例析寻求函数零点所在区间端点的思维途径
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数的零点，即函数在坐标系中与x轴交点的横坐标值。
在数学中，求解函数的零点是一个常见的问题，也是解决方程、求解实际问题的重要一环。
在这篇文章中，我们将对函数零点问题进行一些分析与思考，探讨不同类型函数的零点求解方法，以及如何利用零点求解问题。
一、基本概念我们来回顾一下函数的零点的基本概念。
对于一个函数f(x)，其零点即为使得f(x)=0的x值。
通常来说，我们可以通过以下几种方法求解函数的零点：1. 图像法：通过绘制函数的图像，找到函数与x轴的交点；2. 方程法：将函数f(x)化为方程f(x)=0，然后通过解方程求解得到零点；3. 迭代法：利用数值计算方法逼近函数的零点。
这些方法都是常见的零点求解方法，在实际问题中也常常会用到。
下面，我们将结合不同类型的函数，来分析如何利用这些方法求解函数的零点。
二、线性函数的零点求解举个例子来说，我们考虑函数f(x)=2x-3，我们需要求解函数f(x)的零点。
我们可以将函数化为方程2x-3=0，然后通过解方程的方法来求解得到x=3/2。
这样，我们就得到了函数f(x)的零点为x=3/2。
接下来，我们来看一下多项式函数的零点求解。
对于一个n次多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中an≠0，我们可以通过多种方法来求解其零点。
我们也可以利用迭代法来逼近多项式函数的零点。
通过不断迭代计算，我们可以逼近多项式函数的零点。
这在计算机科学和数值计算中经常会用到。
四、三角函数和指数函数的零点求解除了线性函数和多项式函数，我们还可以考虑三角函数和指数函数的零点求解。
对于这两类函数，我们通常会采用迭代法来逼近函数的零点。
对于函数f(x)=sin(x)，我们可以通过不断迭代计算，利用泰勒级数展开式来逼近函数的零点。
对于指数函数f(x)=e^x，我们也可以利用迭代法来逼近函数的零点。
五、零点求解在实际问题中的应用我们来思考一下零点求解在实际问题中的应用。
求函数零点所在区间方法
求函数零点所在区间方法
牛顿迭代法和二分法是求函数零点所在区间上常用的两种方法。
牛顿迭代法是一种属于非线性迭代的方法。
该方法以拟合函数的二次函数进行局部逼近，因此也称为牛顿二次插值法，其核心是基于变分法的单点迭代方法，利用函数的前缀
函数在某点处的导数及势函数在此点处的值，迭代求解函数零点的近似值。
牛顿迭代法的
关键是计算函数的非线性的导数，根据变分法的思想，每次迭代过后，利用两点的差商求
函数的一次近似值。
如果函数是二次函数，则可以利用牛顿迭代法，转换为一次导数等于
0就可以获得最终精确零点。
牛顿迭代法的特点是速度快，收敛性良好，在数值计算中经
常用来求函数零点所在区间，不过，该方法仅能求连续函数的零点，也就是说可以求出连
续函数在某个区间内的零点。
二分法也称为折半法、折半搜索法，与牛顿迭代法很相似，属于单点迭代，效率较低，适用于求函数单调区间上的零点。
其核心思想是：在某个函数区间上，选取点，判断函数
图像在该点是上升或下降，从而在不断缩小范围的基础上，找到函数零点所在的区间，最
终得到函数零点。
牛顿迭代和二分法都是求函数零点的基本方法，牛顿迭代法收敛速度较快，但是只适合连续函数；而二分法使用简单，可以求不连续而且是单调的函数的零点，
是比较常用的求函数零点的方法，但是它的收敛速度相较于牛顿迭代来慢一些。
怎样求解函数零点问题
思路探寻函数零点问题的难度通常较大.常见的命题形式有：（1）判断零点的个数；（2）由函数的零点求参数的取值范围；（3）证明与函数零点有关的不等式.那么如何破解这三类函数零点问题呢？下面举例加以探究.一、判断函数零点的个数判断函数零点的个数，实质上是判断函数的图象与x 轴的交点的个数，或求函数为0时的解的个数.因此判断函数零点的个数，往往有两种思路：（1）令函数为0，通过解方程求得零点的个数；（2）判断出函数的单调性、奇偶性、对称性，画出函数的图象，通过研究图象与x 轴的交点，来判断函数零点的个数.例1.已知函数f ()x =ln x -()a -1x +1.（1）若f ()x 存在极值，求a 的取值范围；（2）当a =2，且x ∈()0,π时，证明：函数g ()x =f ()x +sin x 有且仅有2个零点.解：（1）略；（2）当a =2时，g ()x =ln x -x +1+sin x ，得g ′()x =1x-1+cos x ，令h ()x =g ′()x ，因为x ∈()0,π，则h ′()x =-1x2-sin x <0，所以h ()x =g ′()x 在()0,π上单调递减，又因为g ′()π3=3π-1+12=3π-12>0，g ′()π2=2π-1<0，所以g ′()x 在()π3,π2上有唯一的零点α，当x ∈()0,α时，g ′()x >0，当x ∈()α,π时，g ′()x <0，所以g ()x 在()0,α上单调递增，在()α,π上单调递减，可知g ()x 在()0,π存在唯一的极大值点α（π3<α<π2），而g ()α>g ()π2=ln π2-π2+2>2-π2>0，g()1e 2=-2-1e 2+1+sin 1e 2=-1e 2+()sin 1e 2-1<0，g ()π=lnπ-π+1=lnπ-()π-1，令F ()x =ln x -()x -1，F ′()x =1x -1=1-x x ，则x ∈()0,1，F ′()x >0；x ∈()1,+∞，F ′()x <0，所以F ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，得F ()x max =F ()1=0，故F ()π<F ()1=0，即g ()π=lnπ-()π-1<0，可知g ()x 在()0,α和()α,π上分别有1个零点，所以当x ∈()0,π时，g ()x 有且仅有2个零点.函数式g ()x =f ()x +sin x 中含有对数、三角函数式，我们很难通过画图、解方程求得零点的个数，于是对函数求导，研究函数的单调性、极值，从而画出函数的图象；进而借助函数的图象来确定函数零点的个数.在解答函数零点问题时，经常要用到函数的零点存在性定理，但运用该定理只能判断函数在某个区间上是否含有零点，却不能确定函数在某区间上零点的个数，此时往往需结合函数的图象进行判断.二、由函数的零点求参数的取值范围根据函数的零点求参数的取值范围问题比较常见.在解题时，往往要先通过解方程或画图，利用函数的零点存在性定理，判断函数的零点的存在性和个数，确定零点的范围；然后建立关于参数的关系式，进而求得参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =x 2+x ln x ．（1）求函数f ()x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）若F ()x =f ()x -ax 3有2个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）f ()x max =f ()e =e 2+e .（过程略）（2）由题意可知函数f ()x =x 2+x ln x 的定义域为()0,+∞，由f ()x =ax 3可得a =x +ln xx 2，令g ()x =x +ln x x 2，其中x >0，则g ′()x =1-x -2ln xx 3，令h ()x =1-x -2ln x ，其中x >0，则h ′()x =-1-2x<0，所以函数h ()x 在()0,+∞上为减函数，且h ()1=0，当0<x <1时，h ()x >0，则g ′()x >0，所以函数g ()x 在()0,1上单调递增，当x >1时，h ()x <0，则g ′()x <0，所以函数g ()x 在()1,+∞上单调递减，所以g ()x max =g ()1=1，49思路探寻令p ()x =x +ln x ，其中x >0，则p ′()x =1+1x>0，则函数p ()x 在()0,+∞上为增函数，因为p()1e =1e-1<0，p ()1>0，则存在x 0∈()1e,1，使得p ()x 0=0，当0<x <x 0时，f ()x =x ()x +ln x <0；当x >x 0时，f ()x =x ()x +ln x >0.由题意可知，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，如图所示.由图可知，当0<a <1时，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，故实数a 的取值范围是0<a <1.解答本题需抓住关键信息：函数F ()x =f ()x -ax 3有2个零点.