苏教版数学 九年级上2-2《圆的对称性》(2)课件
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2.2 圆的对称性 苏科版九年级数学上册课件
又因为O'A'=OA，
O'B'=OB，所以点A'与点A
重合，点B'与点B重合(如图
2-10(2))
这样,A'B'与AB重合,A'B'与AB重合,即AB=AB AB =A'B'
上面的结论，在同圆中也成立
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦相等.
思考与探索
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们
所对的弦相等吗?
这两个圆心角相等吗?
为什么?
如果圆心角所对的弦相等呢?
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相
等。
我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份
圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧
相等，所以整个圆也被等分
成360份，我们把1°的圆心
∴∠ABC=∠BAC
练习
1如图，在⊙O中，AC=BD、∠AOB-50求∠COD的度数
解:∵AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC
∴AB=CD
∴∠AOB=∠COD.
又∵∠AOB=50°
∴∠COD=50°
练习
2如图，在⊙O中，AB=AC,∠A-40°求∠ABC的度数。
解:∵AB=AC ∴AB-AC,
∴∠ABC=∠ACB，
变)时，图形具有怎样的对称性?
当图①中的弦AB 为直径(AB 与CD 相互垂直的条件不变)
时,它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
练习
(3)当图②中的点B在⊙O上运动到什么位置时，图形成
为轴对称图形?
当图②中的点 B 在⊙O 上运动到使弦AB 等于弦AC 时,
O'B'=OB，所以点A'与点A
重合，点B'与点B重合(如图
2-10(2))
这样,A'B'与AB重合,A'B'与AB重合,即AB=AB AB =A'B'
上面的结论，在同圆中也成立
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦相等.
思考与探索
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们
所对的弦相等吗?
这两个圆心角相等吗?
为什么?
如果圆心角所对的弦相等呢?
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相
等。
我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份
圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧
相等，所以整个圆也被等分
成360份，我们把1°的圆心
∴∠ABC=∠BAC
练习
1如图，在⊙O中，AC=BD、∠AOB-50求∠COD的度数
解:∵AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC
∴AB=CD
∴∠AOB=∠COD.
又∵∠AOB=50°
∴∠COD=50°
练习
2如图，在⊙O中，AB=AC,∠A-40°求∠ABC的度数。
解:∵AB=AC ∴AB-AC,
∴∠ABC=∠ACB，
变)时，图形具有怎样的对称性?
当图①中的弦AB 为直径(AB 与CD 相互垂直的条件不变)
时,它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
练习
(3)当图②中的点B在⊙O上运动到什么位置时，图形成
为轴对称图形?
当图②中的点 B 在⊙O 上运动到使弦AB 等于弦AC 时,
苏科版初三课件2.2 圆的对称性 (2)
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
1． 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点 E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．
2.2 圆的对称性（2）
拓展延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， 弧 AC与弧BD相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
变式一
若⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB ＝48 cm，CD＝40 cm，求AB、CD之间的距 离．
结论：AM=BM A⌒D=B⌒D A⌒C=⌒BC
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例1．如图，以点O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD 相等吗？为什么？
AC
O
P
DB
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例2． 如图，已知在⊙O中，弦AB的长 为8厘米，圆心O到AB的距离为直径是50cm，弦AB∥CD，且AB＝48 cm， CD＝40 cm，求AB、CD之间的距离．
如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°， 点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合） OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如
果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说 明理由；
2.2 圆的对称性（2）
课堂总结
通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？
2.2 圆的对称性（2）
课后作业
课本P49 的5，6，7, 8.
