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•基于灰色关联分析理论的铁路事故致因分析
• 5.概率密度函数与概率分布 • 随机信号的概率密度函数ρ(x)表示信号幅值落在某指定 范围内的概率密度，是随机变量幅值的函数、描述了随机信 号的统计特性。 • 1）幅值概率密度的定义为
•（2-53）
•概率密度提供了随机信号沿幅值分布的信息。
•
2）
• （1）概率密度函数ρ(x)是随机变量x(t)取值中心为x， 幅值密度Δx=1的概率。
• 2.连续信号、离散信号
• 连续信号（又称模拟信号）：是指信号的自变量和函 数值都取连续值的信号。
• 离散信号：是指信号的时间自变量取离散值，但信号 的函数值取连续值(采样值)，这类信号被称为时域离散信号 。
• 3.确定性信号、随机信号
• 确定性信号：可以根据它的时间历程记录是否有规律 地重复出现，或根据它是否能展开为傅里叶级数，而划分为 周期信号和非周期信号两类。
• 随机信号：根据一个试验，不能在合理的试验误差范 围内预计未来时间历程记录的物理现象及描述此现象的信号 和数据，就认为是非确定性的或随机的。
•2.2.2检测信号的时域分析
• 1.时域波形分析
• 时域波形分析包括幅值参数分析和一些由幅值参数演 化而来的分析。
• 1)
• 周期信号幅值分析的主要内容是：均值、绝对均值、 平均功率、有效值、峰值(正峰值或负峰值)、峰峰值、某一 特定时刻的峰值、幅值随时间的变化关系等。
• (1)信号是变化着的物理量或函数；
• (2)信号中包含着信息，是信息的载体；
• (3)信号不等于信息，必须对信号进行分析和处理后， 才能从信号中提取出信息。
• 信号分析是将一复杂信号分解为若干简单信号分量的叠 加，并以这些分量的组成情况去考察信号的特性。
• 信号处理是指对信号进行某种变换或运算（滤波、变换 、增强、压缩、估计、识别等）。
• （2）概率密度函数ρ(x)唯一地由幅值确定，对平稳随 机过程，ρ(x)与时间无关。
• （3）由于幅值间隔Δx不可能取无限小，观测时间T不 可能为无穷大，故实际求得的只能是估计值ρ(x)•。^
•2.2.3 • 1.信号的分解与合成 • 为了便于研究信号的传输与处理等问题，可以对信号 进行分解，将其分解为基本的信号分量之和。 • 1） • 信号的直流分量就是信号的平均值，交流分量就是从 原信号中去掉直流分量后的部分。
2020检测技术基础32
•2.2检测信号分析基础
• 信号是随时间变化的物理量（电、光、文字、符号、 图像、数据等），可以认为它是一种传载信息的函数。
• 一个信号，可以指一个实际的物理量（最常见的是电
量），也可以指一个数学函数，例如：y(t)=Asin(ωt+φ)
，它既是正弦信号，也是正弦函数，在信号理论中，信号和 函数可以通用。总之，我们可以认为：
• 广义的信号处理可把信号分析也包括在内。 • 信号处理包括时域处理和频域处理。 • 进行信号分析的方法通常分为：时域分析和频域分析 。 •
•2.2.1检测信号的分类 • 1.静态信号、动态信号 • 静态信号：是指在一定的测量期间内，不随时间变化 的信号。 • 动态信号：是指随时间的变化而变化的信号。
•(2-39)
•或 •(2-40)
•式中：Rxy(τ)，Ryx(τ)分别表示信号x(t)与y(t)在延时τ时的相似 程度，又称为互相关函数。当y(t)=x(t)时，称为自相关函数， 记作Rx(τ)，即
•(2-41) •当信号x(t)与y(t)均为功率信号时，相关函数定义为
•(2-42)
•或 •自相关函数定义为
70 1147
2001
2625 1121 427
42 1035
2002
2408 941 367 50 1050
2003
2616 972 362 58 1224
2004
2894 1044 427
69 1354
2005
2751 1074 365
63 1249
•表1 铁路安全影响因素与1994~2005各年事故数的原始数据