于是令F ()x =f ()x -ax 3=0,并将其变形为a =x +ln x x2，再构造新函数，将问题转化为直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点的问题.利用导数与函数g ()x 单调性的关系判断函数的单调性，并画出函数g ()x 的图象，即可通过讨论直线y =a 与函数g ()x 的图象的位置关系，确定参数a 的取值范围.在求参数的取值范围时，若容易从方程中分离出参数来，往往可以采用分离参数法求参数的取值范围.三、证明与函数零点有关的不等式问题与函数零点有关的不等式问题通常较为复杂，且具有较强的综合性.在解题时，需根据函数零点的分布情况,构造新函数或新方程，再根据导数的性质讨论新函数的性质或方程的根，从而证明不等式.例3.已知函数f ()x =me x -x 2-x +2.（1）若函数f ()x 在R 上单调递增，求m 的取值范围；（2）若m <0，且f ()x 有2个零点x 1,x 2，证明：||x 1-x 2<3+m 3.解：（1）m ≥2e -12；（过程略）（2）不妨设x 1<x 2，由题意可得me x 1-x 21-x 1+2=0，me x 2-x 22-x 2+2=0，即x 1,x 2为方程m =x 2+x -2e x的2个根，因为m <0，所以x 2+x -2<0，解得：-2<x <1，所以x 1,x 2∈(-2,1)，设h (x )=x 2+x -2e x(-2<x <1)，则h ′(x )=-x 2+x +3e x，令h ′(x )=0得x =1-132，则h (x )在()-2,1-132上单调递减，在()1-132,1上单调递增，而h (x )在()-2,0处的切线方程为y =-3e 2(x +2)，设h 1(x )=-3e 2(x +2),则h (x )>h 1(x )，设h (x )在()x 0,x 20+x 0-2ex 0处的切线方程过点(1,0)，其切线的斜率为-x 20+x 0+3ex 0，取x 0=-1，则h (x )在()-1,-2e 处的切线斜率为e ，则切线的方程为y +2e =e ()x +1，即y =ex -e ，可知h 2(x )=ex -e 单调递增,可得h (x )≥h 2(x )，记y =m 与y =h 1(x )和y =h 2(x )交点的横坐标分别为x 3,x 4，则h (x 1)=m =h 1(x 3)=-3e 2(x 3+2)，故x 3=-2-m3e2，因为h 1(x 3)=h (x 1)>h 1(x 1)，所以h 1(x )单调递减，所以x 1>x 3，h (x 2)=m =h 2(x 4)=e (x 4-1)，故x 4=1+me，由h 2(x 4)=h (x 2)≥h 2(x 2)，知h 2(x )单调递增，所以x 2≤x 4，由于m <0，所以||x 1-x 2=x 2-x 1<x 4-x 3=3+m e +m3e 2=3+m()1e +13e 2<3+m ()13+127<3+m 3.故不等式成立.解答本题，要先将x 1,x 2视为方程m =x 2+x -2e x的两根，根据方程确定两根的取值范围；然后构造新函数h (x )，讨论导函数h ′(x )的性质和几何意义，以确定y =m ，h (x )与其切线y =h 1(x )、y =h 2(x )的交点之间的大小关系，从而证明不等式.函数零点问题一般都可以转化为方程问题或函数单调性问题.因此在解答函数零点问题时，需根据题意构造出相应的方程和函数，灵活运用方程思想和数形结合思想,通过研究该函数的图象与性质、方程的根来求得问题的答案.（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）50。
数学-零点区间的寻找技巧和常见模型(找点策略)
零点区间的寻找技巧方法一：直接放缩法。
成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.【示例】证明：当10a e<<时，()ln f x x ax =-有两个零点.分析：极值点为1x a=（大于e ），11ln 10f a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点.因为ln 1x x ≤-，要使得ln 0x ax -<，只需要10x ax --≤，即11x a ≤-，考虑到10a e<<，所以11,11e a e ⎛⎫∈ ⎪--⎝⎭，所以左侧可取：()10f a =-<，111ln 1011111a a f a a a a a ⎛⎫=-<--= ⎪-----⎝⎭；另一方面：因为)ln 1x x <>或)ln 1x x ≤>，要使得ln 0x ax -<0ax -≤，即21x a ≥，所以右侧可取：2211111ln 0f a a a a a a a⎛⎫⎛⎫=-≤--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：在特定条件下进行放缩。
成功关键：找到的点一定要在特定的条件下.【示例】已知2a <，()()()22112x f x x x e ax x =+--++，试找一个00x >使得()00f x >. 分析：因为1x e x ≥+，要利用它来放缩，还需要考虑因式21x x +-的正负. 要使得()()()221120x f x x x e ax x =+--++>，只需()()()2221011120x x x x x ax x ⎧+->⎪⎨+-+-++≥⎪⎩，即()2013x x a ⎧<<⎪⎨⎪+≤-⎩，因此取01x ⎫⎪=⎬⎪⎪⎩⎭即可使得()00f x >.或写得好看一点，取{}01x =-也能符合要求.方法三：目测。
成功关键：数感与大胆.【示例】证明：当a e >时，()xf x e ax =-有两个零点.分析：极值点为ln x a =（大于1），()()l n 1l n 0f a a a =-<，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点.左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找：1110af e a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()010f =>，()110f a e -=+>.右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找：()()2ln 2ln 2ln 2ln 0a f a e a a a a a =-=->，()20a f a e a =->.方法四：分而治之。
零点的判定典例精讲
零点的判定典例精讲例1：函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -⎛⎫⎛⎫-=+⋅--=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()020f =-<11232022f ⎛⎫=+⋅-=< ⎪⎝⎭()12310f e e =+-=->()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,e D.(),e +∞思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
1x →时，()ln 1x -→-∞，从而()f x ⇒-∞，313ln 0222f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：A例3：已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则（）A.()()120,0f x f x <<B.()()120,0f x f x <>C.()()120,0f x f x >< D.()()120,0f x f x >>思路：条件给出了()f x 的零点，且可以分析出()f x 在()1,+∞为连续的增函数，所以结合函数性质可得()()()()10200,0f x f x f x f x <=>=答案：B例4：已知函数()()log 0,1a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈，则n =________思路：由a 的范围和()f x 解析式可判断出()f x 为增函数，所以0x 是唯一的零点。
函数零点问题的求解路径分析
