2020届新高考数学二轮微专题突破专题06 圆锥曲线中的离心率的问题(原卷版)

专题06 圆锥曲线中的离心率的问题

一、题型选讲 题型一 求离心率的值

求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。 例1、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝

1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．

例2、(2017苏北四市摸底）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，

点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .

(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；

(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；

例3、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左焦点

为F ，右顶点为A ，上顶点为B.

(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为2

2，求椭圆的标准方程；

(2) 已知△ABF 外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值．

题型二求离心率的范围

求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。

例4、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

的右焦点为F，P为右准线上一点．点Q在椭圆上，且FQ FP

⊥．

（1）若椭圆的离心率为

1

2

，短轴长为23．

①求椭圆的方程；

（2）若在x轴上方存在P Q

，两点，使O F P Q

，，，

四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．

例5、(2017扬州期末）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的

直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q ，设AP →＝λPQ →

. (1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C 的方程； (2) 若λ＝3，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．

题型三 由离心率求参数的范围

由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围。 例6、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦

点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →

. (1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，3

2，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦

⎤12，2

2，求实数λ的取值范围．

二、达标训练

1、(2019苏锡常镇调研）已知双曲线C 的方程为2

214

x y -=，则其离心率为 ．

2、(2019南京、盐城一模） 若双曲线x 22－y 2

m

＝1的离心率为2，则实数m 的值为________．

3、(2019苏州期末） 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为________．

4、(2019苏北四市、苏中三市三调） 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b

-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ．

5、(2019南京三模）平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作一条渐近线

的平行线，交另一条渐近线于点P ．若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ． 6、(2015苏北四市期末）已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶

点和右焦点，若直线 AB 2与直线 B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________． 7、(2016扬州期末）如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在

PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →

(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点． (1) 若椭圆方程为x 28＋y 2

4＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；

(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．

8、（2014江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，

顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C . (1) 若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫

43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．