D 1E ∥平面A 1BD .2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．(1)求证：OD ∥平面ABC ；(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由． (1)证明 取AC 中点F ，连接OF ，FB . ∵F 是AC 中点，O 为CE 中点， ∴OF ∥EA 且OF ＝12EA .又BD ∥AE 且BD ＝12AE ，∴OF ∥DB ，OF ＝DB ，∴四边形BDOF 是平行四边形，∴OD ∥FB . 又∵FB ⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC ， ∴OD ∥平面ABC .(2)解 ∵平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，且BD ⊥BA ， ∴DB ⊥平面ABC .∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC .2、如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,2)，E (4,0,4)，O (2,0,2)，M (2,2,0)，∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥MD →，n ⊥OD →，可得⎩⎨⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0.令x ＝2，得y ＝1，z ＝1.∴n ＝(2,1,1)． 设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，则sin θ＝|n ·CD →||n ||CD →|＝|(2，1，1)·(0，4，2)|22＋12＋12·02＋42＋22＝66·25＝3010.∴直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为3010. (3)解 当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE . 方法一 取EM 中点N ，连接ON ，CM ， ∵AC ＝BC ，M 为AB 中点， ∴CM ⊥AB .又∵平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，CM ⊂平面ABC ，∴CM ⊥平面ABDE . ∵N 是EM 中点，O 为CE 中点， ∴ON ∥CM ，∴ON ⊥平面ABDE . 方法二 由(2)设N (a ，b ，c )，∴MN →＝(a －2，b －2，c )，NE →＝(4－a ，－b,4－c )． ∵点N 在ME 上，∴MN →＝λNE →， 即(a －2，b －2，c )＝λ(4－a ，－b,4－c )，∴⎩⎨⎧a －2＝λ(4－a )，b －2＝λ(－b )，c ＝λ(4－c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ＋2λ＋1，b ＝2λ＋1，c ＝4λλ＋1.∴N (4λ＋2λ＋1，2λ＋1，4λλ＋1)．∵BD →＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量， ∴ON →⊥BD →，∴4λλ＋1＝2，解得λ＝1.∴MN →＝NE →，即N 是线段EM 的中点， ∴当N 是EM 的中点时，ON ⊥平面ABDE .3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小；(2)在D 1E 上是否存在一点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE 的值，若不存在，说明理由．解 (1)设AC 与BD 交于点O ，如图所示建立空间直角坐标系O －xyz ，设AB ＝2， 则A (3，0,0)，B (0，－1,0)，C (－3，0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,2)，设E (0，－1，t )，t >0，则ED 1→＝(0,2,2－t )，CA →＝(23，0,0)，D 1A →＝(3，－1，－2)．∵D 1E ⊥面D 1AC ，∴D 1E ⊥CA ，D 1E ⊥D 1A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·CA →＝0，ED 1→·D 1A →＝0，解得t ＝3，∴E (0，－1,3)，∴AE →＝(－3，－1,3)，设平面EAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝0，m ·AE →＝0，∴⎩⎨⎧23x ＝0，－3x －y ＋3z ＝0，令z ＝1，y ＝3，m ＝(0,3,1)．又平面D 1AC 的法向量ED 1→＝(0,2，－1)， ∴cos 〈m ，ED 1→〉＝m ·ED 1→|m |·|ED 1→|＝22.所以所求二面角的大小为45°. (2)假设存在点P 满足题意． 设D 1P →＝λPE →＝λ(D 1E →－D 1P →)，得D 1P →＝λ1＋λD 1E →＝(0，－2λ1＋λ，λ1＋λ)，A 1P →＝A 1D 1→＋D 1P →＝(－3，1,0)＋(0，－2λ1＋λ，λ1＋λ)＝(－3，1－2λ1＋λ，λ1＋λ)∵A 1P ∥平面EAC ，∴A 1P →⊥m ，∴－3×0＋3×(1－2λ1＋λ)＋1×λ1＋λ＝0，解得λ＝32，故存在点P 使A 1P ∥面EAC ，此时D 1P ∶PE ＝3∶2.。
初中立体几何整理教案及反思
初中立体几何整理教案及反思教案标题：初中立体几何整理教案及反思教学目标：1. 了解基本的立体几何概念和术语。