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀函数零点问题的求解路径分析◉江苏省溧阳中学㊀韩㊀俊㊀㊀摘要:含参的函数零点讨论问题,是近些年来函数压轴的常见题型,本文中借此题型分享了几个含参函数零点问题的解题感悟,找到了使得函数值异号的点大致的三种路径．路径一,分离出代数式中已经能判定符号的式子,将剩余部分视作零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ;路径二,利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数;路径三,利用y ＝e x 在x ＝０处的切线进行放缩,也即利用e x ȡx ＋１及其变形式进行放缩．关键词:函数找 点 ;定号;放缩㊀㊀众所周知,极限与导数(微积分)紧密相关,很多导数问题与极限思想都息息相关．苏教版教材在高中数学课程中不涉及极限的知识,这给很多涉及导数的函数问题的求解带来了重重困难．例如,含参的函数零点讨论问题,这是近些年来函数压轴的常见题型,笔者就借此题型来分享几个含参函数零点问题的解题感悟．１引例讨论f (x )＝xex －a x ＋１的零点个数．１．１分析初见此题,感觉数形结合较为容易．由于x ＝０不是函数的零点,故分离参数之后,问题等价转化为方程的根的个数问题．令xex －a x ＋１＝０,则有１e x ＋１x＝a ．①图１数形结合,如图１我们发现:当a ɤ０时,方程①仅有一解,即f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,方程①有两解,即f (x )＝xex －a x ＋１有两个零点．再细想,一来学生对函数图象的趋势(极限思想)不一定能准确把握,二来作为解答题,这样的解答似乎略显苍白,因此,需要用文字和数学表达式来准确证明上面的结论,即用零点存在定理来证明零点的存在性．那么,如何取点就变成了学生解决此题的难点．许多学生 为题消得人憔悴 ,但依旧不得．重新审视此题,笔者略谈一二,希望能够给此类题型提供一些解题思路．１．２解析首先考虑特值:当a ＝０时,若x ȡ０,则f (x )＞０恒成立,故f (x )无正数零点;若x ＜０,则f ᶄ(x )＝１－xex＞０恒成立,即f (x )在(－ɕ,０)上单调增,又f (－１)＝１－e＜０,f (－１２)＝－e２＋１＞０,所以f (x )在(－ɕ,０)上仅有一个零点．故a ＝０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点．再考虑非特值:由于x ＝０不是函数f (x )的零点,故分离参数后可等价转化为g (x )＝１e x ＋１x －a 的零点个数问题．因为g ᶄ(x )＝－１e x －１x２＜０恒成立,所以函数g (x )在(－ɕ,０),(０,＋ɕ)上单调递减．(i )a ＜０时,若x ＞０,则g (x )＞０恒成立,故g (x )无正零点;若x ＜０,则g(１a )＝１e１a＞０．取x ０＝m a x {－１,１a －e },则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．故g(１a)g (x ０)ɤ０,此时g (x )在定义域内仅有一个零点,即f (x )仅有一个零点．１７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀(ⅱ)a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ．若x ＞０,则g(１a )＝１e１a＋a －a ＝１e１a＞０,g(２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a２－a ＝０．故g (１a ) g (２a)＜０,此时g (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点,即f (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点．若x ＜０,g (－１２)＝e－２－a ＜０,且g (－a ＋a ２＋４２)＞－(－a ＋a ２＋４２)＋１－a ＋a ２＋４２－a ＝０．故g (－１２)g (－a ＋a ２＋４２)＜０,此时g (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点,即f (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点．综上:当a ɤ０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,f (x )＝x ex －a x ＋１有两个零点．１．３总结从上述解题过程看,找到使得函数值异号的点大致可以选择以下三种路径．路径一:把代数式中已经能判定符号的式子取出,再将剩余部分视作 零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )＝１e x ＋１x －a 中１e x 的符号已经能够判定为正,则只需将剩余的 １x －a 视为零,从而找到所需的 点 ,即g(１a )＝１e＋a －a ＝１e１a＞０．路径二:利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数,将超越式不等式放缩为分式不等式或多项式不等式,通过解不等式找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )在(－ɕ,０)上单调递减,在g (x )＝１e x ＋１x －a 中,当x ɪ[－１,０)时,１ex ɪ(１,e ],不妨取x ０＝m a x {－１,１a －e},则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．路径三:利用y ＝e x在x ＝０处的切线进行放缩(即利用e xȡx ＋１及其变形式进行放缩),将所有的超越式放缩为分式或多项式,将所求不等式转化为分式不等式或多项式不等式进行求解,找到所需定号的 点 ．例如上例中,a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＞０时,利用e xȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得到e ２a＞２a ,又因为e ２a＞２a ＞０,则１e ２a ＜a ２,故g (２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a ２－a ＝０;a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＜０时,利用e x ȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得e －x＞－x ,则g (x )＞－x ＋１x －a ＝－x ２＋a x －１x＝－(x －－a ＋a ２＋４２)(x －－a －a ２＋４２)x,故不妨取x ＝－a ＋a ２＋４２,有g (－a ＋a ２＋４２)＞０．２三种路径在压轴题中应用经过上题的研究,笔者有些 众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处 之感．下面利用这三种路径来解决如下高考压轴题．[２０２２ 全国乙卷(文)２０题]已知函数f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ．若f (x )恰有一个零点,求a 的取值范围．解析:由f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ,x ＞０,得f ᶄ(x )＝a ＋１x ２－a ＋１x ＝(a x －１)(x －１)x２．当a ɤ０时,a x －１ɤ０．所以,当x ɪ(０,１)时,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增;当x ɪ(１,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＜０,f (x )单调递减．故f (x )m a x ＝f (１)＝a －１＜０,此时函数f (x )无零点,不合题意．当０＜a ＜１时,１a ＞１,f (x )在(０,１),(１a,＋ɕ)上单调递增;f (x )在(１,１a)上单调递减．又因为f (１)＝a －１＜０,所以存在m ＝a ＋１＋(a ＋１)２＋aa＞１,使得f (m )＞０．(下转封三)２７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考1. 引言1.1 引言概述函数零点问题是数学中一个经典且重要的课题，它在各个领域都有着广泛的应用。
简而言之，函数零点问题指的是找出函数在何处取零值的问题。
当一个函数取零值时，我们称这个点为函数的零点。