•信号x(n)的自相关系数为
•（2-52）
•当ρxy(m)=1时，表示x(n)在n时刻与n+m时刻的值完全相关； 当ρxy(m)=0时，表示x(n)在n时刻与n+m时刻的值完全无关。
•表1 铁路安全影响因素与1994~2005各年事故数的原始数据
•基于灰色关联分析理论的铁路事故致因分析
总数 轨道 设备 信号 人员
•(2-33)
•或 •(2-34)
• 以上定义的卷积又称为线性卷积。显然，若离散信号 x(n)与h(n)均为周期信号，则它们的线性卷积是不收敛的，这 种情况下，设xN(n)与hN(n)是周期均为N的周期信号，则xN(n) 与hN(n)的周期卷积定义为
• 4.相关分析 • 相关分析是信号分析的重要组成部分，是信号波形之 间相似性或关联性的一种测度。 • 1） • （1）当连续信号x(t)与y(t)均为能量信号时，相关函数定 义为
•(2-43) •(2-44)
•2 •相关系数表示相关或关联程度，信号x(n)与y(n)的互相关系数为
•（2-51）
•式中：mx，σx，my，σy分别表示x(n)与y(n)的均值和方差。 • 可以证明：|ρxy(m)|≤1。当|ρxy(m)|=1时，表示两信号完全 相关；当|ρxy(m)|=0时，表示两信号完全无关。一般情况下， 0<ρxy(m)<1，|ρxy(m)|越接近于1，表示两信号的相似程度越高 。
。
• Ⅰ. • 均值表示集合平均值或数学期望值。对于各态历经的 随机过程，可以用单个样本按时间历程来求取均值，称为子 样均值(以下简称均值)，记为mx
•(2-21)
• 相应的有限离散数字信号序列｛x(k)｝(k=1,2,…,N)的 计算式为
• (2-22)
• Ⅱ.均方值 • 均方值表示信号x(t)的强度。对于各态历经的随机过程 ，可以用观测时间的幅度平方的平均值表示，记为ψ2x
• 设信号x(t)由周期信号s(t)和白噪声n(t)组成，即
•x(t)=s(t)+n(t)
•(2-27)
• 3.信号卷积 • 卷积运算是数据处理的重要工具，也是时域运算中最 基本的内容之一。 • 1） • 函数x(t)与h(t)的卷积定义为
• (2-31)
•或 •(2-32)
•离散信号x(n)与h(n)的离散卷积定义为
• (2-23)
•相应的有限离散数字信号序列｛x(k)｝(k=1,2,…,N)的计算式为
•(2-24)
• Ⅲ. • 方差是x(t)相对于均值波动的动态分量，反映了随机信 号的分散程度，对于零均值随机信号，其均方值和方差是相 同的。方差记为
• (2-25) •相应的有限离散数字信号序列｛x(k)｝(k=1,2,…,N)的计算式为
• Ⅰ.均值和绝对均值 • 均值是指信号中的直流分量，是信号幅值在分析区间内 的算术平均。绝对均值是指信号绝对值的算术平均。设周期 信号为x(t)，则均值和绝对均值分别定义如下：
•(2-9)
•(210) •其中：T0为信号周期。
• Ⅱ.平均功率(均方值)和有效值(均方根值) • 平均功率是信号在分析区间内的均方值，它的均方根值 称为有效值，具有幅值量纲，是反映确定性信号作用强度的主 要时域参数。平均功率(均方值)和有效值(均方根值)分别定义 如下：
• 1）频谱密度函数x(ω)
• 从物理概念上考虑，既然成为一个信号，必然含有一定 的能量，无论信号怎样分解，其所含能量是不变的。如果将 这无限多个无穷小量相加，仍可等于一有限值，此值就是信 号的能量。而且这些无穷小量也并不是同样大小的，它们的 相对值之间仍有差别。所以,不管周期增大到什么程度，频谱 的分布依然存在，各条谱线幅值比例保持不变。
• 2）
• 作为周期T为无穷大的非周期信号，当周期T→∞时，
频谱谱线间隔ω→dω，
，离散变量mω→ω变为连续
变量，求和运算变为积分运算，于是傅立叶级数的复指数
函数的展开式变为
•称为傅立叶积分。
•（2-63）
•(2-13)
•(2-14)
