人教版初二数学 解直角三角形

(1)解决解直角三角形的实际问题,关键是根据已知条件,准确地画出图形或 根据已知图形找到包含相关的角(如仰角、俯角、方位角等)在内的直角三角 形,再应用三角函数的定义或特殊角的三角函数值解题. (2)若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线,构造直角三角形来解决.在 求解过程中往往利用方程求解,充分体现了转化思想、方程思想在解直角三 角形中的应用.
3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
解直角三角形
1.定义:在直角三角形中,由已知元素,求出 未知元素 的过程,叫做解直角三 角形.解直角三角形时,已知的元素中应至少有一个是 边 .
2.解直角三角形的依据
Rt△ABC中,∠C=90°,设BC=a,CA=b,AB=c.
(1)三边关系: a2+b2=c2
又 BE=DF,∴300- x =414-x,解得 x=214, 2.14
故点 D 到 AB 的距离是 214 m.
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根据 FM-EM=EF 列出方程求解.
解:设 AM=x 米,
在 Rt△AFM 中,∠AFM=45°,∴FM=AM=x,
在 Rt△AEM 中,tan∠AEM= AM ,则 EM= AM = 3 x,
EM
tan AEM 3
由题意得 FM-EM=EF,即 x- 3 x=40, 3
解得 x=60+20 3 , ∴AB=AM+MB=(61+20 3 )米, 答:该建筑物的高度 AB 为(61+20 3 )米.
第18讲 解直角三角形
锐角三角函数
在Rt△ABC中,∠C=90°,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的三角函数是∠A的正弦记
作sin A=
a c
;∠A的余弦记作cos A=
b c
a
;∠A的正切记作tan A= b ;它
们统称为锐角A的三角函数.
sin α cos α tan α
特殊角的三角函数值 30° 1 2
(h)和 水平长度 (l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),
记作 i, 即 i=
h l
.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有 i= h =tan α.
l
如图 2.
(3)方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.
锐角三角函数的定义 [例1] 如图,在4×4的正方形方格中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶
∴S = 梯形 ABFE 1 (2+9 5 -7)×9= 81 5 45 ,
2
2
81 5 45 ×200=8 100 5 -4 500. 2
答:共需土石(8 100 5 -4 500)立方米.
5.(2019巴中)某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC 互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中,在C处测得点D位于 西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC=414 m,AB=300 m, 求出点D到AB的距离. (参考数据sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
2 ∴∠A=30°,∠B=60°, ∴∠A+∠B=90°.
3.(2019 乐山)如图,在△ABC 中,∠B=30°,AC=2,cos C= 3 .则 AB 边的长
16
5
为 5.
解析:如图,作 AH⊥BC 于 H. 在 Rt△ACH 中, ∵∠AHC=90°,AC=2,cos C= 3 ,
5
∴ CH = 3 ,∴CH= 6 ,∴AH=
在 Rt△ACH 中, ∵cos C= CH = 2 ,AC= 2 ,
AC 2 ∴CH= 2 AC=1,AH= AC2 CH 2 =1,
2 在 Rt△ABH 中,∵tan B= AH = 1 ,
BH 5 ∴BH=5,∴BC=BH+CH=6.
(2)∠ADC的正弦值.
思路点拨:(2)在Rt△ADH中,求出AD,再根据正弦的定义求解. 解:(2)∵BD=CD, ∴CD= 1 BC=3,DH=CD-CH=3-1=2,
解直角三角形的应用 [例4] (2019宜宾)如图,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测 角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测 得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
思路点拨:设 AM=x,在 Rt△AFM 中求出 FM=x,在 Rt△AEM 中求出 EM= 3 x,最后 3
解:过 A 作 AH⊥BC 于 H,过 E 作 EG⊥BC 于 G, 则四边形 EGHA 是矩形, ∴EG=AH,GH=AE=2, ∵斜坡 AB 的坡度 i=1∶1, ∴AH=BH=30×30=900 (cm)=9(m),∴BG=BH-HG=7, ∵斜坡 EF 的坡度 i=1∶ 5 ,∴FG=9 5 ,∴BF=FG-BG=9 5 -7,
的法则计算.