在实际应用中，函数零点常常对应着一些关键的信息或者特殊的情况，因此对函数零点的求解和分析至关重要。
本文将从数学的角度对函数零点问题进行深入探讨，探讨什么是函数零点问题，如何求解函数的零点，以及常见的求解方法和技巧。
我们将介绍包括数值逼近法和图形法在内的多种解题方法，并对这些方法进行详细的解析和比较。
我们还将总结一些思考和未来的展望，展望函数零点问题在未来的发展方向和应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够全面了解函数零点问题的本质和重要性，同时掌握多种解题方法和技巧，从而更好地应对和解决实际问题中的函数零点求解挑战。
让我们一起深入研究函数零点问题，挖掘其中的数学奥秘和实用价值。
2. 正文2.1 什么是函数零点问题函数零点问题是指在代数学中，求解函数在横轴上的交点，也就是函数取零值的点。
在实际问题中，函数的零点往往对应着方程的根，解决函数零点问题可以帮助我们求解方程的根，并进一步解决实际问题。
函数的零点可以是一个或多个，也可以是实数或复数。
为了找到函数的零点，我们需要先确定函数的表达式，然后找到函数的解析解或数值解。
解决函数零点问题的关键在于找到使得函数取零值的自变量的取值。
在实际问题中，函数零点问题广泛应用于数学、物理、工程等领域。
比如在物理学中，求解物体的运动方程中的零点可以帮助我们找到物体的位置和速度。
在工程中，求解方程的根可以帮助我们设计合适的控制系统。
函数零点问题是一个重要且有意义的问题，我们可以通过不同方法和技巧来解决这一问题，为实际问题的求解提供帮助。
2.2 如何求解函数零点如何求解函数零点是一个关键问题，通常通过数学方法来解决。
下面我们将介绍一些常见的方法和技巧：1. 方程法：通过将函数转化为等式，然后解方程来求解函数的零点。
求函数零点的四种解题方法
求函数零点的四种解题方法函数零点是数学中一个重要的概念，它是指函数图像上单调递增或单调递减部分的交点，而求解函数零点是数学中的重要问题，它是解决各类物理、化学及建筑等工程问题的重要工具。
本文将介绍求解函数零点的四种解题方法，希望能为读者提供参考。
第一，利用极值的思想求解函数零点。
求函数零点的思路就是，从分析函数的极大值和极小值开始，找出函数零点。
比如，设函数y=f(x)，其中f(x)是定义在x1<x2<x3<x4关于连续的实数上的函数，函数f(x)在区间(x1,x4)上单调递增(递减)，那么函数f(x)在极大值点(最大值点)x2处取得极大值f2，在极小值点(最小值点)x3处取得极小值f3，则可知函数零点处f(x)=0。
第二，根据函数的导数的特性来求解函数零点。
求函数零点的思路就是，分析函数的导数(即导函数)，如果函数的导数在某个点有极值，则在此点上函数图像必定有零点，而且函数图像在此点有拐点，因此可以根据函数的导数求函数零点。
第三，利用二分法求解函数零点。
求函数零点的思路就是，将函数的定义域分为两个部分，再将其中一部分分为两个部分，以此类推，直至求出函数零点。
举个例子，设函数y=f(x)是定义在[a,b]上的函数，且函数f(x)在区间[a,b]上单调，那么可以先将定义域[a,b]划分为两部分，[a,(a+b)/2]和[(a+b)/2,b]，其中，区间[a,(a+b)/2]上函数f(x)是单调递增，在区间[(a+b)/2,b]上函数f(x)是单调递减，则可知区间[a,(a+b)/2]上或[(a+b)/2,b]上至少有一个零点，然后将[a,(a+b)/2]或[(a+b)/2,b]二分，重复上述步骤，直至求出函数零点。
第四，用牛顿迭代法求解函数零点。
牛顿迭代法又叫牛顿法，是求函数零点的一种数值及其它迭代方法，用于近似求解函数零点。
它的基本思想是，以待求解函数f(x)的定义域上某一点x0为初始值，取函数f(x)的导函数f′(x)的直线作为近似的函数，用它来逐步近似求函数f(x)的零点。
函数的零点所在的区间-概述说明以及解释
函数的零点所在的区间-概述说明以及解释1.引言1.1 概述函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，也就是函数在该点的取值为0。
寻找函数的零点在数学和工程学科中具有重要的应用价值，特别是在求解等式和方程的根、优化问题以及曲线的交点等方面。
本文将探讨函数的零点所在的区间，即给定一个函数，如何确定它的零点可能存在的范围。
对于一些简单的函数，可以直接通过解方程得到精确的零点值，但对于一些复杂的函数或者无法解析求解的函数，我们需要利用数值方法来确定它的零点所在的区间。
寻找零点的方法有很多种，如二分法、牛顿法、割线法等。
这些方法都是通过不断逼近函数的零点来得到近似解。
但在使用这些方法之前，我们需要先确定零点可能存在的区间，这对于问题的求解非常重要。
确定零点所在的区间可以通过函数图像的观察和分析来进行。
首先，我们可以通过函数图像的上升和下降趋势来初步判断零点的位置。
如果我们注意到函数在某个区间内上升，在该区间的另一端下降，那么零点必然存在于该区间内。
其次，我们可以通过函数在两个点处的取值来推断零点所在的区间。
如果函数在两点处取值异号，那么根据连续函数的性质，函数在这两点之间一定存在一个零点。
我们可以将这个区间作为寻找零点的初始范围，然后再利用数值方法进行逼近求解。
此外，我们还可以通过函数的导数来确定零点所在的区间。
如果函数的导数在某个区间内恒正或者恒负，那么函数在该区间内是单调递增或者单调递减的，从而零点必然存在于该区间内。
我们可以通过求解导函数的零点来得到可能存在的零点所在的区间。
综上所述，确定函数的零点所在的区间是问题求解的第一步，它为后续的数值方法提供了一个有效的初始范围。
在实际应用中，根据函数的特点和求解的需要，可以采用不同的方法来确定零点区间，以提高计算的效率和准确性。
在接下来的章节中，我们将介绍寻找零点的具体方法，并通过实例进行说明。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的整体结构和组织方式，以帮助读者更好地理解和阅读本文。
专题13 函数的零点的问题(解析版)
专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。
例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。
函数零点所在区间及二分法问题
3．利用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度 ，用二分法求函数零点近似值的步骤为：
确定区间a,b ，验证 f a f b 0 ； 令 c a b ，计算 f c ：若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点；
2
若 f a f c 0 ，则令 b c （此时零点 x0 a,c ）； 若 f c f b 0 ，则令 a c （此时零点 x0 c,b ）． 判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点近似值 a 或 b（或是区间 a,b 内任一个
其中正确的有__________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】（3）
【解析】由题意可确定 f x 唯一的一个零点在区间 0, 2 内，故在区间 2,16 内无零
点，（3）正确；（1）不能确定，（2）中零点可能为 1 ，（4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3）． 【总结】根据题意可以判断出存在和一定不存在零点的区间，因而对每个结论进行判 断．
故答案为： 1 ． 【总结】根据函数解析式判断函数单调性，再结合零点存在性定理，判断函数零点所 在的区间．
【变式】
若方程 ln x 2x 6 0 在 n, n 1 （ nZ ）内有一解，则 n __________．
【答案】2
【解析】令 f x ln x 2x 6 ， x 0, ， 因为 y ln x 和 y 2x 6 在 0, 上都是增函数， 所以 f x 在 0, 上是增函数， 又因为 f 2 ln 2 2 0 ， f 3 ln 3 0 ， 所以 f x 的唯一零点在区间 2,3 上， 因为方程 ln x 2x 6 0 在 n, n 1 （ nZ ）内有一解，
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题是数学中的一个重要问题，其解决方法涉及到诸多数学知识和方法。
下面我们从以下几个方面对函数零点问题进行解答分析与思考。
一、什么是函数零点？
函数零点，又称函数根或零点解，指的是一个函数在数轴上与$x$轴相交的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。
