空间曲线及其在坐标面上的投影
高等数学：第十四讲 空间曲线在坐标面上的投影
z
方程(2)中缺z坐标,表示母线平行z的柱面,即为
曲线关于xoy 的投影柱面,
该柱面与xoy面交线为 空间曲线在xoy 面上的投影曲线,
o
H(x, y) 0 z 0
y x
2.投影柱面的方程的求法
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
将曲线方程组消去变量x后得 yoz 面上的投影曲线：
R( y, z) 0
x
0
将曲线方程组消去变量y后得 xoz面上的投影曲线：
T( x, z) 0
y
0
3.举例
例1. 设一个立体 , 由上半球面 z = 4 - x2 - y2 和 锥面z 3( x2 y2 )所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 .
解 上半圆锥面z 3( x2 y2 )
曲线C关于xoy面的投影柱面。
曲线C在坐标面
上的投影柱面
0
y
同样可以定义曲线C 关于yoz面、
xoz面的投影柱面和投影曲线。
x
C
曲线C在坐标面 上的投影曲线
2.投影柱面的方程的求法
设空间曲线C的一般方程为 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0
(1)
由方程组(1)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (2)
空间曲线 在坐标面上的投影
1.空间曲线在平面上投影的概念
你见过手影游戏吧
在空间解析几何中的投影是怎样定义的呢？
已知空间曲线C和平面 ，从C上各点向平面 作垂线，
垂足所构成的曲线C1称为曲线C在平
面 上的投影曲线。
现在我们研究的是空间曲线C在坐标面上的投影曲线。
微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影
方程组
所表示的曲线方程称为
空间曲线的一般方程. 特殊地，空间直线方程
三、空间曲线及其在坐标面上的投影
例1
方程组
x2
+
y2
+ z2
=
25,
表示什么曲线?
z= 3;
解 因为 x2 + y2 + z2 = 25是球心在原点, 半径为
5 的球面.
z
z = 3 是平行于 x y
坐标面的平面，
z=3
因而它们的交线是
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面
（2）椭圆柱面
（3）双曲柱面
（4）抛物柱面
统 称 为 二 次 柱 面 圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、 旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为 旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
定直线 L 称为旋转曲面的 旋转轴.
z
1.圆锥面方程
2. 旋转抛物面
O
y
x
第三节 空间曲线及其在 坐标面上的投影
第四节 二次曲面
第三节 空间曲线及其在坐标 面上的投影
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的概念
1、空间曲线 把空间曲线C看作是两曲面的交线.
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
二、空间曲线在坐标面上的投影
7-6空间曲线及其在坐标面上的投影
§7-6 空间曲线及其在坐标面上的投影
1 （2）因为曲线在平面 z = 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 ⎧ 3 ⎪z = | x |≤ ; 2, ⎨ 2 ⎪y = 0 ⎩ （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 ⎧ ⎪z = 2, ⎨ ⎪x = 0 ⎩ 3 | y |≤ . 2
3
§7-6 空间曲线及其在坐标面上的投影
二、空间曲线在坐标面上的投影
⎧ F ( x, y, z ) = 0 设空间曲线的一般方程： ⎨ ⎩G ( x , y , z ) = 0
消去变量z后得： H ( x , y ) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
2 2
10
§7-6 空间曲线及其在坐标面上的投影 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
11
§7-6 空间曲线及其在坐标面上的投影 例6 设一个立体 ,由上半球面 z = 4 − x 2 − y 2
和 z = 3( x 2 + y 2 )锥面所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 .
4
§7-6 空间曲线及其在坐标面上的投影 如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
5
§7-6 空间曲线及其在坐标面上的投影 空间曲线在xoy 面上的投影曲线
⎧ H ( x, y) = 0 ⎨ ⎩z = 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
xoz面上的投影曲线,
§7-6 空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
上页
下页
例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
下页
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
上页
下页
F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
高等数学 -空间曲线及其方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程
7_7空间曲线
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
【2019年整理】6-4补充知识：空间曲线
湘潭大学数学学院 岳慧
x O 1y
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
C
湘潭大学数学学院 岳慧
二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:
称它为空间曲线的参数方程.
当给定 t t1时，就得到曲线上的一个点( x1, y1, z1),
随着参数的变化可得到曲线上的全部点.
湘潭大学数学学院 岳慧
圆柱螺旋线 的参数方程为
z
令 t , b v
M O
x y
螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比．
: 0 0 , z : b0 b0 b ,
上升高度 h 2πb , 称为螺距 .
