例析寻求函数零点所在区间端点的思维途径

f
(in 3 f =a • I a丿
3 a
(3 + \a
1f 丿
-2 •
3 - in a
3 a
=
-3 +3-3 in aa
>
0,
in 33 就是xo的一个值.其中33 - in33 > 0 是利用不等式
a
aa
x - in x > 0.
例2 (2016年新课标I卷文科)已知函数f(x)=
(x — 2)ex + a(x — 1)2.
—e, f⑵=a > °, f (x)在(1, +8)上有且只有一个零点. (i) 当a 2 2时,在(—8,1)上,f (x)单调递减,f⑴=
—e, f (°) = 一2 + a 2 °, f (x)在(—8,1)上有且只有一个零 点，f (x)在( — 8, +8)上有且只有两个零点.
(in a, +g)上,f (x)单调递增.(过程略)
(II)由(I)知：(i)当 a < 0 时,f (x)在(-g, +g)上单调
递减,f (x)最多有一个零点. (ii)当a > 0时,f (x)在(-g,ln y 上单调递减;
f(x)在(in a, +g)单调递增；frnm(x) = f (in a)=
当 a > 1 时,g(a) > 0, f (in > 0, fmm(x) > 0.
当a > 1时,fmm(x) > 0 (当且仅当x = 0时等号成立), f (x)最多有一个零点.
当0 < a < 1时,f (x)在(—g, in y 上单调递减.因
为 f (in a) < 0, f (—1) = ae i (e i + 1) + 1 — 2e i > 0,
(4) 当 a < -2 时,在(in(-2a), +g)和(-g, 1)上,f (x)
单调递增;在(1, in(-2a))上,f (x)单调递减.(过程省略) (II)由(I)知:(1)当 a< - 2 时,在(-g, 1)上,f (x) < 0;
在(1, in(-2a))上,f (x)单调递减，在(in(-2a), +g)上,f (x)
1 - 1 - in 1.
aa
设 g(a) = 1 - 1 一 in 1,贝I」gz(a)=丄 + 1,在(0, +g)
aa
Leabharlann Baidua2 a
上,gz(x) > 0, g(x)单调递增.因为g(1) = 0,所以，当且仅当
0 < a < 1 时,g(a) < 0, f (in a) < 0, fmm(x) < 0;当且仅
(1) 讨论f (x)的单调性；
(II)若f (x)有两个零点，求a的取值范围. 分析(I) (1)当a > 0时，在(-g, 1)上,f (x)单调递减;
在(1, +g)上,f (x)单调递增. (2) 当 一2 < a < 0 时,在(-g,in(-2a))和(1, +g)上
f (x)单调递增；在(in(-2a), 1)上,f (x)单调递减. (3) 当a = -2时,在(-g, +g)上,f (x)单调递增.
上有且只有两个零点.
综上所述,a的取值范围为(0,1). 难点突破 因为0 < a < 1时，f (x)在(in a, +g)
上单调递增，f (in a) < 0,所以，证明“当0 < a < 1
时，f (x)在(in a, +g)上有且只有一个零点”的关键
就是寻求f (xo) > 0且xo > in -.考虑到f (x)= a
为此,本文以近年高考试题为例，阐述寻求函数零点存 在区间端点的思维途径，以帮助读者突破难点.
题型一、求函数有两个零点时参数的取值范围
这类题目一般先讨论函数的单调性，再利用函数的单调
性与函数有两个零点求参数的取值范围.限于篇幅,不详细 讨论函数的单调性，只研究函数的零点问题,特别是如何寻 求函数零点存在区间端点.
aex (ex + 1) - 2ex -x, xo可能与in -有关，自然想到检
a
( 验 f
(in 2 f,而 \a丿
f
(i〔n 2、 \aa 丿
==aa• •22—(/[22——+ 1八1) | a\a 丿
—c2 --2-----|in a
—2 = a
2 - in a不能确定其值为正值；于是检验 验f (: in D a )，,而
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中学数学研究
2019年第6期(上)
例析寻求函数零点所在区间端点的思维途径
广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225) 徐正印
函数零点问题在近四年高考数学的解答题中连续岀现. 题目设问方式一般有两种，一种是根据零点的个数求参数的
取值范围；另一种是讨论函数零点的个数.无论是哪种，都需 要借助“零点存在定理”，把问题转化为寻求在某个单调区间 的存在两个不等的xi、x2,使得它们对应的函数值异号，即寻 求函数零点所在区间端点.通常，函数零点所在区间的一个 端点容易找到，但另一个端点却很难找.官方提供的答案简 直是天外来客，考生感叹做梦也想不到！
例1 (2017年新课标I卷理科第21题)已知函数
f (x) = ae2x + (a — 2)ex — x.
(I) 讨论f (x)的单调性；
(II) 若f (x)有两个零点，求a的取值范围.
分析(I)⑴当a C 0时,在(-g, +g)上,f (x)单调递
减.
(
f
(ii)当a > 0时，在(-g, In a)上,f (x)单调递减;在
2019年第6期(上)
中学数学研究
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单调递增;f (x)最多有一个零点. (2) 当a = — 2时,在(—8, +8)上,f(x)单调递增,
f (x)最多有一个零点. (3) 当—2 < a < ° 时,在(—8,1)上,f (x) < °;在
(1, +8)上,f (x)单调递增；f (x)最多有一个零点. (4) 当a = °时,f (x) = (x — 2)ex只有一个零点. (5) 当a > °时,在(1, +8)上,f (x)单调递增,f⑴=
所以f (x)在(-g,in卩 上有且只有零点.
因为 f fin 丄)< 0, in 3 > in -, f fin
\ a丿
a
a\a丿
a
-(-+ 1) — 2 - - — in - = - — in 3+3 > 0 ,所以 f (x)
a (a
)a a a a
在(in十,+g)上有且只有一个零点.f (x)在(-g, +g)