• Ⅲ.峰值和双峰值 • 峰值是指分析区间内出现的最大幅值，即单峰值xp。 它可以是正峰值或负峰值的绝对值，反映了信号的瞬时最 大作用强度。双峰值xp-p是指正、负峰值间的差，也称峰 峰值。
• 峰值
• (2-17)
•双峰值：
•(2-18)
• 2）
• 随机信号在任一时刻的幅值和相位是不确定的，不可能 用单个幅值或峰值来描述。主要统计特性有：均值、均方值 、方差和标准差、概率密度函数、概率分布函数和自相关函
•
• 2.周期信号与离散频谱
• 频域分析是以频率f或角频率ω为横坐标变量来描述信号 幅值、相位的变化规律。信号的频域分析或者说频谱分析， 是研究信号的频率结构，即求其分量的幅值、相位按频率的 分布规律，并建立以频率为横轴的各种“谱”。
• 3.非周期信号与连续频谱
• 一般所说的非周期信号是指瞬变冲激信号，如矩形 脉冲信号、指数衰减信号、衰减振荡、单脉冲等。对这些 非周期信号，我们不能直接用傅立叶级数展开，而必须引 入一个新的被称为频谱密度函数的量。
1994
2151 911 293
36 911
1995
2106 856 279 27 944
1996
2055 905 318 49 783
1997
2044 879 271 39 855
1998
2216 900 307 38 971
1999
2396 995 321 49 1031
2000
2624 1035 372
•（2-54）
• 2）
• 任何信号都可以分解为偶分量xe(t)与奇分量xo(t)两部分 之和，即
•（2-55）
• 3）
• 一个信号可以分解为许多脉冲分量之和，有两种情况 ，一种情况是可以分解为矩形窄脉冲分量，当脉冲宽度取无 穷小时，可以认为是冲击信号的叠加；另一种情况是可以分 解为阶跃信号分量之和。
•(2-26)
• 2.时域平均
• 时域平均就来自百度文库从混有噪声干扰的信号中提取周期性信号 的一种有效方法，也称相干检波。其方法为：对被分析的振 动信号以一定的周期为间隔截取信号，然后将所截得的分段 信号的对应点叠加后求得平均值，这样一来，就可以保留确 定的周期分量，而消除信号中的非周期分量和随机干扰。原
• 5.概率密度函数与概率分布 • 随机信号的概率密度函数ρ(x)表示信号幅值落在某指定 范围内的概率密度，是随机变量幅值的函数、描述了随机信 号的统计特性。 • 1）幅值概率密度的定义为
•（2-53）
•概率密度提供了随机信号沿幅值分布的信息。
•
2）
• （1）概率密度函数ρ(x)是随机变量x(t)取值中心为x， 幅值密度Δx=1的概率。
• 2.连续信号、离散信号
• 连续信号（又称模拟信号）：是指信号的自变量和函 数值都取连续值的信号。
• 离散信号：是指信号的时间自变量取离散值，但信号 的函数值取连续值(采样值)，这类信号被称为时域离散信号 。
• 3.确定性信号、随机信号
• 确定性信号：可以根据它的时间历程记录是否有规律 地重复出现，或根据它是否能展开为傅里叶级数，而划分为 周期信号和非周期信号两类。
• 随机信号：根据一个试验，不能在合理的试验误差范 围内预计未来时间历程记录的物理现象及描述此现象的信号 和数据，就认为是非确定性的或随机的。
•2.2.2检测信号的时域分析
• 1.时域波形分析
• 时域波形分析包括幅值参数分析和一些由幅值参数演 化而来的分析。
• 1)
• 周期信号幅值分析的主要内容是：均值、绝对均值、 平均功率、有效值、峰值(正峰值或负峰值)、峰峰值、某一 特定时刻的峰值、幅值随时间的变化关系等。
• (1)信号是变化着的物理量或函数；
• (2)信号中包含着信息，是信息的载体；
• (3)信号不等于信息，必须对信号进行分析和处理后， 才能从信号中提取出信息。
• 信号分析是将一复杂信号分解为若干简单信号分量的叠 加，并以这些分量的组成情况去考察信号的特性。
• 信号处理是指对信号进行某种变换或运算（滤波、变换 、增强、压缩、估计、识别等）。
• （2）概率密度函数ρ(x)唯一地由幅值确定，对平稳随 机过程，ρ(x)与时间无关。
