函数图象的三种变换

函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图(2)如图点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．小结：二、对称变换例2设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．解画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示．由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．三、翻折变换例3 设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝|f (x )|的图象，并观察两个函数图象的关系．解 y ＝f (x )的图象如图1所示，y ＝|f (x )|的图象如图2所示．点评 要得到y ＝|f (x )|的图象，把y ＝f (x )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变．例4 设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系．解 如下图所示．点评 要得到y ＝f (|x |)的图象，先把y ＝f (x )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可． 小结：()x x y f x =−−−−−−−→保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ()y y y f x =−−−−−−−−→保留轴右侧图象并作其关于轴对称的图象y ＝f (|x |). 如图：四 函数图象自身的对称性 1.函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 2.函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称2()(2)b f x f a x ⇔-=-()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++3.若()()f x f x =-- ，则()f x 的图象关于原点对称，若()()f x f x =- ，则()f x 的图象关于y 轴对称。

y=|f(x)|cb aoy xy=f(|x|)cb aoyxy=f(x)c b a o yx基础训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同. ( × ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称.( × )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称. ( √ ) (4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象.( × )2.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度h 和时间t 之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的． 故只有第一幅图不正确，因此选A. 答案 A点评 本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，是典型的数形结合问题，“只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．3.向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )解析 取水深h ＝H 2，此时注水量V ′>V 02，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．A 中V ′<V 02，C 、D 中V ′＝V 02，故排除A 、C 、D ，选B.4．函数y ＝1－1x －1的图象是( )．解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案 B5．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0. 答案 C6.直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是________．如图所示，2y x x a =-+是偶函数151144a a a -<<⇒<<7.已知)(x f 是偶函数，则)2(+x f 的图像关于__________对称；已知)2(+x f 是偶函数，则函数)(x f 的图像关于____________对称.8.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为( )解析: A［因为f (1-x )=f （-(x -1)）,故y =f (1-x )的图象可以由y =f (x )的图象按照如下变换得到：先将y =f (x )的图象关于y 轴翻折，得y =f (-x )的图象，然后将y =f (-x )的图象向右平移一个单位，即得y =f (-x +1)的图象.］9.分别画出下列函数的图象：(1)y ＝x 2－2|x |－1； (2)y ＝x ＋2x －1. （3）(1))1(2+-=x x y(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x ＜0).图象如图③.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.10.若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为_____.思维启迪 从y ＝f (x )的图象可先得到y ＝－f (x )的图象，再得到y ＝－f (x ＋1)的图象. 解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确. 答案 ③11．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性； (2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．12.已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称.求f (x )的解析式；(2)解析： (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0).13．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，∴当x ＝0时，f (x )＝0. 又当x >0时， f (x )＝x 2－2x ＋3，∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3.∴函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．。