电子自旋角动量

第七章电子自旋角动量实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。

本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。

在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。

于是，现在从Schrodinger方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger方程上。

到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。

但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻1。

§7.1 电子自旋角动量1, 电子自旋的实验基础和其特点早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子21的跃迁存在两条彼此很靠p s近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年155156年反常Zeeman 效应，特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重；1922年Stern —Gerlach 实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。

由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。

于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。

从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为B ±μ，数值为Bohr 磁子。

在上述难以解释的实验现象的压力下，1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设：电子有一种内禀的（相对于轨道角动量而言）角动量,s ，其数值大小为2，这种内禀角动量在任意方向都只能取两个值，于是有2z s =± 。

他们认为这个角动量起源于电子的旋转，因此他们称之为自旋。

为使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且和自旋角动量s 之间的关系为（电子电荷为-e ）（7.1） 这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。

于是，电子便具有了m,e,s,μ共四个内禀的物理量。

根据实验事实用外157加方式引入电子自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身的一些精细结构，以及外在磁场下多重分裂现象,都得到了很好的解释。

然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即遭到否定。

假设电子半径为e r ，作为定性的估算可以合理地假定22~,~e ee m c r p r ∴ 2137e p c c c m m r e υ⎛⎫=≈≈= ⎪⎝⎭这就是说，为了要在e r 的半径下旋转得出 的角动量，电子必须大致以137倍的光速转动才行。

显然这是一个不能接受的图象。

说明电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。

虽然现在能进行有关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本质有透澈的了解。

2, 电子自旋态的表示法上面说明了，按解释实验的需要引入了电子自旋这个新自由度。

同样也是按实验的启示，这个新自由度的新变数z s 只能取两个值±2——两个本征值，于是电子的自旋波函数就是一个两分量的列矢量，()()()()1122,,,(),z r t r s t rt rt r t ψψψαψβψ⎛⎫=≡+ ⎪ ⎪⎝⎭(7.2)这里10α⎛⎫= ⎪⎝⎭代表自旋角动量第三分量z s 取朝上2值的本征158态、01β⎛⎫= ⎪⎝⎭则为z s 取朝下2-的本征态。

于是21dr ψ=⎰自旋朝上的概率22dr ψ=⎰自旋朝下的概率总的归一化表示为()22+12ψψdr =dr ψ+ψ=1⎰⎰(7.3)如果系统Hamiltonian H 中不含自旋角动量，或是自旋部分和空间部分可以分开（即0S H H H =+），则自旋波函数和空间波函数就可以分离，总波函数是两者相乘，()()()()()()()()z z 1z 212ψr,s ,t =rt χs ,t χt χs ,t ==χt α+χt βχt ϕ⎧⎪⎛⎫⎨⎪⎪⎝⎭⎩考虑电子自旋角动量之后，Schrodinger 方程便由标量方程扩充为两分量的简单旋量方程，后者常称为Pauli 方程。

以上叙述再次说明“波函数的物理含义”：实验前，自旋波函数描述了微观粒子的潜在能力；实验中，自旋波函数描述了微观粒子（由潜在能力转化而来的）实验表现。

因为中性银原子射线束进入S-G 实验装置之前空间飞行中，自旋指向应当杂乱而各向同性，只在进入装置后全部朝磁场方向取或正或反方向。

实际上，不论状态如何，电子自旋朝任何特定方向的取向都只可能是正向或逆向两种。

3, 自旋算符与Pauli 矩阵自旋既然是角动量就应当满足角动量的对易规则，159,,,,i j k x y z = （7.4）同时，自旋变数取值只有两个：12±，并且波函数相应成为两分量的列矢量（确切讲是两分量的旋量），于是自旋角动量的三个分量算符i S 自然应当是3个22⨯的厄米矩阵，以便对这些两分量的列矢量进行变换。

于是，引入三个无量纲的二阶厄米矩阵i ζ来表示i S ，令2i i S σ=, (,,)i x y z = (7.5)这里已经抽出i S 的绝对数值2，所以i ζ的本征值为1±，于是i ζ是自逆矩阵。

将i ζ代入对易规则（7.4）式，于是得到决定它们的下列关系，(7.6a)01001σ⎛⎫= ⎪⎝⎭为二阶单位矩阵。

由i ζ间的这些对易关系也能导出i ζ间的反对易规则，200,,,,j i j i i j i j i σσσσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()}{22,.i j k i k k i i j k i k i i εσσσσεσσ=+=对任一给定的j ，总可以取i,k ，使i k j ≠≠，Levi-Civita 反称张量i j k ε0≠≠≠。

