判断因果性

输出不超前于输入 系统因果性的判断方法：
14
页
时域 ： hn hnun
z域： 收敛域在圆外
第
例2
下面方程所描述的系统是否为因果系统？
yn 0.2 yn 1 0.24 yn 2 xn xn 1
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解：
yn 0.2 yn 1 0.24 yn 2 xn xn 1
第10章 Z-变换
The Z-Transform
III
10.7离散时间系统系统函数与Z域 分析
•单位样值响应与系统函数 •系统函数的零极点分布对系统特性的影响 •确定单位样值响应 •稳定性 •因果性
一．单位样值响应与系统函数
1.定义
Y z H z X z
r b z r k a z k r 0 N M
3.系统的因果性
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因为hn H z ，所以可以从 H z 的零极点分布情况，
1.由零极点分布确定单位样值响应
第
1．由零极点分布确定单位样值响应
H z
r b z r M r 0 N
8
页
a
k 0
G
1 z z
M 1
k
z
k
1 p z
第
(3)连续系统和离散系统稳定性的比较
连续系统 系统稳定的充 要条件 极点 离散系统
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页



ht d t
n
hn

H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
收敛域
临界稳定的极 点
含虚轴的右半 含单位圆的圆 平面 外 沿虚轴
第
3．系统的因果性
求系统的零状态响应
z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
2
所以 yzs n n 1 2 un
n
第
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响
确定单位样值响应 hn的特性
2.离散系统的稳定性
极点位置与h(n)形状的关系
j Im z
第 页
10
1
O
1
Re z
利用z～s平面的映射关系
s平面 极点位置 h(t)特点 极点位置 z平面 h(n)特点
第 页
11
虚轴上
原点时 左半平面
等幅
单位圆上
等幅
1 ut s 衰减
增幅
θ0 z 1 单位圆内
单位圆外
z un z 1 减幅
Y z 3 z 1Y z 2 z 2Y z X z 1 z 1
1
1 z z z 1 z Y z 则 H z 1 2 z 1z 2 z 2 X z 1 3 z 2 z
1 k 1 k
r 1 N
r
z r : 零点 p k : 极点
展成部分分式：（假设无重根）
N Ak z Ak z H z A0 k 0 z pk k 1 z pk N
hn H z N N A z n 1 k 所以 hn Z A0 A0 n Ak pk un k 1 z pk k 1 因为
第
3
页
k 0
2. h(n)和H(z)为一对z变换对
Z hn H z
第
1．定义
4
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线性时不变离散系统由线性常系 激励为因果序列 数差分方程描述，一般形式为 x 1 x 2 0
a yn k b xn r
k 0 k r 0 r
第
由零极点分布确定单位样值响应(续)
hn A0 δn Ak pk un
n k 1 N
9
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pk : H z 的极点，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了hn的特性。其规律可能是指数衰减、上升， 或为减幅、增幅、等幅振荡。 A0 , Ak :与H(z)的零点、极点分布都有关。
●
系统的零状态响应：
yzs n hn xn Y z H z X z
例1
已知离散系统的差分方程为：
第
激励 yn 3 yn 1 2 yn 2 xn xn 1 ，
n
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xn 2 un, 求系统函数 H z 及零状态响应 yzs n。 解： 在零状态条件下，对差分方程两边取双边z变换
方程的系数、结构有 关，描述了系统的特 性。
H z ：离散时间系统的系统函 数。
第
2． h(n)和H(z)为一对z变换
( n)
系统
5
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h( n)
若xn δn，则X z 1 Z hn H z
●
1 由H z 求h n : h n Z H z
输出未超前于输入， 所以是因果系统。
例3
16 LTI 系统hn un，判断因果性，稳定性 。 页
第
解：从时域判断
1, hn un 0,
n
n0 n0
因果系统
不稳定系统
hn

z H z ， ROC : z 1 z 1 h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。 极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（边 界稳定）。
N
M
系统处于零状态
y 1 y 2 0
H z 只与系统的差分
上式两边取z变换得
Y z a k z k X z br z r
k 0 N M r 0 M
Y z 所以 H z X z
r b z r k a z k k 百度文库 r 0 N
增幅
右半平面
第
2．离散系统的稳定性
对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 (1)定义： 定是有界的（BIBO)。
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(2)稳定性判据 判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对 可和。 hn
n
判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单 位圆在内: z a, a 1 。