二、如何求函数的零点？
求函数的零点是数学中的重要问题，常见的方法有以下几种：
1.直接求解法：将$f(x)=0$转化为$x$的方程，然后解方程，这是最基本的求解零点的方法。
2.图像法：通过函数的图像来判断函数的零点。
当函数在某一区间内的取值为正，而在另一区间内的取值为负时，这两个区间上必定有一点$f(x)=0$，即为函数的零点。
3.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种求函数零点的迭代方法，它通过不断迭代来逼近函数的零点。
4.二分法：二分法是一种逐步缩小区间的求根方法，它通过不断缩小区间的范围来逼近函数的零点。
三、函数零点问题的应用
1.数值计算：求函数的零点是数值计算中的一个重要问题。
在数值计算中，函数的零点通常被用来求解方程和优化问题。
2.科学研究：函数的零点在科学研究中也有着广泛的应用。
例如，在物理学中，函数的零点可以用来确定一物体的运动状态。
四、结论
函数零点问题是数学中的一个重要问题，它有着广泛的应用。
求函数的零点涉及到多种数学知识和方法，求解的过程往往需要综合运用这些知识和方法。
在实际的应用中，掌握函数零点问题的解决方法对于解决实际问题是非常有帮助的。
突破函数零点问题区间端点赋值的一种思维策略
解法探究２０２４年２月上半月㊀㊀㊀突破函数零点问题区间端点赋值的一种思维策略∗◉北京市通州区潞河中学㊀白志峰㊀㊀㊀㊀◉北京市通州区教师研修中心㊀张㊀力㊀王㊀辉㊀㊀摘要:通过合理放缩,进行转化与化归,减少参数的干扰或降低超越函数的复杂程度,化繁为简,逐步分析探究零点存在的充分条件,找出特值或证出存在,是一种比较有效的思维策略．关键词:放缩;赋值;充分条件;思维策略㊀㊀函数的零点问题涉及的知识面广㊁综合性强,解决问题时常常需要把问题转化为探求某个单调区间上存在异号的函数值,结合函数的单调性进一步说明该区间上零点的唯一性．但是,面对灵活多变的函数关系,如何合理赋值,是一个难点．对于含参数的问题,往往更加复杂．有些试题的答案给出的方法取值巧妙,构思灵活,似有突如其来之感,实际解答时很难想到．极限分析法又似乎缺乏理论依据．正所谓 横看成岭侧成峰,远近高低各不同 ．本文中通过实例,探析突破解决这一难点的一种易于操作的思维策略 合理放缩,探析零点存在的充分条件．１典例分析例㊀已知函数f (x )＝a e ２x ＋(a －２)e x－x 有两个零点,求a 的取值范围．解析:求导,可得f ᶄ(x )＝２a e ２x＋(a －２)e x－１＝(a e x －１)(２e x ＋１)．(１)当a ɤ０时,f ᶄ(x )＝(a e x －１)(２e x＋１)＜０恒成立,故函数f (x )递调递减,最多一个零点．(２)当a ＞０时,令f ᶄ(x )＝(a e x －１)(２e x＋１)＝０,得x ＝l n １a ,进而可得函数在(－ɕ,l n１a)上单调递减,在(l n １a,＋ɕ)上单调递增,此时函数f (x )有极小值f (l n １a )＝l n a －１a＋１．易知,a ＞１时,极小值f (l n １a )＞０,原函数无零点．a ＝１时,极小值f (l n １a)＝０,此时恰有１个零点．当０＜a ＜１时,因为l n a ＜０,１－１a＜０,所以f (l n １a)＜０．下面证明f (x )在(－ɕ,l n１a )和(l n １a,＋ɕ)上分别有且只有一个零点．(ⅰ)先证f (x )在(－ɕ,l n１a)上有且只有一个零点,即只需证明存在x ０ɪ(－ɕ,l n １a),使得f (x ０)＞０．证法一:注意到l n １a ＞０和f (x )在(－ɕ,l n１a)上单调递减,可以加强条件,考虑x ＜０,此时０＜e x＜１．因为a e ２x＞０,所以f (x )＝a e ２x ＋(a －２)e x －x ＞(a －２)e x－x ．又因为０＜e x＜１,a －２＜０,所以f (x )＞(a －２)e x ＞a －２－x ．令a －２－x ȡ０,得x ɤa －２,所以对于任意a ɪ(０,１),一定存在x ０ɤa －２＜０,使得f (x ０)＞０,所以f (x )在(－ɕ,l n １a)上有唯一零点．到此,证明了x ０的存在性,无需再取特值验证．事实上,鉴于以上思路,取x ０＝a －２,a －３,a －４, ,均可,例如f (a －３)＞a －２－(a －３)＝１＞０．证法二:f (x )＝a e ２x ＋a e x －２e x－x ＞－２e x －x ,只需存在x ０＜０,使f (x ０)＞０．取x ０＝－２,有f (－２)＞－２e －２＋２＞０,所以f (x )在(－ɕ,l n １a)上有唯一零点．０８∗课题信息:中国少数民族教育学会内地新疆班专业委员会立项课题 基于 素养导向 的 三年制 新疆内高班数学教学策略的实践研究 ,课题编号为n g２０１９０１５;北京市通州区教育科学规划课题 高考数学从 能力立意 转向 素养导向 背景下的教学策略研究 ,课题编号为t z k y２０１９１２４．２０２４年２月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀鉴于以上思路,取x ０＝－３,－４,,均可．(ⅱ)再证f (x )在(l n １a ,＋ɕ)上有且只有一个零点,即只需证明存在x ０ɪ(l n １a,＋ɕ),使得f (x ０)＞０．证法一:因为e x＞x ,所以f (x )＝a e ２x ＋(a －２)e x －x ＞a e ２x ＋(a －２)e x－e x ＝a e x (e x＋１－３a)．只需e x＋１－３a ȡ０,所以令e x＋１－３a＝０,１,２,３,,均可．例如,令e x＋１－３a ＝１,得x ＝l n ３a,此时f (l n ３a )＞a ˑ３aˑ１＞０．所以f (x )在(l n １a,＋ɕ)上有唯一零点．证法二[１]:整理得f (x )＝a e ２x ＋(a －２)e x－x ＝e x[a e x＋(a －２)]－x ．注意到e x ＞x ,所以只需a e x＋(a －２)ȡ１．所以,令a e x＋(a －２)＝１,２,３,,都可以,则满足条件的特值x ０可取l n (３a －１),l n (４a－１),l n(５a－１), ,等等．例如,令a e x＋(a －２)＝２,得x ＝l n(４a－１),此时f l n (４a －１)éëêêùûúú＝２(４a －１)－l n (４a －１)．利用x ＞l n x ,可得４a －１＞l n (４a－１),所以f l n (４a －１)éëêêùûúú＞０．故f (x )在(l n １a,＋ɕ)上有且只有一个零点．综上,a 的取值范围为(０,１)．本例中我们的目标是寻求函数存在一个正值,在函数具备单调性的条件下,通过加强条件,利用合理缩小,证明了x ０的存在性,同时也找到了特值的选取方法．同样地,如果需要证明一个函数存在负值,可以适当放大,放大以后存在负值即可．２思维策略本题解题的思维策略是通过合理的放缩进行转化与化归,减少参数的干扰或降低超越函数的复杂程度,拨云见雾,化生为熟,化繁为简,逐步分析㊁探究零点存在的充分条件．在此,一个简单的不等式链l n x ɤx －１＜x ＜x ＋１ɤe x起到了四两拨千斤的作用．３类比练习练习１㊀已知函数f (x )＝(x －２)e x ＋a (x －１)２(a ＞０)有两个零点,求实数a 的取值范围．提示:f (x )在(－ɕ,１)上是减函数,在(１,＋ɕ)上是增函数．因为f (１)＝－e ＜０,f (２)＝a ＞０,所以(１,＋ɕ)上f (x )有唯一零点;当x ＜１时,考虑x ＜０,e x＜１,且x －２＜０,所以f (x )＝(x －２)e x ＋a (x －１)２＞(x －２)＋a (x －１)２＝a x ２－(２a －１)x ＋a －２．所以,取x ０＜m i n ０,２a －１－４a ＋１２a{},必有f (x ０)＞０．练习２㊀已知函数f (x )＝x e ２x－a ,x ＞０,讨论该函数零点的个数．提示:f (x )在(０,＋ɕ)上是增函数,f (x )＞f (０)＝－a ．当a ɤ０时,f (x )无零点．当a ＞０时,f (０)＝－a ＜０,注意到e ２x＞２x ,所以f (x )＝x e ２x－a ＞２x ２－a ．令２x ２－a ＝０,得x ＝a２,此时得到f (a２)＞２(a ２)２－a ＝０．其实,满足f (x ０)＞０的x ０不唯一,只要使得２x ２－a ȡ０即可．练习３㊀(２０２１全国新高考Ⅱ卷２２改编)已知函数f (x )＝(x －１)e x －a x ２＋b ,若０＜a ＜１２,b ɤ２a ,证明:f (x )有且只有一个零点．提示:当０＜a ＜１２时,函数f (x )在(－ɕ,０)上无零点．因为f (０)＝b －１ɤ２a －１＜０,注意到e xȡx ＋１,不妨考虑x ＞１,可得f (x )＝(x －１)e x－a x ２＋b ȡ(x －１)(x ＋１)－a x ２＋b ＝(１－a )x ２－１＋b ．令(１－a )x ２－１＋b ＞０,得x ＞１－b１＋b(b ＜２a ＜１),取x ０＝１－b１＋b＋１,必有f (x ０)＞０．参考文献:[１]冯俊．谈导数中零点存在区间端点的探求策略[J ]．数学通讯,２０１８(１８):３１Ｇ３６．Z１８。