2. 掌握常见的立体几何体及其特征。
3. 能够运用几何知识解决相关问题。
4. 培养学生的几何思维和空间想象能力。
教学内容：1. 立体几何的基本概念：点、线、面、体。
2. 常见的立体几何体：球体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等。
3. 立体几何体的特征：底面、侧面、顶点、棱、面等。
4. 立体几何的计算：体积、表面积等。
5. 运用立体几何解决问题。
教学过程：第一节课：1. 导入：通过展示一些立体几何体的图片，引发学生对立体几何的兴趣，并让他们尝试描述这些几何体的特征。
2. 讲解：介绍立体几何的基本概念和术语，例如点、线、面、体，并结合具体例子进行说明。
3. 操练：在课堂上进行一些基本的练习，例如让学生画出不同形状的立体几何体，并用标签标出其特征。
第二节课：1. 复习：简要复习上节课学习的内容，确保学生能够熟练掌握立体几何的基本概念和术语。
2. 导入：通过展示一些常见的立体几何体，例如球体、圆柱等，引导学生观察和思考它们的特征。
3. 讲解：逐一介绍每种立体几何体的特征和性质，包括底面形状、侧面形状、顶点个数等。
4. 操练：通过教材或课堂练习册提供的题目，让学生练习辨认不同立体几何体，并描述其特征。
第三节课：1. 导入：通过提出一些与立体几何相关的问题，引发学生思考和讨论，激发他们运用几何知识解决问题的能力。
2. 讲解：介绍立体几何体的计算方法，包括体积和表面积的计算公式，并通过具体例子进行说明。
3. 操练：在课堂上进行一些相关计算的练习，例如计算某个立体几何体的体积或表面积。
第四节课：1. 复习：简要复习上节课学习的内容，确保学生能够熟练掌握立体几何体的计算方法。
2. 导入：提出一些与立体几何相关的实际问题，让学生运用所学知识解决问题。
3. 操练：分组讨论或小组合作，完成一些立体几何问题的解决，并向全班展示解决过程和结果。
立体几何中存在性问题教案
训练学生如何说明结论不成立
引发学生思考直线是怎么寻找到的，探索问题的本质
总结归纳解题思路及方法
当 数量关系变化时，如何找到点 的位置，检查学生对刚学习的解题方法的掌握程度。
提示学生并非所有的存在性问题结论都是肯定的，渗透分析法与反证法的思想，让学生去思考解决存在性问题的思路，巩固面面平行的判定与线面平行的性质
总结归纳解题思路及方法
巩固基础知识和基本思想方法，提高基本技能
检查学生对知识方法的掌握情况
四、课堂小结
通过这节课的复习，请同学们从知识与方法方面回顾一下，学习过程中遇到了什么问题需要注意哪些方面
五、作业布置
学案上的练习题
教学背景分析
教学
内容
分析
立体几何中常出现点的存在性和位置待定的问题，以“是否存在”、“是否有”、“在何位置”
等形式设问，以示结论有待于确定. 文科主要涉及到平行与垂直的位置关系的考查，其中渗透反证法与分析法的解题思路，也是高考中的常见题型。2012年北京市高考文科就考查了有关线面垂直的存在性问题，2016年北京市高考文科就考查了有关线面平行的存在性问题。
问题4：这些直线是怎么找到的
总结问题的类型及解决问题的方法：
问题5：若将题目中的已知条件 改为 ，你能判断在棱 上是否存在一点 使得 ∥平面 ， 若存在，请指出 点位置，并证明；若不存在，请说明理由.
问题6:在棱 上（除 点外）是否存在一点 使得 ∥平面 ，若存在，请指出 点位置，并证明；若不存在，说明理由.
总结问题的类型及解决问题的方法：
练习：如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 中点， 为线段 上一点.试确定点 在线段 上的位置，使
检测题：1、如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ∥ ， .在棱 上是否存在一点 使得 ∥平面 ，若存在，求出 点位置，并证明；若不存在，说明理由.
难点02 立体几何中的探索性与存在性问题(教学案)-2016年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)(原卷版)
难点二 立体几何中的探索性与存在性问题数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．立体几何中的探索性与存在性问题实质是对线面平行与垂直性质定理的考查．探究性与存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性与存在性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．1对命题条件的探索探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法：1、先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明;2、先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性;3、把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．例1【江苏省扬州中学2016届高三上学期月考试题】如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，a CB DC AD ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，点M 在线段EF 上.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论.2对命题结论的探索探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在．求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论．