湘潭大学数学学院 岳慧
例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
湘潭大学数学学院 岳慧
湘潭大学数学学院 岳慧
练习1.
求曲线
x2 y2 z2 1
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x2
y2
3 4,
z 0
湘潭大学数学学院 岳慧
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
所以在 xoz 面上的投影为线段.
(3) 消去x 得投影柱面 y2 z2 2 y z 0
故在
yOz
面上的投影为
y2
z2
2
y
z
0 .
x 0
湘潭大学数学学院 岳慧
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
实验五+空间曲面及其投影
实验五 空间曲面及其在坐标面上的投影【实验类型】验证性 【实验学时】2学时 【实验目的】掌握用MA TLAB 绘制空间曲面及其在坐标面上的投影的方法； 【实验内容】1．熟悉MATLAB 绘制三维图形的基本命令和方法； 2．通过MATLAB 演示常见的空间曲面、空间曲线； 【实验方法与步骤】 一、实验的基本理论与方法 1、 描绘空间图形的截痕法（略）。
2、 空间曲线在坐标面上的投影：设曲线L 的方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得0),,(=z y x H ，则曲线L 在XOY 平面上的投影曲线为⎩⎨⎧==0),(z y x H 。
二、实验使用的MATLAB 函数1、已知二元函数),(y x f z =，绘制其三维曲面图的MATLAB 命令调用格式为：[x,y]=meshgrid(v1,v2)； 生成网格数据 z=….；如z=x.*y 计算二元函数的z 矩阵surf(x,y,z)或mesh(x,y,z) mesh()绘制网格图，surf()绘制表面图 其中，v1,v2为x 轴和y 轴的分隔方式。
3、 已知空间曲面的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t s z z t s y y t s x x ),(d t c b s a <<<<，绘制其图形的命令格式为： ezsurf('x(s,t)','y(s,t)','z(s,t)',[a,b,c,d]) 三、实验指导例1 画出椭球面1253222222=++z y x 的图形。
椭球面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===s z s t y s t x cos 2sin sin 5sin cos 3)0,20(ππ≤≤≤≤t t画出椭球面的图形，如图7-1所示。
ezsurf('3*cos(t).*sin(s)','5*sin(t).*sin(s)','2*cos(s)',[0,2*pi,0,pi]) 例2 画出莫比乌斯（Mobius ）带的图形。
空间曲线在坐标面上投影方程定义的研析
第24卷第2期2021年3月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol 24 ,No. 2Mar. ,2021doi :10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2021. 02. 020空间曲线在坐标面上投影方程定义的研析张冬燕，王耀革，邢巧芳(信息工程大学基础部，河南郑州450002)摘要本文探讨了空间曲线在坐标面上的投影曲线方程的定义，对同济七版《高等数学》教材给出的空间曲线在坐标面上的投影曲线方程的定义中的“包含”关系给出了明'的解释.关键词空间曲线；投影曲线中图分类号 O172 文献标识码 A 文章编号 1008 - 1399(2021)02 -0062 -02On Definition of Projection of Space Curves on Coordinate PlanesZHANG Dongyan , WANG Yaoge , and XING Qiaofang(BasisDepartment !InformationEngineering University !Zhengzhou450001!China )Abstract Bythedefinitionoftheprojectionofspacecurvesonthecoordinateplanes !weilustratethein-elusive relationship in the definition, which is presented in the Advanced Mathematics textbook edited byTongjiUniversiy.Keywords spacecurve !projecSionofspacecurve1「F(x,y,z ) =0关于空间曲线c ：〜、(1)[G(x , y , z ) = 0在某一坐标面如xoy 面上的投影曲线方程的定义, 同济七版《高等数学》*+教材的定义是,消去方程组(1)中的变量z ,得到空间曲线C 关于xoy 面的投影 柱面H(x , y )=0 ,与xoy 面的方程联立,称方程组4 H (x , y ) =03 (2)[z = 0是“包含”空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线的曲 线方程.