2.2 圆的对称性（2）
初中数学 九年级(上册)
2.2 圆的对称性 （2）
初三数学组
2.2 圆的对称性（2）
操作一
在纸上画⊙O，并画出它的任意一条直径， 将⊙O沿这条直径折叠，折痕两旁的部分重合 吗？
苏科版九上数学课件：2.2圆的对称性(2)
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦有什么关系？ 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 如果沿过圆心的一条直线把圆对折， 可以发现什么？
●O
圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对称轴．
2. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
作业： 《全品》27—28页 1—12题
为什么？
Ｅ
例2 如图，已知在⊙Ｏ中，弦AB的长为8厘米， ⊙Ｏ的半径为５厘米，求圆心Ｏ到AB的距离．
变式题：
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E， CE＝2，AB＝8，求直径CD的长。
拓展延伸：
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， A⌒Ｃ与Ｂ⌒D 相等吗？为什么？
课堂小结：
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的弦，CD是直径，且CD⊥AB
C
A M└
B
●O
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
辨别：下列图形中，哪些能使用垂径定理，为 什么？
EE EBiblioteka E EE EEEE E E
例1 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？
灿若寒星*****整理制作
在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦有什么关系？ 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 如果沿过圆心的一条直线把圆对折， 可以发现什么？
●O
圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对称轴．
2. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
作业： 《全品》27—28页 1—12题
为什么？
Ｅ
例2 如图，已知在⊙Ｏ中，弦AB的长为8厘米， ⊙Ｏ的半径为５厘米，求圆心Ｏ到AB的距离．
变式题：
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E， CE＝2，AB＝8，求直径CD的长。
拓展延伸：
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， A⌒Ｃ与Ｂ⌒D 相等吗？为什么？
课堂小结：
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的弦，CD是直径，且CD⊥AB
C
A M└
B
●O
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
辨别：下列图形中，哪些能使用垂径定理，为 什么？
EE EBiblioteka E EE EEEE E E
例1 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？
2.2 圆的对称性(第2课时) 苏科版数学九年级上册课件
∴AC=BD
【常用辅助线】与弦有关的问题常过圆心作弦的垂线.
点拨矫正
例2：如图，OA=OB,AB交⊙O于点C、D， AC与BD是否相等？为什么？
o
A C
经验积累：
B PD
在解决有关弦的问题时，常常需要过圆心 引弦的垂线，也就是作垂直于弦的直径。
练习检测
1.如图，在圆O中,直径CD=10，弦AB⊥CD 垂足为E，OE=3.求弦AB的长。
A
P└
B ∴ ,AP=BP,
●O
⌒AC ＝⌒
B CA⌒, D ＝⌒
D
BD.
做一做
1．下来图形中，哪些能使用垂径定理，为 什么？
EEE
EEEE
EEEE
不能 不能
能
能
做一做
2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于
点M，添加一个条件：___C_D_⊥___A_B___，就可得到点
M是AB的中点．
做一做
A P└
B ?与同伴说说你的想法和理由.
●O
条件
结论
D
由①CD是直径 ②C④A⌒C＝B⌒C, ⑤A⌒D＝B⌒D.
证一证
证明: 连接OA,OB, 则OA＝OB.
在Rt△OAP和Rt△OBP中,
C
∵OA＝OB，OP＝OP， A P└
B
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
A
●O
B
C
D
M
2)两条弦在圆心的两 侧
A
B
●O
C
D
M
拓展延伸
5.如图，AB、CD是⊙O的两条弦AB∥CD， 弧AC与弧BD相等吗？为什么？
O
A
B
苏科版九年级数学上册第2章2.2 《圆的对称性( 2 )》教学课件 (共13张PPT)
在解决有关弦的问题时，常作垂直于弦的x 弦心距，连接圆心和弦的一端点（即得半 径），构成直角三角形。
已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两 A 点。
O
C E D B
.
试说明：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则 AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。
圆吗？
n
m
C
A
·
O
B
作弦AB．AC及它们的垂直平
分线m．n，交于O点；以O为圆 心，OA为半径作圆。
所以，AC＝BD
随堂练习
试一试
例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人 员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽 度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问 修理人员应准备内径多大的管道？
解：过点O怎样 作OC⊥AB,垂足为点 C,交⊙O与点D，连接OA。
1 AC AB 30, 2 OC OD CD AO 10. 在Rt AOC中，AO 2 AC 2 OC 2 设⊙O的半径为R, 则 R 2 302 ( R 10) 2 R 50 2 R 100cm, 即内径为100cm的管道。
值为____. 3 最大值为________. 5
如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F，
5 DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm
D A O E F C B
如图，在圆O中，已知AC=BD， 试说明：（1）OC=OD （2）AE= BF
O A C E D F B
︵
︵
你能破镜重
M
③AC=BC ④AM=BM ⑤AN=BN
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
O
苏教九年级数学上册《圆的对称性2》课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
为什么？
A
A’
O
B
O’
B’
AB = A’B’
AB=A’ B’
AOB= A’O’B’
思考与探索：
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等，
那么圆心角所对的弧相等吗？它们圆心角相等吗？
为什么？
A
A’
O
B
O’
B’
AB=A’ B’
AB = A’B’
AOB= A’O’B’
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
（A）AB＞2CD (B)AB ＜2CD (C) AB＝2CD (D) 不能确定
A C
D
B
O
课后小结： 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
相等吗？为什么？
C
D
You made my day!