例2 【海安2016届高三上学期期末试题】（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中 //,AD BC BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角.（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB平面PCD l ，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.对于立体几何的探索性与存在性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决．如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．：。
高中数学立体几何教学现状及对策分析
高中数学立体几何教学现状及对策分析随着我国教育体制不断完善和发展，高中数学成为学生学习的一门重要学科，而数学立体几何作为其中的一个重要分支，是数学中的一个具有杰出成就的分支。
近年来，高中数学立体几何的教学存在一些问题，导致学生学习兴趣不高，学习效果不佳。
我们需要对教学现状进行深入分析，并提出相应的对策，以期提高学生的学习兴趣和学习效果。
1. 学生学习兴趣不高在高中数学立体几何教学中，很多学生由于对空间图形的抽象性和难度较大而产生了学习厌恶心理，导致学习兴趣不高。
他们觉得立体几何知识与日常生活无关，学习困难，产生了对学科的畏难情绪。
2. 教学方法单一在高中数学立体几何教学中，老师通常采用板书和讲解的方式，教学方法单一，缺乏趣味性和参与性，学生难以保持专注，无法主动参与到课堂中来，从而导致教学效果不佳。
3. 缺乏实践与应用高中数学立体几何知识理论较多，但往往缺乏实际应用和实践操作。
学生很难将所学的理论知识应用到实际生活之中，也很难从实践中体验到知识的乐趣，导致学习的枯燥和无趣。
二、对策分析1. 提高教学方式针对学生学习兴趣不高和教学方法单一的问题，我们可以采取多种教学方法相结合的方式，比如通过图片、视频、实物、动手操作等多种手段来进行教学，增加学生的学习兴趣。
2. 强化实践与应用在教学中，应该引导学生进行更多的实践操作，例如通过搭建模型、进行测量等活动，增加立体几何知识的实践性和应用性，让学生可以在实践中体验到知识的乐趣。
3. 创设情境在教学中，要把立体几何知识与实际生活相结合，创设生动有趣的教学情境，让学生在学习的过程中可以感受到知识的实际应用，并感受到学习的乐趣。
4. 注重启发教学在教学中，老师应该注重启发学生的思维，引导学生通过思考和探究来发现知识的规律和意义，培养学生的逻辑思维和分析能力，从而提高学生的学习兴趣和学习效果。
三、结语高中数学立体几何教学是非常重要的一环，在现实生活和学生学习中都有着广泛的应用。
向量问解：立体几何中的存在性问题
（） ２ 求二面角Ｄ－ Ｂ Ａ 的大小 ；
高版 ？ ？ ＿＿ 中 十。 擞・曩—＿
课 程 解 读
２１ ０ ２年 ７月
材 法
足点 （ ） ， 在可行域中 ， 且使 在
删
ｃｓ ｏ（
） ＝
一
一
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１ 曰Ｄ卜Ｉ Ｉ ／ Ｉ ｔ
１Ｂ ： ／ ， ， Ｃ 、 Ｔ 且肘是Ｂ Ｄ的中点．
（ ） 证 ：Ｍ／ － Ｄ ； １求 Ｅ ／ ￣ Ｆ
又二面角Ｄ
Ｂ 为锐 角 ， 故二面角Ｄ－ Ｂ的大小为６ 。 Ａ ０．
（ ）假设在线段Ｅ 上存在一点Ｐ，使得Ｃ － 晰 成 的角为 ３ Ｂ Ｐ￣Ａ
本题避 开了讨论 直线斜率一ａ中。 的符号问题 ， 也无 须旋转 直 线束通过数形结合 的方法 找到 目标 函数 ＋ｙ ＝ ２仅在点 （ ， ） １０ 处 取得最小值 时 ，直线斜率 的取值 范围 ，从而巧妙解 决 了这类 线性
规 划 问 题．
０
，
—
向上 的射影 Ｉ Ｉ Ｓ ， ） Ｃ （ 取得最大值 的点在Ａ点 ， 以 Ｏ 所
解： 因为Ｅ － Ｂｊ平面Ａ Ｄ，Ｂ＿Ｂ 故 ＶＢ Ｂ Ａ Ｌ Ｄ， ２ 为原点 ， 建立如图３ 所示的空间直角坐标 ￣Ｂ ｘｚ由已知可得Ｂ ０ ００ ， ０ ２ ０ ， ， －ｙ． （ ， ， ）Ａ（ ， ， ）
Ｄ （ ， ， ）Ｃ （ ， ２０ ， （ ， ，、 了 ）Ｆ （ ， ，、 了 ）Ｍ ３Ｏ ０ ， ３ 一 ， ）Ｅ ０ ０ ／ ， ０ １ ／ ，
Ｉ ｙ≤ ２，
立体几何的探索存在性问题
-- ……………………………………装……………………………………订……………………………………线………………………………… ……………………………………装……………………………………订……………………………………线…………………………………第２讲 导数与最值(２） 班级: __＿＿__＿＿_ 姓名: _＿______＿___ 小 组：＿＿_________ 评价：_________＿_ 【考纲解读】 了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次）;了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次),会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次);会用导数解决某些实际问题． 【课堂六环节】 一、导——教师导入新课。
(7分钟） 探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度，也是考生感觉较难,失分较多的问题，归纳起来立体几何中常见的探索性问题有：(1)探索性问题与空间角结合；(２)探索性问题与垂直相结合；(3)探索性问题与平行相结合 二、思——自主学习。
学生结合课本自主学习,完成下列相关内容。