• （3）由于幅值间隔Δx不可能取无限小，观测时间T不 可能为无穷大，故实际求得的只能是估计值ρ(x)•。^
•2.2.3 • 1.信号的分解与合成 • 为了便于研究信号的传输与处理等问题，可以对信号 进行分解，将其分解为基本的信号分量之和。 • 1） • 信号的直流分量就是信号的平均值，交流分量就是从 原信号中去掉直流分量后的部分。
2020检测技术基础32
•2.2检测信号分析基础
• 信号是随时间变化的物理量（电、光、文字、符号、 图像、数据等），可以认为它是一种传载信息的函数。
• 一个信号，可以指一个实际的物理量（最常见的是电
量），也可以指一个数学函数，例如：y(t)=Asin(ωt+φ)
，它既是正弦信号，也是正弦函数，在信号理论中，信号和 函数可以通用。总之，我们可以认为：
• 广义的信号处理可把信号分析也包括在内。 • 信号处理包括时域处理和频域处理。 • 进行信号分析的方法通常分为：时域分析和频域分析 。 •
•2.2.1检测信号的分类 • 1.静态信号、动态信号 • 静态信号：是指在一定的测量期间内，不随时间变化 的信号。 • 动态信号：是指随时间的变化而变化的信号。
•(2-39)
•或 •(2-40)
•式中：Rxy(τ)，Ryx(τ)分别表示信号x(t)与y(t)在延时τ时的相似 程度，又称为互相关函数。当y(t)=x(t)时，称为自相关函数， 记作Rx(τ)，即
•(2-41) •当信号x(t)与y(t)均为功率信号时，相关函数定义为
•(2-42)
•或 •自相关函数定义为
70 1147
2001
2625 1121 427
42 1035
2002
2408 941 367 50 1050
2003
2616 972 362 58 1224
2004
2894 1044 427
69 1354
2005
2751 1074 365
63 1249
•表1 铁路安全影响因素与1994~2005各年事故数的原始数据
•信号x(n)的自相关系数为
•（2-52）
•当ρxy(m)=1时，表示x(n)在n时刻与n+m时刻的值完全相关； 当ρxy(m)=0时，表示x(n)在n时刻与n+m时刻的值完全无关。
•表1 铁路安全影响因素与1994~2005各年事故数的原始数据
•基于灰色关联分析理论的铁路事故致因分析
总数 轨道 设备 信号 人员
•(2-33)
•或 •(2-34)
• 以上定义的卷积又称为线性卷积。显然，若离散信号 x(n)与h(n)均为周期信号，则它们的线性卷积是不收敛的，这 种情况下，设xN(n)与hN(n)是周期均为N的周期信号，则xN(n) 与hN(n)的周期卷积定义为
• 4.相关分析 • 相关分析是信号分析的重要组成部分，是信号波形之 间相似性或关联性的一种测度。 • 1） • （1）当连续信号x(t)与y(t)均为能量信号时，相关函数定 义为
•(2-43) •(2-44)
•2 •相关系数表示相关或关联程度，信号x(n)与y(n)的互相关系数为
•（2-51）
•式中：mx，σx，my，σy分别表示x(n)与y(n)的均值和方差。 • 可以证明：|ρxy(m)|≤1。当|ρxy(m)|=1时，表示两信号完全 相关；当|ρxy(m)|=0时，表示两信号完全无关。一般情况下， 0<ρxy(m)<1，|ρxy(m)|越接近于1，表示两信号的相似程度越高 。
。
• Ⅰ. • 均值表示集合平均值或数学期望值。对于各态历经的 随机过程，可以用单个样本按时间历程来求取均值，称为子 样均值(以下简称均值)，记为mx
•(2-21)
• 相应的有限离散数字信号序列｛x(k)｝(k=1,2,…,N)的 计算式为
• (2-22)
• Ⅱ.均方值 • 均方值表示信号x(t)的强度。对于各态历经的随机过程 ，可以用观测时间的幅度平方的平均值表示，记为ψ2x
• 设信号x(t)由周期信号s(t)和白噪声n(t)组成，即
•x(t)=s(t)+n(t)
•(2-27)