我们，还在路上……
为什么？
A
A’
O
B
O’
B’
AB = A’B’
AB=A’ B’
AOB= A’O’B’
思考与探索：
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等，
那么圆心角所对的弧相等吗？它们圆心角相等吗？
为什么？
A
A’
O
B
O’
B’
AB=A’ B’
AB = A’B’
AOB= A’O’B’
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
（A）AB＞2CD (B)AB ＜2CD (C) AB＝2CD (D) 不能确定
A C
D
B
O
课后小结： 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
相等吗？为什么？
C
D
苏科版数学九年级上册课件2.2圆的对称性(2)
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午12时37分22.4.1112:37April 11, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一12时37分59秒12:37:5911 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
（1）求的半径； （2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范 围。
O
A P
B
课堂练习
练习2.设AB、CD是⊙O的两条AB∥CD，若 ⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB与CD之 间的距离为____________.
练习3.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB) 为16米，拱高(CD)为4米，求：
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⌒
BD
相等吗？为什么？
例4、如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的 长。
试一试：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 2 ，
BC=1，若以点C为圆心，CB为半径作圆交AB 于点P，求AP的长.
P
课堂练习
练习1.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长 为8，圆心O到AB的距离为3。
2.2. 圆的对称性(2)
圆的对称性：
圆是中心对称图形，圆心是对称中心 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是 它的对称轴
圆的旋转不变性：
圆绕着圆心旋转任何角度后，仍与原来的圆重合
复习
如图，如AB=CD,则（
如
⌒⌒
AB=CD
,则（
如∠AOB= ∠COD,则（
）
） ）
（1）求的半径； （2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范 围。
O
A P
B
课堂练习
练习2.设AB、CD是⊙O的两条AB∥CD，若 ⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB与CD之 间的距离为____________.
练习3.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB) 为16米，拱高(CD)为4米，求：
谢谢观赏
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我们，还在路上……
⌒
BD
相等吗？为什么？
例4、如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的 长。
试一试：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 2 ，
BC=1，若以点C为圆心，CB为半径作圆交AB 于点P，求AP的长.
P
课堂练习
练习1.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长 为8，圆心O到AB的距离为3。
2.2. 圆的对称性(2)
圆的对称性：
圆是中心对称图形，圆心是对称中心 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是 它的对称轴
圆的旋转不变性：
圆绕着圆心旋转任何角度后，仍与原来的圆重合
复习
如图，如AB=CD,则（
如
⌒⌒
AB=CD
,则（
如∠AOB= ∠COD,则（
）
） ）
苏科版九年级上册 数学 课件 2.2 圆的对称性(共25张PPT)
慧眼识珠
1.(判断正误☺)
(1)弦是直径； (2)直径是最长的弦；
(3) 半圆是最长的弧； (4)半圆是弧，但弧不一定是半圆；
(5)若P是⊙O内一点，过P点的最长的弦有一条.
慧眼识珠
1. 判断正误☺)
(6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆； (7)半径相等的两个圆是等圆；
(8)面积相等的两个圆是等圆； (9)长度相等的两条弧是等弧； (10)半径相等的两个半圆是等弧； (11)同一条弦所对两条弧一定是一 条优弧一条劣弧.
Oபைடு நூலகம்
A
B
C
D
2.1 圆（2）
圆的相关概念2（弧）
B
A
●O
圆上任意两点间的部分叫做 圆弧,简称弧.
以A、B两点为端点的弧，记作
,
读作 “弧AB”.
知识梳理
圆的任意直径的两个端点分圆成两条
C
弧，每条弧都叫半圆
小于半圆的弧叫做劣弧 如：劣弧BC(用两个字母).
大于半圆的弧叫做优弧 如：优弧BAC(用三个字母).