（1５分钟) 角度一 探索性问题与空间角相结合 1.（2０1４·哈师大附中模拟）如图，三棱柱ABC -A 1Ｂ１C １的侧棱AA １⊥底面ABC ，∠A ＣB =９0°,Ｅ是棱CC 1上的动点,Ｆ是A Ｂ的中点，AC ＝1,BC =２,A Ａ１=4. (1)当E 是棱ＣC １的中点时，求证:ＣＦ∥平面AEB １(2)在棱CC 1上是否存在点E ，使得二面角Ａ -EB １ -B 的余弦值是错误!?若存在，求ＣＥ的长,若不存在，请说明理由 解析:(1)证明:取AB 1的中点Ｇ,连接EG ，FG .∵F ，G 分别是棱AB ，AB 1的中点，∴ＦG ∥BB 1，F Ｇ＝＼ｆ(1,２)ＢB 1,又B １B 綊C 1C ,EC ＝１2Ｃ1Ｃ，∴B １Ｂ∥ＥＣ,ＥＣ=错误!B 1B .∴ＦG 綊EC .∴四边形FG ＥC 是平行四边形,∴CF ∥ＥＧ.∵C Ｆ⊄平面ＡＥB 1,E Ｇ⊂平面AEB 1,∴CF ∥平面AEB 1.(２)以Ｃ为坐标原点，射线C Ａ,C Ｂ,ＣC 1为x ，y ，ｚ轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Ｃ-ｘｙz ,则C （0,0,０),Ａ(1，0,0),B 1(0，2,4）.设E (0,0，ｍ）（０≤m ≤４），平面ＡEB 1的法向量n 1=(x ,y ,ｚ）.则1AB =(－1，2，４)， AE ＝(-１,0，ｍ）．由1AB ⊥n １,AE ⊥n 1, 得错误!∴CA 是平面EBB 1的一个法向量，令n ２＝CA ,∵二面角A -EB １-B 的余弦值为2＼r(17)1７， ∴错误!＝c ｏｓ〈ｎ1,n 2〉=错误!=错误!,解得m =1(0≤m ≤4)．∴在棱CC 1上存在点E ，符合题意，此时CE =1.角度二 探索性问题与垂直相结合2.(2０14·南昌模拟)如图是多面体AB Ｃ -A 1B 1Ｃ1和它的三视图.（1)线段CC １上是否存在一点E ，使ＢE ⊥平面A 1C Ｃ1?若不存在,请说明理由，若存在，请找出并证明;(2）求平面C 1A 1C 与平面A １CA 夹角的余弦值．解：（1)由题意知AA 1，ＡＢ，A Ｃ两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,０),A １(0,0，2），B (-2,0,0）,C (0,-2,０）,Ｃ1(－1,－1，２），则1CC =(-1,1,2），11A C =(－1,－1,０)，1AC =（０，-2，－2).设E (x ，ｙ，z ），则CE =(ｘ，y +２，z )，设CE =λ1EC ，则错误! 则E 错误!，BE ＝错误!．由错误!得错误!解得λ＝2，所以线段C Ｃ1上存在一点E ,CE ＝21EC ,使BE ⊥平面A 1CC 1. (2)设平面C 1A １C 的法向量为m ＝(ｘ,y ,ｚ)，则由错误!得错误!取x ＝1,则y =-1,z =1．故ｍ=(1，-1,1)，而平面Ａ1CA 的一个法向量为n =(1，0,0),则cos 〈m ,n 〉=错误!＝错误!＝错误!，故平面C１A１C与平面A1CA夹角的余弦值为＼f(＼ｒ(３）,3）.角度三探索性问题与平行相结合3.(2013·江西模拟）如图,四边形ABＣD是边长为3的正方形,ＤＥ⊥平面ＡBCD,AＦ∥DE，DE＝3AF,ＢE与平面AＢCＤ所成的角为6０°.(1）求证：ＡC⊥平面BDE;(2)求二面角F-BＥ-D的余弦值;（３)设点Ｍ是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AＭ∥平面BEＦ，并证明你的结论.解：(1)证明:∵DE⊥平面ABＣD,∴DE⊥AC,∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥ＢD,又ＤＥ∩BD＝D,∴AＣ⊥平面BDＥ.(２）∵DE⊥平面ABCD,∴∠EBD就是ＢE与平面ＡBCD所成的角,即∠EBD＝60°.∴＼f（ＥD，ＢD)＝错误!.由ＡD=3，得DE＝３错误!,AF=错误!.如图，分别以DＡ，DＣ,ＤE所在直线为ｘ轴，ｙ轴,z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0,０）,F （3，0,错误!)，E（0，０,3错误!),Ｂ(３,3，0)，C（0，3,0)，∴BF=(0,-3，＼r(６)),EF＝(３,0，-２6).设平面BEF的一个法向量为ｎ=(ｘ,y，ｚ)，则错误!即错误!令z＝＼r（6），则n＝（４,2,６）．∵AC⊥平面ＢDE,∴CA＝(3，-３,０)为平面BDＥ的一个法向量,∴cos〈n,CA〉＝错误!=错误!＝错误!.故二面角Ｆ-BE-Ｄ的余弦值为1３13．(3)依题意，设Ｍ（t,t,０)(ｔ>0），则AM=(t-3,t,0)，∵ＡＭ∥平面BEF，∴AM·n＝0,即4(t－3)+２t=0，解得ｔ＝2．∴点M的坐标为(２,２，0),此时DM＝错误!DB，∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点.三、议——学生起立讨论。
初中数学教案探索立体几何的性质与应用
初中数学教案探索立体几何的性质与应用初中数学教案：探索立体几何的性质与应用导语：立体几何是数学中的一个重要分支，通过研究立体的性质与应用，学生能够培养空间想象力和逻辑思维能力。
本节课将带领学生深入探索立体几何的性质与应用，进一步拓展他们的数学视野。
本教案分为三个部分：性质探究、实际应用以及综合训练，以帮助学生全面理解和应用立体几何知识。
1. 性质探究（1000字）1.1 立体的基本概念立体是指在三维空间中存在的有形物体，具有长度、宽度和高度三个方向的尺寸。
与平面几何不同，立体几何研究的是具有立体特征的物体。
1.2 立体的特性立体的特性包括有界性、无界性、表面和体积等。
有界性是指立体的外形有明确的边界，而无界性则是指立体在某些方向上没有边界。
立体的表面是物体的外部边界，而体积是指立体所占据的空间。