于是得到i ζ之间的反对易关系，}{,0,ikσσ= i k ≠将它们代入(7.6a)式，便有i j ijk k i σσεσ=， ()i j k ≠≠(7.6b)160将（7.6b ）式反对易关系以及21i σ=综合起来，即得(,,,)i j x y z =(7.6c)当然，由（7.6c ）式也可以推出前面（7.6a ）式，两者彼此等价。

它们表明：这三个22⨯厄米矩阵i ζ是自逆、反对易和零迹的。

零迹是本征值之和为零的结果，但也可以证明如下：0,2i j ijk k tr i tr σσεσ⎡⎤==⎣⎦∴ 0k tr σ=， ()k =x,y,z这些关系式和结论是下面决定i ζ表达式的出发点。

现在往求这三个厄米矩阵的具体形式。

应当预先指出，根据物理的要求，只能到此求得反对易规则为止，不再能够进一步完全确定这组厄米矩阵。

要想进一步完全确定它们，必需另外附加规定。

而不同的附加规定所求得的i ζ也将不同。

由于这些不同组的i ζ均能满足上面全部物理要求，因而物理上是等价的。

不同组之间相差一个22⨯的幺正变换。

这就出现一个需要选择i ζ表象的问题。

这里只给出i ζ的一个常用表象。

为此作一个第1个附加约定：z ζ是对角的。

考虑到z ζ的本征值为±1，于是就可以直接写出它为1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭进一步，根据x ζ必须是零迹的厄米矩阵，可令*x ab b a σ⎛⎫=⎪-⎝⎭，a,b 为两个待定的复数。

根据,z x x z σσσσ=-代入z σ和x σ的表达式后可得0,a =考虑到21001x σ⎛⎫=⎪⎝⎭，又得i αb =e 为任一相因子。

至此161仍不能完全决定x σ，再作第2个附加约定：位相0α=。

于是有0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭接着由（7.6b ）式，求得y σ为00y z x i i iσσσ-⎛⎫=-=⎪⎝⎭现在，在约定z ζ为对角形式并约定x ζ的位相之后，就得到下面这组22⨯的自逆、反对易、零迹的厄米矩阵：(7.7)它们是Pauli 首先引入的，称作“Pauli 矩阵”。

使用它们就能具体地实现自旋角动量的对易规则。

简单考察可以相信，这三个矩阵再加上0ζ组成一组完全基，用它们可以分解（展开）任何22⨯的复矩阵。

应当说，由于它们各自的自逆性和彼此i ζ间的反对易性，用它们对任意22⨯复矩阵作分解（展开），并随之而来的乘法运算中，表明这是最便于使用的一组基(在平方运算中交叉项之和消失，各个自乘项矩阵又为0ζ)。

类似于在通常矢量展开中选用了一组正交归一基矢。

4, 例算 [例1] 证明等式这里，A,B 是两个三维矢量，A B ⋅项中已略写0ζ。

162证明：()()()333i j i ji iiji ji ,j =1i =1i ,j =1ijA ζB ζ=a b ζζ=ab +a b ζζ≠⋅⋅∑∑∑(),,1()3ijk i j k i j k i j k =A B +iεa b ζ=A B +i A B ζ=≠≠⋅⋅⨯⋅∑（7.8）[例2] 求ζn ⋅的本征态，{}sin cos ,sin sin ,cos n θϕθϕθ=。

由例1，()21n σ⋅= ，所以厄米矩阵ζn ⋅的本征值为1±。

设其本征态为()aχn =b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，写出本征方程cos sin sin cos i i a a a a e ζn =b b b b e ϕϕθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅±→=± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解出a 和b 即得相应于本征值1±的本征态()()±χn为7.9）显然，自旋算符在()()±χn态中的平均值为（7.10）[例3] 证明这里α=e αα ，e α 为α 方向矢量，α为α的模长αα= 。

由于()()()()()22122100exp 2!21!n n n n n n i i i n n ασασασ+∞∞+==⋅=⋅+⋅+∑∑ 由例1得 ()22αζ=α⋅ 于是 ()()()()()()()()22011exp 2!21!nnnnn n i i n n ασαασα∞∞==--⋅=+⋅+∑∑最后得到163()exp cos ()sin i i e αασασα⋅=+⋅（7.11）这个公式以及它的特殊情况（α只有某一个或两个分量）很常用1。