求∠ EOA的度数.
O
E
A
B
C
2.如图，⊙O中，直径MN=10 ，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并 且∠POM = 45°，求AB的长.
2.1 圆（2）
拓展探究
1.如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝ 90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作 CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、 H在线段DE上，且DG＝GH＝HE． （1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
⌒ ⌒ 弦EF所对的弧有
E
D
___E__F______E__A__F_____
2.2 第2课时 圆的轴对称性-2020秋苏科版九年级数学上册课件(共19张PPT)
A.13寸
B.20寸
C.26寸
D.28寸
随堂练习
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象
限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的
半径为13，则点P的坐标为__(3_,_2_)___.
随堂练习
5.如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动， 则OP的最小值是____3____.
第2章 对称图形—圆
2.2 圆的对称性
第2课时 圆的轴对称性
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.圆的轴对称性 2.垂径定理
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
课程讲授
1 圆的轴对称性
问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你 能证明你的结论吗？
) ) ) )
课程讲授
2 垂径定理
证明 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上
的弦，AB⊥CD，垂足为CD中，
∵OC=OD，OP⊥CD
∴PC=PD,∠BOC=∠BOD ∴∠AOC=∠AOD BC BD,AC AD.
A
O
P
D
B
课程讲授
2 垂径定理
从上面的证明过程中我们可以知道：
课程讲授
1 圆的轴对称性
O
O
O
归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是圆的对称轴.
课程讲授
2 垂径定理
问题1 请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的 弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．在所 画图中有哪些相等的线段、相等的弧？
苏科版九上数学课件2-2圆的对称性(2)
O
求半径OC的长。
A
D
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4㎝，弦AC=㎝， 10 求圆O的半径。
C E O
A
D
B
C
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
A
●M B
●O
小结：
1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E，∠CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
九年级数学(上)第五章 圆
•5.2.圆的对称性(2)
学习目标：
1：理解圆是轴对称图形。
2：掌握垂径定理，并能灵活运用。
复习
如图，如AB=CD则（）如
⌒⌒
AB=CD
则（）
如∠AOB=∠COD则（）
D
O
C
A
B
基本图形：
C
A
B
M└
●O
D
例1已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点，AC与BD相等吗？ 为什么？
A
D
E C
O
B
O.
A C 弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径。
AE
B
O
变式1:在半径为5㎝的圆O中，有长8㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。
2：在半径为5㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离 为3㎝，求AB的长。
E
练1：如图，
圆O的弦AB＝8㎝，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
苏科版-数学-九年级上册- 圆的对称性 参考课件
3.连接AE、BE；
4.作AE、BE的垂直平分线m、n,与交⌒AE、⌒BE与点F、G;
∴点E、F、G就是所求A⌒B的四等分点.
๔ 拓展& 提高 ☞
变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？ 方法：只要在圆弧
上任意取三点，连
a
C
b
结两条弦，画这两
条弦的垂直平分线，A
B
交点即为圆弧所在
O
圆的圆心．
๔ 例题& 讲解 ☞
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C
O
D
问：(1)圆是轴对称图形吗？ (2)它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.
๔ 操作& 思考 ☞
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M，将圆形纸片沿直径CD折叠，你能发现图中有 哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
例4.如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16.求截面圆心O到水面的距离.
解:作OC⊥AB，垂足为点C，与 AB 相交于点D.
∴AC＝BC＝1
AB＝
1
×16＝8
在Rt△BOC中 2
2
10 C
OC OB2 BC2 102 82 6
8
8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
C
A M└
B 通过折叠可以发现：
●O
AM＝BM，AC=BC ，AD=BD
如何证明上述的结论呢？
D
๔ 探索& 交流 ☞
已知：如图， CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为M.
4.作AE、BE的垂直平分线m、n,与交⌒AE、⌒BE与点F、G;
∴点E、F、G就是所求A⌒B的四等分点.
๔ 拓展& 提高 ☞
变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？ 方法：只要在圆弧
上任意取三点，连
a
C
b
结两条弦，画这两
条弦的垂直平分线，A
B
交点即为圆弧所在
O
圆的圆心．
๔ 例题& 讲解 ☞
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C
O
D
问：(1)圆是轴对称图形吗？ (2)它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.