1.3 立体的图形表示立体的图形表示方式有多种，包括等轴测图、正交投影图和截面图等。
等轴测图是通过等比例关系绘制立体的三个视图，可以清晰地展示立体的外形特征。
正交投影图则是通过垂直投影将立体的三个视图分别绘制在一个平面上，用于研究立体的内部结构。
而截面图是通过在立体中绘制一个平面，将立体分割成两个部分，用于研究立体的内部构造。
2. 实际应用（1000字）2.1 立体几何在建筑设计中的应用建筑设计是立体几何的一个重要应用领域。
设计师需要运用立体几何的知识，通过对建筑物立体结构的研究和分析，确定建筑物的外观和内部空间的布局。
例如，在设计一座高楼大厦时，需要考虑到立体的稳定性和坚固性，确定建筑物的支撑结构；同时，设计师还需要运用立体几何的原理，通过构建正交投影图和截面图，展示建筑物的外形和内部结构。
2.2 立体几何在工程制图中的应用工程制图是应用立体几何的一项重要技术。
在制作工程图纸时，工程师需要运用立体几何的原理和方法，绘制出准确的三维图形。
例如，在制作零件图时，需要通过正交投影绘制出零件的三个视图，以便工人在加工过程中准确理解零件的形状和尺寸。
《立体几何中的存在性问题》教学设计同步培优
微课堂设计《立体几何中的存在性问题》立体几何中的存在性问题在近几年的全国卷高考中大题第二问一直都有体现，存在性问题也就是探究性问题。
存不存在，存在又如何，我们处理的总的思路是什么？立体几何中的存在问题都是先假设存在，在存在的背景下去完成这个问题。
立体几何中有许多存在性问题，主要是针对直线上是否存在一点（平面内一点）使得满足一定的位置关系（平行、垂直）或一定的角度要求（线面角、二面角）。
存在性问题解决：（1）采用先猜后证，猜中点或三等分点等等然后证明位置关系：平行多用中位线、垂直多用三线合一等；（2）采用先设后求，运用待定系数法和空间向量解决，特别运用三点共线设一般直线上一点。
一．教学目标：掌握处理立体几何中探究性问题的一般思路；二．教学重点：利用先猜后证和先设后求处理探究性问题；三．教学难点：如何猜点及设点；四．教学过程4.1例题讲解例1.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【答案】P为AM的中点【解析】当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．【分析】先猜后证，为什么要猜中点？根据已知条件没有比例关系，关键是连接对角线会产生中点，平行多用中位线、垂直多用三线合一。
例2.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解析】（2）以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz - ．则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23)O B A C P AP -= 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =．由0,0AP n AM n ⋅=⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩ ， 可取2(3(4),3,)n a a a =--所以22223(4)cos 23(4)3a OB n a a a -〈⋅〉=-++ ．由已知得3cos 2OB n 〈⋅〉= ．所以22223|4|3223(4)3a a a a -=-++ ． 解得4a =-(舍去)，43a = ．所以83434,,333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ．又(0,2,23)PC =- ，所以3cos ,4PC n 〈〉= ．所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34． 【分析】本题关键在于设M 的坐标，由于M 在xoy 平面内，可以放在xoy 平面去设M 坐标，根据M 点在直线BC 上，可以得到BC 方程，从而设出M 坐标。
立体几何中的存在性问题
作业.(2010·浙江·理·T20)如图,平面PAC⊥平面ABC, △ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.E,F,O分 别是PA,PB,AC的中点,AC＝16 , PA＝PC ＝10.
证明:在△ABO内存在一点M使得FM⊥平面BOE, 并求点M到OA,OB的距离.
z P
E
F
A
C
M
O
y
x
B
例3.(2011·福建·理·T20)
Hale Waihona Puke 几何方法:通过构造一C
个过点P且与AO垂直
的平面来确定点的Q
B
位置
AB 3 AQ
PO
M A
Q
例2.(2010·湖北·理·T18)如图,在四面体OABC中,OC ⊥ OA , OC ⊥ OB , ∠ AOB＝120°,且OA＝OB＝ OC＝1,P为AC中点,证明:在AB上存在一点Q,使得 PQ⊥ OA,并计算AB/AQ的值.
A
FG∥EC
D
B
C
例1.如图,在底面是菱形的四棱锥P－ABCD
中,∠ABC=60 °,PA=AC=1,PB=PD= 2 ,点E在PD
上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使
BF∥平面AEC ?证明你的结论.
P
A B
G E
F
O
C
思考3:若要确定平面
BFG∥平面AEC ,还需要
另一组平行线，你能通
C1
E
点F为C1D1的中点
A
MD
B
C 几何方法
向量方法
练习.(2010·湖南·理·T18)
如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中
点,在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE ?
