第五章波函数与薛定谔方程

第五章波函数与薛定谔方程

§5 - 1 波函数的统计诠释一概率波

（1）电子双缝衍射和概率波

( a )

( b )

图5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样

●入射电子流的强度很大，即单位时

间内有许多电子通过双缝，则底片

上很快就出现了图5- 1 ( b )所给

出的衍射图样。

●单个电子就具有波动性：即使入射

电子流极其微弱，以致电子几乎是

单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。

●实验上所显示出来的电子的波动

性，是许多电子在同一个实验中的统计结果；or 是一个在许多次相同实验中的统计结果。

●实验的衍射图样代表了电子在空间

r点附近出现的概率的大小，德布

罗意波或薛定谔方程中的波函数

ψ正是为描写粒子的这种行为而)

(r

引进的；是刻画粒子在空间概率分

布的概率波。

●在量子力学中，波函数)(r

ψ是最重要的基本概念之一，它可以完全描述

一个体系的量子态。

●在经典物理学中并不存在与波函数

ψ对应的物理量。在经典概念下，)

(r

当相干波源发出来的声波或光波在

空间同一区域交叠时，所发生的是

周期变化的实在物理量(如位移、压

强或电场强度等)的叠加，在合成的

强度分布中出现了在非相干叠加

(即振幅的平方或强度叠加)时没有

的干涉项，正是这一项决定了干涉

和衍射现象的发生。

( 2 ) 波函数的概率诠释

设衍射波幅用)(r ψ描述，则衍射图样的强度分布用)(r ψ的模方描述 )()(*)(2r r r ψψψ= (5.

1)

其中：ψ*( r )是ψ ( r )的复共轭。

衍射波强度 | ψ ( r ) |2是刻画电子出现

在r 点附近的概率大小的一个量，即 z y x ∆∆∆2)

(r ψ (5.

2)

表示在r 点处的体积元z y x ∆∆∆中找到粒子的概率。这就是波函数的概率诠释 量子力学的基本原理之一。

结论：

波函数ψ( r )：是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。

ρ(r)= |ψ ( r ) |2：描写粒子在空间的概率密度分布，即在r点处附近单位体积元中找到粒子的概率。

二波函数的性质

在一般情况下，ψ作为可以接受的波函数，从物理上往往要求ψ是有限、连续和单值的。

( 1 ) 统计诠释对波函数提出的要求

● 在空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值。 一般情况下，这意味着要求)(r ψ取有限值，但并不排除在空间某些孤立奇点处ψ()r → ∞ . 例如，即使0r r =是)(r ψ的孤立奇点，V 0

是包围r 0点

0V

在内的任何有限体积，则按统计诠释，只要 ⎰=032d )

(V r r ψ有限值 (5.

3)

就是物理上可接受的，其中z y x r d d d d 3=. 如取r 0 = 0，V 0是半径为r 的小球，则式(5. 3)相当于要求：

当r → 0时， 0)(23→r ψr

. (5. 4)

如果在r → 0时,波函数具有s r /1∝ψ的形式，则要求2/3

● 波函数的归一化条件

波函数ψ描述的粒子在空间各点的

概率的总和为1 1d )(32)

total (=⎰r r ψ,

(5. 5)

这时的波函数为归一化的波函数。

如果某波函数)(r A ψ尚未归一化 )0(d )

(32>=⎰A r A r ψ, 则有 ⎰

=1d )(132A r A r ψ, (5. 6) 式中的A 1

称为波函数)(r A ψ的归一化因子。

归一化的波函数对应的概率密度是相对概率而非绝对概率，亦即在所指定空间区域观察到粒子的概率占全空间概率的分数。

● 波函数有一个常数因子的不确定

性。

重要的是相对概率分布。如果C 是常

数(可以是复数)，则ψ ( r )和C ψ ( r )所

描述的相对概率分布是完全相同的。因

为在空间任意两点r 1和r 2处，总有

22212221)()()()(r r r r ψψψψ=C C .

(5. 7)

这就是说，C ψ ( r )与ψ ( r )所描写的是

同一个概率波。

在这一点上，概率波与经典波有着本质

的差别。一个经典波的波幅若增大一倍，则

相应的波的能量将为原来的四倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以进行归一化。

●波函数相位的不确定性

如果ψ ( r )是归一化的波函数，

ψ( r ) ＝αi eψ( r) （对于任意的实常数α）

●2)(r

ψ单值

保证概率密度在任意时刻t都是确定的。

( 2 ) 势场性质和边条件对波函数提出的要求

具体的物理情况,对波函数ψ 提出要求：ψ 是连续的。

例1、 波函数)(r ψ及其各阶导数的连续性

问题

在势场)(r V 中运动的单粒子所遵从的薛定谔方程为

),()(),(d d 2),(i 22

2t x x V t x x m t x t ψψψ+-=∂∂ . (一维)

在一维情况下，当势函数)(x V 是x 的连续函数时，按照薛定谔方程，波函数的二阶导数