众所周知,集合C 与B 之间的“包含”关系 指的是A = B 或C H B ，因此这里“包含”的含义是, 方程组(2)可能是空间曲线C 在xoy 面上的投影曲 线的方程，也可能是“包含了”空间曲线C 在xoy 面 上的投影曲线的曲线方程.而在国防科学技术大学收稿日期：2020 - 01 - 01修改日期：2020 - 05 - 12基金项目：信息工程大学第二批混合式教改项目.作者简介：张冬燕( 1979 —),女,河南,硕士 ,副教授,基础数学,Emal ：zdymath@126. com.朱健民等编写的《高等数学》*+教材中，称方程组(2) 就是曲线C 在xoy 面上的投影曲线的方程.这两种 说法,究竟哪一种说法正确呢？下面对此进行探究.2典型例题先看两个典型例题.4x z +,z +z 2 =a例1*+求曲线％1：2 , y 2 _在zox 面l x 2 +y 一ax = 0上的投影曲线的方程•解 联立方程消变量y ,得曲线%1关于zox 面 的 柱面的方z 2+ax =a 24 z 2 +ax = a 2注意到该柱面与zox 面的交线3(3)p = 0是一条向x 轴负向无限延伸的抛物线，但是曲线%1作为球面与柱面的交线，是一条空间封闭曲线,它在 zox 面的投影曲线也应该是封闭的、有限的，因此方 程组(3)所表示的曲线并非是%在zox 面上的投影 曲线方程,而是“包含”了 %1在zox 面的投影曲线的 曲线方程,换句话说,%在zox 面的投影曲线只是这 个方程组所表示曲线的一部分.事实上，因为％1在第24卷第2期张冬燕，王耀革，邢巧芳：空间曲线在坐标面上投影方程定义的研析63球面上，变量'满足限制条件|x |—+,又因为%1在 柱面上，变量'满足条件0—x —+,因此给方程组添（z 2++x = +2加上此限制条件，所得方程3（0—x —+）（=0才是%1在zx 面的投影曲线方程.4x 2+y 2+z 2=1例2*+求曲线％" _ 1在（02和2=22Px 面 的 .解 曲线%在平面2=1上，而平面2 = 1既垂直于（02面，又垂直于20x 面，因此它既是曲线 %关于（02面的投影柱面，又是%关于20x 面的 投影柱面.将方程2=1分别与这两个坐标面的方4z =14z =1程联立，得32（4）和3 2 （5）注意到它们表x =0 5.（=0示的是两条在（02面和20x 面上无限延伸的直线， 而曲线％是封闭球面x 2+y 2+z 2=1被平面2 = 1截得的圆周，变量y ，'满足不等式|y —吟，x —欝，因此%在（02面和zox 面上的投影曲线只是方程组（4）.（5）所表示曲线的一段，即%在（02面上的投影曲线方程为2 = 1（|y |— 唇,％x =0证明 以方程组（1）在消变量2的过程中消去 了对变量x （或对y ）的限制为例，其他情形类似得 出.由于曲线C 是封闭的，曲线C 的方程中变量x 、 y 、z 都满足一定的限制条件，因此它在x0y 面上投 影曲线封闭或长度有限.由于方程组（1）在抵消变 量z 的过程中又消去了对变量'（或y ）的限制，导致 投影柱面方程中对变量z 的限制条件消失，对变量 x （或对y ）的限制条件也消失，因此曲线c 关于x0y 面的投影柱面H x ，y ） = 0与x°y 面的交线是一条 在'方向（或在y 方向）无限延展、非封闭的曲线， 此时曲线C 在0（面的投影曲线“真包含”在方程4 H （x ，y ） = 0组3 所表示的曲线内.2 = 0注 作为定理1的特例，如果曲线C 由柱面和曲面相交而成，则有：4F （x ，y ，z ） = 0 ①设曲线c ",、 -是一条封闭曲线，如果[G C z ，y ）=0 ②柱面方程②中变量'（或y ）在R 上任意取值，则曲线C 在x°y 面上投影曲线“真包含”在方程组所表示的曲线内.其他由曲面和柱面相交而形成的空间曲线在相应坐标面上的投影情类似得 .4F （x ，y ，z ） = 0定理2设曲线C " , 、 （1）\G （x ，y ，z ） =0的 个方 中 都 x y 2 果方 组 1）去变量z 的同时没有改变变量'（或y ）的条件，那么在20x 面上的投影曲线方程为32曲线C 在0（面上的投影曲线就是J H （x ，y ） = 0]z = 0y曲线C 在其他坐标面上的投影情形，类似可得.3结论约定把空间曲线看作是一动点在空间中运动的轨迹，如果动点的终点与起点相同，则称曲线封闭.总结归纳以上例题的特点，不难发现：定理1设曲线c J F （xy 'z ） = 0 （1）〔G （x,y,z ） = 0是一条封闭曲线，方程组（1）中两个方程都显含变量 x,y,z ，如果方程组（1）在消变量2的过程中消去了 对变量'（或y ）的限制，则曲线c 在0（面上投影4H （x ，y ） = 0曲线“真包含”在方程组3 所表示的曲线（2=0证明 由于方程组（1）在抵消变量2的过程中 没有改变变量'（或y ）的条件，所得投影柱面方程 中保持了原方程组（1）中关于变量'（或y ）的条件， 变量'（或y ）的取值范围与原方程组一致，因此无 论曲线C 是否封闭，它的投影柱面H （x ，y ） = 0与4H （.x ，y ） = 0x0y 面的交线3 就是曲线C 在0（面上\z = 0的投影曲线.