立体几何中的存在性问题
立体几何中的存在性问题利用空间向量解决探索性问题例3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．如图，在三棱锥P —ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC⊥AC ，点D 为BC 的中点；(1)求二面角A —PD —B 的余弦值；(2)在直线AB 上是否存在点M ，使得PM 与平面P AD1所成角的正弦值为，若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由． 6提醒三点：(1)直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值．(2)求二面角除利用法向量外，还可以按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如图所示【上图】．→→→→(3)对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP ＝xOA ＋yOB ＋zOC (x ，y ，z ∈R ) ，四点P ，A ，→→B ，C 共面的充要条件是x ＋y ＋z ＝1. 空间一点P 位于平面MAB 内⇔存在有序实数对x ，y ，使MP ＝xMA ＋→→→→→yMB ，或对空间任一定点O ，有序实数对x ，y ，使OP ＝OM ＋xMA ＋yMB .1．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°. 点E 、F 分别在边CD 、CB 上，点E 与点C 、D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC ＝O . 沿EF 将△CEF翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED .(1)求证：→→BD ⊥平面POA ；(2)设点Q 满足AQ ＝λQP (λ>0)，试探究：当PB 取得最小值时，直线OQ 与平面PBD 所π成角的大小是否一定大于 42．如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上且EF ∥AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，已知AB ＝2，EF ＝1.(1)求证：平面ADE ⊥平面BCE ；(2)当AD 的长为何值时，二面角D －EF －B 的大小为60°？。
高三数学人教版立体几何问题解析教案
高三数学人教版立体几何问题解析教案一、问题引入在高三数学学习中，立体几何是一个重要的内容，其问题类型多种多样。
本教案将针对人教版高中数学教材中的立体几何问题进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
二、教学目标1. 熟悉人教版高中数学教材中立体几何的问题类型；2. 掌握解决立体几何问题的基本思路和方法；3. 夯实立体几何的基本概念，培养几何思维能力；4. 提高解决立体几何问题的效率和准确性。
三、教学内容和步骤1. 问题类型概述立体几何问题主要包括空间几何体的性质和计算，平面与空间几何体的关系等。
人教版高中数学教材中对立体几何的讲解较为全面，问题类型较为丰富，对于高三的学生来说，可以通过系统学习这一部分的内容来巩固和提高自己的数学能力。
2. 解决问题的基本思路和方法在解决立体几何问题时，我们可以采用以下的基本思路和方法:（1）先分析题目所给的条件和要求，明确问题类型和目标；（2）应用几何知识和技巧，运用计算和推理的方法，解决所给问题；（3）注意思维的灵活性，通过类比和转化，将问题转化为已经熟悉的模型或问题；（4）在解决问题的过程中，要注意合理利用已知条件，善于发现和利用几何形状的性质，灵活运用几何关系。
3. 立体几何基本概念的夯实为了解决立体几何问题，同学们需要夯实立体几何的基本概念，比如平面、直线、线段、角等基本概念。
此外，还需要掌握空间几何体的定义、性质和计算公式，如球体、立方体、棱柱、棱锥等。
4. 解题策略与举例分析为了帮助同学们更好地理解解题思路，我们将选取几个典型的立体几何问题进行分析和解答，例如：（1）已知一个球体，求其体积和表面积；（2）已知一个正方体，求其对角线的长度；（3）已知一个棱柱，求其体积和总表面积；（4）已知一个棱锥，求其斜高的长度。
四、教学反思与延伸通过本教案的解析和讲解，同学们可以对立体几何问题的解决思路和基本方法有一个初步的了解。
但是考虑到篇幅的限制，我们只能选取少数问题进行详细分析。
存在性问题教学设计
“存在性问题”教学设计“存在性问题”教学设计一、教学内容解析本节教学内容源于人教版属于“数与代数”的一部分，主要内容是在具体问题中准确找出满足题目要求条件的所有点，并求出所有点的坐标，是初三专题复习中的“存在性问题”.这一课时探究“存在性问题”中等腰三角形的构成，为今后探究直角三角形、平行四边形、菱形、正方形、等腰梯形提供了方法和思路．“存在性问题”是探索型问题中的一种典型问题，这类问题涉及的知识点多，综合性强，解题方法灵活，能有效地考察学生综合运用知识的能力和创新意识，以及分析问题、解决问题的能力，因而是中考的热点.为此，在教学中，通过引导学生自主、合作和探究，激发的学生学习的信心和兴趣，让学生发现、感受、体验学习此类问题的方法，领悟其中的数学思想方法的思路，提高学生分析问题和解决问题的能力.基于上述分析，本节课的教学重点确定如下：能在具体问题中准确找出构建等腰三角形的存在的所有点,同时根据假设，经过推理、论证、计算，得出所有符合条件的点的坐标．二、教学目标设置本节课的教学安排为一课时．基于本节教学的内容和特点，以及学生的情况，教学目标设置如下：1.能在具体问题中准确找出构建等腰三角形的存在的所有点,同时求出所有符合条件的点的坐标．2.在教学中，引导学生自主、合作和探究，经过推理、论证、计算，得出所有符合条件的点的坐标.激发的学生学习的信心和兴趣，让学生发现、感受、体验学习此类问题的方法，领悟其中的数学思想方法的思路,提高学生分析问题和解决问题的能力.3.在运用数学知识解答问题的活动中，获取成功的体验，培养学生学习的自信心、合作意识，同时培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.三、学生学情分析“存在性问题”是探索型问题中的一种典型问题，这类问题涉及的知识点多，综合性强，解题方法灵活，因此学生学习中可能出现的问题：(1)由于学生刚开始学习存在性问题，还没有掌握这类问题的解题思路和方法，所以不能准确的在具体问题中找出构建等腰三角形的存在的所有点,有丢掉点的情况.