电子自旋角动量

第七章电子自旋角动量

实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。

本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger

方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是，现在从Schrodinger

方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger

方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻1。

§7.1 电子自旋角动量

1, 电子自旋的实验基础和其特点

早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子21

的跃迁存在两条彼此很靠

p s

近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年

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年反常Zeeman 效应，特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重；1922年Stern —Gerlach 实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为

B ±μ，数值为

Bohr 磁子。

在上述难以解释的实验现象的压力下，1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设：电子有一种内禀的（相对

于轨道角动量而言）角动量,s ，其数值大小为2

，这种内禀

角动量在任意方向都只能取两个值，于是有2

z s =± 。他们认

为这个角动量起源于电子的旋转，因此他们称之为自旋。为

使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且

和自旋角动量s 之间的关系为（电子电荷为-e ）

（7.1） 这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电

子便具有了m,e,s,μ

共四个内禀的物理量。根据实验事实用外

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加方式引入电子自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身的一些精细结构，以及外在磁场下多重分裂现象,都得到了很好的解释。

然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即遭到否定。假设电子半径为e r ，作为定性的估算可以合理地假定

2

2~,~e e

e m c r p r ∴ 2137e p c c c m m r e υ⎛⎫=

≈≈= ⎪⎝⎭

这就是说，为了要在e r 的半径下旋转得出 的角动量，电子必须大致以137倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。说明电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。虽然现在能进行有关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本质有透澈的了解。

2, 电子自旋态的表示法

上面说明了，按解释实验的需要引入了电子自旋这个新自由度。同样也是按实验的启示，这个新自由度的新变数z s 只能取两个值±2

——两个本征值，于是电子的自旋波函数就是

一个两分量的列矢量，

()()()(

)1

122,,,(),z r t r s t rt rt r t ψψψαψβψ⎛⎫=≡+ ⎪ ⎪

⎝⎭

(7.2)

这里

10α⎛⎫= ⎪⎝⎭

代表自旋角动量第三分量z s 取朝上

2

值的本征

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态、

01β⎛⎫= ⎪⎝⎭

则为z s 取朝下2-

的本征态。于是

2

1dr ψ=⎰

自旋朝上的概率

2

2dr ψ=⎰

自旋朝下的概率

总的归一化表示为

()

22+

12ψψdr =dr ψ+ψ=1⎰⎰

(7.3)

如果系统Hamiltonian H 中不含自旋角动量，或是自旋部分和空间部分可以分开（即0S H H H =+），则自旋波函数和空间波函数就可以分离，总波函数是两者相乘，

()()()()()()()()z z 1z 212ψr,s ,t =rt χs ,t χt χs ,t ==χt α+χt β

χt ϕ⎧⎪

⎛⎫⎨

⎪⎪⎝⎭⎩

考虑电子自旋角动量之后，Schrodinger 方程便由标量方程扩充

为两分量的简单旋量方程，后者常称为Pauli 方程。

以上叙述再次说明“波函数的物理含义”：实验前，自旋波函数描述了微观粒子的潜在能力；实验中，自旋波函数描述了微观粒子（由潜在能力转化而来的）实验表现。因为中性银原子射线束进入S-G 实验装置之前空间飞行中，自旋指向应当杂乱而各向同性，只在进入装置后全部朝磁场方向取或正或反方向。实际上，不论状态如何，电子自旋朝任何特定方向的取向都只可能是正向或逆向两种。

3, 自旋算符与Pauli 矩阵

自旋既然是角动量就应当满足角动量的对易规则，