๔ 操作& 思考 ☞
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M，将圆形纸片沿直径CD折叠，你能发现图中有 哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
例4.如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16.求截面圆心O到水面的距离.
解:作OC⊥AB，垂足为点C，与 AB 相交于点D.
∴AC＝BC＝1
AB＝
1
×16＝8
在Rt△BOC中 2
2
10 C
OC OB2 BC2 102 82 6
8
8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
C
A M└
B 通过折叠可以发现：
●O
AM＝BM，AC=BC ，AD=BD
如何证明上述的结论呢？
D
๔ 探索& 交流 ☞
已知：如图， CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为M.
苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性 课件(共17张PPT)
所对的弦相等．
2.2 圆的对称性（1）
议一议
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么
它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?为什么?
B
B′
A O
A′ O′
AB＝A′B′
AB＝A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′B ′
2.2 圆的对称性（1）
议一议
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弦相等,那
么圆心角所对的弧相等吗？它们圆心角相等吗？为
九年级(上册)
2.2 圆的对称性 （1）
2.2 圆的对称性（1）
看一看
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角 形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
2.2 圆的对称性（1）
想一想
圆绕着圆心 旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
2.2 圆的对称性（1）
想一想
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,
什么？
B
B′
A O
A′ O′
AB＝A′B′
AB＝ A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′
2.2 圆的对称性（1）
议一议
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条
弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分
别相等.
B
B′
O
A
O′
A′
1．因为∠AOB＝∠ A′O ′B ′，所以 AB＝A′B′; AB＝A′B′. 2．因为AB＝A′B′,所以 AB＝A′B′; ∠AOB＝∠ A′O′ B′.
2.2 圆的对称性（1）
作业
圆的对称性课件苏科版九年级数学上册(完整版)2
·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点，即AP=BP， ∴AB⊥CD.
A
P C
B
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，A⌒C =B⌒C,
求证：CD垂直平分AB.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
系是否依然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
O ·′
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如 果∠AOB=∠COD，那么，AB⌒=C⌒D，弦AB=弦CD.
弧、弦与圆心角的关系定理
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等.
①∠AOB=∠COD CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
由此易得 A⌒D =B⌒D.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
·O
AP B D
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为 什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
➢垂径定理的几个基本图形：
C A
O
O
A
EB
D
A
DB
E
B D O
A C
O CB
2.2圆的对称性(2)-苏科版九年级数学上册课件
CD过圆心O CD⊥AB
AC=BC
AD=BD
A
两个条件缺一不可
判断:
1.经过圆心的直线平分弦. （ ×） 2.垂直于弦的直线平分弦 .（ ×）
C
O
E
B
D CC
AA┏EE OO DD
BB
例1.已知：如图,在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两 点.AC与BD相等吗?为什么?
O
AC E DB
A
AE=BE， AC=BC AD=BD
O
E
B
D
将一圆形纸片对折后,你发现了什么结论?
圆是轴对称图形, 经过圆心的任意一 条直线都是它的对称轴.
当弦AB垂直于直径 CD时，将纸片沿CD对 折,你发现了什么？
AE=BE， AC=BC AD=BD
A
C
O
E
B
D
已知: 在⊙O中，CD是直径，
C
AB是弦，CD⊥AB于E.
②
O
求证: AE=BE，AC=BC
AD=BD
垂径定理:
A
E
B
D
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧.
垂直于弦的直径 C
符号语言：
AE=BE
CD是过直圆径心O
O
CD⊥AB于E
AC=BC
AD=BD A
E
B
D
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
符号语言：
AE=BE
例2.如图，已知：在⊙O中，弦AB的 长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm. 求⊙O的半径.
O 53 A 4E B
常用辅助线:过圆心作弦的垂线段
圆的对称性课件苏科版数学九年级上册
求证：BC＝AE
解题秘方：构造圆心角，利用
“在同圆中，相等的圆心角所
对的弧相等”证明.
感悟新知
证明：如图2.2-4，连接OE.
∵ OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC.
∵ CE∥AB，
∴∠OCE＝∠BOC，∠OEC＝∠AOE.
∴∠BOC＝∠AOE.
⌒
⌒
∴ BC＝AE(在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等).
∴∠AOD＝150°(圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等).∴∠2＝∠AOD－(∠1＋∠3)＝60° .
