相似三角形讲义及练习

相似三角形讲义及练习文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

相似三角形

一、比例线段

1、定义：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的比 ，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

2、比例线段的基本性质：

b a b

c a

d =

b a a

c b =2 其中b 为比例中项 合比性质：d

d c b b a d c b a ±=±∴= 等比性质：b

a d

b

c a n f

d b m

e c a n m

f e d c b a

=++=++++++∴=== 3、黄金分割：一条线段AB,点P 是线段AB 上的一个点，如果满足：

AB AP AP PB =，那么称线段AB 被P 点黄金分割，点P 为线段AB 的黄金分割点，AP 与AB 的比值约为，这个比值称为黄金比。

例1、判断下列线段是否是成比例线段：

（1）a = 2 cm, b = 12 cm, c = 8 cm, d = 3 cm;

（1）a = 7, b = 3, c = 21, d = 9.

例2、若a : 3 = b : 7,则（a + 3b ）: 2b = .

例3、已知三条线段a = 1cm, b = 2cm, c = 3cm,若线段d 与a 、b 、c 成比例，请求出线段d 的长度。

例4、已知53===

e f d c b a ，且032≠+-e d b ，求e

d b f c a 3232+-+-的值。

例5、等腰三角形ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠72ABC ，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D ，且D 是线段AC 的黄金分割点，若AB=8cm ，求AD 的长。

二、相似图形的性质

1、定义：我们把具有 的图形称为相似图形。

2、相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。

3、判定两个多边形是否相似：对应边成比例，对应角相等。

三、相似三角形

1、定义：对应 相等，且对应 成比例的三角形，叫做相似三角形。

2、表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。

3、相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

4、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5、判定三角形相似的思路：

①、有平行截线----------用判定定理中的基本定理

②、有一对等角，找a、另一对等角，b、夹边成比例

③、有两边对应成比例，找a、夹角相等，b、第三边也对应成比例，c、有一对直角。

④、直角三角形，找a、一对锐角相等，b、斜边、直角边对应成比例

⑤、等腰三角形，找a、顶角相等，b、一对底角相等，c、底和腰成比例。

6、相似三角形的判定定理：

（1）SAS：两边对应成比例且两对应边的夹角相等。

（2）SSS：三条边对应成比例。

（3）ASA：两角对应相等。

7、对于直角三角形相似的判定法则：一条直角边与对应斜边成比例。

8、对于全等三角形的判定法则：对应边相等。

9、直角三角形相似定理：

（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

10、相似三角形性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

(7)若a/b =b/c ，即b2=ac ，b 叫做a,c 的比例中项

(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.

定理推论：

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个

三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对

应部分成比例，那么这两个三

角形相似。

11、中位线：

（1）定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

（3）重心定理：三角形三条边上的中线交与一点，这个角就是三角形的重心，重心与一边中点的连线长是对应中线的3

1

。

（4）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。

例1、已知：如图，E 是BA 的延长线上的一点，F 是BC 的中点，连接EF 交AC 于D 。求证：EB

EA DC AD =.

例2、如图所示，在△ABC 中，BA=BC=20CM ，AC=30CM ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4CM 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3CM 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。

（1）当x 为何值时，PQ//BC

（2）当3

1=∆∆ABC BCQ

S S ,求ABC BPQ S S ∆∆的值； （3）△APQ 能否与△CQB 相似若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。