3
解:原式=（ 2 ）2+ 2 -
2
2 3 1
2
3× 3 3
= 1 + 3 3 -1 24
=1 3 . 4
利用一套三角板,可以帮你记住 30°,45°,60°角的三角函数值. 如图,直角三角形中,30°角的对边、邻边、斜边的比是 1∶ 3 ∶2, 若有一锐角为 45°,两直角边与斜边的比是 1∶1∶ 2 .
AC 5
5
AC 2 CH 2 =
22
6 5
2
=8 5
,Байду номын сангаас
在 Rt△ABH 中,∵∠AHB=90°,∠B=30°,∴AB=2AH= 16 . 5
4.(2019 遂宁)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对 一段长 200 米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图,加固前大坝背 水坡坡面从 A 至 B 共有 30 级阶梯,平均每级阶梯高 30 cm,斜坡 AB 的坡度 i=1∶1;加固后,坝顶宽度增加 2 米,斜坡 EF 的坡度 i=1∶ 5 ,问工程完工后, 共需土石多少立方米?(计算土石方时忽略阶梯,结果保留根号)
解直角三角形
[例 3] (2019 杨浦区一模)如图,AD 是△ABC 的中线,tan B= 1 ,cos C= 2 ,
5
2
AC= 2 .
求:(1)BC的长;
思路点拨:(1)作AH⊥BC于H,在Rt△ACH中,求出AH=CH=1,在Rt△ABH中求出BH, 则BC可得.
解:(1)如图,作 AH⊥BC 于 H.
在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,sin B= AC ,故 B 正确; BC
∵AD⊥BC,∠BAC=90°, ∴∠B=∠DAC, ∴在 Rt△ACD 中,sin B=sin∠DAC= DC ,故 C 错误,D 正确.故选 C.
AC
2.(2018 巴中)已知｜sin A- 1 ｜+ 3 tan B 2 =0,那么∠A+∠B= 90° . 2 解析:由题意可知,sin A= 1 ,tan B= 3 ,
1.(2016 乐山)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,则下列结论 不正确的是( C )
(A)sin B= AD AB
(B)sin B= AC BC
(C)sin B= AD AC
(D)sin B= CD AC
解析:在 Rt△ABD 中,∠BDA=90°,sin B= AD ,故 A 正确; AB
(1)在网格中求锐角三角函数,锐角所在的三角形的顶点一般是网格中的 格点. (2)求锐角三角函数值时,必须把角转化到直角三角形中解决,同时找准角 的对边、邻边和所在直角三角形的斜边.
特殊角的三角函数
[例 2] 计算:cos245°+ cos30 2sin 60 1
3 ·tan 30°.
思路点拨:先把各特殊角的三角函数值求出,再根据二次根式混合运算
解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 E,过 D 作 DF⊥BC 于 F,则四边形 EBFD 是矩形, 设 DE=x, 在 Rt△ADE 中,∠AED=90°,
∵tan∠DAE= DE ,∴AE= DE = x ,
AE
tan DAE 2.14
∴BE=300- x , 2.14
又 BF=DE=x,∴CF=414-x, 在 Rt△CDF 中,∠DFC=90°,∠DCF=45°,∴DF=CF=414-x,
2 AD= AH 2 DH 2 = 12 22 = 5 , 在 Rt△ADH 中,sin∠ADH= AH = 5 .
AD 5 ∴∠ADC 的正弦值为 5 .
5
解直角三角形的题目要注意 (1)若是直角三角形,直接应用直角三角形的边角关系和勾股定理求解; (2)若是锐角三角形或钝角三角形,通常作高构造直角三角形求解.
.
(2)两锐角关系: ∠A+∠B=90°
.
(3)边角之间的关系:
sin A=
a c
;cos A=
b c
a
;tan A= b .
3.解直角三角形应用中的有关概念
(1)仰角和俯角:在进行测量时,从 下往上 看,视线和水平线的夹角叫
做仰角;从 上往下
看,视线和水平线的夹角叫做俯角.如图1.
(2)坡度、坡角 坡面的 铅直高度
5
点都在格点上,则∠BAC的正弦值是
5
.
思路点拨:先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,再由锐角三角函 数的定义即可得出结论.
解析:由勾股定理可得 AB2=32+42=25, BC2=12+22=5,AC2=22+42=20, ∴AB2=BC2+AC2, ∴∠ACB=90°,
∴sin∠BAC= BC = 5 = 5 . AB 25 5