曲线C 在其他坐标面上的投影情形，类似 得.4应用例3[1]求曲线. 他情 类似得 .（下转第65页）第24卷第2期刘雁鸣：二阶连续混合偏导数相等的一个简洁证明65调性判别法可知, 9% 一 h(b ,c~) + 一,9) 一 X(a ,c) + <0.此即 h $ ,9)一h(b ,c)一h(a,9)+h(a,c )<0.对于二元函数h (xy ),变量x 与y 地位对等，故可以类 似的证明h ,x <0的情形.证毕•下面证明定理.令h(x,y ) =f(x,y )—(x ° ,0)+ E (x ° , ,0)](x —x 0)(y —,0).易知h(x , y )在D 内连续、具有二阶连续偏导数.对h(x , y)关于x 求偏导,得, y ) = f ：(x , y')—1* E , (x ° , ,0)+E (x 0, ,0)](y —,0),在点(x ° , ,0 )处，h xy (x ° , ,0 ) = 2* Ey (x ° , ,0 ) — f yx (x ° , ,0 ) ] •对h(x , y)关于y 求偏导,得h((x , y ) = f ,(x , y ) —2 * E, (x ° , ,0 )+ E (x ° , ,0)](x —x °),在 (xy 0 )处h yx (x ° , ,0 ) = 1* Ex (x ° , ,0 ) — Ey (x ° , ,0)+ •因此有 Ey (x ° , ,0 ) = —hyx (x ° , ,0 )•若E p (x ° , ,0).0 ,由于h (x , y )在D 内具有二 阶连续偏导数,故在点(x 0, ,0)的某邻域内均有E ,(x , y )〉0.在该邻域内取矩形区域[a , b ]X *c , 9+ ,有h(b , 9) 一h(b , c ) 一h(a , 9)+h(a , c )〉0.同时,又有h (x (x ° , ,0)<0 ,从而h (b 9 ) —h (b c ) —h (a 9 ) +h (a c ) <0 •这个矛盾表明,只有h,(x 0, ,0) = 0成立.因此fE xy (x 0 y 0 ) =fE yx (x 0 y 0 ) •证毕•这个证明比较简单,笔者在课堂教学中讲授过 数次,学生容易接受和掌握，也加深了对利用导数判别函数单调性的认识•参考文献*+同济大学数学系编.高等数学(下册)：M ].7版•匕京:高等教育出版社，2017：70.*+菲赫金哥尔茨著•微积分学教程(第一卷)M +杨張亮,叶彦谦译•版•匕京：高等教育出版社2006 = 347 - 348*+华罗庚,王元著.高等数学引论(第二册)[M ].1版•匕京：高等教育出版社2009:43 - 44.*+华东师范大学数学系编.数学分析(下册)[M+ 4版.北京：高等教育出版社，2016:139 - 140.(上接第63页)U 1)=1在yoz 面上的投①②影方程•解曲线%由两封闭球面相交而成,是一条封闭曲线，但由①一②消去x 得y +z =1 •这是变量y 和z 可在定任意取值的平面方程，说明方程组在消去x 的过程中也消去了对变量y 和变量z 的限制,因此曲线%在yoz 面上的投影曲线仅是方程组J ，+z =1所表示曲线的一部分,需要添加消去的限制l x =0条件使它成为所求投影曲线方程•由①知, —1 ,由②知y —1 —1 ,联立两不等式得0—y —1 ,因此曲线4 y +z = 1%在y o z 面上的投影方程是3(0—,—1).[x = 0通过以上讨论可看出，同济七版《高等数学》工教材对空间曲线C ：y z ) =0y z )=0① 在某一坐标面上②的投影曲线方程的定义更为恰当,空间曲线C 在坐标面上的投影曲线可能与它相应的投影柱面在坐标面上的准线吻合，也可能只是其投影柱面在相应坐标面上的准线的一部分•排除定理1的情形，如果曲线C非封闭,或曲线C 封闭,只要方程组消去某一变量如变量z 的同时并没有改变原方程组中另两个变量如x ( y ) 的曲 线 C 在 xoy 面 的 曲 线就是投影柱面在xoy 面的准线•空间曲线以参数方程形式给出时,类似讨论.参考文献*+同济大学数学系•高等数学(下册)[M+7版•匕京：高等教20147*+朱健民,李建平.高等数学(上册)[M ].2版•匕京：高等教2015.*+吴赣昌•高等数学(上册)[M ]. 3版•匕京：中国人民大学2009.*+水乃翔.从空间曲线投影问题的典型错误谈起*+•湖州师范学院学报：自然科学版1984 , ( S1)：55 -57.。
空间中的曲面和曲线
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
例：
求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：
旋转曲面方程为
交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
,它与所给平面的
截线方程为
解
如图,
例
解答
交线方程为
在 面上的投影为
空间曲线的一般方程、参数方程．
( 必要时需作图 ).