⌒
∴BC的度数为60°(圆心角的度数与它所对的弧的度数
相等)．
答案：D
感悟新知
思路导引
连接OB、OC
OA＝OB，OC＝OD
∠OAB＝75°，
∠ODC＝60°
∠1与∠3的度数
∠2的度数
⌒
BC的度数
感悟新知
技能提醒
由例2的结论可知，在同圆中，圆的两条平
行弦所夹的弧相等，以后若遇到圆的两条平行
弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧
所对的弦、圆心角分别相等.
感悟新知
例 3 [模拟·武汉] 如图2.2-5，A、B、C、D是⊙O上四点，
且AB＝CD. 求证：AD＝BC.
解题秘方：由圆心角、弧、弦之间的
感悟新知
知识点 1 圆的对称性
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对
称轴．
(1)圆的对称轴有无数条.
(2)圆的对称轴是过圆心的任意一条直线，或说成圆的对
称轴是直径所在直线．
感悟新知
3. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图
解题秘方：构造圆心角，利用
“在同圆中，相等的圆心角所
对的弧相等”证明.
感悟新知
证明：如图2.2-4，连接OE.
∵ OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC.
∵ CE∥AB，
∴∠OCE＝∠BOC，∠OEC＝∠AOE.
∴∠BOC＝∠AOE.
⌒
⌒
∴ BC＝AE(在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等).
∴∠AOD＝150°(圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等).∴∠2＝∠AOD－(∠1＋∠3)＝60° .
⌒
∴BC的度数为60°(圆心角的度数与它所对的弧的度数
相等)．
答案：D
感悟新知
思路导引
连接OB、OC
OA＝OB，OC＝OD
∠OAB＝75°，
∠ODC＝60°
∠1与∠3的度数
∠2的度数
⌒
BC的度数
感悟新知
技能提醒
由例2的结论可知，在同圆中，圆的两条平
行弦所夹的弧相等，以后若遇到圆的两条平行
弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧
所对的弦、圆心角分别相等.
感悟新知
例 3 [模拟·武汉] 如图2.2-5，A、B、C、D是⊙O上四点，
且AB＝CD. 求证：AD＝BC.
解题秘方：由圆心角、弧、弦之间的
感悟新知
知识点 1 圆的对称性
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对
称轴．
(1)圆的对称轴有无数条.
(2)圆的对称轴是过圆心的任意一条直线，或说成圆的对
称轴是直径所在直线．
感悟新知
3. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图
2022年苏教版九上《圆的对称性2》立体精美课件
d+h=r
r2
d
2
a 2
2
O
【练习】
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 5cm . 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且
MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 14cm或2cm .
2.2圆的对称性（2）
【导入新课】
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求 出赵州桥主桥拱的半径吗？
【讲授新课】
问题：任意画一个圆及它的一条直径，沿着所画直径的直 线折叠，你又发现了什么？
圆是轴对称形，过圆心的任意一条直 线都是它的对称轴.
EB
D
A
DB
E
B D O
A C
O CB
试一试
1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直
径），与CD交于点P，且P是AB的中点.
D
求证：AB⊥CD，A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点，即AP=BP， ∴AB⊥CD.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
O
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
练一练
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
.
C
P
D
B
基本图形：
C
A
M└
●
B O
D
例题解析
例2：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8 ㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求⊙O的半径。
解：连接OA且作OE⊥AB于E A 则OE=3m ∵OE⊥AB 1 1 ∴AE=BE= AB 8 4 2 2
E O B
OA OE2 AE2 32 42 性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 利用折叠的方法即可发现上述结论.
●
O
如图，CD是⊙O的弦，画直 径AB⊥CD，垂足为P。图中有哪些 相等的线段、相等的弧？为什么？
A
PC＝PD;
O C B P D
A
⌒ ⌒ AC=AD; ⌒ ⌒ BC=BD
D 变式：若已知AB=60cm，最大深度为10cm，求油罐 直径？
作业：
课本： P48：3 P49：6、8 补充习题P31—33
九年级 数学上册 （苏科版）
2.2 圆的对称性(2)
学习目标：
1：理解圆是轴对称图形。
2：掌握垂径定理，并能灵活运用。
复 习
如图，∵AB=CD，∴ ⌒ ⌒ ∴ ∵ AB=CD ∵ ∠AOB= ∠COD， ∴
D
O
C
A
B
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 你怎样知道上述问题的?
