六年级下册奥数专题练习-最优方案与最佳策略-全国通用(含答案)

最优方案与最佳策略
【最优方案】
例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。

已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。

生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。

问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？
（中国台北第一届小学数学竞赛试题）
讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。

由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（2a＋2b）不超过12。

又（a＋2b）不超过8，
4a不超过16，
4b不超过12。

由以上四个条件知，
当b取1时，a可取1、2、3、4；
当b取2时，a可取1、2、3、4；
当b取3时，a可取1、2。

这样，就是在以上情况下，求利润200a＋300b的最大值。

可列表如下：
所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。

例2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。

它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。

由于各厂的特点不同，甲厂每月
联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。

那么现在比过去每月能多生产成衣______套。

（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
的时间生产上衣。

所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。

如果甲厂全月生产裤子，则可生产
如果乙厂全月生产上衣，则可生产
把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣
故现在比过去每月可以多生产60套。

【最佳策略】
例1 A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。

问：谁能必胜？制胜的策略是什么？
（《中华电力杯》少年数学竞赛试题）
讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。

当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。

这样B 就一定能获胜。

例2 桌上放有1992根火柴。

甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。

问：谁可获胜？
（1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）
讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。

谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。

谁抢到第3根呢？自然是后取的人。

即后取的可以获胜。

后者获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等于3。

例3 有分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜。

问：若要先取者为获胜，应如何取？
（上海市数学竞赛试题）
讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持相等。

这样，先取者一定获胜。

整数的拆分
【不连续加数拆分】
例1 将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？
（1992年“我爱数学”邀请赛试题）
讲析：做成的长方形，长与宽的和是
144÷2=72（厘米）。

因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，
所以，一共有36种不同的做法。

比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。

例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。

（1992年武汉市小学数学竞赛试题）
讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。

又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。

所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。

但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。

因为2×2×2=8，而3×3=9。

所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。

而1992÷3=664。

故，这些自然数是664个3。

例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。

（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）
讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。

因为a×2=b÷2，则b=4a。

所以a、b之和必是5的倍数。

那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。

又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。

所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。

则c、d可取的数组有：
（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。

由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，
得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。

同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。

所以，最多有4种分法。

【连续加数拆分】
例1 把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？
（第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。

所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。

例2 几个连续自然数相加，和能等于1991吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。

（全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。

所以，1991可以分成几个连续自然数相加，并且有3种答案。

由1991=1×1991得：
1991=995＋996。

由1991=11×181得：
…+（80+101）
=80＋81＋……＋100＋101。