高中数学函数的单调性练习题及其答案

函数的单调性

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（ ）

A ．y =2x ＋1

B ．y =3x 2＋1

C ．y =

x

2

D ．y =2x 2＋x ＋1

2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，

则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25

3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21

++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．(0，21)

B ．( 2

1

，＋∞)

C ．(－2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数

7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式

|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)

C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）

D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）

8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5

－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是

（ ）

A ．]1,(],0,(-∞-∞

B ．),1[],0,(+∞-∞

C ．]1,(),,0[-∞+∞

D ),1[),,0[+∞+∞

10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )

12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：

13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f

x =-的单调递减区间为 .

16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：

17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y

x

) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．

（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (

x

1

) ＜2 ．

18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减

函数？试证明你的结论．

19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．

20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为

单调函数．

21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范

围．

22．已知函数f (x )=x

a

x x ++22，x ∈［1，＋∞］

（1）当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值；

（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．

参考答案

一、选择题： CDBBD ADCCA BA

二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦

⎤ ⎝

⎛-∞-2

1,

三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()6

36

(

==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f x

f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，

故不等式等价于：.23153036

)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<+<>>+x x x x

x

18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．

f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋2

2x )2＋43x 22

］．

∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋

2

2x )2＋43x 22

＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．

∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．

f (x 1)－f (x 2)=2

11x -－2

21x -=

2

2

2

12

22111)1()1(x x x x -+----=

2

2

2

1121211))((x x x x x x -+-+-

∵x 2－x 1＞0，2

22111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．

故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则

f (x 1)－f (x 2)=12

1+x －12

2+x －a (x 1－x 2)=

1

12

22

122

21+++-x x x x －a (x 1－x 2)