研究函数零点的常用三法
研究函数零点的常用三法函数零点是函数应用的一个重要方面，根据函数的零点可以研究方程的近似解，了解函数的变化趋势等．在高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法、单调性分析法．一、零点定理法定理：连续函数y=f(x)满足f(a)f(b) <0，则函数在区间(a,b)内存在零点．例1 设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则y=f(x)（ ） A ．在区间(e1，1)，(1,e)内均有零点 B ．在区间(e1，1)，(1,e)均无零点 C ．在区间(e1，1)有零点，在区间(1,e)内无零点 D ．在区间(e1，1)内无零点，在区间(1,e)内有零点 【分析】根据函数性质分析函数在(e1，1)上的变化,再根据零点定理验证区间(1,e)． 【解析】根据对数函数性质，当0＜x ＜1时,lnx ＜0，故0ln 31)(>-=x x x f ，因此函数y=f(x)在区间(e 1，1)内没有零点，而03313)(,031)1(<-=-=>=e e e f f ，根据函数零点的存在性定理可知，函数y=f(x)在区间(1,e)内有零点．故选D ．【知识小结】函数零点的存在性定理是解决函数零点问题的主要根据，这个定理能判断函数零点的存在，并且能找到函数零点所在的区间．在使用函数零点定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数的单调性如何，这个函数在该区间上都不会有零点；二是函数的零点定理只能断定函数在一个区间上零点的存在性，而不能断定在这个区间上零点的个数．二、数形结合法函数y=f(x)的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法． 例2 函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 0D ．不能确定【分析】构造函数g(x)＝lnx,h(x)=x-2,作出函数的图象,观察两函数图象交点个数．【解析】如图所示，分别作出g(x)＝lnx,h(x)=x-2的图象，可知函f(x)有两个零点．故选B ．【知识小结】数形结合法的要点是把函数分成两个函数的差，分拆的基本思想是分拆后的函数图象比较好作，函数的性质是我们较为熟悉的，这样就把要解决的问题转化到我们熟悉的环境下进行解决，在作函数图象时要注意函数性质的指导作用（如单调性、奇偶性），注意函数图象上的一些特殊点等．三、单调性分析法当函数在一个区间上单调时，这个函数在该区间上最多只有一个零点，如果有零点，那么函数值在这个零点左右区间内取不同的符号，这种解决函数零点问题的方法称为单调性分析法．例3 已知函数x x f x 2log )31()(-=，若实数x 0是函数f(x)的零点，且0＜x 1＜x 0，则f(x 1)的值（ ）A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0【分析】函数x x f x 2log )31()(-=是由指数函数与对数函数复合而成,由函数的单调性确定函数的零点个数及函数值的符号．【解析】根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数x x f x 2log )31()(-=在(0,+∞)上单调递减，这样函数f(x)就至多有一个零点．若有零点的话，函数在零点左侧的函数值恒正、右侧函数值恒负．当0＜x 1＜x 0时，结合函数的图象可知f(x)的值恒为正值．答案选A ．【知识小结】利用单调性分析法解决函数零点问题的基本思想实际上就是数形结合的思想，其要点是“在指定区间上的单调函数至多有一个零点，如果有零点，那么函数就有唯一的一个零点”，这是解决函数在指定的区间上零点唯一性问题的主要思想方法．。
灵活运用数学思想，高效解答分段函数零点问题
故θ为钝角，所以cos θ<0，即a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)=a (a -8)2a (2a -1)<0，解得12<a <8，所以实数a 的取值范围是12<a <8.剖析：上述解法中，求得的a >12，不能保证2a +1、a 、2a -1是三角形的三边长，即忽视了三角形的性质：三角形两边之和大于第三边，正解：因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边长，所以ìíî2a +1>0，a >0，2a -1>0，解得a >12，因为2a +1最大，所以要使2a +1、a 、2a -1能表示三角形的三边长，还需满足a +(2a -1)>2a +1，即a >2，设θ为最长边2a +1所对的角，则cos θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)=a (a -8)2a (2a -1)<0，解得12<a <8，所以a 的取值范围是2<a <8.三角形三边之间的关系主要有：（1）三角形两边之和大于第三边；(2）三角形两边之差小于第三边；（3）大角对大边，小角对小边；（4）等腰三角形的两腰相等；（5）正三角形的三边相等；（6）直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和.大家只有熟记并学会灵活运用这些关系，才能有效地规避错误.俗话说：谨慎能捕千秋蝉，小心驶得万年船.以上三个误区告诉我们：对于解三角形问题，切莫忽视三角形固有的性质，即三边之间的关系，三角之间的关系，边角之间的关系，以及边角与正余弦定理之间的关系.（作者单位：江苏省淮北中学）相较于常规函数，分段函数较为复杂，往往需用两个或两个以上的函数式表示.但在不同区间上，函数仍然具有单调性、对称性、奇偶性、周期性等.对于分段函数零点问题，通常可将问题转化为解方程（组）问题或求函数图象交点的问题，运用方程思想或数形结合思想，使问题快速获解.一、利用方程思想函数f ()x 的零点是函数与x 轴交点的横坐标，即方程f ()x ＝0的根.在解答分段函数零点问题时，可灵活运用方程思想，根据零点的定义构建方程（组），分别求得在各个区间段上方程的解，再综合所求得的结果，即可确定函数零点的个数或取值范围.例1.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，求函数g (x )=f (x )-x +2的零点的个数.解：当x <0时，-x >0，所以f (-x )=(-x )2+4x ，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以-f (x )=f (-x )=x 2+4x ，所以当x <0时，f (x )=-x 2-4x ，所以f (x )=ìíî-x 2-4x ,x <0,x 2-4x ,x ≥0,g (x )=ìíî-x 2-5x +2,x <0,x 2-5x +2,x ≥0,当x <0时，由-x 2-5x +2=0，得x，当x ≥0时，由x 2-5得x x ，所以g (x )=f (x )-x +2有3个零点.由于该分段函数是奇函数，所以可以根据函数的奇偶性，由当x ≥0时函数的解析式求得当x <0时函数的解析式；然后分别令函数式为0，建立方程，求得满足各个区间段的方程的根，这样运用方程思想便能快速获得问题的答案.例2.已知a >0，函数f (x )=ìíîx 2+2ax +a ,x ≤0,-x 2+2ax -2a ,x >0.探索探索与与研研究究45探索探索与与研研究究若g(x)=f(x)-ax恰有2个零点，求a的取值范围.解：g(x)=f(x)-ax=ìíîx2+ax+a,x≤0,-x2+ax-2a,x>0,若g(x)有两个小于0的零点，则方程x2+ax+a=0(x≤0)有2个不相等的实根，则ìíîïïa2-4a>0，-a2<0，a2-8a<0，解得4<a<8.若g(x)有两个大于0的零点，则方程-x2+ax-2a=0(x>0)有2个不相等的实根，则{a2-4a<0，a2-8a>0，此时不等式组无解.若g(x)有一正一负2个零点，则方程x2+ax+a=0(x≤0)和-x2+ax-2a=0（x>0）均只有1个解,则ìíîïïa2-4a=0，a2-8a=0，a>0，此时不等式组无解.综上所述，a的取值范围为（4，8）.