变式：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的 距离为3 ㎝，求AB的长。
挑战自我画一画
如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
A
M ●O
●
B
小结：
1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用
1、如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的长度范围是 3≤OP≤5 。 ②使线段OP的长度为整数值的P点
O
P B
D
总结归纳
定理 垂直于弦的直径平分 弦及弦所对的两条弧. 推导格式：
C
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. AC =BC,
D
定理分析：若是一条经过圆心的直线或 线段垂直于弦平分弦吗？
例题
例1 已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC 与BD相等吗？为什么？ 解：AC=BD 作OP⊥AB于P。 ∵OP ⊥AB ∴AP=BP，CP=DP A ∴AC=BD。
位置有
5
个。
O
1 C p2 B A pP
注意圆的轴对称性
2、如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=6㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
A
D
O
E
B
C
3、如图，一油罐横截面直径为100cm，其 油面宽度AB=60cm(AB在圆心O以下）,求油 面的最大深度 ？
O.
A C B
O
C (D)
P
B
垂径定理：垂直于弦的直径
平分弦及弦所对的两条弧．
证明：连接ＯＣ、ＯＤ．
已知：在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径， 你能证明 ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＰ⊥ＣＤ， 定理吗？ ＣＤ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ于Ｐ。 ∴ＣＰ＝ＤＰ，∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ．
A
求证：PC=PD， ∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ ． BC=BD ,AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ BC=BD ; AC=AD C
.
C
P
D
B
基本图形：
C
A
M└
●
B O
D
例题解析
例2：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8 ㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求⊙O的半径。
解：连接OA且作OE⊥AB于E A 则OE=3m ∵OE⊥AB 1 1 ∴AE=BE= AB 8 4 2 2
E O B
OA OE2 AE2 32 42 性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 利用折叠的方法即可发现上述结论.
●
O
如图，CD是⊙O的弦，画直 径AB⊥CD，垂足为P。图中有哪些 相等的线段、相等的弧？为什么？
A
PC＝PD;
O C B P D
A
⌒ ⌒ AC=AD; ⌒ ⌒ BC=BD
D 变式：若已知AB=60cm，最大深度为10cm，求油罐 直径？
作业：
课本： P48：3 P49：6、8 补充习题P31—33
九年级 数学上册 （苏科版）
2.2 圆的对称性(2)
学习目标：
1：理解圆是轴对称图形。
2：掌握垂径定理，并能灵活运用。
复 习
如图，∵AB=CD，∴ ⌒ ⌒ ∴ ∵ AB=CD ∵ ∠AOB= ∠COD， ∴
D
O
C
A
B
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 你怎样知道上述问题的?
变式：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的 距离为3 ㎝，求AB的长。
挑战自我画一画
如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
A
M ●O
●
B
小结：
1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用
1、如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的长度范围是 3≤OP≤5 。 ②使线段OP的长度为整数值的P点
O
P B
D
总结归纳
定理 垂直于弦的直径平分 弦及弦所对的两条弧. 推导格式：
C
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. AC =BC,
D
定理分析：若是一条经过圆心的直线或 线段垂直于弦平分弦吗？
例题
例1 已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC 与BD相等吗？为什么？ 解：AC=BD 作OP⊥AB于P。 ∵OP ⊥AB ∴AP=BP，CP=DP A ∴AC=BD。
位置有
5
个。
O
1 C p2 B A pP
注意圆的轴对称性
2、如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=6㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
A
D
O
E
B
C
3、如图，一油罐横截面直径为100cm，其 油面宽度AB=60cm(AB在圆心O以下）,求油 面的最大深度 ？
O.
A C B
O
C (D)
P
B
垂径定理：垂直于弦的直径
平分弦及弦所对的两条弧．
证明：连接ＯＣ、ＯＤ．
已知：在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径， 你能证明 ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＰ⊥ＣＤ， 定理吗？ ＣＤ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ于Ｐ。 ∴ＣＰ＝ＤＰ，∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ．
A
求证：PC=PD， ∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ ． BC=BD ,AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ BC=BD ; AC=AD C