(2)综合应用数学知识解决问题的能力不强,因此在求解点坐标的过程中有些困难.鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：在学习过程中,让学生发现、感受、体验解决此类问题的思路和方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.四、教学策略分析“存在性问题”是探索型问题中的一种典型问题，这类问题涉及的知识点多，综合性强，解题方法灵活，因此,在教学中通过引导学生自主、合作和探究，激发的学生学习的信心和兴趣，让学生发现、感受、体验学习此类问题的方法，领悟其中的数学思想方法的思路，提高学生分析问题和解决问题的能力.同时,采用问题式学案教学,使课堂有问有答,学生便于画图操作.五、教学过程设计请你试试吧！(志在峰巅的攀登者，不会陶醉在途的某个脚印之中)例1：如图：在直角坐标系中，直线AB 的解析式为42+-=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，其中直线m 是抛物线423412+--=x y x 的对称轴； 问：在直线m 上是否存在点P ，使得使△ABP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．问题1:你能归纳出，在存在性问题中准确找出构建等腰三角形的所有点的方法吗？ 设计意图：通过这个例题的学习,在教师的引导下,让学生经历猜想、画图、分析、讨论，探究解决这类数学问题的思路和方法,总结归纳并求其点的坐标,提高学生分析问题和解决问题的能力. 活动方式：学生自主学习，学生教学生的方式;教师纠错、补充、提炼、总结.请用心做做吧！(学而时习之，温故而知新)变式练习：如图：在直角坐标系中，直线AB的解析式为4y与x轴、y轴分别相=x2+-交于A、B两点，其中点M是线段AB的中点；⑴求线段BM的长度；⑵在y轴上是否存在点Q,使得△BMQ是等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.设计意图：通过这个变式练习，让学生准确掌握解决问题的思路和方法，同时鼓励学生多讲解，不断丰富数学活动的经验，在思考、想象的数学思维和操作活动中，让学生体会运用数学知识解决数学问题的过程.在教学过程中,尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平．在探究问题的过程中，体现学生在学习中的主体作用，教师的主导作用；更好地突出重点、突破难点．这样做既能较好的完成预定的教学目标，更符合新课标对数学学科教学要求的特点．活动方式：学生讨论完成,教师纠错补充.让我们一起冲刺中考吧：(如能善于利用，生命乃悠长)3．分别以OA、如图：在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=5OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）在（2）中直线DE上的是否存在点M,使得使△ODM为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．问题2:两个全等的等腰三角形能拼出什么样的四边形呢？（4）在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．设计意图：这个题目的设计是由20XX年山西省中考最后一个题改编而成,与前面两个题比较有一定的难度,主要难点在求解点坐标,这个题目的求解过程利用三角形相似,勾股定理综合性较强,计算量大; 在此过程中提高学生的计算能力和综合能力.另外,第（4）小题的出现是为预习下节课提出的问题,不做为这节课的解决问题,所以做课后作业来完成.梳理小结：(请同学们自己总结出这节课的学习内容)六、课后升华：1.请你思考“我们一起冲刺中考”的第（4）小题；2.如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于 A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.七、板书设计设计意图：这样设计板书,更能突出这节课的重点,明确学生学习的目标,为更好的达到本节课的教学目标起到辅助的作用.八、教学反思数学无新知，旧知引新知.本节课教师充分利用学生已有知识“等腰三角形性质”知识,在课堂教学中应用学案,学生经过画图、猜想、小组讨论，总结出：在数学问题中构建等腰三角形的方法与思路.在此过程中，教学安排合理，小组分工明确，充分体现了学生的主体地位，培养了学生动手操作、归纳总结的能力，体现了学生合作学习的精神；同时，也培养了学生利用数学知识解决数学问题的能力.。
立体几何中的存在性问题教案
(2010·浙江·理·T20)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.E,F,O分别是PA,PB,AC的中点,AC＝16 ,PA＝PC＝10.
证明:在△ABO内存在一点M使得FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
提示：建系后设点M坐标为(x,y, 0 )
思考8:如何用向量来确定PC上的动点F的位置?
（令 ，通过λ的值来确定点F的位置）
思考9:如何用向量来表示BF∥平面AEC?
（ ，其中 为平面ACE的法向量）
思考1Байду номын сангаас:如何求λ的值?（利用 建立方程求出λ）
写出详细的解答过程：
【方法归纳】点F是线PC上的点,一般可设 ，求出λ即可确定点F的位置
课堂练习.(2010·湖南·理·T18)
答案：AM＝3
向量方法：建立适当的坐标系
令 ，利用 求出λ的值，但要注意，
根据线面垂直的条件还欠一组线面垂直，故还需证明PA⊥BC
或PA⊥MC
小结
作业
[课堂小结]
对存在性问题常采用以下两种方法:
1、(几何方法)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的充分条件,再从正面入手证明;
2、(向量方法)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件
2010-2011年汕头市潮阳实验学校高中部
教学教案
教师
黄黎明
科目
数学
上课时间
2012年5月18日
课题
立体几何中的存在性问题
教学目标
知识与能力目标
1．引导学生探索立体几何中的位置性存在问题.