三、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义3.
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
空间曲线在坐标面上的投影
解 半球面和锥面的交线为
」 J Z = 4 _ x 2 _ y 2 ,
C: < ___________
3 =」3( x x + y 2),
消去Z得投影柱面Xx + y2= 1,
则交线C在xoy面上的投影为 J X2 + y2 = 1, [z = 0. 所求立体在xoy面上的投影为
如图,
板书
(1)消戋得投影］
x x + 5 y1 + 4 xy 一 x =0
z=0
V
②消有得麒｛Xyz'一 一- 4x = 0
(3)消去x得投影
J y 2 + z 2 + 2 y - z = 0 [x =0
板书
二、空间立体或曲面在坐标面上的投影
例3设_个立体,由上半球面七=^14- x2 - y2和锥面七=^13(x2 + y2)
板书 x 2 + y 2 -1.
三、小结
空间曲线在坐标面上的投影.
| H (x, y) = 0 (R( y, z) = 0 (T (x, z) = 0
[z = 0 [ x = 0 [ y = 0
X 2 + y 2 = 4,
在xoy面上的投影为
z=0
、
1
(2 )因为曲线在平面Z =:上，所以在XO面上的投影为线段. 2
z =1 V4
| 2, Ix柘项；
板书
例2求抛物面y2 + z2 = X与平面X + 2y - z = 0的截线在三个坐
标面上的投影曲线方程.
解截线方程为
\ y2+Z2=X 、X + 2 y 一 z =0
空间曲线及其在坐标面上的投影
就是C 在 xO y 面上的投影方程。
同理，若分别从方程组
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
中消去变量x或y，分别得
方程G( y , z ) 0 或 H (x , z ) 0，则曲线C 在 yO z 面与 zO x 面的
投影方程分别为
G ( y , z ) 0 x 0
因为C上的点的坐标满足方程组
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,当然也满足方
程 F ( x , y ) 0 ，所以C上的点都在此柱面上。方程 F( x , y ) 0 就是曲线C 关于xO y 面的投影柱面方程。它与 xO y 面的交线
F (x , y ) 0 z 0
因此，联立方程组
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
程，它称为空间曲线的一般式方程。 2.投影柱面及投影曲线
即为空间曲线C 的方
设空间曲线C
的方程为
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,过曲线C
上的每一点作
xO y 坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于z 轴且过
z
1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
与
H (x , z ) 0 y 0
曲线方程平面方程
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A ? D ? 0
设所求平面方程为
By ? Cz ? 0 代入已知点 (4, ? 3, ? 1)得
化简,得所求平面方程
例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 .
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角 (常为锐角)称为两平面的夹角 .
设平面∏1的法向量为 n1 ? ( A1 , B1 , C1)
平面∏2的法向量为 n2 ? ( A2 , B2 , C2 )
则两平面夹角 ? 的余弦为
?2
cos? ? n1 ?n2
n1 n2
?
即
cos? ?
A1A2 ? B1B2 ? C1C2
A12 ? B12 ? C12 A22 ? B22 ? C22
显然方程②与此点法式方程等价 ,因此方程②的图形是
法向量为 n ? ( A, B,C)的平面, 此方程称为 平面的一般
方程 .
Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ( A2 ? B 2 ? C 2 ? 0)
特殊情形
? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为
C
?H (x, y) ? 0
8-6 空间曲线
解 方程 z 4 x 2 y 2 表示球心在原点，半径为 2 的上半球面．
方程 x 22 y 2 4 表示母线平行 z 轴，准线是 xOy 上的圆周
x 22 y 2 4 的柱面．
2 2 z 4 x y , 方程组 2 2 x 2 y 4
由此可得 Γ 在 xOy 坐标面上的投影曲线方程为
H ( x, y ) 0, z 0.
(8.6.5)
同理，从方程组(8.6.3)中分别消去 x 和 y，得投影柱面
R( y, z ) 0 和 T ( x, z) 0 ，
因此得 Γ 在 yOz 坐标面和 zOx 坐标面上的投影曲线方程分别为
x x0 ( x0 a) ； y0 y0 ( y0 b) ； z z0 ( z0 c)
去截，截痕均为椭圆，其方程分别为
y2 z2 x0 2 2 2 1 2 , c a b xx , 0 x2 z 2 y0 2 2 2 1 2 , c b a yy , 0 x2 y 2 z0 2 2 2 1 2 , b c a zz , 0
表示的曲线为这两个曲面的 交线见图 8-6-2．
13-3
例 8.6.2
分别考察抛物面 z x 2 y 2 与下列各平面所交空间曲线： ⑴ z 1； ⑵ y 1．
解 ⑴ 抛物面 z x 2 y 2 与平面 z 1 所交
z x2 y 2 , x 2 y 2 1, 空间曲线为 即为 z 1. z 1,
( x(t0 ),y(t0 ),z(t0 )) ．当 t 变化时，动点的轨迹就是曲线 Γ．
方程(8.6.2)称为空间曲线 Γ 的参数方程．
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解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
如图,
（1）消去z 得投影
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y 得投影
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去x 得投影
y2 z2 2y z 0
.
x 0
练习题
一、 填空题：
1. 曲面 x2 9 y2 10z与 yoz平面的交线是_____；
2. 通过曲线2x2 y2 z2 16, x2 z2 y2 0，且
母线平行于 y 轴的柱面方程是____________；
3. 曲线 x2 z2 3 yz 2x 3z 3 0, y z 1 0在
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T( x, z) 0
y
0
例5 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
第三节 空间曲线及其在坐 标面上的投影
一、空间曲线及其方程
二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题
一、空间曲线及其方程
1. 曲线(curve)的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 x 不能同时满足两个方程.
z 0
x
0
y
0
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x 2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
思考题解答
2 y2 x2 z
交线方程为
2
x2
z
,
消去z 得投影柱面 x2 y2 1,
在 xoy面上的投影为
x2 y2 1
.
z 0
其切平面 y 3的交线；
6. x2 y2 4, y2 z 4, x2 z 4.
x
三、 y
3 cos t 2
3 cos t ,(0 t 2) .
2
z 3sint
四、 x2
y2
a2
, z
b arcsin
y a
, z
b arccos x a
.
z 0
x 0
y 0
五、 x2 y2 ax; z2 ax a2 , x 0, z 0.
xoz平面上的投影方程是_______________；
4.
方程组
y y
5x 2x
1 在平面解析几何中表示______； 3
x2 y2 5. 方程组 4 9 1在平面解析几何中表示_______
y 3
______，在空间解析几何中表示_______________；
6 . 旋转抛物面 z x2 y2(0 z 4) 在 xoy面上的投影为__________， 在 yoz面上的投影为____________， 在 zox面上的投影为__________.
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
二、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
三、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 R( y, z) 0 T ( x, z) 0
二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：
1.
z
4 x2 y2
x y 0
2.
x2 y2 a2
x
2
z2
a2
三、将曲线 x 2 y 2 z 2 9化为参数方程． y x
x a cos 四、求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线
z b
的直角坐标方程 .
五、求 由 上 半 球 面 z a面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
x 2 y2 ax 0 及 平面z 0 所 围成的 立体， 在
xoy 面和 xoz面上的投影 .
练习题答案
一、1.
y2
10 9
z；
x 0
2. 3 y2 z2 16,3x2 2z2 16；
3.
x2
4z2
2x
3
0；
y 0
4. 两直线的交点,两平面的交线；
5. 椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 x2 y2 1与 49
z
S1
S2
C
o
y
x2 y2 1
例1 方程组
表示怎样的曲线？
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
z a2 x2 y2
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4