空间曲线及其在坐标面上的投影

z
S1
S2
C
o
y
x2 y2 1
例1 方程组
表示怎样的曲线？
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
z a2 x2 y2
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
二、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：
1.
z
4 x2 y2
x y 0
2.
x2 y2 a2
x
2
z2
a2
三、将曲线 x 2 y 2 z 2 9化为参数方程． y x
x a cos 四、求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线
z b
的直角坐标方程 .
五、求 由 上 半 球 面 z a 2 x 2 y 2 , 柱 面
xoz平面上的投影方程是_______________；
4.
方程组
y y
5x 2x
1 在平面解析几何中表示______； 3
x2 y2 5. 方程组 4 9 1在平面解析几何中表示_______
y 3
______，在空间解析几何中表示_______________；
6 . 旋转抛物面 z x2 y2(0 z 4) 在 xoy面上的投影为__________， 在 yoz面上的投影为____________， 在 zox面上的投影为__________.
其切平面 y 3的交线；
6. x2 y2 4, y2 z 4, x2 z 4.
x
三、 y
3 cos t 2
3 cos t ,(0 t 2) .
2
z 3sint
四、 x2
y2
a2
, z
b arcsin
y a
, z
b arccos x a
.
z 0
x 0
y 0
五、 x2 y2 ax; z2 ax a2 , x 0, z 0.
第三节 空间曲线及其在坐 标面上的投影
一、空间曲线及其方程
二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题
一、空间曲线及其方程
1. 曲线(curve)的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 x 不能同时满足两个方程.
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
三、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 R( y, z) 0 T ( x, z) 0
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
z 0
x
0
y
0
பைடு நூலகம்考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x 2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
思考题解答
2 y2 x2 z
交线方程为
2
x2
z
,
消去z 得投影柱面 x2 y2 1,
在 xoy面上的投影为
x2 y2 1
.
z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
如图,
（1）消去z 得投影
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y 得投影
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去x 得投影
y2 z2 2y z 0
.
x 0
练习题
一、 填空题：
1. 曲面 x2 9 y2 10z与 yoz平面的交线是_____；
2. 通过曲线2x2 y2 z2 16, x2 z2 y2 0，且
母线平行于 y 轴的柱面方程是____________；
3. 曲线 x2 z2 3 yz 2x 3z 3 0, y z 1 0在
x 2 y2 ax 0 及 平面z 0 所 围成的 立体， 在
xoy 面和 xoz面上的投影 .
练习题答案
一、1.
y2
10 9
z；
x 0
2. 3 y2 z2 16,3x2 2z2 16；
3.
x2
4z2
2x
3
0；
y 0
4. 两直线的交点,两平面的交线；
5. 椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 x2 y2 1与 49
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T( x, z) 0
y
0
例5 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0