2．掌握利用逆向思维方法确定动点位置的方法；
3．掌握利用向量确定动点位置的方法；
立体几何中的存在性问题
立体几何中的存在性问题例4 (2016·邯郸第一中学研究性考试)在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．(1)证明：DF ⊥AE .(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．(1)证明 ∵AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，∴AE ⊥AB .又∵AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1.又∵AC ⊂平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC .以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则有A (0,0,0)，E (0,1，12)，F (12，12，0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)． 设D (x ，y ，z )，A 1D →＝λA 1B 1→，且λ∈(0,1)，即(x ，y ，z －1)＝λ(1,0,0)，则D (λ，0,1)，∴DF →＝(12－λ，12，－1)． ∵AE →＝(0,1，12)， ∴DF →·AE →＝12－12＝0，∴DF ⊥AE . (2)解 结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414. 理由如下：由题意知平面ABC 的法向量为m ＝(0,0,1)．设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0. ∵FE →＝(－12，12，12)，DF →＝(12－λ，12，－1)， ∴⎩⎨⎧ －12x ＋12y ＋12z ＝0，(12－λ)x ＋12y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32(1－λ)z ，y ＝1＋2λ2(1－λ)z .令z ＝2(1－λ)，则n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ))．∵平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝1414， 即|2(1－λ)|9＋(1＋2λ)2＋4(1－λ)2＝1414， 解得λ＝12或λ＝74(舍去)， ∴存在满足条件的点D ，此时D 为A 1B 1的中点．思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．(1)证明 如图，以点A 为原点，分别以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0. 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，CC 1∩CE ＝C ，可得B 1C 1⊥平面CEC 1， 故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m ||B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217， 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1， 于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)， 所以AM ＝ 2.。
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梳理平行的相关知识，为本节课的复习内容作铺垫，加强知识之间的联系
检验学生对定理的理解程度
为例题及问题的证明明确证明的思路
培养学生学习的自主性
训练学生如何说明结论不成立
引发学生思考直线是怎么寻找到的，探索问题的本质
总结归纳解题思路及方法
当 数量关系变化时，如何找到点 的位置，检查学生对刚学习的解题方法的掌握程度。
教学
目标
1、进一步熟悉空间直线与直线、直线与平面和平面与平面平行的位置关系；理解并掌握线面平行和面面平行的判定定理及性质定理，会运用定理解决与平行有关的存在性问题；
2、通过对例题的分析，以及对问题的探究，会把空间问题转化为平面问题，尝试用不同的方法找到需要确定的点、线、面，初步形成解决存在性问题的思路及方法；
总结问题的类型及解决问题的方法：
练习：如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 中点， 为线段 上一点.试确定点 在线段 上的位置，使 //平面 ，并说明理由.
检测题：1、如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ∥ ， .在棱 上是否存在一点 使得 ∥平面 ，若存在，求出 点位置，并证明；若不存在，说明理由.
问题4：这些直线是怎么找到的？
总结问题的类型及解决问题的方法：
问题5：若将题目中的已知条件 改为 ，你能判断在棱 上是否存在一点 使得 ∥平面 ， 若存在，请指出 点位置，并证明；若不存在，请说明理由.
问题6:在棱 上（除 点外）是否存在一点 使得 ∥平面 ，若存在，请指出 点位置，并证明；若不存在，说明理由.
3、感受“线线问题、线面问题、面面问题”之间的转化，逐步会逻辑推理的严谨性。
学生
情况
学生在前面立体几何的复习过程中，基本掌握了线线、线面、面面平行的判定与性质，碰到证明问题有一定的思路，但碰到存在性问题多以猜想特殊点的方法去尝试解决，并没从深层次上思考为什么去找这个位置。另外前面的复习过程中由于对反证法并没有过多的强调，所以在碰到结论是不存在的情况时，还不会叙述，不会写解题格式。
教学
方法
引导启发式
教学
重点
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化
教学
难点
探索立体几何中（与平行有关的）存在性问题的解题思路，思考存在性问题的本质
教学辅助手段
多媒体、几何画板课件
板书
设计
课题：立体几何中与平行有关的存在性问题
例题分析
问题3：方法总结：问题6：
教学过程
教学
步骤
教师活动
学生活动
设计目的
一、热身训练
二、例题精讲
三、课堂练习
判断下列命题是否正确，若不正确，请修改或添加条件使结论成立.
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ；
⑤若 ，则 ．
例题：如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ∥ ， .
问题1：请指出图中的线面平行的位置关系并选择一组证明；
问题2： ∥平面 吗？为什么？
问题3：过点 能做平面 的平行线吗？如果能，请在图中作出一条或两条直线并证明.
教学背景分析
教学
内容
分析
立体几何中常出现点的存在性和位置待定的问题，以“是否存在”、“是否有”、“在何位置”
等形式设问，以示结论有待于确定.文科主要涉及到平行与垂直的位置关系的考查，其中渗透反证法与分析法的解题思路，也是高考中的常见题型。2012年北京市高考文科就考查了有关线面垂直的存在性问题，2016年北京市高考文科就考查了有关线面平行的存在性问题。
五、作业布置
学案上的练习题
提示学生并非所有的存在性问题结论都是肯定的，渗透分析法与反证法的思想，让学生去思考解决存在性问题的思路，巩固面面平行的判定与线面平行的性质
总结归纳解题思路及方法
巩固基础知识和基本思想方法，提高基本技能
检查学生对知识方法的掌握情况
四、课堂小结
通过这节课的复习，请同学们从知识与方法方面回顾一下，学习过程中遇到了什么问题？需要注意哪些方面？
2、如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，， 为 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.
回忆、思考、小组讨论
说明或操作演示为什么不正确，如何改正？
总结证明线线、线面、面面平行的证明方法以及相互关系
学生思考，分析解题思路，书写解题过程，展示学习成果