对于分段函数零点的个数问题，往往需分别讨论每个区间段上函数零点的个数，即相应方程的解的个数.若分段函数式为二次式，则需讨论方程的判别式△大于0、等于0、小于0的情形，或讨论方程的根的分布情况.二、利用数形结合思想数形结合思想是解答函数问题的重要思想.对于较为复杂的分段函数零点问题，运用数形结合思想，往往能使解题思路更加明朗，大大降低解题的难度.在解题时，可根据函数的解析式在同一个坐标系中画出各个区间上函数的图象，寻找函数图象与x轴的交点，该交点即为函数的零点，通过研究函数的图象，就可以明确函数零点的个数及取值范围.以例1为例.解：由上述解法可知g(x)=ìíî-x2-5x+2,x<0,x2-5x+2,x≥0,画出函数y=g(x)的图象，如图1所示，由图1可知，函数y=g(x)有3个零点.值得注意的是，在画函数的图象时，一定要先明确各个函数式对应的x的取值范围，再画出相应的函数图象，才能得到正确的答案.以例2为例.解：令g(x)=f(x)-ax=0，可得f()x=ax.（1）当x≤0时，x2+2ax+a=ax，整理得x2=-a()x+1.显然x≠-1，则a=-x2x+1.令h(x)=-x2x+1，则h′(x)=-x2+2x(x+1)2.由h′(x)>0，得x∈(-2,-1)⋃(-1,0)，此时h(x)单调递增.由h′(x)<0，得x∈(-∞,-2)，此时h(x)单调递减.所以h(x)的极小值为h(-2)=4.（2）当x>0时，由f()x=ax，得-x2+2ax-2a=ax，整理得x2=a(x-2)，显然x≠2，则a=x2x-2.令t(x)=x2x-2，则t′(x)=x2-4x(x-2)2，由t′(x)>0，得x>4，此时t(x)单调递增.由t′(x)<0，得0<x<2或2<x<4，此时t(x)单调递减.即当x=4时，t(x)的最小值为t(4)=8，画出函数图象，如图2所示.由图可知，当a>0时，要使g(x)=f(x)-ax恰有2个零点，需使4<a<8.我们将问题转化为y=f(x)与y=ax的交点问题，通过研究两个函数的图象的位置关系，求得问题的答案.若函数f(x)可以拆分为两个函数g(x)与h(x)的和或差，则可在同一个坐标系中分别画出两个函数g(x)与h(x)的图象，则函数的零点就是函数g(x)与h(x)的交点.在利用函数的图象解题时，特别需要注意的是，定义域端点处的函数值是否能取到，决定着图象在端点处断开还是连接.总之，解答分段函数的零点问题，需从零点的概念入手，通过建立方程，运用方程思想求解，或通过画出图象，利用数形结合思想来求解.相比较而言，运用方程思想求解时的运算量较大，运用数形结合思想求解比较简洁、直观.（作者单位：甘肃省武威第十中学）图2图146。
例谈函数零点问题处理的几种方法
例谈函数零点问题处理的几种方法作者：王世恩来源：《环球市场信息导报》2013年第12期函数零点问题往往以选择、填空题形式出现在近几年的高考试题中，该问题主要考查函数与方程的关系，要求学生能够运用分类讨论、数形结合、转化与化归思想来解决函数的零点分布或个数问题，该文从以下几个方法来探讨处理函数零点问题的策略。
方法一、直接法人教数学必修1在函数零点这一节中：“方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点。
”由此可知，求函数的零点，就是直接求方程的实数根。
例1. （2010年福建卷理4）函数的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3解：当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
备注：利用直接法求函数零点，前提是函数的零点，即方程的实数根，是我们能够用代数方法求解的，往往是我们所熟悉的一次、二次、对数、指数等一些初等函数所对应的方程。
方法二、定理法人教数学必修1中的零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根，也就是函数的零点。
零点存在定理告诉我们，如果连续函数在区间端点的函数值异号，那么函数在区间内至少有一根（奇数个根）。
例2.（2010年高考天津卷理科2）函数的零点所在的一个区间是（） A.（-2，-1）B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）解：因为，，所以选B。
例3.“ ”是“函数有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：若，不妨设则当时，有；当时，有。
将零点存在定理拓展的非正常区间，有，故函数在必有一根。
反之，显然不成立，若，函数可能退化为二次或一次函数，仍然可能有根，故选A备注：零点存在定理虽然是判断零点存在的一个充分条件，但是却定量的刻画了函数零点所在区间，尤其在引入二分法后，用逼近的思想，可以将函数的零点定位在一个长度充分小的区间内。
导数求函数零点存在区间取点探析
>
3
x
a ≥0,取 x = mi
n{
1,
9
a}即 可,要 使
2 -3
3
x
当 x<-1 时,
则 x >x,
x)
<0,
x >1,只
g(
2
2
1 3
1
2
x -a(
x +x +1)= (
x3
3
2
2
(
1)
x +x+1)-a(
x +x +1)+
1 1
2
= (
x
3 3
+ x + 1 ) (x - 1 - 3
a)+
i)
1)知,
na 时,
取得最小值,
最小值为 f(-l
x)
na)=1f(
1
+l
na。
a
① 当 a =1 时,由 于 f (-l
na)=0,故
只有一个零点;
x)
f(
时,由 于 1② 当 a∈ (
1,
+∞ )
1
+l
na
a
即 f(
故 f(
没有零点;
>0,
-l
na)
>0,
x)
③ 当 a∈ (
0,
1)时,
1-
-l
有一个零点。
。
综上,
a 的取值范围为(
0,
1)
,
探 析:为 什 么 要 计 算 f (- 1 )
n
fl
3
-1
a
“三招九型”，轻松破解函数零点问题
“三招九型”，轻松破解函数零点问题“三招九型”轻松破解函数零点问题<第一招：数形结合>题型一：求函数零点及零点所在区间【典例分析】【方法技巧总结】题型二：求函数零点或方程根的个数【典例分析】【方法技巧总结】1.核心：函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标2.流程：利用函数图象交点的个数：①画出函数的图象，函数的图象与x轴在给定区间上交点的个数就是函数的零点个数；②将函数拆成两个图象易得所求的零点个数即为函数和的图象在给定区间上的交点个数.3.注意：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只需求在一个周期内零点的个数.题型三：根据零点个数求参数范围（不分参型）【典例分析】【方法技巧总结】1.技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。
核心思想还是数形结合，需结合带参讨论。
题型四：比较零点的大小关系【典例分析】【方法技巧总结】1.技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判断所求数的大小关系。
题型五：求函数零点的和【典例分析】1. 零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；<第二招：分离参数>题型六：根据零点个数求参数范围（分参型）【典例分析】【方法技巧总结】1. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围【典例分析】【方法技巧总结】1.技巧：解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方程的根进而转化为函数与函数图象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.<第三招：转化化归>题型八：嵌套函数的零点个数【典例分析】【方法技巧总结】题型九：根据嵌套函数零点个数求参数【典例分析】1.技巧：通过分解为内外函数，配合数形结合的思想求解参数范围，遇见难的函数可以配合求导完善图象。
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(in a, +g)上,f (x)单调递增.(过程略)
(II)由(I)知：(i)当 a < 0 时,f (x)在(-g, +g)上单调
递减,f (x)最多有一个零点. (ii)当a > 0时,f (x)在(-g,ln y 上单调递减;
f(x)在(in a, +g)单调递增；frnm(x) = f (in a)=
当 a > 1 时,g(a) > 0, f (in > 0, fmm(x) > 0.