• 3.信号卷积 • 卷积运算是数据处理的重要工具，也是时域运算中最 基本的内容之一。 • 1） • 函数x(t)与h(t)的卷积定义为
• (2-31)
•或 •(2-32)
•离散信号x(n)与h(n)的离散卷积定义为
• (2-23)
•相应的有限离散数字信号序列｛x(k)｝(k=1,2,…,N)的计算式为
•(2-24)
• Ⅲ. • 方差是x(t)相对于均值波动的动态分量，反映了随机信 号的分散程度，对于零均值随机信号，其均方值和方差是相 同的。方差记为
• (2-25) •相应的有限离散数字信号序列｛x(k)｝(k=1,2,…,N)的计算式为
• Ⅰ.均值和绝对均值 • 均值是指信号中的直流分量，是信号幅值在分析区间内 的算术平均。绝对均值是指信号绝对值的算术平均。设周期 信号为x(t)，则均值和绝对均值分别定义如下：
•(2-9)
•(210) •其中：T0为信号周期。
• Ⅱ.平均功率(均方值)和有效值(均方根值) • 平均功率是信号在分析区间内的均方值，它的均方根值 称为有效值，具有幅值量纲，是反映确定性信号作用强度的主 要时域参数。平均功率(均方值)和有效值(均方根值)分别定义 如下：
• 1）频谱密度函数x(ω)
• 从物理概念上考虑，既然成为一个信号，必然含有一定 的能量，无论信号怎样分解，其所含能量是不变的。如果将 这无限多个无穷小量相加，仍可等于一有限值，此值就是信 号的能量。而且这些无穷小量也并不是同样大小的，它们的 相对值之间仍有差别。所以,不管周期增大到什么程度，频谱 的分布依然存在，各条谱线幅值比例保持不变。
• 2）
• 作为周期T为无穷大的非周期信号，当周期T→∞时，
频谱谱线间隔ω→dω，
，离散变量mω→ω变为连续
变量，求和运算变为积分运算，于是傅立叶级数的复指数
函数的展开式变为
•称为傅立叶积分。
•（2-63）
•(2-13)
•(2-14)
• Ⅲ.峰值和双峰值 • 峰值是指分析区间内出现的最大幅值，即单峰值xp。 它可以是正峰值或负峰值的绝对值，反映了信号的瞬时最 大作用强度。双峰值xp-p是指正、负峰值间的差，也称峰 峰值。
• 峰值
• (2-17)
•双峰值：
•(2-18)
• 2）
• 随机信号在任一时刻的幅值和相位是不确定的，不可能 用单个幅值或峰值来描述。主要统计特性有：均值、均方值 、方差和标准差、概率密度函数、概率分布函数和自相关函
•
• 2.周期信号与离散频谱
• 频域分析是以频率f或角频率ω为横坐标变量来描述信号 幅值、相位的变化规律。信号的频域分析或者说频谱分析， 是研究信号的频率结构，即求其分量的幅值、相位按频率的 分布规律，并建立以频率为横轴的各种“谱”。
• 3.非周期信号与连续频谱
• 一般所说的非周期信号是指瞬变冲激信号，如矩形 脉冲信号、指数衰减信号、衰减振荡、单脉冲等。对这些 非周期信号，我们不能直接用傅立叶级数展开，而必须引 入一个新的被称为频谱密度函数的量。
1994
2151 911 293
36 911
1995
2106 856 279 27 944
1996
2055 905 318 49 783
1997
2044 879 271 39 855
1998
2216 900 307 38 971
1999
2396 995 321 49 1031
2000
2624 1035 372
•（2-54）
• 2）
• 任何信号都可以分解为偶分量xe(t)与奇分量xo(t)两部分 之和，即
•（2-55）
• 3）
• 一个信号可以分解为许多脉冲分量之和，有两种情况 ，一种情况是可以分解为矩形窄脉冲分量，当脉冲宽度取无 穷小时，可以认为是冲击信号的叠加；另一种情况是可以分 解为阶跃信号分量之和。
•(2-26)
• 2.时域平均
• 时域平均就来自百度文库从混有噪声干扰的信号中提取周期性信号 的一种有效方法，也称相干检波。其方法为：对被分析的振 动信号以一定的周期为间隔截取信号，然后将所截得的分段 信号的对应点叠加后求得平均值，这样一来，就可以保留确 定的周期分量，而消除信号中的非周期分量和随机干扰。原