当a > 1时,fmm(x) > 0 (当且仅当x = 0时等号成立), f (x)最多有一个零点.
当0 < a < 1时,f (x)在(—g, in y 上单调递减.因
为 f (in a) < 0, f (—1) = ae i (e i + 1) + 1 — 2e i > 0,
1设 g(a) = 1 - 1 一 in 1,贝I」gz(a)=丄 + 1,在(0, +g)
aa
a2 a
上,gz(x) > 0, g(x)单调递增.因为g(1) = 0,所以，当且仅当
0 < a < 1 时,g(a) < 0, f (in a) < 0, fmm(x) < 0;当且仅
(1) 讨论f (x)的单调性；
(II)若f (x)有两个零点，求a的取值范围. 分析(I) (1)当a > 0时，在(-g, 1)上,f (x)单调递减;
在(1, +g)上,f (x)单调递增. (2) 当 一2 < a < 0 时,在(-g,in(-2a))和(1, +g)上
f (x)单调递增；在(in(-2a), 1)上,f (x)单调递减. (3) 当a = -2时,在(-g, +g)上,f (x)单调递增.
所以f (x)在(-g,in卩 上有且只有零点.
因为 f fin 丄)< 0, in 3 > in -, f fin
\ a丿
a
a\a丿
a
-(-+ 1) — 2 - - — in - = - — in 3+3 > 0 ,所以 f (x)
a (a
)a a a a
在(in十,+g)上有且只有一个零点.f (x)在(-g, +g)
2019年第6期(上)
中学数学研究
5
单调递增;f (x)最多有一个零点. (2) 当a = — 2时,在(—8, +8)上,f(x)单调递增,
f (x)最多有一个零点. (3) 当—2 < a < ° 时,在(—8,1)上,f (x) < °;在
(1, +8)上,f (x)单调递增；f (x)最多有一个零点. (4) 当a = °时,f (x) = (x — 2)ex只有一个零点. (5) 当a > °时,在(1, +8)上,f (x)单调递增,f⑴=
4
中学数学研究
2019年第6期(上)
例析寻求函数零点所在区间端点的思维途径
广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225) 徐正印
函数零点问题在近四年高考数学的解答题中连续岀现. 题目设问方式一般有两种，一种是根据零点的个数求参数的
取值范围；另一种是讨论函数零点的个数.无论是哪种，都需 要借助“零点存在定理”，把问题转化为寻求在某个单调区间 的存在两个不等的xi、x2,使得它们对应的函数值异号，即寻 求函数零点所在区间端点.通常，函数零点所在区间的一个 端点容易找到，但另一个端点却很难找.官方提供的答案简 直是天外来客，考生感叹做梦也想不到！
上有且只有两个零点.
综上所述,a的取值范围为(0,1). 难点突破 因为0 < a < 1时，f (x)在(in a, +g)
上单调递增，f (in a) < 0,所以，证明“当0 < a < 1
时，f (x)在(in a, +g)上有且只有一个零点”的关键
就是寻求f (xo) > 0且xo > in -.考虑到f (x)= a
为此,本文以近年高考试题为例，阐述寻求函数零点存 在区间端点的思维途径，以帮助读者突破难点.
题型一、求函数有两个零点时参数的取值范围
这类题目一般先讨论函数的单调性，再利用函数的单调
性与函数有两个零点求参数的取值范围.限于篇幅,不详细 讨论函数的单调性，只研究函数的零点问题,特别是如何寻 求函数零点存在区间端点.
(4) 当 a < -2 时,在(in(-2a), +g)和(-g, 1)上,f (x)
单调递增;在(1, in(-2a))上,f (x)单调递减.(过程省略) (II)由(I)知:(1)当 a< - 2 时,在(-g, 1)上,f (x) < 0;
在(1, in(-2a))上,f (x)单调递减，在(in(-2a), +g)上,f (x)
—e, f⑵=a > °, f (x)在(1, +8)上有且只有一个零点. (i) 当a 2 2时,在(—8,1)上,f (x)单调递减,f⑴=
—e, f (°) = 一2 + a 2 °, f (x)在(—8,1)上有且只有一个零 点，f (x)在( — 8, +8)上有且只有两个零点.
aex (ex + 1) - 2ex -x, xo可能与in -有关，自然想到检
a
( 验 f
(in 2 f,而 \a丿
f
(i〔n 2、 \aa 丿
==aa• •22—(/[22——+ 1八1) | a\a 丿
—c2 --2-----|in a
—2 = a
2 - in a不能确定其值为正值；于是检验 验f (: in D a )，,而
例1 (2017年新课标I卷理科第21题)已知函数
f (x) = ae2x + (a — 2)ex — x.
(I) 讨论f (x)的单调性；
(II) 若f (x)有两个零点，求a的取值范围.
分析(I)⑴当a C 0时,在(-g, +g)上,f (x)单调递
减.
(
f
(ii)当a > 0时，在(-g, In a)上,f (x)单调递减;在
f
(in 3 f =a • I a丿
3 a
(3 + \a
1f 丿
-2 •
3 - in a
3 a
=
-3 +3-3 in aa
>
0,
in 33 就是xo的一个值.其中33 - in33 > 0 是利用不等式
a
aa
x - in x > 0.
例2 (2016年新课标I卷文科)已知函数f(x)=
(x — 2)ex + a(x — 1)2.